Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (tán xạ điện tử - phonon quang)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lận văn này đã đưa ra được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có thêm sóng điện từ mạnh(laser) . Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ E0 , phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào nhiệt độ T của hệ, tần số Ơ của sóng điện từ và các tham số của hố lượng tử (n, L). Kết quả được so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để thấy được sự khác biệt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (tán xạ điện tử - phonon quang)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THANH HIẾU ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ (TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ngô Thị Thanh Hiếu ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ (TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướng dẫn : GS.TS Nguyễn Quang Báu Hà Nội - 2011
MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………….4 Chương 1 : Tổng quan về hố lượng tử. Bài toán hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ laser. 1. Tổng quan về hố lượng tử………………………………………………..……...7 1.1. Khái niệm về hố lượng tử……………………………………………….…….7 1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử …………………………………………………………………………….……….8 2. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ. 2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối...........................................................................................................................8 2.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ .................................................................15 Chương 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser……………………………………………………………..20 1. Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt hai sóng..... ………………………………………...……………………………..20 2. Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser……………………................................32 Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho hố lượng tử… ………………………………………………………………………..…………...44 1. Tính toán số và vẽ đồ thị hệ số hấp thụ  cho hố lượng tử GaAs/GaAsAl……………………………………………………………………..44 2. Thảo luận các kết quả thu được………………………………….......................50 Kết luận…………………………………………………………………………..52 Tài liệu tham khảo…………………………………………….…………………53 Phụ lục……………………………………………………………………………55 2
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Sự phụ thuộc vủa hệ số hấp thụ vào nhiệt độ T………………………….46 Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ thứ nhất E01 ………………………………………………………………………………..….47 Hình 3.3: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ thứ nhất 1 ……………………………………………………………………………48 Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ thứ 2 2 …………………………………………………………………………….49 Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào độ rộng của hố lượng tử L……………………………………………………………………………….50 3
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thời gian gần đây, ngày càng nhiều người quan tâm tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều, trong đó có hệ hai chiều, ví dụ như: siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, hố lượng tử… Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý, trong đó có tính chất quang của vật liệu. Sự giam giữ điện tử trong các hệ thấp chiều đã cho phản ứng của hệ điện tử đối với các tác dụng bên ngoài (sóng điện từ, từ trường…) xảy ra rất khác biệt so với các bán dẫn khối thông thường. Các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba chiều không có.[ 1  8] Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều bao gồm cấu trúc hai chiều,chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một(hoặc hai,ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon…Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang 2D,1D sang 0D đã làm thay đổi đáng kể những tính chất của hệ [9  20] Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh(bức xạ laser) lên hấp thu sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá nhiều. Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh hưởng sóng điện từ mạnh(bức xạ laser) lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều. Tuy nhiên, đối với hố lượng tử, ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn là một vấn đề 4
mở, chưa được giải quyết. Trong khóa luận, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu và giải quyết cụ thể vấn đề này Về phương pháp nghiên cứu: Có thể sử dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ như như lý thuyết hàm Green, phương pháp phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Đối với bài toán về ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Kết quả trong bài luận văn này đã đưa ra được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có thêm sóng điện từ mạnh(laser) . Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ E0 , phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào nhiệt độ T của hệ, tần số  của sóng điện từ và các tham số của hố lượng tử ( n, L). Kết quả được so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để thấy được sự khác biệt. Cấu trúc của khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3 chương, có 5 hình vẽ, tổng cộng là 59 trang: Chương I: Giới thiệu về hố lượng tử và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt thêm trường bức xạ laser. Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ tuyến sóng điện yếu từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser. Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/ GaAsAl 5
Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả chính của luận văn. Đặc biệt luận văn đã đưa ra kết luận lý thú là: dưới tác dụng của sóng điện từ mạnh (laser), sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vào năng lượng sóng điện từ mạnh 1 và năng lượng sóng điện từ yếu 2 là không tuyến tính và có thể nhận các giá trị âm. 6
Chương 1 TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT TRƯỜNG BỨC XẠ LASER 1. Tổng quan về hố lượng tử 1.1. Khái niệm về hố lượng tử: Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Và do vậy trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục. Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật  1/ 2 (với  là năng lượng của điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật khác  1/ 2 . Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt. Khi xây dựng được cấu trúc hố thế có chất lượng tốt, có thể coi hố thế được hình thành là hố thế vuông góc. 7
1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:    i p r   (r )   e sin( p n z ) n, p 0 z     Với p   ( p x , p y )  n,p   * ( pzn 2  p2 ) 2  2m n Ở đây pzn  L Trong đó n = 1,2,3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z    p  p   p z là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vecto sóng của điện tử điện tử). Với  Oxy : Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy m: khối lượng hiệu dụng của điện tử; L : Độ rộng của hố lượng tử.  p  : Hình chiếu của trên mặt phẳng (x, y)   r  : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y) n p nz  : là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z. L Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong hố lượng tử so với các mẫu khối. 2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ. 2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối: H  H e  H ph  H e ph 8
 e  Với : H e    c A(t ) a p a p   p  p H ph   qbqbq (1)   q H e  ph   Cq a p  q a p bq  bq q, p Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: i n p (t ) t   a p a p , Hˆ  t (2) Vế phải của (2) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lượt tính từng số hạng. Số hạng thứ nhất:     e        e          p p  a  a ;   p '  A(t )  p' p'  a a    p  c A(t )  a p a p , a p 'a p '      p '  c   t p   e         p'   c    p '  A(t )  a p a p ' p , p '  ap ap'ap ap '  ap'ap p ,p'  ap'ap ap 'ap          e    c      p  A(t )  ap ap  ap ap  0    Số hạng thứ hai: a p a p ;   q bq bq   0 do toán tử a, b la hai loại độc lập thì  q  t chúng giao hoán với nhau. Số hạng thứ ba:     ap ap ;  C    q p ' q p ' q    a  a b  b  q      q   C ap ap ' p ,p'q  ap 'q ap p ,p' bq  bq    q , p '  t q, p '   q  Cq ap ap q bq t  ap ap q bq t  ap q ap bq t  ap q ap bq t   Cq  Fp ,p q ,q (t )  Fp*q ,p , q (t )  Fp ,p q ,q (t )  Fp*,p q , q (t )   q   Vậy phương trình (2) trở thành: i n p (t ) t    Cq Fp , p  q , q (t )  Fp* q , p ,  q (t )  Fp , p  q , q (t )  Fp*, p  q ,  q (t )  (3) q  Với Fp1 , p2 , q (t )  a p1 a p2 bq t Để giải (3) ta cần tính Fp , p , q (t ) thông qua phương trình: 1 2 9
i Fp , p , q (t ) 1 t 2   a p a p bq ; H 1 2  t (4) Vế phải của (4) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H. Ta lần lượt tính từng số hạng. Số hạng thứ nhất:    a b ,     e       p p q p  p3  c A(t ) a p a p   a  1  2   t 3 3 3   e           p   p3  A(t )  a p a p bq a p a p  ap ap ap ap bq   3 c  t  1 2 3 3 3 3 1 2     e      e     ( p2 )  p2  A(t )  ap ap bq   ( p1 )  p1  A(t )  ap ap bq   c  t  c  1 2 1 2 t            ( p2 )   ( p1 )   e c  p2  p1 A(t )  Fp ,p ,b (t )    1 2  q Số hạng thứ hai:    a a b ,    b b  p p q q 1  q q q  2   1 1 1 1   q ap ap bq bqbq  bqbq bq  q1 1 1 2  1 1 1 1  t  q ap ap bq 1 2  q Fp ,p ,b (t ) 1 2  t q Số hạng thứ ba: a  p1 2  a p bq ,  Cq a pq a p bq  bq 1 1  1 1     Cq a p a p bq , a p  q a p bq  bq 1 2 1  1 1  q1 , p t q, p Ta có:  p p q pq p q  q  1 2 p p q pq p q q pq p q  a ab , a  a b  b   a ab a  a b  b   a  a b  b  a ab  q p p q 1 2 1  1 1   1 1 1  1 2 1  2 3 1 2   ap  p ,p q  ap q ap apbq bq  ap  p ,p q  ap q ap 1 1  2 1 1 2 a b b     p q  q1  1  ap q  p ,p  ap ap ap bqbq  ap q  p ,p  ap ap ap bqbq  1 1 2 1 1  1 1  2 1   p ,p q a apbq bq   p ,p q a a b b   p ,p a 2 3 1   p1 2 1   p1     p q  q1 1    p  q1 ap bqbq  2 1 1  p ,p a 1    p  q1 a b b   q , q a ap ap     p2  q1 q 1   p1 2 Đặt vào số hạng thứ ba ta được:  ap ap bq  ,  Cq ap q ap bq  bq  1  q ,p 2 1 1  1 1       1 t   Cq a p a p  q1 q b bq  bq   Cq a p  q a p bq  bq bq 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 q1 t q1 t Thay các số hạng vào (4) ta được phương trình: 10
Fp , p , q (t ) i 1 t 2    ( p2 )   ( p1 )   e mc   p2  p1 A(t )  q  Fp , p , q (t )   1 2  (5)   Cq a p a p 1  1 2  q1 q  b bq  b q 1  1    Cq a p 1  1  q1  a p bq  b q bq 2 1  1  q1 t q1 t (5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng. Fp ,p ,q (t )    e    i 1 t 2   ( p2 )   ( p1 )   mc    p2  p1 A(t )  q  Fp ,p ,q (t )  1 2 Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác Fp , p , q (t  )  0 được nghiệm của 1 2 phương trình vi phân thuần nhất có dạng:  t i    e      F o p ,p ,q (t )  exp      ( p2 )   ( p1 )  1 2    mc p2  p1 A(t1 )  q  dt1      Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng: F F  M (t ).F o (t )   M ' (t ).F o (t )  M (t ) F o ' (t ) t Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiệm ta được:      t i  Fp , p , q (t )   Cq   a p  q a p bq  bq bq  a p a p  q bq bq  bq  t2     1 2  q1 1 1 1 2 1 1 t2 1 2 1 1 1 (6) i       t  exp   p   p  q t  t2   ie  p1  p2 A(t1 ) dt1  dt2   mc t 2   1 2  Thay (6) vào (3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon ta được: n p (t ) 1 | C 2 i  |  t 2 q q  i     t t   dt ' n p q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p   p q  q t  t '  ie    mc t ' q A(t1 )dt1     i     t  n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p   p q  q t  t '  ie   mc t ' q A(t1 )dt1    (7)  i     t  n p (t ' ) N q  n p  q (t ' )( N q  1)  exp   p  q   p  q t  t '  ie mc t ' q A(t 1 ) dt 1     i      t  n p  q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p  q   p  q t  t '  ie   mc t ' q A (t 1 ) dt 1    Eo1c E c Thay: A(t )  cos 1t  o 2 cos  2 t 1 2 11
 và áp dụng khai triển: exp( iz sin  )   J ( z) exp(i) ta có:    ie t   ie Eo1 q  exp   q A(t ) dt    exp  sin  t ' sin  t   ie Eo 2 q sin  t ' sin  t   m1 m 22 1 1 2 1 1 2 2  mc t '     eE q   eE q    J l  o1 2  J s  o1 2  exp(is 1t ' ) exp( il 1t )  l ,s   m1   m 2    eE q   eE q    J f  o 22  J m  o 22  exp(if  2t ' ) exp( im 2t ) f ,m  m1   m 2  eE eE Đặt: a1  o12 ; a2  o 22 thì: m1 m 2  ie t           exp  q A(t1 )dt1    J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q    mc t'  l ,s ,m, f   expi( s  l )1  (m  f ) 2 texp i ( s1  m 2 )(t  t ' ) Thay kết quả này vào (7) và đưa vào thừa số e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có: n p (t )  J a q J a q J a q J a q  exp i(s  l )  (m  f ) t  1  | Cq | 2 i  t l 1 s 1 m 2 f 2 1 2 2 q l , s ,m , f    i     t   dt ' n pq (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p   pq  q  s1  m 2  i t  t '      i      n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p   pq  q  s1  m 2  i t  t '    (8)  i     n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p q   p  q  s1  m 2  i t  t '      n  1) exp    i  pq (t ' ) N q  n p (t ' )( N q pq   p  q  s1  m 2  i t  t '    (8) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) . Ta giải (8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t )  n p và tính các tích phân sau: i    t K1   exp   p   pq  q  s1  m 2  i t  t ' dt '    t exp i  ( s  l )1  (m  f ) 2  t ' K 2   exp i  ( s  l )1  (m  f ) 2  t ' dt '   i  ( s  l )1  (m  f ) 2  Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được: 12
         exp i  ( s  l )1  (m  f ) 2  t ' np (t )  1 2  |Cq | 2          J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q i  ( s  l )1  (m  f ) 2   q l , s , m , f    n p  q N   n p ( N   1)   n p N   n p q ( N   1)    q q   q q     (9)   p       pq      q  s   1  m  2  i     p      pq    q  s   1  m   2  i   n p N   n p  q ( N   1)   n p  q N   n p ( N   1)    q q   q q       p  q   p  q  s1  m 2  i  p  q   p   q  s1  m 2  i            e  e  Mật độ dòng được cho bởi biểu thức: J (t )   p m p  c A(t ) n p (t )   e2 e  e 2 no e Hay: J (t )  mc p  A(t )n p (t )   pn p (t )  m p mc A(t )   pn p (t ) m p (10) với n p (t )  no p Ta xét số hạng thứ hai:           exp i  ( s  l )1  (m  f ) 2  t ' e m  pn   (t ) p  e m  |C   q 2 |          J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q i  ( s  l )1  (m  f ) 2   p q l , s , m , f     n p  q N   n p ( N   1)     n p N   n p  q ( N   1)     q q q q  p     p   p  q  q  s1  m 2  i  p   p  q   q  s1  m 2  i              p  n p N   n p  q ( N   1)   n p  q N   n p ( N   1)    q q   q q      (11)  p  q   p  q  s1  m 2  i  p  q   p   q  s1  m 2  i   k  l  s  l  k  s k :    Đặt  ta có: r  l  m  f  r  m r :    exp ik1  r 2 t '          e e   | Cq |  J k  s a1 q J s a1 q J m a2 q J r  m a2 q 2 pn p (t )   m* p m* q l , s ,m , f   ik1  r 2     p  n pq N q  n p ( N q  1)   n p N q  n pq ( N q  1)    p   p   pq  q  s1  m 2  i  p   pq  q  s1  m 2  i  n N p q  n pq ( N q  1)   n pq  N q  n p ( N q  1)    pq   p  q  s1  m 2  i  pq   p  q  s1  m 2  i   Thực hiện các bước chuyển đổi: q  q, m  m và sử dụng tính chất hàm Bessel J  ( x)  J  ( x)  (1)  J  ( x) 13
exp i  k 1  r  2  t '       e m*   pnp (t )  m  e *  |Cq | 2  i  k   r      p  q  n p  q N q  n p ( N q  1)    p q k , s , m , r  1 2 p                        J s  k a1 q J s a1 q J m a2 q J m r a2 q           J k  s a1 q J s a1 q J m a2 q J r  m a2 q       p  q   p  q  s1  m 2  i  p  q   p  q  s1  m 2  i    (12)   p  n p  q N q  n p ( N q  1)                            J k  s a1 q J s a1 q J m a2 q J r  m a2 q           J s  k a1 q J s a1 q J m a2 q J m r a2 q        p  q   p  q  s1  m 2  i  p  q   p  q  s1  m 2  i    e e  exp  ik1  r 2 t '    2 pn (t )  | C | q  m* p p m * q , p q k ,s ,m,r  k1  r 2       J s a1 q J m a2 q n pq N q  n p ( N q  1)   (13)  J a q J a q      J k  s a1 q J r m a2 q   s k 1 mr 2     pq   p  q  s1  m 2  i  pq   p  q  s1  m 2  i   Áp dụng công thức sau: exp  ik1  r2 t  cos(k1  r2 )t   i sin(k1  r2 )t  1  Và   i ( x) x  i x Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t ) , ta có:       e e  p   q J s a1 q J m a2 q n pq N q  n p ( N q  1)  2 pn (t )  | C | m* p m * q , p q k ,s ,m,r   cos(k1  r 2 )t             J k  s a1 q J r m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q  k1  r 2   pq   p  q  s1  m 2   sin(k1  r 2 )t   (i ) J aqJ k1  r 2  k s 1 r m 2      a q  J s k a1 q J mr a2 q         (i )  pq   p  q  s1  m 2    Suy ra: 14
  n p  q N q  n p ( N q  1)           e  p m*  m * p pn (t )  e   q, p | C  | q 2  k , s , m , r  q  k 1  r2      J s a1 q J m a 2q            cos  (k 1  r 2 )t            J k  s a1 q J r  m a2 q  J s  k a1 q J m  r a2 q                s1  m 2  (14)   pq p q                    J k  s a1 q J r  m a2 q  J s  k a1 q J m  r a2 q   sin  (k 1  r  2 )t        p  q   p  q  s1  m 2    Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (10) ta thu được:  e 2 no e   n pq N q  n p ( N q  1)        2 J (t )  A(t )  | C | q J s a1 q J m a2 q  mc m * q , p q k ,s ,m ,r  k1  r 2    cos(k1  r 2 )t             J k  s a1 q J r m a2 q  J sk a1 q J mr a2 q  pq   p  q  s1  m 2  (15)            J k  s a1 q J r m a2 q  J sk a1 q J mr a2 q  sin(k1  r 2 )t          s  m    pq 1 2  p q 2.2. Tính hệ số hấp thụ  Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết 2  1 như sau: 8  J (t ) E o 2 sin  2t (16) c   Eo22 t Thay (15) vào (16) ta được: 8   e 2 n e   2  c   Eo 2  mc o A(t ) E o 2 sin  2t   pn p (t ) E o 2 sin 2t  t m p t  Eo1c E c Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t )  cos 1t  o 2 cos 2t 1 2 Ta tính số hạng thứ nhất.  e 2 no  e 2 no 1  Eo1c  T Eo 2c  E o 2 sin  2tdt mc A(t ) E o 2 sin  2t   mc T o  1 cos 1t  2 cos  2 t  t  2 2 Trong đó: T1  và T2  là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ 1 2 nhất của T1 và T2. 15
cos(a  b) x cos(a  b) x Sử dụng tích phân:  sin (ax) cos(bx)dx   với a 2  b 2 (17) 2(a  b) 2(a  b)  e 2 no Suy ra: A(t ) E o 2 sin  2t 0 (18) mc t Ta tính số hạng thứ hai. Theo (17) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa cos(k1  r2 )t  sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:   n p  q N   n p ( N   1)  e    eE o 2        2  (t ) E o 2 sin  t  q q pn q|C  | m p  p 2 t m q, p   q k , s , m , r   k 1  r2                         J s a1 q J m a2 q  J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q         T 1   p  q   p  q  s1  m 2  sin  (k 1  r 2 )t  sin 2tdt T0 0 khi k1  r 2   2  T Lưu ý:  sin(k1  r 2 )t sin 2tdt  T  khi k1  r 2   2 0 2 Suy ra:  e    eE o 2  2  m p   pn (t ) E o 2 sin  t p 2   2m 2 q , p   q|C  | q  s , m   n p  q N   n p ( N   1)    q q  t                        J s a1 q J m a2 q  J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q       (19)          pq  p  q  s  m  1 2 Với k1  r2  2 (20) Thay (19) vao (16) ta được hệ số hấp thụ: 4 2e         2    q s ,m  pq q p q  s 1 m 2 q  q |C  |  n   N   n  ( N   1)  J a q J a c   m2 Eo 2 q ,p                   J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q    p  q   p  q  s1  m2   Với k1  r2  2 Từ biểu thức hàm Bessel:  2   s  k   (1)   a1 q  J s  k (a1 q)       0  !( s  k    1)  2   2 s  k  (1)   a1 q  ( s    1)  a1 q         0  !( s    1)       2  ( s k 1)  2  16
 k  a1 q    ( s    1)   J s (a1 q)  0 ( s  k    1)  2  Vậy                J k  s a1 q J r m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q      k   r  a q   a q   ( s    1) (m    1)   1   2     2   2   0 ( s  k    1) (m  r    1)   k    r  a1 q   a2 q   ( s    1) (m    1)           J ( a q ) J ( a q)   0 ( s  k    1) ( m  r    1)  s 1 m 2  2   2         2k 2r 2k  r a q a q ( s    1)(m    1)   k   r   1   2   (a1 q) (a2 q)  0  2   2  ( s  k    1)(m  r    1)  ( s    1)(m    1)      ( s  k    1)(m  r    1)  J s ( a 1 q ) J m ( a 2 q) Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1  Eo 2 ta cho r=1;k=0 (thoả mãn giả thiết k1  r2  2 ) ta được: J m1  (a2 q)  J m1 (a2 q) J s (a1 q)  2m ( a2 q ) J s (a1 q) J m (a2 q) Suy ra: 4 2e  2m22 2  2         q|Cq | n pq N q  n p ( N q  1)  s ,m   mJ a1 q J a2 q  2     c   m2 Eo 2 q ,p Eo2 q s m    p q   p  q  s1  m2  (21) 8 22         2   |Cq |  n p  q N q  n p ( N q  1)  mJ 2 a1 q J 2 a2 q  c  E 2 o2   q , p s , m  s m    p q   p  q  s1  m2  (22) Viết dãy theo k, l trong công thức (22) dễ thấy các thành phần ứng với s1  m2  0 tương hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi 1 ,2 lớn so với năng lượng trung bình điện tử (  p ) thì hàm  trong (22) được viết lại là:    pq   p  q  s1  m2      q2  q  s1  m2    2m  Từ đó ta tìm được thứ tự của k1, 2 1 / 2 theo các giá trị của q. 17
p Sử dụng điều kiện tần số phonon  q   p rút ra 1, 2  với s là tốc độ sóng ms 2 âm. Như vậy tổng theo p không còn phụ thuộc vào phần đối số của  , ta thực hiện lấy tổng  n p (t )  no . p Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: q  o và 2  o q Cq  và N q  1  N q  k BT k T  B 2  vsV0 o vs q Từ (22) ta được: 4 22 o kBT  2             mJ 2 a q J a2 q   p  q   p  q  s1  m2 (23) c   E 2  vs2V0 q s ,m 1 s m o2 Áp dụng gần đúng: 1, 2   p , ta có: 4 22 o kBT  2    q 2         s ,m mJ a1 q J a2 q   2m  o  s1  m2  (24) 2 c   E  vs V0 q 2 2 o2 s  m  Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu  2 (m=1) và hạn chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có: x  (1)k x 2 k x  x2  J1 ( x )   2 k  1  2 k 0 2 k !(k  1)! 2  8   2   2    a q    a q      mJ m a2 q   2  1   2   2 m  2    2   Thay vào (24) ta được:   2   2 4 22 o kBT  a2 q    a2 q   2   q 2          1     J a q      s   m  c   E 2  vs2V0 q , p s   2    2   1 o 1 2  2m    s o2 q2 Hệ số  chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn:  o  s1  m 2  0 2m  s1  o  suy ra: q  2ms1  m 2  o   2m 2 1     2   a2 q    a2 q    e Eo 2 q   1  eE q 2    2 2 2 Và lưu ý:  mJ a2 q   2  1          2   cos 2  1    o2  2  cos 2         m  2    2    m 2  2  m 2  m    Đặt:   1 ;   2m 2 suy ra: 2 18
2 8 222 o kBT m  eEo 2   s1  o    2 1   c   E 2  vs2V0  2m2  o2   2        e2 E 2  1  o  s      2 1  o2 2   2 o    cos   cos 4   J  a  1    cos     3 1 s   2 4 m 2   s 2      Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:  e E q  1 2  eEo q  J  2   Jm 2   y dy   0  m  m 2  m Suy ra: 2 8 222 o kBT m  eEo 2   s1  o    2   1  c   E 2  vs2V0  2m2   o2 2           e 2 E o22  1  o  s  1      cos    2   J 2  a  1  o  s y dy  0 s  1 2 cos 4    s   4m32 2             e2 E o22  1  o  s  1     2       cos   2 cos    J s2  a1 1  o  s y dy  4 s   4m2 3 0  2       Đây là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ Laser. Kết quả này được chúng tôi sử dụng để so sánh với các kết quả tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser. 19