Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Biểu diễn Glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt Dirac năng lượng cao trong thế nhẵn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tán xạ thế năng lượng cao đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong gần đúng eikonal, song các nghiên cứu này chủ yếu dành cho các hạt vô hướng với trường ngoài. Thật lý thú nếu mở rộng phép gần đúng này cho các bài toán tán xạ của các hạt có spin. Mục đích của luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu bài toán tán xạ của hạt Dirac trên thế ngoài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Biểu diễn Glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt Dirac năng lượng cao trong thế nhẵn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phan Thị Giang BIỂU DIỄN GLAUBER ĐỐI VỚI BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA CÁC HẠT DIRAC NĂNG LƯỢNG CAO TRONG THẾ NHẴN Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2013 0
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI 1.1. Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài ............................................................ 5 1.2. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trên thế ngoài .................................... 8 1.3. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ của hạt có spin .................................. 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH 2.1. Phương trình Dirac ........................................................................................ 18 2.2. Thế ngoài tĩnh ................................................................................................. 19 CHƯƠNG 3: TÁN XẠ HẠT DIRAC LÊN THẾ NGOÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 3.1. Biểu diễn biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm ......................... 21 3.2. Biên độ tán xạ của hạt Dirac ở các trường ngoài khác nhau ..................... 24 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 31 PHỤ LỤC A ........................................................................................................... 34 PHỤ LỤC B ........................................................................................................... 36 1
MỞ ĐẦU Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính trước đây, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng lớn /9/ . Chính vì vậy, trong vùng tương đối tính và năng lượng cao việc tổng quát hoá gần đúng eikonal trên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử /3- 10/. Phép gần đúng eikonal thực tế trong lý thuyết trường tương ứng với việc tuyến tính hoá hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của hạt trao đổi là nhỏ. Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng /6, 8, 15-18/. Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao đổi lượng tử ảo riêng biệt với nhau. Tại vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ thì mọi phương pháp được nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ( hay còn gọi là biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ). Tán xạ thế năng lượng cao đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong gần đúng eikonal, song các nghiên cứu này chủ yếu dành cho các hạt vô hướng với trường ngoài. Thật lý thú nếu mở rộng phép gần đúng này cho các bài toán tán xạ của các hạt có spin. Mục đích của Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu bài toán tán xạ của hạt Dirac trên thế ngoài. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu dẫn. Chương 1, Bài toán tán xạ trên thế ngoài. Việc tìm biên độ tán xạ trên thế ngoài được tiến hành theo hai cách: i/ tìm biểu thức chính xác của hàm sóng sau tán xạ; ii/ tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Trong chương 1 và 2, chúng ta vận dụng cách tìm thứ nhất, còn chương 3 ta vận dụng cách thứ hai tìm biên độ tán xạ. Trong $ 1.1 của chương 1, dựa vào phương trình Schrodinger tôi giới thiệu vắn tắt cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài. Ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ 2
nhỏ ta thu nhận được biểu diễn Glauber (hay người ta còn gọi là biểu diễn eikonal ) cho biên độ tán xạ. Việc tổng quát hóa kết quả này cho hạt cùng với spin tán xạ lên thế ngoài được trình bầy ở mục $ 1.2. Ở đây chúng tôi đã chỉ ra biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ chỉ có được khi nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm khác nhau trùng với tích thông thường của các thế ngoài, nếu giao hoán tử của chúng ở các thời điểm khác nhau bằng không. Chương 2, Bài toán tán xạ cho hạt Dirac ở trường ngoài. Cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài bằng phương pháp tương tự của chương 1 qua việc tìm hàm sóng. Xuất phát từ phương trình tương đối tính cho hạt Dirac ở trường ngoài biên độ tán xạ của hạt nhận được bằng công thức tương tự (1.1.15). Trong mục $ 2.1 tìm biên độ tán xạ tổng quát cho hạt trên thế ngoài sử dụng phương trình Dirac cải biến-phương trình Dirac dạng toàn phương, thay cho phương trình Dirac dạng tuyến tính thông thường. Việc cải biến này cho ta đưa vào phương trình một tham số mới  , song trên mặt khối lượng cả hai loại phương trình Dirac đều cho cùng một biểu thức của biên độ tán xạ, điều này có nghĩa trên mặt khối lượng biên độ tán xạ không phụ thuộc vào tham số mới  . Ở mục $ 2.2 khi trường ngoài không phụ thuộc vào thời gian, ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta thu được biểu diễn eikonal cho hạt Dirac tán xạ trên thế ngoài, ở đây ta bàn luận trong những trường hợp nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm khác nhau trùng với T- tích thông thường của các toán tử thế ngoài . Chương 3, Bài toán tán xạ và phương pháp tích phân phiếm hàm. Khác với hai chương 1&2 là xuất phát từ phương trình cho hạt ở trường ngoài, việc tìm biên độ tán xạ bằng cách tìm hàm sóng sau khi tán xạ, ở đây ta tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Bước đầu chúng ta thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green của hạt ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng việc tách các cực điểm liên quan đến đường ngoài của hàm Green của hạt ở thế ngoài, chúng ta tìm được biểu thức giải tích tổng quát cho biên độ tán xạ của hạt lên thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính các tích phân phiếm hàm ta sử dụng phép gần đúng eikonal hay phép gần đúng quỹ đạo thẳng. Trong mục $ 3.1 ta 3
giới thiệu cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Trong mục $3.2, với các trường ngoài cụ thể khác nhau, ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta đã thu được biểu diễn tán xạ Glauber của hạt Dirac trên thế ngoài. Khác với quá trình tán xạ các hạt không có cấu trúc nội tại- không có spin lên thế ngoài, trong biên độ tán xạ của hạt có spin sẽ xuất thêm số hạng mới bổ xung trong biên độ tán xạ. Số hạng bổ xung này diễn tả việc quay spin của hạt trong quá trình tán xạ. . 4
CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI Trong chương này tôi nghiên cứu bài toán tán xạ thế, việc tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm sóng sau khi tán xạ dựa vào phương trình Schrodinger ở trường ngoài cho hạt không có spin trong mục $ 1.1. Mục $ 1.2 dành cho việc thiết lập biểu thức cho biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài. Nếu V - là độ lớn của thế ngoài , E - 2m năng lượng của hạt,  -là góc tán xạ, a  chiều dài tán xạ; k 2  E thì phép gần 2 V 1 1 đúng eikonal hợp lệ với điều kiện sau  1 và  ka  2 được thỏa V E E V E  mãn, và ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta còn gọi là biểu diễn Glaubert, người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng tử /22/ . Kết quả thu được trong mục $ 1.2 được tổng quát hóa cho bài toán tán xạ của hạt có spin ở mục $1.3. Ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được biểu diễn Glauber cho hạt có spin tán xạ trên trường ngoài, trong điều kiện giao hoán tử của các thế tại các thời điểm khác nhau thì giao hoán với nhau. Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương trình Schrodinger : é h2 2 r ù r r ê- Ñ + U (r ) úy (r ) = E y (r ) . ê 2m ú ë û Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng của các dòng hạt tới dọc theo trục 0z. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt tới chuyển r động tự do nên chuyển động của nó được mô tả bởi sóng phẳng : Ytoi (r ) = e ikz Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn r < a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi. 5
Sau đó hạt bị tán xạ khi ở khá xa tâm thì lại chuyển động tự do. Chuyển động của những hạt bị tán xạ phải được mô tả bởi các sóng phân kỳ. Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới và sóng tán xạ :  ikr   e  tán xa  r    toi  r   f ( , ) (1.1.1) r Biên độ của sóng phân kỳ f ( ,  ) gọi là biên độ tán xạ. $ 1.1 Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger: é h2 2 r ù r r ê- Ñ + V (r )úψ(r ) = Eψ(r ) (1.1.2) ê 2m ú ë û r 2 2mE r 2mV (r ) sử dụng các ký hiệu k = 2 và U (r ) = phương trình (1.1.2) có dạng : h h2    2  k 2  (r )  U (r ) (r ) (1.1.3) Nghiệm của phương trình vi phân (1.1.3) có thể được viết dưới dạng phương trình tích phân:       (r )  (r )   d 3 r ' G0 (r, r ')U (r ')(r ') (1.1.4)  trong đó hàm ( r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế thế tự do: r éÑ 2 + k 2 ùf (r ) = 0 (1.1.5) ëê ú û Nghiệm của phương trình (1.1.5) có dạng sóng phẳng hướng theo trục 0z đã chọn : r r f (r ) = e i k .z (1.1.6)   Hàm Green G0 (r, r ') là nghiệm của phương trình:     2  k 2  G0 (r, r ')  (3) (r  r ')   1   G0  r , r '     2  k 2   (r  r ') 6
    is r  r /  1 e 3 = 3  k 2  s2 d s (1.1.7)  2  Chuyển sang tọa độ cầu  s, ,   : d 3 s = s 2 ds sin θdθdφ     is r  r /   2  e 3 s2    i s r  r / cos  k 2  s2 d s  ds d  0 k 2  s 2 0 0 sin  e Ta có :       is r  r / cos     is r  r / cos e 1  eis r  r /  e-is r  r /  e sin  d     /    0 is r  r is r  r /   0          is r  r /  is r  r '  -is r  r ' e 2  se se    2 2 d 3 s      2 2 ds   2 2 ds  k s i r  r ' 0 k  s 0 k s     is r  r ' 2 se =    k 2  s 2 ds (1.1.8) i r r ' Áp dụng lý thuyết thặng dư của hàm phức :      is r  r ' is r  r '   se se ik r  r '  k 2  s 2 ds   ds   ie (1.1.9) k 2  s2 Thay kết quả (1.1.9) vào (1.1.7) ta thu được biểu thức tường minh của hàm Green: r r ik r - r ' r r 1 e G 0 (r , r ') = - r r (1.1.10) 4p r - r ' Thay (1.1.10) và (1.1.6) vào (1.1.4) ta thu được nghiệm của phương trình (1.1.3): r r ik r - r ' ur 1 e r r y (r ) = e ikz - 3 ò d r ' r r U (r ')y (r ') . (1.1.11) 4p r- r' Như đã phân tích ở trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận của hàm sóng. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy dò (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng r '  r và do đó suy ra gần đúng sau: 7
  r.r '  r '  2  r r'  r   O    (1.1.12) r  r   Từ (1.1.12), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.11) dạng: r ur r 1 1 ik ( r - r .r ' ) r r y r® ¥ (r ) = e ikz - 3 òd r 'r e r U (r ')y (r ') (1.1.13) 4p suy ra:  e ikr  r   r  = e ikz + f ( q, j ) (1.1.14) r với 1 rr r r 3 - ikr f ( q, j ) = - 4p ò d r ' e U (r ') y (r ') (1.1.15)   r được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài U(r), ở đây k  k . r 8
$1.2. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trên thế ngoài Trong phần này, ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1.3)    2  k 2  (r )  U (r ) (r ) (1.2.1) r rr ikr r  Ta đặt: Ψ (r ) = e φ(r ) và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó ta có:       2  k 2  eikr   r   U  r  eikr   r              eikr   r    k 2 eikr   r   U  r  eikr   r     ikr           ike   r      eikr   r    k 2eikr   r   U  r  eikr   r  (1.2.2)      2ik   r   U  r    r    2  r       2ik   U  r     r    2  r     Sử dụng ký hiệu r  (b, z) và chọn k dọc theo hướng z suy ra: é ¶ r ù r r ê2ik - U (b , z )úφ(b , z ) = - Ñ 2φ(b , z ) (1.2.3) êë ¶ z ú û Nghiệm của phương trình (1.2.3) có thể viết dưới dạng: +¥ r r 2 r r 2 r φ(b , z ) = η(b , z ) - ò ò dz ' Ge (b , z, b ', z ')Ñ φ(b ', z ') d b ' (1.2.4) - ¥  (b, z) thoả mãn phương trình:       2 ik  U ( b, z)  (b, z)  0 . (1.2.5)  z       2ik z    b, z  U b, z  b, z        b, z  1   z   U b, z    b, z  2ik r r Lấy tích phân hai vế với điều kiện biên là η(b ) = η(b , z ® - ¥ ) = 1 ta thu được: z 1 r r 2 ik ò U ( b ,u ) du η(b , z ) = e - ¥ (1.2.6) 9
  Và hàm Ge (b, z, b ', z ') thoả mãn phương trình:       (2)      2 ik  U ( b, z )  G e ( b, z, b ', z ')   ( b  b ')( z  z '). (1.2.7)  z  z 1 r r r 1 (2) r r r r 2ik ò U ( b ,u ) du Þ Ge (b , z , b ', z ') = δ (b - b ')δ ( z - z ')e z ' 2ik - ¥ z 1 r 1 r 1 (2) r r r r 2ik ò U ( b ,u ) du 2ik -ò¥ U ( b ,u ) du = δ (b - b ')δ ( z - z ')e z ' .e 2ik 1 (2) r r r r r r = δ (b - b ')δ ( z - z ')η(b , z )η- 1 (b , z ) (1.2.8) 2ik Thay (1.2.8) vào (1.2.4) ta thu được    1 z   2 2   /       b , z   b , z 1   dz / 1  b   , z   b  '2   b , z    (1.2.9)  2ik   z   Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:    z           b , z   b , z 1   dz / K   b , z ',  b,   (b , z ') z '    (1.2.10)           z z' /    dz K  b , z ', b ,   (b , z ')  dz '' K  b , z '' , b , ''   (b , z '')  ...   z '    z       ở đây biểu thức của K  b, z,  b ,  tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi: z       1 1   2 2  K  b , z , b ,  g ( z )   (b , z )   b  2  g ( z ) (1.2.11)  z  2ik  z  r r r r r Thay chuỗi của φ(b , z ) từ (1.2.10) vào hàm y (r ) = e i k .r j (r ) ta được: 10
     r   eikr   r  '    z '  '  ' z  '  ' z ''  ''   ikr       e  b , z 1   dz K b , z  (b , z )   dz K b , z  (b , z )  dz K b , z  (b , z '' )  ...  '             z        eikr b , z  eikr b , z  dz ' K b , z '  (b , z ' )     '   z   z      eikr b , z    dz ' K b , z '  (b , z ' )  dz '' K b , z ''  (b , z '' )  ...         Ở trên chúng ta đã thay K  b, z,  b ,   K ( b, z) cho biểu thức gọn hơn.Thay  z  r ψ (r ) vừa tìm được vào biểu thức biên độ tán xạ (1.1.15) ta được : 1  3 ' ik ' r   f  ,     d r e U  r   r '  4   ikr       z 1  4  d 3 '  ik ' r r e U  r   e  b , z  e ikr  b ,z      dz K b , z   b , z   ' ' '     z   z'       dz K  b , z  b , z   dz K  b , z  b , z   ...  eikr b , z ' ' ' '' '' ''    Cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng: f ( q, j ) = f ( 0) ( q, j ) + f (1) ( q, j ) + f (2) ( q, j ) + ... (1.2.12) ở đây: 1 +¥ r uur ur ur ur f ( 0) ( q, j ) = - ò ò d 2 b ' dz ' e i ( k - k ').r ' U (b ', z ) h(b ', z ') (1.2.13) 4p - ¥ 1 +¥ r uur ur ur ur z' ur ur f (1) ( q, j ) = - ò ò d 2 b ' dz ' e i ( k - k ').r ' U (b ', z ') h(b ', z ') ò dz '' K (b ', z ")j (b ', z ") 4p - ¥ - ¥ (1.2.14) 1 +¥ r uur ur ur ur f (2) ( q, j ) = - d ò ò 2 b ' dz ' e i ( k - k ').r ' U (b ', z ') h(b ', z ') 4p - ¥ z' ur ur z" ur ur ´ ò dz '' K (b ', z ")j (b ', z ") ò dz ''' K (b ', z ''')j (b ', z ''') (1.2.15) - ¥ - ¥ 11
Biểu thức mũ của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý ur k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q) r k = (0, 0, k ) ur r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ') rr k .r ' = kz ' r r k '.r ' = kb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') + kb ' sin( q) sin( f ) sin(f ')kz ' co s( q) r ur r i(k - k ').r ' = ikz '- ikb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') - ikb ' sin( q) sin(f ) sin(f ') - ikz ' co s( q) Ta quan tâm tới hàm f (0) (, ) trong khai triển trên. 1 +¥ r uur ur r ur ( 0) 2 i ( k - k ').r ' f ( q, f ) = - 4p ò ò d b ' dz ' e U (b ', z ') h(b ', z ') - ¥ z' ur 1 1 +¥ 2 - ikb ' sin( q) cos( j - j ')+ ikz ' .2 sin q r 2ik ò du .U (b ',u ) 2 2 = - 4p ò d b ' ò dz 'e U (b ', z ')e - ¥ - ¥ (1.2.16) ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau: 2 q æqö - ikb ' sin( q) cos( j - j ') + ikz '.2 sin » - ikb ' q cos( j - j ') + ikz '.2 çç ÷ 2 ÷ ÷ 2 ÷ çè2 ø Xét ở gần đúng bậc nhất theo  ta nhận được biểu thức sau q - ikb ' sin( q) cos( j - j ') + ikz ' .2 sin 2 » - ikb ' q cos( j - j ') (1.2.17) 2 Bây giờ ta viết lại (1.2.16) như sau: z' ur 1 1 2p +¥ r 2ik ò du .U (b ',u ) f ( 0) ( q, f ) = - 2 ò d b ' ò dj 'e - ikb ' q cos( j - j ') ò dz '.U (b ', z ')e - ¥ 4p 0 - ¥ 12
z' 1 2m  1 2 '  ikb cos    ' 2m '  ' ' 2ik  du 2 V  b ' , z'  '  4 2 ' =   d b  d e  dz 2 V b , z e     0  z' 1 k2  1 k 2 2  ikb cos    ' '   ' ' 2ik E  duV b ' , z'   4 E  d 2 b '  d ' e  '  dz V b , z e   0  z'  ik  k ik 2  ikb cos   ' '   ' ' 2 E  duV b ' , z'   2 i 2 E  d 2b '  d ' e  '  dz V b , z e   0   z'  ik  k 2  ikb' cos  '  2E    duV b ' ,u   d 2 b '  d ' e .e  2 i 0  z'   ik   k 2 ' 2 '  ikb cos    2 E  ' '    duV b ' ,u    d b  d e . e  1 2 i 0   Vậy suy ra : ur k ¥ 2p f ( 0) ( q, f ) = ò b ' db ' ò d j '.e - ikb ' q cos( j - j ') éêe i c (b ') - 1ù ú (1.2.18) 2p i 0 0 ë û ở đây z' r k r χ (b ') = - ò dzV (b ', z ) (1.2.19) 2E - ¥ Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc j và hơn nữa ta có thể bỏ j ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không được viết lại dạng: k  f (0) ()  b ' db ' J 0 ( kb ' )  ei( b ')  1 . (1.2.20) i 0 ở đây chúng ta đã kí hiệu : 1 2p ' J 0 (kb' q) = ò d j e - ikb q cos j (1.2.21) 2p 0 Và tính chất J0  t   J0  t  . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, ta đưa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng z  au và b  at , ở đây a là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng sử 13
 dụng V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.20) được viết lại dạng:  1  ika V  ( t )  f ( )  a ka  tdtJ0  tka  e E  1 (1.2.22) i 0   ở đây: 1 1   t    (1.2.23) 2 V  duV( at, au). Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau d scatt ( ) | f ( ) |2 d  | f ( ) |2 .2 sin( )d d scatt ( ) 1 1  2  2 | f ( ) |2 d   2 | f ( ) |2 .2 sin( )d a a a Để tìm tiết diện tán xạ toàn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu thức (1.2.22) vào ta nhận được:  scatt ( ) 2 2  2  f ( ). f * ( ).sin( )d a a 2 .a (ka )2  2    ika VE   t     ika VE  t '   tdt 0 0 t ' dt ' e  1  e  1   a2      sin  d J 0  tka  J 0  t ' ka  0     ika V   t     ika V  t '   2(ka ) 2  tdt  t ' dt ' e E  1  e E  1  0 0      sin  d J 0  tka  J 0  t ' ka  0 Từ đó ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng:  scatt 2    ika V   t    ika V   t '   2  2  ka   tdt  t ' dt ' e E  1 e E  1  sin  d J0  tka  J0  t ' ka  . (1.2.24) a 0 0    0 V Dễ dàng nói rằng, tỷ số là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán E V xạ  . Như vậy trong giới hạn
Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.22) và tiết diện tán xạ toàn phần (1.2.25). Ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có thoả mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố thế không quá phức tạp, định lý quang học có thể viết được dạng: 4  scatt  Im f  0  (1.2.26) k Sử dụng phương trình (1.2.22) và (1.2.26) ta có:  scatt   V  2  8 tdt sin 2  ka   t  . (1.2.27) a 0  E  So sánh phương trình (1.2.24) và phương trình (1.2.27) ta kết luận rằng dưới điều 2 V V kiện  1 và ka    1 thì giới hạn eikonal không thoả mãn các định lý quang E E học /23/. Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử. Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định lý quang học hay không? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận thấy rằng V trong phương trình (1.2.25) nếu chúng ta lấy giới hạn ka   và sử dụng tính E chất:    t  t '  xdxJ 0  tx  J 0  t ' x   (1.2.28) 0 t Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học. Như vậy thông qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều 2 V V V kiện  1 và ka    1 , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung ka  1 để E E E cho nó thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép gần đúng eikonal hợp lệ dưới những điều kiện: V 1 1  1 và  ka  2 (1.2.29) V E E   V E 15
$1.3. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ của hạt có spin Tán xạ thế năng lượng cao cho hạt có spin đã được nhiều người nghiên cứu . Khi nghiên cứu quá trình tán xạ này, thì nảy sinh câu hỏi sau đây: khi hạt có bậc tự do nội tại (ví dụ spin ) thì liệu biên độ tán xạ có dạng eikonal đơn giản hay không? Và những điều kiện nào cần thiết đặt ra cần được thỏa mãn để cho biên độ tán xạ có dạng eikonal?  1    1    H 0  i  r   E  i  r   Vi j  i  r | r  i (r ) (1.3.1)     i      jin  (r )  eikr u j  in     i out  (r )  e ikr ui  out  trong đó H 0 ( p) - Hamiltonian tự do thỏa mãn điều kiện H 0 (k )  E ; Vi j - ma trận từ N  N yếu tố, phụ thuộc vào các đạo hàm, và cũng tác dụng lên hàm sóng (các thế không định xứ). Lưu ý, phương trình (1.3.1) là trường hợp riêng của phương trình chuẩn thế . Tương tự với công thức (1.1.15), biên độ tán xạ ở đây được xác định bằng công thức: 1  1   f  k .k       d 3 r i out   r  Vi j   r | r  in  j  r  (1.3.2) 2 i j i  Để thu nhận biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, ở đây chúng ta sử dụng phương pháp của Glauber để cho phương trình Schrodinger. Giả thiết hàm sóng biểu diễn dưới dạng :       r   exp ikr   r   (1.3.3) ta có  1    1    H 0  i  r  k   E  i  r   Vi j  i  r  k | r i (r ) (1.3.4)     i   Gỉa thiết ở giới hạn xung lượng lớn các điều kiện sau đây được thỏa mãn    1  1/ i  r   các hàm nhẵn  i  r   i  r  ; ka  1 r a 16
 1   1     2/ lim H 0  k   r   i   E  .  H 0  k   r   i  r  (1.3.5) k   i   i k  1     1 3/ lim  Vi j   r  k | r  j (r )   Vi j  k | r  j (r )  O   k  ij i   ij k   Điều kiện 1/ được thực hiện cho thế nhẵn và tương tự như sự đúng đắn của quang hình học. Điều kiện 2/ để cho lớp các Hamiltonian tự do đang nghiên cứu suy ra từ điều kiện 1/ . Biểu thức gần đúng 3/ có thể gọi điều kiện chuẩn định xứ, vì trong đó ở xung lượng lớn thế năng không định xứ so với thế định xứ bằng các số hạng bậc O 1/ k  . Điều kiện 3/ không được thỏa mãn để cho phương trình chuẩn thế Kadushevski , trong trường hợp này sẽ phát triển các phương pháp tính toán khác. Thay các biểu thức gần đúng từ các điều kiện 2/ và 3/ vào công thức (1.3.4) ta thu được phương trình khi k          v  r  j  r   i  Vi j k | r  i  r  ij (1.3.6) H 0  k   Trong đó v   - tốc độ của hạt cổ điển tự do, hay nếu ta chuyển đến biến số k      mới r ,   r  r  v  ( trong đó r vuông góc với mặt phẳng vuông góc với vận  tốc v ), thì        ij    j  r  v   i  Vi j k | r  i  r  (1.3.7) Tương tự như lời giải trong lý thuyết trường lượng tử, lời giải phương trình (1.3.7) có thể viết dưới dạng T tích lũy thừa theo biến số  .          i  r  v    T1 exp i  d 1V  k | r  v   u j  in  (1.3.8) ij      ij Trong vùng tiệm cận k   với các điều kiện 1/2/3/ thì biên độ (1.3.2) có dạng iv           f  k .k     2  d 2 r exp   i k   k       r ui out   d exp i k  k  v   i   u j in      (1.3.9) 17
(ở đây thay cho biểu thức V  theo (1.3.6) bằng   )  1     Cho rằng góc tán xạ nhỏ     2   , k  k  v  kR có thể bỏ qua , cụ thể ka       exp i k  k  v   1 . Khi đó tích phân có thể thực hiện được và biên độ tán xạ có   dạng tiệm cận dưới đây: iv      f  k .k    2    d 2 r exp i k  k    r  ui out     lim   i  r  v   u j in     (1.3.10) Biểu thức (1.3.10) sẽ đưa đến biểu diễn eikonal tương tự như việc thu được biểu diễn eikonal dựa trên phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze và việc tính các bổ chính eikonal. Từ biểu thức (1.3.8) dễ dàng thấy rằng dạng eikonal thông thường cho biên độ tán xạ có thể thu được, khi mà T tích trật tự các toán tử thế ngoài tại các thời điểm khác trùng với T- tích thông thường của tích các toán tử thế ngoài. Đối với hạt có spin tán xạ lên thế ngoài thì điều kiện đủ để biên độ tán xạ có dạng eikonal thông thường nếu giao hoán tử của các thế ngoài dưới đây bằng không:     V  r  v  ,V  r  v       0 (1.3.11) 18
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH Bức tranh vật lý tương tác các hạt năng lượng cao đã được mô tả ở chương 1, về cơ bản cũng đúng cho tán xạ các hạt mà chúng được mô tả bằng các phương trình tương đối tính. Chính các phương trình tương đối tính cho phép ta mô tả một cách hoàn chỉnh quá trình tán xạ năng lượng cao cho hạt có spin. Trong chương này chúng ta tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm sóng cho hạt Dirac, mà phương trình tương đối tính của nó là phương trình Dirac cho hạt ở thế ngoài $ 2.1 Phương trình Dirac Ta xem xét tán xạ của hạt Dirac trên một thế ngoài B ( x ) tùy ý i x  m  B ( x)  ( x)  0 (2.1.1)  in ( x)  u p exp  ipx  Để sử dụng sơ đồ thu nhận biểu diễn eikonal được mô tả ở chương 1, thì biên độ tán xạ nhờ phương trình Dirac toàn phương  ( x) , mà nó liên quan đến phương trình tuyến tính Dirac bằng hệ thức sau:  ( x)  i  m   B ( x)  ( x) (  là số tùy ý ) và thỏa mãn phương trình: (i x ) 2  m 2  K  i x | x   ( x )  0 (2.1.2)  in ( x)  u p exp  ipx  K  p | x    pˆ  m   B ( x)  B ( x)  pˆ  m   B ( x)  (2.1.3) Biên độ tán xạ được biểu diễn qua nghiệm của phương trình (2.1.2) 1 F  p, q   d 4 x  out q  x  K  i  | x  p ( x) (2.1.4) 2m  Trên mặt khối lượng p 2  q 2  m 2 không phụ thuộc vào  trùng với biên độ tán xạ thông thường F  p, q    d 4 x  out q  x  B ( x) p ( x) (2.1.5) 19