Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành, trường,...Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác suất phức tạp hơn rất nhiều như đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm... Luận văn này trình bày ba định lý mà tôi thấy rất hay trong lý thuyết độ đo: Định lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ TRƯƠNG THỊ LIÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊNH HÀ NỘI - NĂM 2014
Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 3 LỜI CẢM ƠN 5 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Đại số Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 Đại số thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Tích đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Topo của độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Địa phương hóa ngặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Định lý trù mật của Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Định lý Vitali trên Rr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Matingle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần . . . . . . . . . . 18 1.9.2 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.3 Dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
1.9.4 Không gian Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9.6 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.1 Không gian L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.2 Suprema và infima trong L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.3 Dải trong L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.11 Tiên đề chọn và bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.1 Tiên đề chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.2 Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ĐỊNH LÝ MAHARAM 23 2.1 Sự phân loại độ đo đại số thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Nguyên tử tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Loại Maharam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Đại số Bool thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Phân loại độ đo đại số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Định lý Maharam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Tế bào (The cellularity) của đại sô Boolean . . . . . . . . . . 37 3 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG 44 3.1 Phép nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Mật độ dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Định lý phép nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 ĐỊNH LÝ KWAPIEN 56 4.1 Toán tử tuyến tính dương từ không gian L0 đến không gian Riesz Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Toán tử tuyến tính dương trong độ đo đại số nửa hữu hạn . . . . . 58 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2
LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành, trường,...Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác suất phức tạp hơn rất nhiều như đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm... Luận văn này trình bày ba định lý mà tôi thấy rất hay trong lý thuyết độ đo: Định lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị . Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về đại số Boolean, độ đo đại số. Phần cuối của chương tôi giới thiệu về không gian Riesz. Chương 2: Định lý Maharam. Phần đầu của chương này định nghĩa và mô tả ’sự thuần nhất’ của độ đo xác suất. Phần sau trình bày được định lý quan trọng Maharam trên sự phân loại của độ đo đại số. Chương 3: Định lý phép nâng Chương này trình bày được phép nâng và mật độ dưới, không gian địa phương hóa ngặt có mật độ dưới. Xây dựng phép nâng từ mật độ. Phần cuối của chương mô tả không gian địa phương hóa ngặt đầy đủ sẽ có phép nâng. 3
Chương 4: Định lý Kwapien Chương này trình bày một số vấn đề tương đối cơ bản liên quan tới toán tử tuyến tính dương từ không gian L0 đến không gian Riesz Ascimet. Sau đó chuyển sang một phân tích rất quan trọng của Kwapien về toán tuyến tính dương từ không gian L0 đến không gian L0 của độ đo đại số nửa hữu hạn. 4
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình chỉ bảo của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà Nội, Tháng 8 năm 2014. 5
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để tìm hiểu phần chính của luận văn: Định lý Maharam, định lý phép nâng và định lý Kwapien, chúng ta cần một lượng kiến thức cơ bản được trình bày dưới đây. Chương này không đi sâu nghiên cứu chi tiết mà chỉ cung cấp kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau nên phần kiến thức được trình bày có lẽ hơi rời rạc. 1.1 Đại số Bool Định nghĩa 1.1.1. +) Vành Bool là vành (A, +, .) trên đó a2 = a, ∀a ∈ A . +) Đại số Bool là vành Bool A với đồng nhất nhân 1 = 1A . Trong trường hợp này ta chấp nhận 1 = 0. Bổ đề 1.1.2. Cho A là vành Bool, I là ideal của A và a ∈ A\I thì có một đồng cấu vành φ : A → Z2 sao cho φa = 1 và φd = 0, ∀d ∈ I . 1.1.1 Đồng cấu +) Đại số con: Cho A là đại số Bool. Đại số con của A có nghĩa là vành con của A có chứa đồng nhất nhân 1 = 1A . 6
Mệnh đề 1.1.3. Ideal trong đại số Bool. Nếu A là đại số Bool, tập I ⊆ A là ideal của A khi và chỉ khi 0 ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I bất kỳ và a ∈ I với mọi b ∈ I, a ⊆ b. +) Đồng cấu Bool: Đồng cấu Bool có nghĩa là hàm π : A → B là đồng cấu vành và π (1A ) = 1B . Mệnh đề 1.1.4. Cho A, B, E là đại số Bool a) Nếu π : A → B là đồng cấu Bool thì π (A) là đại số con của B. b) Nếu π : A → B và θ : B → E là các đồng cấu Bool thì θπ : A → E là đồng cấu Bool. c) Nếu π : A → B là đồng cấu Bool và song ánh thì π −1 : B → A là đồng cấu Bool. Mệnh đề 1.1.5. Cho A, B là đại số Bool và hàm π : A → B. Khi đó ta có các điều sau tương đương: i. π là đồng cấu Bool. ii. π (a ∩ b) = πa ∩ πb và π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iii. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iv. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và πa ∩ πb = 0B , a, b ∈ A, a ∩ b = 0A , π (1A ) = 1B Bổ đề 1.1.6. Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A. Cho c là phần tử bất kỳ của A thì A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } là đại số con của A. Khi đó A1 gọi là đại số con của A sinh bởi A0 ∪ {c}. Bổ đề 1.1.7. Cho A, B là đại số Bool và A0 là đại số con của A và π : A0 → B là đồng cấu Bool và c ∈ A. Nếu v ∈ B sao cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 và a ⊆ c ⊆ b thì có duy nhất một đồng cấu Bool π1 từ A1 của A sinh bởi A0 ∪ {c} sao cho π1 thác triển của π và π1 c = v . 7
Chúng ta sẽ có một số khái niệm quan trọng. Định nghĩa 1.1.8. : Cho P là tập được sắp riêng phần và C là tập con của P. a. C là có hướng đi lên (upwards-directed) nếu với p, p0 ∈ C bất kỳ có q ∈ C sao cho p ≤ q và p0 ≤ q . Tức là nếu các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn của C đều có cận trên trong C. Tương tự, C là có hướng đi xuống (downwards-directed) nếu p, p0 ∈ C bất kỳ có q ∈ C sao cho p ≤ q và q ≤ p0 . Tức là các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn trong C đều có cận dưới trong C. b. C là đóng có thứ tự nếu sup A ∈ C với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi lên của C sao cho supA được định nghĩa trên P và inf A ∈ C với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi xuống của C sao cho infA được xác định trên P. c. C là dãy đóng có thứ tự nếu supn∈N pn ∈ C với mỗi (pn )n∈N là dãy không giảm trên C sao cho supn∈N pn được xác định trên P, và infn∈N pn ∈ C với mỗi (pn )n∈N là dãy không tăng trên C sao cho infn∈N pn được xác định trên P. d. Bảo toàn thứ tự: Cho P và Q là 2 tập được sắp riêng phần và φ : P → Q là hàm bảo toàn thứ tự nếu φ (p) ≤ φ (q) trên Q với p ≤ q trên P. e. Ta nói rằng φ là liên tục có thứ tự nếu i. φ (sup A) = sup φ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi lên của P và p∈A supA được xác định trên P. ii. φ (inf A) = inf φ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi xuống của P p∈A và infA được xác định trên P. f. φ là dãy liên tục có thứ tự hoặc σ liên tục có thứ tự nếu: i. φ (p) = sup φ (pn ) với (pn )n∈N là dãy không giảm trên P và p = supn∈N pn trên P. n∈N 8
ii. φ (p) = inf φ (pn ) với (pn )n∈N là dãy không tăng trên P và p=infn∈N pn trên P. n∈N g. Tập D ⊆ A với A đại số Bool là trù mật có thứ tự nếu ∀a ∈ A, a 6= 0 thì có d 6= 0, d ∈ D sao cho d ⊆ a . h. Tập Cofinal i. C là cofinal với P nếu mọi p ∈ P có q ∈ C sao cho p ≤ q . ii. Cofinality của P (ký hiệu cf(P)) là lực lượng nhỏ nhất của tập con cofinal bất kỳ của P. Mệnh đề 1.1.9. Cho A là đại số Bool. a. Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho supA được xác định trên A thì sup {e ∩ a : a ∈ A} được xác định và bằng e ∩ sup A. b. Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho infA được xác định trên A thì inf {e ∪ a : a ∈ A} được xác định và bằng e ∩ infA. c. Giả sử rằng A, B ∈ A là 2 tập không rỗng và supA, supB được xác định trên A thì sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng sup A ∩ sup B . d. Giả sử rằng A, B ∈ A là 2 tập không rỗng và infA, infB được xác định trên A thì inf {a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng infA ∪ infB . Bổ đề 1.1.10. Nếu A là đại số Bool và D ⊆ A là trù mật có thứ tự thì với a ∈ A bất kỳ có tập rời nhau C ⊆ D sao cho sup C = a. Nói riêng: nếu a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} thì có phân hoạch đơn vị C ⊆ D. 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ Định nghĩa 1.1.11. : Cho P là tập được sắp riêng phần. a. P là Dedekind đầy đủ hoặc tính đầy đủ có thứ tự hoặc đầy đủ một cách có điều kiện nếu mọi tập con không rỗng của P có cận trên thì có cận trên nhỏ nhất. 9
b. P là Dedekind σ -đầy đủ hoặc σ -đóng có thứ tự nếu: i. Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận trên thì có cận trên nhỏ nhất. ii. Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận dưới thì có cận dưới lớn nhất. Bổ đề 1.1.12. Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A. Lấy c ∈ A và tập A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } là đại số con của sinh bởi A0 ∪ {c}. a. Giả sử rằng A0 là Dedekind đầy đủ. Nếu A0 là đóng có thứ tự trong A thì A1 là đóng có thứ tự. b. Giả sử rằng A0 là Dedekind σ -đầy đủ. Nếu A0 là σ -đại số con của A thì A1 là σ -đại số con của A. 1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) Định nghĩa 1.1.13. a. Cho A là đại số Bool, E là đại số con của A. Cho a ∈ A và viết upr (a, E) = inf {c : c ∈ E, a ⊆ c} nếu inf được xác định trên E. b. Nếu A ⊆ A là tập sao cho upr (a, E) được xác định với mọi a ∈ A, a0 = sup A được xác định trên A và c0 = supa∈A upr (a, E) được xác định trên E thì c0 = upr (a0 , E). c. Nếu A ⊆ A: upr (a, E) được xác định thì upr (a ∩ c, E) = c ∩ upr (a, E) , ∀c ∈ E. Định nghĩa 1.1.14. Cho (A, µ) , (B, ν) là độ đo đại số. Đồng cấu Bool π : A → B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A. 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được Định nghĩa 1.1.15. a. Đại số Bool A là chuỗi điều kiện đếm được hay c c c nếu mọi tập con rời nhau của A là đếm được. 10
b. Không gian topo X là c c c hoặc thỏa mãn chuỗi điều kiện đếm được hoặc tính chất Souslin nếu mọi tập hợp rời nhau của tập mở trong X là đếm được. Hệ quả 1.1.16. Cho A là c c c đại số Bool. a. Nếu A là Dedekind σ -đầy đủ thì A là Dedekind đầy đủ. b. Nếu A ⊆ A là dãy đóng có thứ tự thì A đóng có thứ tự. c. Nếu Q là tập đóng hoàn toàn và φ : A → Q là hàm bảo toàn thứ tự của dãy liên tục có thứ tự thì φ là liên tục có thứ tự. 1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool Định nghĩa 1.1.17. Cho A là độ đo đại số. Hàm ν : A → R là cộng tính hữu hạn hoặc chỉ cộng tính nếu ν (a ∪ b) = νa + νb với mỗi a, b ∈ A, a ∩ b = 0. Thỉnh thoảng ta gọi hàm cộng tính không âm là độ đo cộng tính hữu hạn. 1.1.6 Đại số thương Định nghĩa 1.1.18. Vành thương Cho R là một vành và I là ideal trong R. Một lớp của I là một tập có dạng a + I = {a + x : x ∈ I} , a ∈ R. R/I là tập các lớp I của R. Viết a• thay cho a+I. Mệnh đề 1.1.19. Cho A là đại số Bool và I là ideal của A. Thì vành thương A/I là đại số Bool và ánh xạ chính tắc a 7→ a• : A → A/I là đồng cấu Bool và (a∆b)• = a• ∆b• , (a ∪ b)• = a• ∪ b• , (a ∩ b)• = a• ∩ b• , (a\b)• = a• \b• với mọi a, b ∈ A. 11
1.2 Độ đo đại số Định nghĩa 1.2.1. Độ đo đại số là một cặp (A, µ) trong đó A là đại số Bool Dedekind σ -đầy đủ và µ : A → [0, ∞] là hàm sao cho µ0 = 0 . ∞ P Với mỗi (an )n∈N là dãy rời nhau trong A, µ (supn∈N an ) = µan n=0 µa > 0 với mỗi a ∈ A, a 6= 0. Mệnh đề 1.2.2. Cho (A, µ) là độ đo đại số và A ⊆ A là tập không rỗng có hướng đi lên. Nếu supa∈A µa < ∞ thì supA được xác định trên A và µ (sup A) = supa∈A µa. P Mệnh đề 1.2.3. Cho (X, , µ) là không gian độ đo, N là ideal của tập µ-tập bỏ P P qua được. Cho µ là đại số Bool của thương \ ∩N thì chúng ta có phiếm hàm µ : A → [0, ∞] được xác định bởi µE • = µE, ∀E ∈ P và (A, µ) là độ đo đại số thì ánh xạ chính tắc E 7→ E • : P → A là dãy liên tục có thứ tự. 1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số Định nghĩa 1.2.4. Cho (A, µ) là độ đo đại số. a. Ta nói rằng (A, µ) là độ đo xác suất nếu µ1 = 1. b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu µ1 < ∞. c. (A, µ) là σ -hữu hạn nếu có dãy (an )n∈N trong A sao cho µan < ∞, ∀n ∈ N và supn∈N an = 1. d. (A, µ) là nửa hữu hạn nếu với mỗi a ∈ A, µa = ∞ có b 6= 0, b ⊆ a sao cho µb < ∞. Mệnh đề 1.2.5. : Cho (A, µ) là độ đo đại số nửa hữu hạn thì các điều sau tương đương với nhau i. (A, µ) là σ -hữu hạn 12
ii. A là c c c iii. Có A = {0} và có phiếm hàm ν : A → [0, 1] sao cho (A, ν) là độ đo xác suất. 1.2.2 Tích đơn P P a. Nếu Xi , i , µi i∈I là họ của không gian độ đo với tổng trực tiếp (X, , µ) P thì độ đo đại số (A, µ) của (X, , µ) có thể đồng nhất với tích đơn của độ đo đại P số (Ai , µi ) của Xi , i , µi b. Cho (A, µ) là độ đo đại số địa phương. Nếu (ei )i∈I là phân hoạch đơn vị của A Q thì (A, µ) đẳng cấu với tích i∈I (Aci , µ Aci ) của ideal chính tương ứng. 1.2.3 Topo của độ đo đại số Mệnh đề 1.2.6. Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con của A thì bao đóng B của B trong A là đại số con hay nói một cách chính xác B đóng có thứ tự của A sinh bởi B. Bổ đề 1.2.7. Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con đóng của A thì a ∈ A bất kỳ đại số con E của A sinh bởi B ∪ {a} là đóng. 1.2.4 Đồng cấu Định nghĩa 1.2.8. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số. Đồng cấu Bool π : A → B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A. Mệnh đề 1.2.9. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số và đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo. a. π là đơn ánh. 13
b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu và chỉ nếu (B, ν) cũng hữu hạn hoàn toàn và trong trường hợp này π là liên tục có thứ tự và π [A] là đại số con đóng của B. Mệnh đề 1.2.10. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn, đại số con A0 topo trù mật của A và π : A0 → B là đồng cấu Bool sao cho ν (πa) = µa, ∀a ∈ A0 thì π là mở rộng duy nhất tới đồng cấu bảo toàn độ đo từ A tới B. Định nghĩa 1.2.11. Cho A là đại số Bool. Hàm ν : A → R là cộng tính đếm được ∞ ∞ P P hoặc σ - cộng tính nếu νan được định nghĩa và νan = ν sup an với (an )n∈N 0 0 n∈N rời nhau và sup an được xác định trên A. n∈N Định nghĩa 1.2.12. Cho A là đại số Bool. Hàm ν : A → R là cộng tính đầy đủ hoặc τ -cộng tính nếu ν là cộng tính hữu hạn và inf |νa| = 0 với mỗi A là tập a∈A không rỗng có hướng đi lên trên A với inf =0. 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số Định nghĩa 1.2.13. Cho (A, µ) là độ đo đại số và ν : A → R là phiếm hàm cộng tính hữu hạn thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu cho ∀ε > 0 có δ > 0 sao cho |νa| ≤ ε với mỗi µa ≤ δ . 1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo 1.3.1 Địa phương hóa ngặt P P Định nghĩa 1.3.1. Cho (X, , µ) là không gian độ đo. Thì µ hoặc (X, , µ) là P P địa phương hóa (localizable) nếu µ là nửa hữu hạn và ∀ε ∈ có H ∈ sao cho i, E × H bỏ qua được ∀E ∈ ε. 14
P ii, Nếu G ∈ và E\G là bỏ qua được ∀E ∈ ε thì H\G là bỏ qua được. P Ta có thể gọi H là tập hợp tất cả các cận trên đúng thực sự của E trong . P P Định nghĩa 1.3.2. Cho (X, , µ) là không gian độ đo thì µ hoặc (X, , µ) là địa phương hóa ngặt (strictly localizable) hoặc khai triển được nếu có một phân hoạch hXi ii∈I của X trên tập đo được của độ đo hữu hạn sao cho P P P P = {E : E ⊆ X, E ∩ Xi ∈ , ∀i ∈ I} và µE = µ (E ∩ Xi ), ∀E ∈ . i∈I Ta gọi họ hXi ii∈I là sự khai triển của X. 1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử P P Định nghĩa 1.3.3. Cho (X, , µ) là không gian độ đo. Tập E ∈ là nguyên tử P đối với µ nếu µE > 0 và ∀F ∈ , F ⊆ E thì một trong hai tập F, E\F là bỏ qua được. P P Định nghĩa 1.3.4. Cho (X, , µ) là không gian độ đo. Thì µ hoặc (X, , µ) là phi nguyên tử hoặc tán xạ nếu không có nguyên tử nào của µ. 1.4 Định lý trù mật của Lebesgue Định lí 1.4.1. Cho I là một khoảng trên R và cho f là hàm giá trị thực mà nhận giá trị nguyên trên I thì x+h Rx x+h 1 1 1 R R f (x) = lim h f = lim h f= lim 2h f, ∀x ∈ I. h↓0 x h↓0 x−h h↓0 x−h Hệ quả 1.4.2. Cho E ⊆ R là tập đo được thì 1 lim 2h µ (E ∩ [x − h, x + h]) = 1 h↓0 1 với hầu hết x ∈ E và lim 2h µ (E ∩ [x − h, x + h]) = 0 với hầu hết x ∈ R\E . h↓0 15
1.5 Định lý Radon-Nikodym 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym P P Định lí 1.5.1. Cho (X, , µ) là không gian độ đo và hàm ν : → R. Thì các điều sau tương đương: R P i) Có hàm f µ-khả tích sao cho νE = f, ∀E ∈ . E ii) ν là cộng tính hữu hạn và liên tục thực sự đối với µ. P P Mệnh đề 1.5.2. Cho (X, , µ) là không gian độ đo và ν : → R là phiếm hàm cộng tính hữu hạn. a. Nếu ν là cộng tính đếm được thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu và chỉ nếu νE = 0 mỗi khi µE = 0. b. ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi: i. ν là cộng tính đếm được. ii. ν là liên tục tuyệt đối. P P iii. Với mỗi E ∈ và νE 6= 0 có F ∈ sao cho µF < ∞ và µ (E ∩ F ) 6= 0. P c. Nếu (X, , µ) là σ -hữu hạn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi ν là cộng tính đếm được và liên tục tuyệt đối đối với µ. P d. Nếu (X, , µ) là hữu hạn hoàn toàn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi ν là liên tục tuyệt đối đối với µ. 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện P Định nghĩa 1.5.3. Cho (X, , µ) là không gian xác suất hoặc không gian độ đo P với µX = 1. Cho T ⊆ là σ - đại số con. Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của f R R trên T là hàm g µ T -khả tích sao cho gd (µ T ) = gdµ, ∀F ∈ T . F g 16
Ta có g là hàm T-đo được xác định khắp nơi trong X. 1.6 Tích vô hạn P Định nghĩa 1.6.1. Cho Xi , i , µi i∈I là họ của không gian xác suất. Q Tập X = Xi họ của hàm x với tập xác định I sao cho x (i) ∈ Xi , ∀i ∈ I . Trong i∈I Q trường hợp này ta nói rằng mặt trụ đo được là tập con của X biểu diễn bởi C = Ci i∈I P với Ci ∈ i , ∀i ∈ I và {i : Ci 6= Xi } hữu hạn. 1.7 Định lý Vitali trên Rr Định lí 1.7.1. Cho A ⊆ Rr là tập bất kỳ, và I là họ hình tròn đóng không tầm thường trên Rr sao cho mọi điểm của A chứa phần tử nhỏ bất kỳ của I thì có một S tập đếm được rời nhau I0 ⊆ I sao cho µ (A\ I) = 0. ∗ Hệ quả 1.7.2. a. Nếu D ⊆ Rr là tập bất kỳ thì lim µ (D∩B(x,δ)) µB(x,δ) = 1 hầu hết x ∈ D. δ↓0 b. Nếu E ⊆ Rr là tập đo được thì lim µ(E∩B(x,δ)) µB(x,δ) = χE (x). δ↓0 c. Nếu D ⊆ Rr và f : D → R là hàm bất kỳ thì hầu hết x ∈ D: µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≤ ε} ∩ B (x, δ)) lim = 1, ∀ε > 0 δ↓0 µB (x, δ) d. Nếu D ⊆ Rr và f : D → R là hàm đo được thì với hầu hết x ∈ D: µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≥ ε} ∩ B (x, δ)) lim = 0, ∀ε > 0 δ↓0 µB (x, δ) 17
1.8 Matingle Định lí 1.8.1. Martingale Levy P P Cho (X, , µ) là không gian xác suất và n n∈N là dãy không tăng của σ -đại số P P S P con của . Viết ∞ cho σ -đại số con sinh bởi n . Cho X là biến ngẫu nhiên n∈N giá trị thực bất kỳ trên Ω với kỳ vọng hữu hạn và với mỗi n ∈ N cho Xn là kỳ vọng P có điều kiện của X trên n . Thì X∞ (ω) = lim Xn (ω) được xác định với hầu hết lim E (|X∞ − Xn |) = 0 và X∞ n→∞ n→∞ P là kỳ vọng có điều kiện của X trên ∞ . 1.9 Không gian Riesz 1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần Định nghĩa 1.9.1. Không gian tuyến tính được sắp từng phần là không gian tuyến tính (U, +, .) trên R có thứ tự với ≤ sao cho: u≤v ⇒u+ω ≤v+ω u ≥ 0, v ≥ 0 ⇒ αu ≥ 0 với u, v, ω ∈ U, α ∈ R Định nghĩa 1.9.2. Toán tử tuyến tính dương Cho U và V là hai không gian tuyến tính được sắp từng phần. Viết L (U ; V ) cho tập các toán tử tuyến tính từ U đến V. Nếu T ∈ L (U ; V ) và T ≥ 0 thì T được gọi là toán tử tuyến tính dương. 18
Định nghĩa 1.9.3. Đồng cấu Riesz Cho U, V là không gian tuyến tính được sắp từng phần. Một đồng cấu Riesz từ U đến V là một toán tử tuyến tính T : U → V sao cho với mỗi A ⊆ U là tập hữu hạn không rỗng và infA=0 trong U thì infT [A] = 0 trong V. 1.9.2 Không gian Riesz Định nghĩa 1.9.4. Một dàn là một tập (P, ≤) được sắp thứ tự từng phần sao cho p, q ∈ P bất kỳ: p ∨ q = sup {p, q} và p ∧ q = inf {p, q} được xác định trên P. Định nghĩa 1.9.5. Không gian Riesz hoặc dàn vectơ là không gian tuyến tính được sắp từng phần mà nó là một dàn. 1.9.3 Dải Định nghĩa 1.9.6. Cho U là không gian Riesz. Một dải hoặc không gian con chuẩn tắc của U là không gian con tuyến tính được sắp từng phần. Định nghĩa 1.9.7. Dải phép chiếu Cho U là không gian con Riesz. Khi đó một dải phép chiếu trên U là một tập V ⊆ U sao cho V + V ⊥ = U . 1.9.4 Không gian Acsimet Định nghĩa 1.9.8. Cho không gian tuyến tính được sắp từng phần U thỏa mãn các điều tương đương sau: i. Nếu u, v ∈ U sao cho nu ≤ v, ∀n ∈ N thì u ≤ 0. ii. Nếu u ≥ 0 trong U thì infδ>0 δu = 0 thì U được gọi là không gian Acsimet. 19