Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dao động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi có tính đến tính phi tuyến bậc ba

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên; phân tích dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi; tính toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dao động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi có tính đến tính phi tuyến bậc ba

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Đinh Công Đạt DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Đinh Công Đạt DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CÓ TÍNH ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn. Mã số: 604421 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn Dũng Hà Nội – Năm 2014
Lời cảm ơn Lời đầu tiên cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người đã hết lòng tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này. Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin học và đặc biệt là các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm luận văn đã có những ý kiến đóng góp quý báu giúp em mở rộng kiến thức, rút kinh nghiệm và làm luận văn của em được hoàn thiện hơn. Nhân đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tuy đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót còn tồn tại, kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các nhà khoa học và các bạn. Tác giả luận văn Đinh Công Đạt
Phụ lục Mở đầu.……………...…………………………………………………………………1 Chương 1. Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải b ng vật liệu có cơ t nh biến thiên (FGM). …………………………………………………………………………………3 1.1. Vật liệu composite có cơ t nh biến thiên (FGM).…...……………………..3 1.2. Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải………………..…………………………4 1.3. Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi…...……..10 Chương 2. Phân t ch dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi……..………15 2.1. Điều kiện biên và phương pháp giải………………………………………15 2.2. Phân t ch dao động của vỏ thoải…………………………………………..23 2.2.1. Dao động tự do tuyến t nh….. …………………………………..24 2.2.2. Quan hệ giữa tần số và biên độ dao động tự do phi tuyến ..…….25 2.2.3. Dao động cưỡng bức phi tuyến.. ………………………………..26 Chương 3. Tính toán số………………………………………………………………28 3.1. Kết quả so sánh……………………………………………………………28 3.2. Tính toán số cho vỏ thoải FGM ………………..…………………………31 3.2.1. Tần số dao động riêng ….……………………………………….31 3.2.2. Khảo sát dao động phi tuyến…………………………………….32 3.2.2.1. Panel cầu…………. ….……………………………….33 3.2.2.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….34 3.2.3. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k. …………………………………….35 3.2.3.1. Panel cầu…………. ….……………………………….35 3.2.3.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….36 3.2.4. Ảnh hưởng của k ch thước hình học..….……………………….37 3.2.4.1. Panel cầu…………. ….……………………………….37 3.2.4.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….38 3.2.5. Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài..….….……………………….39 3.2.5.1. Panel cầu…………. ….……………………………….39 3.2.5.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….40
3.2.6. Ảnh hưởng của tần số lực ngoài ....….….……………………….41 3.2.6.1. Panel cầu…………. ….……………………………….41 3.2.6.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….42 3.2.7. Ảnh hưởng của hệ số nền.. ……....….….……………………….43 3.2.7.1. Panel cầu…………. ….……………………………….43 3.2.7.2. Panel trụ.…………. ….……………………………….46 Kết luận……...…………………………………………………………………….….51 Tài liệu tham khảo ...……………………………………………...…………………52 Phụ lục ….…………………….………………………………………………………53
Mở đầu Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Sự tương tác tĩnh và động của vỏ với môi trường đàn hồi là một vấn đề quan trọng hiện nay bởi vì vỏ trụ và vỏ nón được sử dụng rộng rãi trong các kết cấu kỹ thuật hiện đại như: đường hầm, bể chứa, bình chịu áp, ống nước ngầm, đường ống dẫn, và ống lót, thiết bị xử lí và trong một số ứng dụng khác. Một số trường hợp các vỏ này được đặt vào trong môi trường nền là đất, các đường ống, động cơ và tên lửa được chứa đầy nhiên liệu chất rắn và chất lỏng. Có những cách tiếp cận khác nhau để phân tích sự tương tác của kết cấu và môi trường xung quanh. Hầu hết nền đất được biểu diễn thích hợp nhất b ng mô hình toán học của Pasternak, trong khi đó đất cát và chất lỏng lại được biểu diễn bởi mô hình của Winkler. Năm 1884 một nhóm các nhà nghiên cứu vật liệu của Nhật Bản đã công bố một loại vật liệu mới gọi là vật liệu cơ t nh biến thiên FGM (Functionally Graded Material). Vật liệu loại này được hình thành từ việc pha trộn hai loại vật liệu khác nhau mà vẫn giữ được những ưu điểm của các vật liệu thành phần, chính vì vậy FGM có rất nhiều t nh năn ưu việt như: Độ cứng cao, hệ số dãn nở nhiệt, truyền nhiệt thấp… Phân t ch động lực kết cấu vỏ làm b ng vật liệu FGM là một vấn đề mở, và còn khá ít các nghiên cứu được công bố. Gần đây các tác giả Đào Huy B ch, Vũ Đỗ Long [2] đã nghiên cứu động lực của vỏ thoài không hoàn hảo FGM với bốn cạnh tựa bản lề và đưa ra các phương trình cơ bản khi t nh đến yếu tố phi tuyến hình học, đồng thời nhận được đáp ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu chịu k ch động ngoài. Các tác giả Đào Văn Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã nghiên cứu khảo sát động lực phi tuyến cho vỏ thoải không hoàn hảo FGM với hai cạnh ngàm và hai cạnh tựa bản lề. Nhóm tác giả Librescu.L, Lin W [4], đã nghiên cứu sự vồng và dao động của mặt cắt biến dạng của tấm thẳng và cong trên nền đàn hồi phi tuyến. Massalas C và Kafousias N [5] đưa ra dao động phi tuyến của vỏ trụ thoải trên nền đàn hồi phi tuyến. Chiên RD và chen CS [6] đã nghiên cứu dao động phi tuyến của tấm phân lớp trên nền đàn hồi phi tuyến. Nhóm tác giả Đào Huy B ch, Đào Văn Dũng, Vũ Hoài Nam đã phân t ch động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong gân gia cường lệch tâm. Nguyễn Đình Đức và Trần Quốc Quân [8] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của tấm FGM không hoàn hảo hai độ cong với gân gia
cường lệch tâm trên nền đàn hồi có kể đến yếu tố nhiệt.Nghiên cứu động lực của vỏ thoải FGM không hoàn hảo trên nền đàn hồi tuyến tính gần đây được đưa ra bởi các tác giả Đỗ Quang Chấn [9]. Trong luận văn này tác giả trình bày nghiên cứu về dao động của vỏ cầu, vỏ trụ thoải FGM đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3. Mô hình hóa các bài toán, viết các phương trình cân b ng trong trường hợp này, sau đó b ng việc sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin đưa ra phương trình dao động phi tuyến của vỏ. Khảo sát số, tính tần số dao động riêng của kết cấu và ảnh hưởng của các hệ số nền. Khảo sát dao động và đáp ứng thời gian của kết cấu dưới sự tác động của k ch thước hình học, hệ số nền, biên độ và tần số của lực k ch động ngoài b ng Maple và so sánh với các kết quả đã biết. Luận văn bao gồm ba chương ch nh, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải b ng vật liệu có cơ t nh biến thiên. Chương 2. Phân t ch dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi. Chương 3. T nh toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ.
Chương 1 Hệ phương nh ơ ản ủ ỏ hoải ng ậ iệ ơ nh iến thiên 1.1 Vật liệ omposi e ơ tính biến thiên (FGM) Vật liệu compsite là vật liệu tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu khác nhau tạo nên vật liệu mới có t nh năng iu việt hơn hẳn các vật liệu ban đầu khi làm việc riêng r như khối lượng nh , độ bền cao, khả năng chồng nhiệt, chống ăn m n hóa hoặc tốt,… Gần đây, một số vật liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nh m đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm việc khắc nghiệt như các vật liệu gia cường sợi, vật liệu cơ t nh biến thiên,… Vật liệu có cơ t nh biến thiên FGM được tạo thành từ hai vật liệu thành phần là gốm Ceramic và kim loại Metal trong đó t lệ thể t ch của các thành phần biến đổi trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia của kết cấu. Vật liệu FGM khắc khục được những nhược điểm của các vật liệu truyền thống và composite thông thường về khả năng chống chịu các tác dụng cơ, l , hóa. Do có modul đàn hồi E cao và các hệ số truyền nhiệt K , hệ số dãn nở nhiệt  thấp của gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt tốt. Hơn nữa thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm d o hơn và khắc phục được sự rạn nứt do t nh gi n của vật liệu gốm khi chịu nhiệt độ cao. em bảng 1.1 Các t nh chất Vật liệu E ( N / m2 ) ν α K ρ Kim loại: Nhôm (Al) 70.0 109 0.3 23 106 20.4 2707 Ti-6Al-4V 105.7 109 0.298 6.9 106 18.1 4429 Gốm : Zirconia 151109 0.3 10 106 2.09 3000 Nhôm oxit 320 109 0.26 7.2 106 10.4 3750 Cơ t nh của vật liệu biến thiên theo chiều dày của vỏ theo quy luật phân bổ lũy thừa phụ thuộc vào thể t ch thành phần của các vật liệu tham gia tạo thành vật liệu vỏ.
 2z  h  k E ( z )  EmVm  EcVc  Em   Ec  Em     2h   2z  h  k  ( z )   mVm  cVc   m   c   m    (1.1)  2h  v( z )  v  const Trong đó vm và vc lần lượt là phân tố thể t ch của gốm và kim loại được chọn; k là chỉ số đặc trưng t phần thể t ch, k là đại lượng không âm; h là độ dày của vỏ. 1.2 C hệ h ơ ản ủ ỏ hoải t vỏ thoải có độ dày h và trên mặt phắng chiếu n m ngang có dạng hình chữ nhật với các cạnh tương ứng là a và b chịu tải nén phân bố đều qo trên nền đàn hồi. Bài toán đặt ra là cần xác định tần số dao động riêng tự do tuyến tính, xây dựng mối quan hệ tần số - biên độ và khảo sát đáp ứng của kết cấu khi chịu lực cưỡng bức. Mặt trung bình của vỏ trong trường hợp chung phải được xác định trong hệ tọa độ cong. Tuy nhiên, đối với vỏ thoải có độ nâng mặt giữa của vỏ nhỏ hơn nhiều so với k ch thước a, b nên người ta có thể d ng hệ tọa độ Đề các để thay cho hệ tọa độ cong. Như vậy, trong trường hợp này s có: Quan hệ phi tuyến chuyển vị - biến dạng theo l thuyết độ v ng lớn và biến dạng nhỏ của Von Karman là:
2 u 1  w   0  k1w    , x1 2  x1  1 2w 1  2 , x1 2 v 1  v   0  k2 w    , x2 2  x2  2 2w 2  , (1.2) x22 u v w w  120    , x2 x1 x1 x2 2w 12  . x1x2 Trong đó: 10 ,  20 , 120 là các thành phần biến dạng ở mặt trung bình của vỏ. Đại lượng u, v, w là chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng. Phương trình tương th ch biến dạng trong trường hợp này có dạng: 2  210  2 20  2 120  2w  2w 2w 2w 2w  2     2  k1 2  k2 2 (1.3) x22 x1 x1x2  x1x2  x1 x22 x2 x1 Với , là các độ cong của vỏ. Biến dạng tại các điểm cách mặt trung bình một khoảng cách z là: 1  10  z 1 ,  2   20  z  2 , (1.4)  12   120  2 z 12 . Liên hệ ứng suất – biến dạng được cho bởi: 1 1   1  v 2  , E 1  2   2  v 1  , E 1  12   12 G
E  z Trong đó G  2 1  v  Biểu diễn ngược: E z 1  1  v 2  , 1  v  2 E  z 2   2  v1  , (1.5) 1  v  2 E  z  12   12 . 2 1  v  Thay 1.4 vào 1.5 ta được: E  z 1   10  v 20   z  1  v 2   , 1  v   2  E  z 2    20  v10   z   2  v 1   , (1.6) 1  v   2  E  z  12  2 1  v    120  2 z 12  . Các thành phần lực dãn và mômen được biểu diễn dưới dạng: h h h N1   2h  1dz; N 2   2h  2 dz; N12   2h  12 dz;    2 2 2 h h h (1.7) M 1    1.zdz; M 2    2 .zdz; M 12    .zdz; 2 h 2 h 2 h 12    2 2 2 Thay các liên hệ 1.1 , 1.2 và 1.4 , 1.5 vào 1.7 , t ch phân theo z ta được: Lực dãn: h h E  z  1  v    v 20   z  1  v  2  dz 2 2 N1    z dz  0 2 1 h h   2 2 h h   2 2 1 1       v  E  z .zdz 1  v2  1 2 h   0  v 0 E z dz  1  v2  1 2 h   2 2 Tương tự ta cũng có:
h h E  z   dz   1  v    v10   z   2  v 1  dz 2 2 N2  z 2 0 2 h h   2 2 h h 2  2  0  v10   E  z dz  2 2 1 1    v  E  z .zdz 1  v2  2 1 h  1  v  h   2 2 h h E  z  2 1  v    2 z 12 dz 2 2 N12    12 dz  0 12 h h   2 2 h h 2 2 1 1   120  E  z dz  12  E  z .zdz 2 1  v  h 1 v h   2 2 h h h 2 2 2 Đặt: E1   E  z dz, E   E  z .zdz, E   E  z .z dz 2 2 3 h h h    2 2 2 Khi đó: 2  1  0  v 20   E1 E2 N1     v  , 1  v  1  v2  1 2 2  2  0  v10   E1 E2 N2     v  , (1.8) 1  v  1  v2  2 1 E1 E N12   120  2 12 . 2 1  v  1 v Hoặc ngược lại: 1 E 10   N1  vN2   2 1 , E1 E1 1 E  20   N2  vN1   2  2 , (1.9) E1 E1 2 1  v  2E  120  N12  2 12. E1 E1
Mômen: h h E  z  1  v    v 20   z  1  v 2   .zdz 2 2 M1    z .zdz  0 2 1 h h   2 2 h h   2 2 1 1   0  v 0  E  z . zdz   1  v 2   E  z .z 2dz. 1  v  2 1 2 h  1  v  2 h  2 2 Tương tự: h h E  z  1  v    v10   z   2  v1   .zdz 2 2 M2    z .zdz  0 2 2 h h   2 2 h h 2  2  0  v10   E  z .zdz  2 2 1 1    2  v1   E  z .z 2dz. 1  v  h  1  v  2 h  2 2 h h E  z h 2 1  v   12  2 z 12 .zdz 2 2 M 12    12 .zdz  0 h   2 2 h h 2 2 1 1   120  E  z  .zdz  12  E  z .z 2 dz. 2 1  v  h 1 v h   2 2 Khi đó: M1  E2   0  v 0   E3    v  , 1  v2  1 2 1  v2  1 2 2  2  0  v10   E2 E3 M2     v  , 1  v  1  v2  2 1 E2 E M12   120  3 12 . 2 1  v  1 v Kết hợp với 1.9 cho kết quả:
E2 E E  E2 M1  N1  1 3 22  1  v 2  , E1 E1 1  v  E2 E1E3  E22 M2  N2    2  v1  , (1.10) E1 E1 1  v 2  E2 E E  E22 M12  N12  1 3 12 . E1 E1 1  v  Trong đó h h 2  2  2z  h   k E1   E  z dz    Em   Ec  Em    dz  h h    2 h   2 2 k 1 h h E  Em  2 z  h   Em z 2  c h  2 k  1  2h  h h   2 2  E  Em    Em  c  h.  k 1  h h 2   2z  h   2 k E2   E  z .zdz    Em   Ec  Em    .zdz  h h    2 h   2 2 h h k 1  2z  h  2 2   Em .zdz   Ec  Em     .zdz h h 2h    2 2 h h k 1 2   2z  h  h   2z  h  2   Em .zdz   Ec  Em    h      dz  h  h   2 h  2   2h  2 2 z2 h  h 2  2 z  h k  2 h h2  2 z  h  k 1 h   Em . 2   Ec  Em     2    2 h  k  2  2h  2  k  1  2h  h h 2 2    2 2   h2 h2    Ec  Em      k  2 2  k  1    Ec  Em  kh 2 2  k  1 k  2 
h h 2  2  2z  h   2 k E3   E  z .z dz    Em   Ec  Em   2  .z dz  h h    2 h   2 2 h h  2z  h  2 2 k   Em .z dz   Ec  Em   z  2 2  dz  h  h  2h  2 2 h h 2  2  2 z  h 2 2 2  2z  h  h2   2z  h  k   Em .z dz   Ec  Em    h  2  h      dz  h   h  2 h   2 h  4   2 h  2 2 Em 3  1 1 1   h   Ec  Em  h3     12  k  3 k  2 4  k  1  E  1 1 1  3   m   Ec  Em       h .  12  k  3 k  2 4  k  1   Như vậy:  E  Em  E1   Em  c  h.  k 1  E2   Ec  Em  kh 2 . (1.11) 2  k  1 k  2  E  1 1 1  3 E3   m   Ec  Em       h .  12  k  3 k  2 4  k  1   1.3 Phương nh h n đ ng ủ ỏ hoải G n nền đ n h i Phương trình chuyển động theo l thuyết Love có t nh đến yếu tố nền: N1 N12  2u   1 2 , x1 x2 t N12 N 2  2v   1 2 , (1.12) x1 x2 t  2 M1  2 M12  2 M 2   w w    w w   2    N1  N12   N12  N2  x1 2 x1x2 x2 2 x1  x1 x2  x2  x1 x2 
2w  k1 N1  k2 N 2  q0  K1w  K3 w 3  K 2 2 w  1 . t 2 h 2  c   m  Trong đó: 1     z  dz    h m   h. k 1   2 và K1 , K 2 , K3 là hệ số nền. Điểm khác biệt của luận văn so với kết quả [9] là có t nh đến tính phi tuyến bậc ba của nền đàn hồi. Trường hợp K1  K2  0 quay về kết quả của [9]. Sử dụng giả thiết u = w, v = w nên có thể cho lực quán t nh của hai phương trình đầu của 1.12 dần đến 0, tức là:  2u  2v 1  0;   0. t 2 t 2 1 Khi đó, hai phương trình ấy s được thỏa mãn đồng nhất nếu đưa vào hàm ứng suất  như sau:  2 N1  , x22  2 N2  2 , (1.13) x1  2 N12   . x1x2 Vậy phương trình thứ ba của 1.12 có dạng:  2 M1  2 M 12  2 M 2   w w    w w  2    N1  N12   N12  N2  x1 2 x1x2 x2 2 x1  x1 x2  x2  x1 x2  (1.14)  w 2  k1 N1  k2 N 2  q0  K1w  K3 w 3  K 2 2 w  1 2 . t Thay phương trình 1.9 vàp phương trình 1.3 :  210  2 20  2 120 1   2 N1  2 N 2  E2  2 1  2    v 2   x22 x1 x1x2 E1  x22 x2  E1 x22
1  2 N2  2 N1  E2  2  2 2 1  v   2 N12 2 E2  2 12   v 2    . E1  x12 x1  E1 x12 E1 x1x2 E1 x1x2 Thay lực dãn qua hàm ứng suất  , độ cong, độ xoắn qua độ v ng w ta có:  210  2 20  2 120 1  4 v  4 E2  4 w 1  4  2       x22 x1 x1x2 E1 x24 E1 x12x22 E1 x12x22 E1 x14 v  4 E2  4 w 2 1  v   4 2 E2  4 w     . E1 x12x22 E1 x12x22 E1 x12x22 E1 x12x22  210  2 20  2 120 1   4  4  4  1       2    . x22 x12 x1x2 E1  x14 x12x22 x14  E1 Suy ra: 2 1  2w  2w 2w 2w 2w      2  k1 2  k2 2 E1  x1x2  x1 x22 x2 x1 Thay hệ thức 1.10 vào phương trình 1.14 ta có: E2  2 N1 E1E3  E22   2 1 2 2  E2  2 N12 E1E3  E22  2 12    v   2  2  E1 x12 E1 1  v 2   x12 x12  E1 x1x2 E1 1  v  x1x2 E2  2 N 2 E1E3  E22   2  2  2 1  2w 2w 2w     v   N  2 N  N E1 x22 E1 1  v 2   x22 x22  x12 x1x2 x22 1 12 2 2w  k1 N1  k2 N 2  q0  K1w  K3 w 3  K 2 2 w  1 . t 2 Thay lực dãn qua hàm ứng suất  , độ cong, độ xoắn qua độ v ng w ta có: E2  4 E1E3  E22   4 w 4w  E2  4 E1E3  E22  4 w E2  4   v 2 2 2 2   E1 x12x22 E1 1  v 2   x14 x1 x2  E1 x12x22 E1 1  v  x12x22 E1 x12x22 E1E3  E22   4 w  4 w   2  2 w  2  2 w  2  2 w   4 v 2 2  2 2   E1 1  v 2   x2 x1 x2  x2 x12 x1x2 x1x2 x12 x22  2  2 2w  k1  k  q  K w  K w 3  K  2 w   . x22 x12 t 2 2 0 1 3 2 1 E1E3  E22   4 w 4w  4 w   2  2 w  2  2 w  2  2 w   4 2 2 2  4  2 2   E1 1  v 2   x1 x1 x2 x2  x2 x12 x1x2 x1x2 x12 x22
 2  2 2w  k1  k  q  K w  K w 3  K  2 w   . x22 x12 t 2 2 0 1 3 2 1  2 w E1E3  E22  2  2 w  2  2 w  2  2 w  1 2  w  2    t E1 1  v 2  x1x2 x1x2 x12 x22 x22 x12  2  2 k1  k  K1w+K3 w 3  K 2 2 w  q0 . x2 x1 2 2 2 Như vậy, ta có hệ phương trình của hàm ứng suất  và độ v ng w là: 2 1  2w  2w 2w 2w 2w      2  k1 2  k2 2 (1.15) E1  x1x2  x1 x22 x2 x1  2 w E1E3  E22  2  2 w  2  2 w  2  2 w 1  w  2    (1.16) t 2 E1 1  v 2  x1x2 x1x2 x12 x22 x22 x12  2  2 k1 2  k2 2  K1w+K3 w 3  K 2 2 w  q0 . x2 x1 Nếu t nh đến độ không hoàn hảo ban đầu của vỏ w 0  w 0  x1 , x2  và giả thiết w 0 là nhỏ so với độ dầy. Theo xấp xỉ Volmir, từ 1.15 và 1.16 ta có hệ phương trình cho vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi như sau: 2  w  w0   2  w  w 0    2 w   2 w  2 w  2 1   k1  k2     2  E1 x22 x12    1 2  x x x  x 2 2  1    2 w  2  2 w  2 w    0   0 0  (1.17)  x1x2  x1 x2  2 2   2 w E1E3  E22  2  2 w  2  2 w  2  2 w 1 2    w  w 0   2    t E1 1  v 2  x1x2 x1x2 x12 x22 x22 x12  2  2 k1  k  K1w+K3 w 3  K 2 2 w  q0 . (1.18) x2 x1 2 2 2 Hệ phương trình 1.17 và 1.18 là hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với hàm ứng suất  và độ v ng w cho ph p ta giải bài toán động lực phi tuyến của vỏ thoải FGM
trên nền đàn hồi. Phần tiếp theo ta s giải quyết bài toán cụ thể khi vỏ chịu lực khác nhau và với điều kiện biên cho trước.
Chương 2:Ph n h d o đ ng phi ến ủ ỏ hoải n nền đ n h i 2.1 Điều kiện i n phương ph p giải. Giả sử vỏ tựa bản lề tại 4 cạnh, chịu tải phân bố đều = vuông góc với mặt trung bình. Chịu tải n n phẳng và phân bố đều trên hai cạnh. Khi đó điều kiện biên có thể biểu diễn như sau: w  0, M1  0, N1  r0h, N12  0 tại x1  0, x1  a. (2.1) w  0, M 2  0, N2   0h, N12  0 tại x2  0, x2  b. Điều kiện 2.1 có thể thỏa mãn nếu độ v ng w và hàm ứng suất  được biểu diễn bởi: m x1 n x2 w  f  t  sin sin , a b  m x1 n x2      t  sin sin    x1     x2   . (2.2)  a b  Trong đó f  t  là độ v ng lớn nhất,   x1  và   x2  được chọn sao cho: ''  x1   0 h ,  ''  x1   r0 h. Đối với độ không hoàn hảo ban đầu w 0  w 0  x1 , x2  ta giả thiết có dạng giống như độ v ng của vỏ, tức là: m x1 n x2 w 0  x1 , x2   f 0 sin sin . (2.3) a b Trong đó là h ng số. Khi đó: 2w m2 2 m x1 n x2   f sin sin , x1 2 a 2 a b 2w n2 2 m x1 n x2   f 2 sin sin , x2 2 b a b 2w mn 2 m x1 n x2  f cos cos , x1x2 ab a b 4w m4 4 m x1 n x2  f sin sin , x1 4 a 4 a b