Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học,... Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân Volterra. Trong luận văn này chỉ xét phương trình tích phân Fredholm; nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- ĐÀO THỊ THANH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014
Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến . . . 9 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT 14 2.1 Phương pháp thế liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Các định lý Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Cấu trúc của nhân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN 34 3.1 Một số tính chất của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Các giá trị riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Các hàm riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Định lý Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1
MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học, · · · . Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân Volterra. Trong luận văn này ta chỉ xét phương trình tích phân Fredholm. Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp. Luận văn được chia thành ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm định nghĩa về phương trình tích phân và phân loại các dạng phương trình tích phân. Sau đó là một số tính chất và kí hiệu liên quan đến phương trình tích phân Fredholm loại hai. Thứ ba là định lý Fredholm trong trường hợp nhân có dạng tách biến. Chương 2. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân tổng quát. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân Fredholm loại hai, đưa ra một số phương pháp giải là phương pháp thế liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một số ví dụ minh họa. Sau đó ta sẽ kết hợp cả hai phương pháp này để chứng minh định lý Fredholm trong trường hợp nhân tổng quát và đi xây dựng toán tử giải của nó. Chương 3. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân Hermitian. Chương này đưa ra khái niệm hạt Hermitian, một số tính chất của hạt nhân và toán tử Hermitian. Sau đó chứng minh định lý Hilbert-Schmidt và đưa ra công thức nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân Hermitian. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [9]. 2
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, tháng 03 năm 2014 Tác giả luận văn Đào Thị Thanh 3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà hàm cần tìm xuất hiện dưới dấu tích phân. Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng Z b λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), (1.1) a trong đó • f (x) là hàm cho trước, có giá trị phức và liên tục trên đoạn [a, b]; • K(x, t) là hàm cho trước, liên tục trên [a, b] × [a, b], có giá trị phức và được gọi là nhân; • λ là hằng số phức cho trước; • ϕ(x) là hàm cần tìm, luôn được giả thiết là khả tích theo nghĩa Riemann. Ta có thể phân loại như sau: 1. Nếu hệ số λ = 0 thì ta được phương trình Z b K(x, t)ϕ(t)dt = f (x). a Phương trình trên được gọi là phương trình Fredholm loại một. 2. Nếu hệ số λ 6= 0 thì phương trình trên được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại hai. Nếu nhân K(x, t) có tính chất K(x, t) ≡ 0 với mọi t > x thì phương trình (1.1) trở thành: 4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3. Nếu λ 6= 0 thì ta được phương trình Z x λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a và gọi là phương trình tích phân Volterra loại hai. 4. Nếu λ = 0 thì ta được phương trình Z x K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a và gọi là phương trình tích phân Volterra loại một. Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét với phương trình Fredholm loại hai. Bằng phép biến đổi, ta có thể viết phương trình tích phân Fredholm loại hai dưới dạng Z b ϕ(x) = f (x) + λ K(x, t)ϕ(t)dt. (1.2) a 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị Kí hiệu: Q[a, b] = [a, b] × [a, b], C[a, b] = f : [a, b] → C : f liên tục trên [a, b] , C (Q[a, b]) = f : Q[a, b] → C : f liên tục trên Q[a, b] , R[a, b] là tập hợp các hàm giá trị phức và khả tích trên [a, b], R2 [a, b] là tập hợp các hàm bình phương khả tích trên [a, b]. Với mỗi f ∈ C[a, b], ta kí hiệu Z b kf k1 = |f (x)|dx a và !1/2 Z b kf k2 = |f (x)|2 dx . a Với mỗi K(x, t) ∈ C (Q[a, b]), ta kí hiệu Z bZ !1/2 b kKk2 = |K(x, t)|2 dxdt . a a 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho f và g là hai hàm thuộc C[a, b] thì ta định nghĩa tích vô hướng Z b hf, gi = f (x)g(x)dx. a Nếu hf, gi = 0 thì ta nói f và g trực giao. Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Z
! Z !
b
Z b b
f (x)g(x)dx
≤ |f (x)|2 dx |g(x)|2 dx .
a
a a Định nghĩa 1.2 (Hệ các hàm trực chuẩn). Tập {ϕn (x)} các hàm thuộc C[a, b] được gọi là một hệ trực chuẩn nếu 0 nếu n 6= m, hϕn , ϕm i = 1 nếu n = m. Định nghĩa 1.3 (Hệ đầy đủ). Cho Φ = {ϕn (x)}∞ n=1 là hệ các hàm trực chuẩn 2 và f ∈ R [a, b]. Nếu f trực giao với mọi phần tử của Φ xảy ra khi và chỉ khi kf k2 = 0 thì hệ Φ được gọi là hệ đầy đủ. Đặt Φm = {ϕ1 , . . . , ϕm } là tập con hữu hạn của Φ. Nếu f ∈ span{Φm } thì ta có chuỗi Fourier hội tụ f (x) = hf, ϕ1 i ϕ1 (x) + · · · + hf, ϕm i ϕm (x), trong đó hf, ϕn i, n = 1, . . . , m được gọi là là hệ số Fourier thứ n của f (x). Định nghĩa 1.4 (Sự hội tụ đều). Cho {fn (x)} là dãy các hàm xác định trên [a, b]. Ta nói dãy {fn (x)} hội tụ đều tới hàm f (x) trên [a, b] nếu với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên N = N (ε) sao cho với mọi n ≥ N thì |fn (x) − f (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b]. Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy vô hạn {fn (x)} các hàm xác định trên [a, b] hội tụ đều nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên N (ε) sao cho với mọi n, m ≥ N (ε), |fn (x) − fm (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b]. Định lý 1.2. Nếu {fn (x)}∞ n=1 là dãy các hàm khả tích hội tụ đều tới hàm f (x) trên [a, b], thì f (x) cũng khả tích trên [a,b] và Z b Z b f (x)dx = lim fn (x)dx. a n→∞ a 6
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ∞ X Từ đó ta suy ra rằng nếu chuỗi un (x) hội tụ đều đến S(x) trên [a, b] và với n=1 mỗi n, un (x) khả tích trên [a, b] thì Z b ∞ Z X b S(x)dx = un (x)dx. a n=1 a Định nghĩa 1.5 (Hội tụ trung bình). Dãy {fn (x)} trong R2 [a, b] được gọi là hội tụ trung bình tới hàm giới hạn f (x) trong R2 [a, b] nếu !1/2 Z b lim kfn − f k2 = lim |f (x) − fn (x)|2 dx = 0. n→∞ n→∞ a Định nghĩa 1.6 (Toán tử Fredholm). Cho K(x, t) là hàm xác định trên Q[a, b] và khả tích theo từng biến trên [a, b]. Kí hiệu toán tử K :R2 [a, b] → R2 [a, b] Z b ϕ(t) 7→ K(x, t)ϕ(t)dt a và gọi là toán tử Fredholm tương ứng với hạt nhân K(x, t). Đặt K1 (x, t) = K(x, t) Z b K2 (x, t) = K1 (x, s)K(s, t)ds a ............... Z b Km (x, t) = Km−1 (x, s)K(s, t)ds. a Ta gọi Km (x, t) là nhân lặp thứ m của K(x, t). Từ định nghĩa ta có Z b Km ϕ = Km (x, t)ϕ(t)dt, m = 1, 2, . . . , . a Định nghĩa 1.7. Toán tử K được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho kKϕk2 ≤ Ckϕk2 , ∀ϕ ∈ R2 [a, b]. Nếu K bị chặn thì ta đặt kKϕk2 kKk = sup : ϕ ∈ R2 [a, b], ϕ 6= 0 kϕk2 và gọi nó là chuẩn của toán tử K. 7
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mệnh đề 1.1. Nếu nhân K(x, t) có kK(x, t)k2 < ∞ thì k K ϕk22 ≤ kKk22 kϕk22 , ∀ϕ ∈ R2 [a, b]. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
Z