Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:140

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIẾT TIỆP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIẾT TIỆP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Luận Thái Nguyên – 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa học của luận văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Xác nhận Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017 của Người hướng dẫn khoa học Tác giả luận văn TS. Trần Luận Vũ Viết Tiệp Xác nhận của Trưởng khoa chuyên môn i
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được Luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ Trần Luận, người đã nhiệt tình và tận tâm chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện Luận văn. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp giảng dạy môn Toán của Khoa Toán và các thầy cô đã hết lòng dạy bảo lớp K23 chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa Toán của trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá học. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám đốc, các thầy cô giáo, các em học sinh lớp 11 của Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên Việt Yên, huyện Việt Yên, tỉnh Bắc Giang, các anh chị đồng nghiệp ở Ủy ban nhân dân xã Tân Dĩnh, huyện Lạng Giang, tỉnh Bắc Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị là học viên nhóm chuyên ngành Phương pháp giảng dạy đã luôn động viên khích lệ, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã cố gắng rất nhiều song bản Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong tiếp tục nhận được sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, các thầy cô giáo. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Viết Tiệp ii
MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii MỤC LỤC .........................................................................................................iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................ iv DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................. v DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ, HÌNH....................................................... vi MỞ ĐẦU............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 3 4. Giả thuyết khoa học......................................................................................... 4 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 4 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4 7. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 6 1.1. Vai trò của việc vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học toán ở trường phổ thông .......................................................................................... 6 1.1.1. Toán học với đời sống thường ngày của con người ..................................6 1.1.2. Toán học với các khoa học khác ...............................................................7 1.1.3. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế .............................................10 1.1.4. Phương pháp mô hình hóa.......................................................................11 1.2. Về năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS phổ thông .............. 12 1.2.1. Khái niệm năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn .............................13 1.2.2. Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT...14 1.2.3. Một số thành tố trong cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn....16 1.3. Một số vấn đề về bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.... 17 iii
1.3.1. Các tình huống thực tế, bài toán thực tế và một số khái niệm có liên quan khác .................................................................................................17 1.3.2. Về các bước của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn...................19 1.3.3. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ở trường phổ thông ...........................................................................21 1.3.4. Thực trạng bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ở trường phổ thông .....................................................................................22 1.4. Kết luận chương 1....................................................................................... 25 Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11................................................. 26 2.1. Một số định hướng xây dựng biện pháp..................................................... 26 2.1.1. Định hướng 1 ...........................................................................................26 2.1.2. Định hướng 2 ...........................................................................................27 2.1.3. Định hướng 3 ...........................................................................................27 2.1.4. Định hướng 4 ...........................................................................................27 2.2. Các biện pháp sư phạm............................................................................... 28 2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường một số yếu tố lịch sử trong quá trình dạy học môn học.............................................................................................28 2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế bổ sung một số tình huống thực tiễn vào dạy học Đại số và Giải tích nhằm bồi dưỡng cho HS lớp 11 biết cách vận dụng toán học vào thực tiễn.....................................................................33 2.2.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho HS một số hoạt động thành phần trong các bước vận dụng toán học vào thực tiễn ..............................................47 2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức một số hoạt động thâm nhập TT để tạo cơ hội cho HS phát hiện và giải quyết những vấn đề trong TT..........................69 iv
2.2.5. Biện pháp 5: Sưu tầm và sử dụng một số bài toán của PISA nhằm bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho người học .............................75 2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 92 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................... 93 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 93 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 93 3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................ 93 3.4.1. Thời gian tổ chức thực nghiệm................................................................94 3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ...............................................................94 3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm.................................................................... 95 3.5.1. Đánh giá định tính ...................................................................................95 3.5.2. Đánh giá định lượng ................................................................................96 3.6. Kết luận chương 3....................................................................................... 99 KẾT LUẬN..................................................................................................... 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 102 PHỤ LỤC v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ CT Chương trình ĐC Đối chứng ĐHSP Đại học sư phạm GV Giáo viên HS Học sinh PP Phương pháp SGK Sách giáo khoa SP Sư phạm TH Toán học THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm TT Thực tiễn Tr. Trang XS Xác suất XS - TK Xác suất - Thống kê iv
DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 2.1............................................................................................................. 62 Bảng 2.2............................................................................................................. 80 Bảng 2.3............................................................................................................. 81 Bảng 2.4............................................................................................................. 83 Bảng 2.5............................................................................................................. 83 Bảng 2.6............................................................................................................. 89 Bảng 3.1 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 15 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ............................................. 96 Bảng 3.2 Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 15 phút............................... 96 Bảng 3.3 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ............................................. 97 Bảng 3.4 Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút............................... 97 v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ, HÌNH Trang Biểu đồ 2.1 Trạng thái hiện thời của thẻ nhớ .................................................... 80 Biểu đồ 2.2......................................................................................................... 82 Biểu đồ 2.3 Các mặt hàng xuất khẩu của nước Zedland ................................... 84 Biểu đồ 2.4 Dân số trung bình của Việt Nam qua một số mốc thời gian.......... 84 Biểu đồ 2.5 Số HS các lớp của một trường THPT trong năm học 2015-2016 . 87 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 15 phút của lớp TN và lớp ĐC ....................................................................................... 97 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp TN và lớp ĐC ....................................................................................... 98 Đồ thị 2.1 Tốc độ của chiếc xe theo thời gian................................................... 78 Hình 1.1 Sơ đồ các bước vận dụng toán học vào thực tiễn............................... 20 Hình 2.1 Trò chơi đu ......................................................................................... 35 Hình 2.2. Vi khuẩn E.Coli ................................................................................. 36 Hình 2.3 Dòng họ loài ong ................................................................................ 37 Hình 2.4 ............................................................................................................. 53 Hình 2.6 Cột cờ trường học (Nguồn Internet)................................................... 72 Hình 2.7 Tháp Rùa (Nguồn Internet) ................................................................ 73 Hình 2.8 Mô hình hình chóp.............................................................................. 74 Hình 2.9 ............................................................................................................. 85 Hình 2.10 ........................................................................................................... 88 Hình 2.11 ........................................................................................................... 90 vi
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Để thực hiện thắng lợi các mục tiêu của đất nước đề ra trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa thì nhân tố con người giữ vai trò rất quan trọng. Do đó, nhiệm vụ đặt ra cho ngành Giáo dục - Đào tạo là xây dựng những con người có khả năng lao động một cách năng động, sáng tạo. Nghị quyết Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XII của Đảng Cộng sản Việt Nam năm 2016 đã chỉ ra rằng: “Phát huy nhân tố con người trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội; tập trung xây dựng con người về đạo đức, nhân cách, lối sống, trí tuệ và năng lực làm việc; xây dựng môi trường văn hoá lành mạnh”. Vì vậy, để thích ứng kịp thời với sự phát triển của nền kinh tế xã hội và nhu cầu tuyển dụng, Chiến lược phát triển giáo dục trong giai đoạn từ nay đến năm 2020 đã đưa ra mục tiêu là: “Xây dựng một nền giáo dục tiên tiến, đậm đà bản sắc dân tộc, thích ứng với nền kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa, tạo cơ hội học tập cho mọi người và khả năng hội nhập với nền kinh tế thế giới. Đào tạo những người lao động Việt Nam có phẩm chất đạo đức, kiến thức và kĩ năng nghề nghiệp của thời đại, có năng lực tư duy độc lập, sáng tạo, có ý thức làm chủ và tinh thần trách nhiệm”. Hiện nay, vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK phổ thông đã và đang được thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn quốc nhằm đáp ứng các mục tiêu trên. Quan điểm xây dựng chương trình giáo dục phổ thông theo tinh thần Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng (khoá XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông; Quyết định số 404/QĐ-TTg ngày 27/3/2015 1
của Thủ tướng Chính phủ phê duyệt Đề án đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông đã đưa ra: “Nội dung giáo dục phổ thông bảo đảm tinh giản, hiện đại, thiết thực, thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn (TT), phù hợp với đặc điểm tâm - sinh lý lứa tuổi học sinh (HS)…”. Có thể nói rằng, toán học (TH) là một môn học có mối liên hệ rất mật thiết với TT và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều các lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt như vậy, TH trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Chính vì vậy, việc rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức TH vào TT là điều rất cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục TH. Ta đã biết, TT vừa là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và của TH nói riêng. TH phát triển được là nhờ mối liên hệ mật thiết với TT, thông qua đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó. Do đó, dạy học toán ở trường phổ thông là để làm rõ mối quan hệ giữa TH và TT, việc bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT là một vấn đề rất cần thiết. Các kiến thức TH cho dù là ở trường phổ thông nhưng chúng luôn có tính trừu tượng và khái quát cao. Việc học các kiến thức TH không chỉ giúp HS nhận biết những kiến thức trừu tượng của một môn khoa học chính xác mà còn làm cho HS hiểu được rằng các kiến thức TH xuất phát từ đời sống hàng ngày của các em; giúp cho HS có những phương pháp, cách thức vận dụng các kiến thức TH vào giải quyết những vấn đề trong TT cuộc sống; đồng thời tạo cơ sở cho việc học các kiến thức TH ở các bậc học trên. Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, quá trình dạy học toán ở trường phổ thông cần được tổ chức sao cho mọi HS đều làm việc, sao cho có thể huy động khả năng của từng HS trong việc tìm tòi, khám phá nội dung mới của bài học, tạo các điều kiện và phương tiện hoạt động để các 2
em tự phát hiện và tham gia vào giải quyết các tình huống có vấn đề trong học tập. Đây là một trong những định hướng quan trọng “Dạy học thông qua hoạt động của bản thân từng HS”. Với yêu cầu thực tế xã hội, yêu cầu tăng cường vận dụng TH được tiếp tục đặt ra và được nhấn mạnh hơn. Nghị quyết của Quốc hội về đổi mới chương trình giáo dục, trong phần mục tiêu của đổi mới, có nêu yêu cầu: “tăng cường tính TT, kỹ năng thực hành, năng lực tự học”. Đối với bộ môn Toán, có quan điểm: “Phải lựa chọn kiến thức TH cốt lõi, giàu tính ứng dụng, đặc biệt ứng dụng vào TT Việt Nam”. Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, phần Đại số và Giải tích lớp 11 có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới và cũng có nhiều bài toán khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học sẽ gặp những khó khăn nhất định. Để dạy phần Đại số và giải tích lớp 11 có hiệu quả, góp phần bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS, đòi hỏi người giáo viên (GV) phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách thức lựa chọn nội dung cũng như phương pháp giảng dạy. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của học sinh và các vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này trong dạy học môn Toán. 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phần Đại số và Giải tích lớp 11. 3
4. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất được một số biện pháp thích hợp khai thác nội dung thực tế trong dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11 và hướng dẫn thực hiện các biện pháp đó hợp lý thì sẽ góp phần bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Một số vấn đề về bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS phổ thông. 5.2. Khảo sát thực trạng bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT ở một số nhà trường phổ thông. 5.3. Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS phổ thông thông qua dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11. 5.4. Thực nghiệm sư phạm (SP) để minh họa tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất. 6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong nước về các vấn đề liên quan đến đề tài luận văn. 6.2. Phương pháp điều tra thực tế: Điều tra một số khía cạnh về tình hình vận dụng TH vào TT trong thực tế dạy học Toán ở nước ta hiện nay và ý kiến GV phổ thông về một số vấn đề liên quan đến đề tài luận văn, lấy ý kiến đóng góp qua phiếu thăm dò. 6.3. Phương pháp thống kê: Thống kê số liệu, phân tích kết quả điều tra, thực trạng và thực nghiệm. 6.4. Phương pháp thực nghiệm SP: Tổ chức thực nghiệm SP dạy học một số biện pháp đã đề xuất để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 4
7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày gồm ba chương: Chương 1. Cơ sở lý luận và TT Chương 2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 5
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Vai trò của việc vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học toán ở trường phổ thông 1.1.1. Toán học với đời sống thường ngày của con người Toán học không phải là những công thức vô bổ mà TH gắn liền với sự phát triển của loài người. Những bài toán đặt ra xuất phát từ nhu cầu TT, từ bài toán cho sản xuất đến giải quyết các bài toán dự đoán tự nhiên, vũ trụ,… Thời xa xưa, khi con người chưa có sự hỗ trợ của các máy móc hiện đại nên bản thân các bài toán phát sinh đều là những bài toán đơn giản, số lượng tính toán là cỡ nhỏ, vì vậy các công cụ toán để sử dụng cũng là những công thức vô cùng đơn giản và sơ khai như phép cộng, phép chia hay khai căn một cách gần đúng… Ngày nay, với sự hỗ trợ của máy tính hiện đại, các bài toán con người có thể đặt ra là vô cùng trừu tượng và phức tạp, với số lượng các phép tính lớn, vượt ra xa khỏi khả năng tự nhiên của một con người. Vì vậy, các công cụ tính toán và các khái niệm mới cũng hết sức trừu tượng nên khó có thể tìm một ứng dụng tự nhiên của nó trong đời sống hàng ngày, chúng ta chỉ có thể chỉ ra nó ứng dụng vào công việc gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào. Theo [1] thì trong đời sống hằng ngày, con người phải đối mặt với cuộc sống, họ phải mua bán tính toán, trong đầu họ luôn thường trực một vấn đề: làm sao có lợi cho bản thân mình nhất. Đặc biệt, trước khi quyết định một công việc quan trọng gì đó, họ đều đưa ra những phán đoán. Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều đầy biến động, con người lại càng phải tính toán; có thể nói: chỉ khi đi ngủ mới không để phép tính ở trong đầu. Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp những “hình ảnh” của Toán học: mặt hồ nước yên ả của hình mặt phẳng, những đóa hoa hướng dương hình tròn, những con ong xây tổ theo những hình 6
lục giác đều… Galileo Galilei (Ga-li-lê) đã nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác”. Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải xã hội, con người phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lại về là lớn nhất. Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu,... tất cả những vấn đề đó, đều liên quan đến TH. Khác với động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách vở, trong đó có tri thức TH. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn tri thức của xã hộ truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực tiễn của bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ Tổ quốc. Không phải khi nào cũng cho phép chúng ta ngồi học trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một tòa nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa các vị trí của ta và mục tiêu của địch… Gặp những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử dụng phương pháp TH, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ. Tóm lại, đối với con người bình thường cho dù họ là ai, ở cương vị nào trong xã hội thì trong cuộc sống hằng ngày cũng đụng chạm đến các tri thức TH. 1.1.2. Toán học với các khoa học khác Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ TH phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của TH xuất hiện hàng ngày, rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay, TH 7
không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa. Chúng ta biết rằng những kiến thức TH đầu tiên của loài người về số học, hình học, tam giác lượng,... đều đẻ ra từ nhu cầu của TT. Các số hình thành và phát triển do nhu cầu của phép đếm và tính toán. Rất nhiều sách ghi lại rằng hình học phát sinh ở Ai Cập do nhu cầu đo đạc đất đai hàng năm sau mỗi vụ lụt của sông Nin (hình học tiếng Hy Lạp là sự đo đất) ngành hàng hải đòi hỏi những kiến thức về thiên văn, mà bộ môn này lại cần những kiến thức về lượng giác do đó lượng giác phát sinh và phát triển. Ở thời kỳ Phục Hưng, sự phát triển mạnh mẽ của kỹ nghệ và sự hình thành quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa đòi hỏi phải phát triển cơ học và ngành này đã thúc đẩy phải hoàn chỉnh phép tính vi phân và tích phân. Trong thế kỷ XVIII, TH chủ yếu nhằm giải quyết yêu cầu của cơ học. Từ nửa đầu thế kỷ XIX, kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nước. Vấn đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý lên hàng đầu. TH cần phát triển để giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường của trái đất,... Nhờ đó kho tàng TH được bổ sung nhiều kết quả quan trọng về giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số... Cũng ở thời kỳ Phục Hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều ở phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh. Những bài toán mới của thiên văn, cơ học, trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này cũng là những nguồn kích thích mới đối với sự phát triển TH. Khoảng cuối thế kỷ XIX, do nhu cầu của nội bộ TH là xây dựng cơ sở cho giải tích, lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời và thắng lợi. Lý thuyết tập hợp đã tỏ ra là một lý thuyết có hiệu lực và dần dần xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực TH. Nhờ đó người ta có thể xây dựng phương pháp xử lý mới đối với TH là phương pháp tiên đề trừu tượng. Rồi chính những mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp đã thúc đẩy sự phát triển của logic toán và tầm quan trọng về lý luận cũng như TT của nó tăng 8
lên không ngừng trong mấy chục năm gần đây. Với quan điểm của lý thuyết tập hợp và phương pháp tiêu đề trừu tượng nhiều bộ môn TH hiện đại như lý thuyết hàm số thực, đại số trừu tượng, tô pô trừu tượng v.v... ra đời. Trong mấy chục năm lại đây do sự phát triển của kỹ thuật từ cơ khí hoá lên tự động hoá và sự ra đời của kỹ thuật tự động hoá mà nhiều bộ môn TH mới ra đời và phát triển cực kỳ nhanh chóng như thông tin học, lý thuyết các chương trình TH, lý thuyết máy tự động, lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết đại số về các sơ đồ liên lạc về điều khiển,... Do sự phát minh ra máy tính điện tử thúc đẩy mạnh mẽ quá trình tự động hoá nền sản xuất hiện đại, TH ngày càng mở rộng phạm vi ứng dụng của nó. Để phục vụ cho máy tính điện tử có lý thuyết lập chương trình, lý thuyết Angorit, giải tích số,... Gần đây do nhu cầu TT của sự phát triển khoa học mà các ngành trung giao giữa TH và các khoa học khác như ngôn ngữ toán, kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng mới trong quan hệ giữa TH và các khoa học khác. Theo [1], toán học là một khoa học suy diễn, nó cũng như các khoa học khác có nguồn gốc TT, lấy TT làm thước đo chân lí và là nơi bộc lộ sức mạnh vốn có của nó. Các nhà TH I.I.Blekman và A.D.Muwskix cho rằng: “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào”. Đánh giá tầm quan trọng của TH đối với các hiện tượng vật lí, hiện tượng tự nhiên của môi trường xung quanh, Herbert Fremont cho rằng: “Hãy tưởng tượng xem làm sao có thể miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lí mà không có ngôn ngữ đặc trưng của đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc thiên nhiên cũng như các đồ vật do con người tạo ra mà không có những khái niệm hình học…”. Một đặc trưng của TH là tính trừu tượng hóa cao độ, chính đặc điểm này đã khiến TH đi vào mọi lĩnh vực của cuộc sống. Đồng thời, “càng trừu tượng càng có nhiều khả năng ứng dụng cụ thể, làm cho TH ngày càng xâm nhập nhiều vào các lĩnh vực hoạt động của con người, tạo nên xu thế “toán học hóa” của khoa học kĩ 9
thuật, công nghệ hiện đại, biến TH trở thành “nữ hoàng của các khoa học”. Toán học không chỉ cung cấp những con số, những công thức, những hình học đặc biệt quan trọng là nó cung cấp “phương pháp toán học” cho các ngành khoa học, thể hiện qua việc mô hình hóa các lớp đối tượng mà nó nghiên cứu. Điều này đã làm cho các ngành khoa học có sử dụng TH phát triển như vũ bão, đang dần từng bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa học chính xác. Trong lịch sử phát triển của các ngành khoa học tự nhiên, ta bắt gặp vô vàn các thành quả ghi nhận sự đóng góp của TH. Chẳng hạn trong lĩnh vực Hóa học, người ta dùng toán để xác định các chất tạo thành sau phản ứng hay tìm ra công thức hóa học của các vật liệu nhân tạo. Không chỉ có lĩnh vực Khoa học tự nhiên, ngay cả trong lĩnh vực Kinh tế - xã hội và tư duy con người, TH cũng xâm nhập vào và thể hiện được vai trò quan trọng của nó. Ở lĩnh vực Kinh tế, tư tưởng tối ưu hóa đã được con người toán học hóa và từ đó TH trở thành công cụ phục vụ cho quy hoạch sản xuất, quản lí kinh tế mang lại lợi nhuận cao. Điển hình trong lĩnh vực này là mô hình tăng trưởng kinh tế của Karl Marx, các mô hình tăng trưởng kinh tế của trường phái Keynes… Càng xâm nhập sâu vào các lĩnh vực của cuộc sống, TH càng sắc sảo làm thay đổi tư duy con người và trở thành công cụ nhận thức cho mọi khoa học. Có thể cho thấy rằng toán học góp phần giúp cho con người thấy được vũ trụ như là một toàn thể không thể tách rời. “Phát hiện ra cấu trúc toán học chính là đi sâu một bước vào vào tính thống nhất của thế giới về mặt quan hệ số lượng”. Khó có thể mà kể hết được các vai trò của toán học trong các khoa học, rõ ràng toán học là công cụ, là đòn bẩy của phát minh, luôn đồng hành với mọi khoa học. Đúng như Kart Marx đã khẳng định: “Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học” [1]. 1.1.3. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế Theo Hands Freudenthal, thuật ngữ “toán học hóa” xuất hiện trong các cuộc thảo luận trước khi đưa vào văn bản chính thức. Tiên đề hóa, công thức 10