Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong chứng minh Hình học

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:148

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình học từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm để phòng tránh và sửa chữa các sai lầm này, qua đó rèn luyện năng lực giải toán hình học cho HS và góp phần nâng cao chất lượng môn Toán ở các trường THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong chứng minh Hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM VĂN HOÀNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM VĂN HOÀNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Văn Hoàng i
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Cao Thị Hà, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, các cô giáo trong Tổ bộ môn Phƣơng pháp giảng dạy bộ môn Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trƣờng THPT Cầu Xe- huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực nghiệm. Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Văn Hoàng ii
MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ii MỤC LỤC ................................................................................................................ iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................ iv MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài .....................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu ..............................................................................................3 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 5 1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập.....5 1.2. Năng lực chứng minh hình học ...........................................................................6 1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh ...................................6 1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học ............................................................8 1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học .....................................12 1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán ...................................................13 1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học............................................14 1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi ...............................................................14 1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo ..............................................................14 1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải toán hình học ..........15 1.5.1. Điều tra từ giáo viên ........................................................................................15 1.5.2. Điều tra từ học sinh .........................................................................................15 1.6. Kết luận chƣơng 1 ..............................................................................................47 Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC. ................................................................................ 48 2.1. Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS các kiến thức đầy đủ, chính xác. ...............48 2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình đúng. ............................................55 iii
2.3. Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu đúng luận đề, luận cứ, luận chứng trong các bài toán có lời giải. ....................................................................................61 Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................... 80 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 81 3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ..................................................................81 3.2. Nôi dung thực nghiệm. ......................................................................................81 3.3. Tổ chức thực nghiệm. ........................................................................................82 3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm: ..................................................................................82 3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ....................................................................................84 3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ..........................................................................85 3.4.1. Phân tích định tính ..........................................................................................85 3.4.2. Phân tích định lƣợng .......................................................................................86 3.5. Kết luận chung về thực nghiệm .........................................................................89 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 91 PHỤ LỤC iv
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 DH Dạy học 2 Đccm Điều cần chứng minh 3 GV Giáo viên 4 HS Học sinh 5 PP Phƣơng Pháp 6 PT Phƣơng trình 7 SGK Sách giáo khoa 8 THPT Trung học phổ thông 9 VTCP Véctơ chỉ phƣơng 10 VTPT Véctơ pháp tuyến iv
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học giữ một vị trí quan trọng trong cuộc sống, Toán học không chỉ có những ứng dụng to lớn trong cuộc sống mà nó còn giúp chúng ta việc rèn luyện PP suy nghĩ, PP suy luận, PP học tập, PP giải quyết các vấn đề, ngoài ra nó còn giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nhƣ: cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt khó, yêu thích sự chính xác, ham chuộng chân lý. Các nhà giáo dạy Toán chính là các huấn luyện viên trong môn “thể thao trí tuệ” này, công việc dạy Toán của chúng ta nhằm rèn luyện cho HS tƣ duy Toán học cùng những phẩm chất của con ngƣời lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tƣơng lai của đất nƣớc. Ở trƣờng phổ thông DH Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài Toán ở trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào cuộc sống. Dạy học giải Toán mang trong mình các chức năng: giáo dƣỡng, giáo dục, phát triển và kiểm tra. Vì vậy, hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích DH Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc DH giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH Toán. Trong chƣơng trình môn Toán ở trƣờng THPT, nội dung Hình học chiếm một phần rất quan trọng, việc DH Hình học không chỉ cung cấp cho ngƣời học những kiến thức về các đối tƣợng hình học và các quan hệ giữa chúng mà nó còn rèn luyện năng lực tƣ duy lôgic, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả năng vận dụng các kiến thức Hình học vào thực tiễn cuộc sống cho HS. Tuy nhiên thực tiễn DH cho thấy, hầu hết HS khẳng định Toán học, đặc biệt là nội dung Hình học là môn học khó và trừu tƣợng. Một trong các biểu hiện của sự khó khăn đó là HS thƣờng mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán, HS không tự tin khi giải toán mà không có sự trợ giúp của thầy giáo hoặc bạn học dẫn đến HS ngại khi học Hình học. Đã có nhiều hƣớng nghiên cứu để nâng cao chất lƣợng DH Toán ở 1
trƣờng phổ thông nhƣ: tổ chức các hoạt động DH để gây đƣợc hứng thú cho HS trong quá trình DH, phát triển tƣ duy cho HS trong DH Toán, phát hiện những sai lầm của HS trong DH ... Việc nghiên cứu những sai lầm phổ biến của HS trong quá trình DH Toán ở trƣờng phổ thông đã có nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm, các nghiên cứu trên đều tập trung vào 2 hƣớng chính [15]: - Hƣớng thứ nhất: Tìm hiểu sai lầm của HS, tìm hiểu nguyên nhân và đề xuất các biện pháp để giúp HS sửa chữa các sai lầm đó. Đại diện cho hƣớng nghiên cứu này là A.A Stoliar khi nói về việc xử lí với các sai lầm của HS trong quá trình DH đã nói: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. - Hƣớng thứ hai: Tìm hiểu các sai lầm, khó khăn của HS trƣớc khi lĩnh hội kiến thức mới và thiết kế các tình huống học tập để HS vƣợt qua sai lầm, khó khăn này và hình thành tri thức mới. Các đại diện cho hƣớng nghiên cứu này đó là các nhà nghiên cứu quá trình DH theo quan điểm kiến tạo, hoặc một trong các đại diện tiêu biểu khác đó chính là G. Polya, ông nói “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình ”; B.V.Gờn hedencô đã nêu ra 5 phẩm chất của tƣ duy Toán học thì đã có tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm khi giải Toán: + Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh. + Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ. + Sự chính xác của suy luận. Nhiều tác giả trong nƣớc đã có những nghiên cứu về những sai lầm phổ biến của HS trong quá trình dạy học Toán ở trƣờng phổ thông nhƣ: Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Thống Nhất- Phan Thanh Quang trong cuốn “Sai lầm phổ biến khi giải Toán”; Trần Phƣơng- Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Những sai lầm phổ biến trong giải toán phổ thông”; Trần Phƣơng -Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Sai lầm thƣờng gặp và các sáng tạo khi giải toán”; - - n dạng và phân tích những sai lầm mà HS có thể mắc phải trong quá trình DH Toán, tuy nhiên phạm vi nghiên cứu của các tác giả trên đều dàn trải trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán 2
ở trƣờng phổ thông chứ chƣa tập trung vào nghiên cứu, phân tích những sai lầm mà HS mắc phải trong học tập Hình học, đặc biệt là trong chứng minh hình học. Với những kinh nghiệm giảng dạy môn Toán ở trƣờng THPT và năng lực chuyên môn của bản thân cùng với các nhận thức nhƣ trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là : “NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình học từ đó đề xuất một số biện pháp sƣ phạm để phòng tránh và sửa chữa các sai lầm này, qua đó rèn luyện năng lực giải toán hình học cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng môn Toán ở các trƣờng THPT. 3. Giả thuyết khoa học Nếu tìm hiểu đƣợc nguyên nhân dẫn đến các sai lầm phổ biến của HS trong quá trình giải toán hình học và có thể đề xuất đƣợc các biện pháp sƣ phạm phù hợp giúp HS phát hiện, sửa chữa và tránh đƣợc những sai lầm này thì góp phần rèn luyện năng lực giải toán hình học cho HS. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Thống kê các sai lầm của HS thông qua phân tích khoảng 200 lời giải các bài toán thuộc nội dung chứng minh hình học của HS THPT. - Phân tích các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học dựa trên các kết quả thống kê ở trên; - Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm giúp HS phát hiện, sửa chữa và hạn chế dần những sai lầm khi giải toán hình học; - Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về cơ chế tâm lí học và giáo dục học dẫn đến sai lầm của HS trong quá trình học Toán; - Nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu trên mẫu gồm khoảng 200 lời giải của hoc sinh THPT về nội dung chứng minh Hình học để thống kê được những sai 3
lầm phổ biến của HS khi học nội dung này, từ đó tìm ra được nguyên nhân dẫn đến những sai lầm này của HS. - Thực nghiệm sƣ phạm: trực tiếp giảng dạy thực nghiệm ở khối 10; 12 trƣờng THPT Cầu Xe – Tứ Kỳ - Hải Dƣơng trong năm học 2016- 2017. 6. Đóng góp của luận văn - Hệ thống hóa đƣợc một số sai lầm phổ biến của HS trong chứng minh hình học. - - THPT. - Hình thành cho ngƣời học sự tự tin trong học tập Toán. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, bảng biểu, phụ lục thì luận văn gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 4
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập Sự phát triển tâm lý của mỗi con ngƣời là một quá trình mà con ngƣời đó lĩnh hội nền văn hóa xã hội loài ngƣời và sự phát triển này là kết quả hoạt động của chính cá nhân ngƣời đó với những đối tƣợng do loài ngƣời tạo ra. Theo Lê Văn Hồng “Bản chất của sự phát triển tâm lý trẻ em không phải là sự tăng hoặc giảm về số lƣợng, mà là một quá trình biến đổi về chất lƣợng tâm lý. Sự thay đổi về lƣợng của các chức năng tâm lý dẫn đến sự thay đổi về chất và đƣa đến sự hình thành cái mới một cách nhẩy vọt [11, tr.16]”. Việc nghiên cứu về sự phát triển tâm lí của HS trong quá trình DH là vấn đề vô cùng lớn và phức tạp, tuy nhiên trong sự phát triển chung về mặt tâm lí của HS có sự phát triển của tƣ duy. Do vậy, trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi chỉ xin đề cập đến một số yếu tố tâm lí dẫn đến sai lầm trong tƣ duy của HS. Theo Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tƣợng trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết [24, tr.106]”. Trong quá trình DH ngƣời GV luôn coi trọng sự phát triển tƣ duy cho HS, hơn nữa để kích thích HS học tập, phát triển tƣ duy thì ngƣời GV thƣờng đƣa các em vào tình huống có vấn đề rồi tổ chức cho HS độc lập- sáng tạo giải quyết vấn đề đó. Cũng theo Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tƣ duy với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những khái quát hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong quá trình tƣ duy [24, tr.110]”. Đứng trƣớc một bài toán, từ nhận thức cảm tính của mình, HS phán đoán, suy luận, tổng hợp rồi đƣa ra lời giải hoặc kết quả của mình cho bài toán, trên cơ sở đó HS tự tạo ra những bài toán tƣơng tự hoặc đặc biệt hóa bài toán hoặc trừu tƣợng hóa và khái quát hóa bài toán. Nhƣ vậy, nếu HS chưa đủ kiến thức hoặc nhận thức không đúng, không đầy đủ về bản chất- nội dung bài toán tức là nhận thức cảm 5
tính sai từ đó dẫn đến suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp, nhƣ thế bài toán giải sai hoặc giải bài toán chƣa triệt để còn thiếu trƣờng hợp. Theo Lê Văn Hồng “Học sinh càng trƣởng thành, kinh nghiệm cuộc sống ngày càng phong phú, các em càng ý thức đƣợc rằng mình đang đứng trƣớc ngƣỡng cửa của cuộc đời [11, tr.63]”. Do vậy, thái độ có ý thức của các em đối với học tập ngày càng phát triển. Sự học tập của các em có tính lựa chọn môn học hơn, nó gắn liền với khuynh hƣớng nghề nghiệp và đòi hỏi tính năng động, độc lập, muốn nắm đƣợc chƣơng trình mình yêu thích một cách sâu sắc, nhưng lại thường sao nhãng các nội dung khác hoặc môn học khác. Tƣ duy của mỗi ngƣời đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động nhận thức tích cực của bản thân ngƣời đó. Ở lứa tuổi THPT, HS có khả năng tƣ duy lý luận, tƣ duy trừu tƣợng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tƣợng đã đƣợc học ở trƣờng . Tƣ duy của các em có chặt chẽ hơn, có căn cứ và nhất quán hơn. Đồng thời tính phê phán của tƣ duy cũng phát triển. Những đặc điểm trên tạo điều kiện cho HS thực hiện các thao tác tƣ duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản của khái niệm trừu tƣợng và nắm đƣợc mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên và trong xã hội. Đó là cơ sở để hình thành thế giới quan. Tuy nhiên, hiện nay một số HS THPT đạt đƣợc mức độ đặc trƣng cho lứa tuổi trên còn chƣa nhiều. Nhiều HS “đánh giá cao nhân cách của mình- tỏ ra tự cao, coi thƣờng ngƣời khác [11, tr.68]”. Nhiều khi các em chƣa chú ý phát huy hết năng lực độc lập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội vàng theo cảm tính và kết quả dẫn tới những sai sót, sai lầm đáng tiếc. Việc dẫn đến sai lầm đáng tiếc đó, HS lại không biết và cứ cho mình là đúng, không kiểm tra -soi xét lại. 1.2. Năng lực chứng minh hình học 1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh Chứng minh Toán học là quá trình suy luận nhằm xác lập một phán đoán là đúng bằng cách dùng các phán đoán khác đã đƣợc xác lập là đúng và dựa vào các quy tắc suy luận. Theo Nguyễn Bá Kim “Trong Toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực 6
đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm [12]”. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trƣờng hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chƣa đƣợc chứng minh nhƣng đƣợc chấp nhận đúng đƣợc gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã đƣợc chứng minh thƣờng đƣợc gọi là định lý, một khi định lý đã đƣợc chứng minh, nó có thể đƣợc dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác. Một định lý cũng có thể đƣợc gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó đƣợc dự định dùng làm bƣớc đệm để chứng minh một định lý khác. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.366] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1 , A2 ,..., An thỏa mãn các điều kiện sau: + Mỗi Ai (i 1, 2,..., n ) của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy ra từ một số trong các A1 , A2 ,..., Ai 1 nhờ những quy tắc kết luận lôgic; + An chính là mệnh đề T. Nhƣ vậy có thể hiểu: Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa, các định lí đã đƣợc chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần chứng minh) và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận đúng. Do vậy, cấu trúc của một phép chứng minh toán học bao gồm 3 bộ phận (luận đề, luận cứ, luận chứng). Cụ thể nhƣ sau: +) Luận đề: Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh cái gì?”. Nhƣ vậy ta có thể hiểu luận đề chính là kết luận của mệnh đề. +) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của mệnh đề cần chứng minh) đƣợc đƣa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì ?”. +) Luận chứng: Là những quy tắc suy luận lôgíc đƣợc sử dụng trong chứng minh. Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy luận nào?”. 7
1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học 1.2.2.1. Suy luận và suy luận hợp lôgic Theo Chu Cẩm Thơ: “Suy luận hay suy lí là một hình thức cơ bản của tƣ duy đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra những phán đoán mới. Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận [21, tr 50]”. Nhƣ vậy, suy luận là quá trình suy nghĩ, liên hệ, kết nối, để từ một hay nhiều phán đoán đã có rồi rút ra phán đoán mới, bao hàm một tri thức mới. Hình thức biểu diễn suy luận: Mỗi suy luận đƣợc biểu diễn dƣới dạng một mệnh đề kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề. Nếu gọi * X i ,(i 1, k ; k ) là các tiền đề đã biết và Y là tiền đề mới (kết luận của suy luận) thì ta có kí hiệu: X1 X2 . X . X ... X Kí hiệu: X1 X2 .... Xk Y hay . hay 1 2 k Y . Xk Y Suy luận hợp lôgic: Nếu suy luận X 1 X2 ... Xk Y là hằng đúng thì ta có suy luận hợp lôgic hay hệ quả lôgic. Mệnh đề hằng đúng biểu thị một quy luật lôgic. Theo các tác giả Trần Nguyên An và Nguyễn Văn Hoàng [1, tr.77] thì bảng giá trị chân lí xác định phép toán hội, phép toán tuyển, phép toán kéo theo, phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng nhƣ sau: + Bảng giá trị chân lí xác định phép toán hội (trong thực tế ta thƣờng dùng liên từ “và” để chỉ phép toán hội) là: a b a b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 8
+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán tuyển (trong thực tế ta thƣờng dùng liên từ “hoặc” để chỉ phép toán tuyển) là: a b a b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 + Bảng giá trị chân lí xác định phép toán kéo theo (trong thực tế ta thƣờng dùng liên từ “suy ra” để chỉ phép toán kéo theo) là: a b a b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 + Bảng giá trị chân lí xác định phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng (trong thực tế ta thƣờng dùng liên từ “khi và chỉ khi” để chỉ phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng) là: a b a b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Điều kiện cần và để suy luận đạt tới kết quả đúng là phải xuất phát từ những tiền đề đúng và quá trình suy luận phải đúng. Suy luận là quá trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định. Muốn suy luận đúng thì phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy. * Các quy tắc suy luận trong toán học: Ta thƣờng phân biệt 2 hình thức suy luận: đó là suy diễn (suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp) và quy nạp. Trong phân môn hình học thì ta thƣờng vận dụng suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp: 9
- Suy diễn trực tiếp (suy luận trực tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ một tiền đề rồi rút ra kết luận ngay. - Suy diễn gián tiếp (suy luận gián tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ hai hay nhiều tiền đề rồi mới rút ra kết luận hoặc vận dụng PP chứng minh phản chứng. Tam đoạn luận là phép suy luận gián tiếp, trong đó kết luận đƣợc rút ra từ hai tiền đề. Các dạng chính của phép tam đoạn luận: Tam đoạn luận khẳng định, Tam đoạn luận giả định, Tam đoạn luận lựa chọn và Tam đoạn luận có điều kiện. Trong chứng minh hình học ở phổ thông thì ta thƣờng vận dụng phép Tam đoạn luận khẳng định. + Tam đoạn luận khẳng định (xác định): Nếu các tiền đề là các phán đoán xác X Y,X định thì có phép tam đoạn luận xác định hay (X (X Y )) Y. Y (X Y )Y + Tam đoạn luận giả định: có cấu trúc hình thức phủ định là : . X Thí dụ: Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì MA MB 0 mà : IC ID 0 Điểm I không phải là trung điểm của đoạn CD + Tam đoạn luận lựa chọn: Nếu một tiền đề là phán đoán lựa chọn (tuyển của một số phán đoán, mệnh đề sơ cấp) thì có phép tam đoạn luận lựa chọn. X Z,Z Y +) Phép tam đoạn luận có điều kiện (bắc cầu) : . X Y Tóm lại ta có những suy luận hợp lôgic và không hợp lôgic Những suy luận có dạng sau là suy luận hợp lôgic: (X Y ),X (X Y )Y (X Z )(Z Y) ; ; . Y X X Y Những suy luận có dạng sau không hợp lôgic: (X Y )Y (X Y)X (X Y )(Z Y)Z ; ; . X Y X 10
1.2.2.2. Các bước thực hiện một bài toán chứng minh hình học Chúng tôi quan niệm rằng các bƣớc thực hiện một bài toán chứng minh hình học tuân theo quy trình bốn bƣớc nhƣ sau: a) Bước 1: Tìm hiểu bài toán Để hiểu rõ đề toán trong một bài toán Hình học thì ngƣời học cần: - Phải nắm rõ luận đề và luận cứ của bài toán (giả thiết của bài toán mới chỉ là một phần luận cứ của bài toán); - Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán. Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu đƣợc đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ còn tác dụng gợi ý cho việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tƣởng tƣợng không gian. Nếu cần thiết ta phải vẽ thêm đƣờng phụ cho bài toán. Khi vẽ hình cho bài toán cần lƣu ý: + Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trƣờng hợp đặc biệt, vì nhƣ thế dễ gây ngộ nhận; + Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ (nếu có thể); + Để làm nổi bật các đƣờng, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nét đậm, nét nhạt với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt; + Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết (một phần của luận cứ) và hình vẽ thể hiện luận đề của bài toán. b) Bước 2: Tìm tòi lời giải cho bài toán Sau khi làm rõ luận đề, luận cứ của bài toán thì ta nên “phân tích ngƣợc” để tìm ra mối liên hệ giữa luận đề với luận cứ, trên cơ sở đó tìm ra lời giải cho bài toán. Để tìm ra đƣợc hƣớng giải cho bài toán thì ngoài việc “phân tích ngƣợc” nhƣ trên ta nghĩ đến những bài toán có liên quan (những bài toán này đã biết cách giải). Nghĩ đến những bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kết quả hay PP giải các bài toán đó. c) Bước 3: Trình bày lời giải bài toán Quá trình tìm tòi lời giải là quá trình phân tích còn quá trình trình bày bài giải là quá trình tổng hợp các kết quả đã phân tích. Trong quá trình tổng hợp các kết quả phân tích để trình bày lời giải thì ta cần lƣu ý: 11
+ Cần sắp xếp các công việc phải làm theo một trình tự thích hợp, phải trình bày lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọn gàng. Trình tự trình bày bài toán có thể khác với trình tự tìm tòi lời giải; + Phải sử dụng những quy tắc suy luận hợp lôgíc, nghĩa là biết mình phải vận dụng quy tắc suy luận nào?. d) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Sau khi giải xong bài toán ta cần thực hiện: + Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán (kiểm chứng lại kết quả chứng minh); + Suy nghĩ xem có lời giải, hƣớng giải khác không?. Tìm ra lời giải hay nhất cho bài toán; + Suy nghĩ xem có thể vận dụng kết quả chứng minh này để vận dụng chứng minh một bài toán khác hay không?; + Từ những kết quả thu đƣợc tìm cách đề xuất những bài toán khác tƣơng tự, hoặc mở rộng bài toán hoặc lật ngƣợc vấn đề. 1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học Hình học là một phân môn của Toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thƣớc và vị trí của các hình trong không gian. Ở trƣờng phổ thông, việc dạy hình học cung cấp cho HS những kiến thức về các đối tƣợng hình học và mối quan hệ giữa chúng. Ngoài ra việc dạy hình học còn giúp HS rèn luyện, phát triển năng lực tƣ duy, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Để tìm lời giải cho một bài toán đặc biệt là bài toán hình học thì ngƣời làm toán phải biết phân tích bài toán (giả thiết cho những gì? Ta cần chứng minh điều gì? Mối quan hệ giữa giả thiết với kết luận?). Chứng minh (tìm lời giải) nhƣ thế nào?. Trên cơ sở phân tích đó, ngƣời làm toán phải biết tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và vận dụng linh hoạt các kiến thức, PP giải phù hợp để từ giả thiết suy ra đƣợc kết luận (giải quyết xong bài toán). Nhƣ vậy qua nghiên cứu về cơ sở lôgic của phép chứng minh toán học, các bƣớc để thực hiện một bài toán chứng minh hình học, chúng tôi cho rằng một số biểu hiện sau đây là thành tố của năng lực chứng minh hình học của HS: 12
+ Đọc, viết các kí hiệu toán học một cách chính xác, sử dụng đúng các công thức, các phép toán; + Xác định rõ luận đề, luận cứ và biết phân tích ngƣợc để tìm ra mối quan hệ giữa chúng, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán; + Nắm vững quy tắc suy luận trong chứng minh hình học; + Khả năng kết nối tri thức (tổng hợp kiến thức). 1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán Theo từ điển Tiếng Việt thì: “Sai lầm là trái với yêu cầu khách quan hoặc trái với lẽ phải, đẫn đến hậu quả không hay”. “Sai sót là khuyết điểm không lớn, do sơ suất”. “Phổ biến là có tính chất chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện tƣợng, sự vật [16, tr.844]”. Do vậy, theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình là làm trái với yêu cầu bài toán hoặc vận dụng không đúng luận cứ (khái niệm, định nghĩa, tiên đề, định lý) hoặc suy luận sai, vận dụng không đúng quy tắc suy luận…. Dẫn tới giải sai bài toán, không đạt đƣợc yêu cầu giải toán mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS. Trong giảng dạy ở bất kỳ khối nào, lớp nào cũng có những sai sót, sai lầm đáng tiếc của HS. Mức độ sai sót tùy thuộc vào trình độ của đối tƣợng HS lớp đó. Có những sai sót cơ bản, thậm chí là rất cơ bản, nhƣng có những sai sót không dễ gì phát hiện đƣợc. Nhận diện rõ những sai sót, sai lầm của HS, giáo viên cần tìm ra nguyên nhân của sai lầm đó để có hƣớng khắc phục và điều chỉnh hợp lý để giúp HS tránh những sai sót và có hiệu quả làm bài cao hơn. Trong Toán học: Với mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, nhƣng dù giải theo cách nào thì chỉ có một kết quả đúng, có những cách giải sai nhƣng vẫn cho kết quả đúng, có những cách giải thiếu trƣờng hợp nhƣng vẫn cho kết quả đúng, đƣơng nhiên những cách giải cho kết quả sai là cách giải không đúng. Chính vì vậy, mỗi giáo viên khi giảng dạy cần rèn cho HS tính cẩn thận, trình bày bài lôgic, chặt chẽ để giúp HS tránh những sai sót, khi phát hiện HS có sai sót thì giáo viên cần chỉnh sửa ngay cho HS và nhắc các HS khác tránh những sai lầm tƣơng tự. 13