Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu thực hành dạy học số phức trong bối cảnh thay đổi hình thức đánh giá

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:127

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu của đề tài là: Xây dựng lưới tổ chức tri thức tham chiếu; Nghiên cứu thứ nhất về thực hành dạy học: sự chuyển hóa sư phạm nội tại của một giáo viên; Nghiên cứu thứ hai về thực hành dạy học: thực nghiệm điều tra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu thực hành dạy học số phức trong bối cảnh thay đổi hình thức đánh giá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Đào NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC SỐ PHỨC TRONG BỐI CẢNH THAY ĐỔI HÌNH THỨC ĐÁNH GIÁ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Đào NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC SỐ PHỨC TRONG BỐI CẢNH THAY ĐỔI HÌNH THỨC ĐÁNH GIÁ Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy. Tác giả Nguyễn Thị Minh Đào
MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .....................................................................................1 1.1. Bối cảnh nghiên cứu .....................................................................................1 1.1.1. Định hướng đổi mới mục tiêu dạy học môn Toán ..............................1 1.1.2. Ghi nhận từ kỳ thi trung học phổ thông Quốc gia năm 2017 ..............2 1.2. Thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt .......................................................3 1.3. Số phức, một ứng viên cho định hướng nghiên cứu đã lựa chọn .................5 1.3.1. Đại số - lĩnh vực làm nảy sinh số phức ...............................................5 1.3.2. Hình học – lĩnh vực mang lại tính hợp thức cho số phức ...................6 1.3.3. Lượng giác - lĩnh vực mang lại thêm ngôn ngữ cho số phức..............6 1.3.4. Các cách tiếp cận khái niệm số phức ..................................................9 1.4. Vấn đề đặt ra...............................................................................................11 1.5. Lí thuyết tham chiếu ...................................................................................11 1.5.1. Chuyển hoá sư phạm nội tại ...............................................................11 1.5.2. Tổ chức tri thức và tổ chức tri thức tham chiếu .................................13 1.5.3. Tổ chức dạy học .................................................................................15 1.6. Câu hỏi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu .......................................16 1.6.1. Câu hỏi nghiên cứu.............................................................................16 1.6.2. Mục tiêu nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu .............................17 Chương 2. XÂY DỰNG LƯỚI TỔ CHỨC TRI THỨC THAM CHIẾU......20 2.1. Những tổ chức toán học liên quan đến số phức được xem xét trong I ..........20 2.1.1. Những tổ chức toán học hiện diện trong sách giáo khoa giải tích 12 (SGK 12CB) ..........................................................................................21 2.1.2. Những tổ chức toán học hiện diện trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao (SGK 12NC)………………………………………………...23
2.1.3. Những tổ chức toán học hiện diện trong các đề thi trắc nghiệm của Bộ Giáo dục và Đào tạo.........................................................................25 2.1.4. Một số tổ chức toán học tìm thấy trong vài giáo trình nước ngoài ........32 2.2. Lưới tổ chức tri thức tham chiếu ...................................................................42 2.2.1. Chọn biến và giá trị của biến ..................................................................42 2.2.2. Lưới tổ chức tri thức tham chiếu về số phức ..........................................42 Chương 3. NGHIÊN CỨU THỨ NHẤT VỀ THỰC HÀNH DẠY HỌC: SỰ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM NỘI TẠI CỦA MỘT GIÁO VIÊN ....52 3.1. Phân tích chương trình ...................................................................................52 3.2. Phân tích quá trình chuyển hóa sư phạm nội tại của giáo viên 1 ..................53 3.2.1. Phân tích dự án dạy học .........................................................................53 3.2.2. Phân tích thực hành dạy học của giáo viên 1 .........................................57 3.3. Kết luận về sự chuyển hóa sư phạm nội tại của giáo viên 1 ..........................66 Chương 4. NGHIÊN CỨU THỨ HAI VỀ THỰC HÀNH DẠY HỌC: THỰC NGHIỆM ĐIỀU TRA ...............................................................68 4.1. Mục tiêu và đối tượng thực nghiệm...............................................................68 4.2. Nội dung thực nghiệm ...................................................................................68 4.2.1. Phân tích tiên nghiệm .............................................................................69 4.2.2. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................78 4.3. Kết luận chương 4 ..........................................................................................86 KẾT LUẬN ..........................................................................................................87 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................89 PHỤ LỤC
LỜI CẢM ƠN “Thưa Cô, em xin chân thành cảm ơn Cô”, đó là những từ ngữ tuy mộc mạc nhưng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc từ tận đáy lòng của tôi đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Cô đã rất tận tình, tận tâm giảng dạy, chỉ dẫn, giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cô không quản nhọc nhằn, với bộn bề công việc nhưng vẫn nhiệt tình giúp đỡ học viên. Không thể nói hết tấm lòng mà Cô đã dành cho học viên - trong đó có tôi. Cô là một tấm gương sáng về sự say mê nghiên cứu khoa học và lòng nhiệt tình trong giảng dạy mà tôi luôn phấn đấu noi theo. Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương và TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng. Các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, đưa tôi vào thế giới mới - Didactic toán, một chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị và giúp ích cho tôi trên con đường vì sự nghiệp giáo dục của mình. Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn GS.TS. Annie Bessot và GS.TS. Hamid Chaachoua, hai giáo sư đã cho tôi những góp ý quan trọng cho luận văn của mình. Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô tổ Toán trường THPT Châu Thành, THPT Bà Rịa, THPT Nguyễn Huệ, THPT Nguyễn Văn Cừ, THPT Võ Thị Sáu (Đất Đỏ), THPT Ngô Quyền cùng Ban lãnh đạo, chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn. Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa luôn giúp đỡ nhau trong quá trình học tập. Hai em Vân và Trâm Ngọc luôn đồng hành giúp đỡ tôi trong việc học. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến những người thân yêu trong gia đình. Mẹ và em gái là người luôn động viên, chăm sóc hai cháu trong những ngày tôi đi học xa nhà. Đặc biệt là chồng – đồng thời là người bạn đồng hành, động viên nhau cùng cố gắng học tập. Cảm ơn hai con đã biết tự chăm sóc bản thân, ngoan ngoãn để bố mẹ an tâm trong việc học. Nguyễn Thị Minh Đào
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu Từ viết tắt PPDH Phương pháp dạy học GV Giáo viên HS Học sinh KNV Kiểu nhiệm vụ MTCT Máy tính cầm tay TCTH Tổ chức toán học SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập SGK 12CB Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản SGK 12NC Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao SGV 12NC Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao THPT Trung học phổ thông Tr Trang NXB Nhà xuất bản
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1: Hai tổ chức toán học địa phương của số phức trong SGK 12CB ........21 Bảng 2.2: Ba tổ chức toán học địa phương của số phức trong SGK 12NC ........23 Bảng 2.3: Lưới OM tham chiếu của số phức thuộc loại 2.2 .................................45 Bảng 2.4: Lưới OM tham chiếu của số phức ........................................................49 Bảng 3: Thống kê những OM quan sát được của GV1 so với lưới OM tham chiếu ..............................................................................64 Bảng 4.1: Thống kê số lượng GV từng trường .....................................................68 Bảng 4.2: Thống kê câu trả lời của GV đối với câu hỏi 1 ....................................78 Bảng 4.3: Thống kê câu trả lời của GV đối với câu hỏi 4 ....................................82 Bảng 4.4: Thống kê về số lượng chiến lược được nêu ở câu hỏi 5 ......................83 Bảng 4.5: Bảng thống kê lựa chọn của GV đối với câu hỏi 6 ..............................84
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 3.1. Lời giải của HS7 ...................................................................................62 Hình 3.2. Cách giải khác của GV1 .......................................................................62 Hình 3.3. Hướng dẫn giải bài 2 dạng 2 của GV ...................................................63 Hình 4.1. Câu hỏi 1 - Trả lời của GV37 ...............................................................79 Hình 4.2. Câu hỏi 1 - Trả lời của GV19 ...............................................................79 Hình 4.3. Câu hỏi 1 - Trả lời của GV16 ...............................................................79 Hình 4.4. Câu hỏi 2 - Trả lời của GV34 ...............................................................79 Hình 4.5. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV6 .................................................................80 Hình 4.6. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV16 ...............................................................80 Hình 4.7. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV20 ...............................................................80 Hình 4.8. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV6 .................................................................80 Hình 4.9. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV6 .................................................................81 Hình 4.10. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV16 .............................................................81 Hình 4.11. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV15 .............................................................81 Hình 4.12. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV15 .............................................................81 Hình 4.13. Câu hỏi 3 - Trả lời của GV30 .............................................................81 Hình 4.14. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV15 .............................................................82 Hình 4.15. Câu hỏi 4 - Trả lời của GV21 .............................................................82 Hình 4.16. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV36 .............................................................84 Hình 4.17. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV22 .............................................................84 Hình 4.18. Câu hỏi 6 - Trả lời của GV37 .............................................................85 Hình 4.19. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV27 .............................................................85 Hình 4.20. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV15 .............................................................85 Hình 4.21. Câu hỏi 7 - Trả lời của GV19 .............................................................85
1 Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Bối cảnh nghiên cứu 1.1.1. Định hướng đổi mới mục tiêu dạy học môn Toán Chương trình Giáo dục phổ thông nước ta đang chuẩn bị cho bước chuyển từ tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học. Người ta đặc biệt quan tâm đến việc học sinh (HS) vận dụng những kiến thức thu nhận được trong nhà trường như thế nào vào thực tiễn hay vào việc học. Mục tiêu chính là tập trung phát triển trí tuệ, hình thành phẩm chất, phát triển năng lực cho HS. Dự thảo chương trình giáo dục phổ thông công bố chiều 19/1/2018 xác định rõ là việc dạy học toán hướng tới phát triển cho người học những năng lực sau: - Năng lực tư duy và lập luận toán học. - Năng lực mô hình hóa toán học: có khả năng sử dụng được các mô hình toán học để giải quyết những vấn đề thực tế không quá phức tạp. - Năng lực giải quyết vấn đề: thể hiện ở khả năng nhận biết phát hiện được vấn đề cần giải quyết, xác định, giải thích thông tin, xác định cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề và sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết nó. - Năng lực giao tiếp toán học: có khả năng tiếp nhận thông tin cơ bản và mô tả, giải thích các nội dung, ý tưởng toán học bằng ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường một cách tự tin. - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: biết và sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán một cách hợp lý. Trên tinh thần đó, việc giáo viên (GV) toán nhồi nhét hay dạy qua quýt những kiến thức hàn lâm, luyện cho HS giải bài tập theo mẫu, khiến các em chỉ biết vận dụng thuật toán một cách rập khuôn, máy móc mà không hiểu được ý nghĩa cũng như không sử dụng được kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống là cách dạy đi ngược lại xu hướng tiếp cận năng lực mà công cuộc đổi mới toàn diện nền giáo dục của Việt Nam đang hướng tới.
2 1.1.2. Ghi nhận từ kỳ thi trung học phổ thông Quốc gia năm 2017 Mục tiêu thay đổi, điều tất yếu là phải thay đổi tất cả các khâu của quá trình dạy học: nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức dạy học, cách kiểm tra, đánh giá, thi cử… Về công tác đánh giá, chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011– 2020 ban hành kèm theo Quyết định 711/QĐ-TT ngày 13/6/2012 của Thủ tướng Chính phủ nhấn mạnh: Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học. Đổi mới kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng theo hướng đảm bảo thiết thực, hiệu quả, khách quan và công bằng; kết hợp kết quả kiểm tra đánh giá trong quá trình giáo dục với kết quả thi. Theo xu hướng này, người ta nói nhiều đến việc phải chuyển mục tiêu đánh giá nặng về kiểm tra trí nhớ sang đánh giá những năng lực đã được xác định ở trên. Có lẽ là do mong muốn tìm một cách đánh giá đáp ứng mục tiêu đổi mới mà năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo bắt đầu thay đổi hình thức đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) đối với bộ môn Toán, chuyển từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan. Nếu như đề thi tự luận chỉ bó hẹp trong một số dạng toán quen thuộc thì hình thức đánh giá với đề thi trắc nghiệm cho phép kiểm tra được kiến thức của HS trên một bình diện khá rộng, đồng thời vẫn có thể đánh giá được một số năng lực cơ bản, như năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực giao tiếp toán học. Về năng lực cuối cùng này, cần phải nói rõ là hình thức thi trắc nghiệm không cho phép đánh giá khả năng diễn đạt bằng ngôn ngữ lời, nhưng người ta vẫn có thể kiểm tra được khả năng hiểu các phát biểu của HS. Hơn thế nữa, câu trả lời mà mỗi HS lựa chọn sẽ thể hiện ngầm ẩn, thậm chí có thể tường minh (tuỳ câu hỏi cụ thể) việc HS có biết sử dụng các ngôn ngữ khác nhau của toán học để giải quyết một vấn đề hay không. Để minh hoạ cho ý kiến trên, ta hãy liếc qua chủ đề hàm số trong các đề thi. Suốt mấy thập niên qua, hầu hết những bài toán liên quan đến hàm số trong các đề tự luận đều là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (được cho sẵn bằng công thức), kèm theo đó thường là yêu cầu biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số (mà HS có thể
3 tận dụng đồ thị vừa vẽ) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. Phương pháp giải các dạng toán này đã được sách giáo khoa (SGK) hướng dẫn tường minh, mặt khác lại được GV chú trọng luyện tập bởi đó là một kiểu câu hỏi quen thuộc mà đề thi năm nào cũng có. Những kiểu nhiệm vụ (KNV) “đọc” đồ thị, nghiên cứu hàm số mà công thức biểu thị hàm không cho sẵn, hay giải các bài toán thực tế gắn với hàm số, cực trị, đạo hàm, … hầu như không xuất hiện. Thế nhưng, các KNV này đã được đưa vào trong đề thi trắc nghiệm năm 2017. Chẳng hạn như người ta cho đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số và yêu cầu HS xét tính đơn điệu, tìm cực trị hoặc chỉ ra công thức của hàm số. Người ta cũng yêu cầu HS tìm quãng đường đi được của vật khi biết hàm số vận tốc hoặc đồ thị hàm số vận tốc theo thời gian. Tóm lại, nếu như trong các đề thi tự luận trước kia hàm số luôn được cho bằng công thức, thì giờ đây ngôn ngữ dùng để biểu thị hàm số trong đề thi trắc nghiệm phong phú hơn nhiều. KNV liên quan đến hàm số xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm cũng rất đa dạng. Những điểm mới đó đòi hỏi HS phải hiểu bản chất của các khái niệm toán học được đưa vào chương trình. Sự thay đổi này không chỉ có với chủ đề hàm số, mà còn tác động đến nhiều chủ đề khác hiện diện trong các đề thi thử, đề thi minh hoạ và đề thi chính thức của kỳ thi THPT Quốc gia (môn toán) với câu hỏi trắc nghiệm. 1.2. Thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt Những ghi nhận về sự thay đổi đề thi theo kiểu sử dụng nhiều ngôn ngữ khác nhau để nói về cùng một đối tượng tri thức khiến chúng tôi liên hệ đến quan điểm thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt trong dạy học toán. Theo quan điểm đó, người ta chuyển vấn đề cần nghiên cứu từ phạm vi này sang phạm vi kia (ví dụ như từ giải tích sang hình học) và biểu diễn đối tượng tri thức bằng những ngôn ngữ khác nhau (lời, biểu thức, đồ thị, biểu bảng, hình vẽ, ...) để tìm cách giải quyết một vấn đề. Douady (1986) gọi việc đặt đối tượng tri thức trong những lĩnh vực khác nhau và nghiên cứu chúng bằng những ngôn ngữ khác nhau là thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt. Theo tác giả: Thay đổi phạm vi là một cách làm để nhận được những hình thức trình bày khác – không nhất thiết phải tương đương với nhau – cho một bài toán. […]. Dù thế nào đi chăng nữa, việc dịch từ phạm vi này sang phạm vi khác thường đạt đến những kết
4 quả chưa từng có, những kỹ thuật mới, những đối tượng toán học mới – nói tóm lại là làm phong phú thêm cho phạm vi ban đầu. (Trích theo Lê Thị Hoài Châu, 2015, tr. 43) Lợi ích của sự thay đổi này cũng đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu làm rõ: Nhìn lại lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta sẽ nhận thấy rằng trong nhiều trường hợp, để giải quyết một vấn đề, nhà nghiên cứu đã phải thay đổi cách nhìn về nó, trình bày nó từ góc độ khác, đặt nó trong phạm vi khác – ít nhất cũng khác một phần. Điều đó cho phép đưa ra những câu hỏi mới và gợi ra việc sử dụng những công cụ vốn không được nghĩ đến lúc đầu. Việc thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt (đặt một đối tượng toán học trong những phạm vi khác nhau, biểu diễn chúng bằng những ngôn ngữ khác nhau) giữ vai trò quan trọng trong hoạt động nghiên cứu toán học. ... Dạy học sinh biết chuyển từ phạm vi này sang phạm vi kia, biết khai thác nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau cho cùng một đối tượng sẽ giúp họ nắm kiến thức sâu hơn. Nó còn góp phần phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh và trong nhiều trường hợp nó tạo ra động lực cho việc học. (Lê Thị Hoài Châu, 2015, tr. 43-44) Hơn thế, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã xem việc thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt như một xu hướng dạy học tích hợp, đó là tích hợp trong nội tại môn toán. Tác giả cho rằng dạy học toán theo xu hướng này giúp HS hiểu biết mối quan hệ giữa các phân môn và tính thống nhất của toán học, đồng thời góp phần phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học. Đặc biệt, nó phát triển được tư duy linh hoạt thông qua việc đặt đối tượng tri thức trong những lĩnh vực khác nhau và nghiên cứu chúng bằng những ngôn ngữ khác nhau. Những ghi nhận nói trên về sự đa dạng của ngôn ngữ biểu thị các đối tượng toán học trong đề thi trắc nghiệm cùng với lợi ích của việc thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt trong dạy học toán dẫn chúng tôi quan tâm đến việc dạy học toán theo cách tiếp cận của Douady. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi tự giới hạn ở nghiên cứu thực hành dạy học của GV. Lý do của sự lựa chọn này chính là bối cảnh chương trình và sách giáo khoa theo định hướng đổi mới chưa triển khai, nhưng hình thức và mục tiêu đánh
5 giá đã thay đổi trước một bước. Chúng tôi tự hỏi: trong bối cảnh ấy, liệu GV sẽ có những thay đổi gì trong hoạt động giảng dạy của mình? 1.3. Số phức, một ứng viên cho định hướng nghiên cứu đã lựa chọn Về cách tiếp cận của Douady, chúng tôi nhận thấy số phức là một ứng viên tiềm năng, bởi nó là đối tượng thuộc miền giao của các phân môn toán học khác nhau. 1.3.1. Đại số - lĩnh vực làm nảy sinh số phức Nghiên cứu lịch sử chỉ ra rằng số phức được hình thành trước hết là do nhu cầu của Đại số, mà cụ thể là từ vấn đề giải phương trình bậc ba. Năm 1547, Cardano công bố phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 (a  0). Ông đưa phương trình cần giải về dạng x  px  q  0 3 và chứng minh được công thức tính nghiệm của phương trình này là q q2 p3 3 q q2 p3 x3       . Thế nhưng, chính từ đây mà mâu thuẫn phát 2 4 27 2 4 27 sinh: có những phương trình nhìn thấy ngay là có ba nghiệm thực, nhưng theo công thức Cadano thì lại vô nghiệm. Chẳng hạn như phương trình 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 = 0 có ba nghiệm là (-3); 1; 2 nhưng lại không có nghiệm theo công thức Cacdano, vì ở đó biểu thức 𝑞2 𝑝3 √ − < 0 và không có nghĩa trong R. 4 27 Để giải quyết mâu thuẫn này, phân tích của các nhà toán học cho thấy phải thừa nhận sự tồn tại căn bậc hai các số âm. Nhưng √𝑎 với 𝑎 < 0 không thể là số thực. Chưa biết đó là gì, các nhà toán học viết √−1 = 𝑖, √𝑎 = √|𝑎| i nếu 𝑎 < 0, và thừa nhận các quy tắc tính toán trên R với những biểu thức chứa i, rồi thay nó vào công thức Cacdano, họ tìm ra được đúng 3 nghiệm thực nếu giải bằng phương pháp khác. Chính từ đây mà khái niệm số phức ra đời. Các nhà toán học thừa nhận sự tồn tại một cách hình thức của i và các đại lượng a + bi để giải quyết mâu thuẫn gặp phải khi giải phương trình bậc ba, nhưng vẫn không gọi chúng là “số” và luôn đặt ra câu hỏi về tính hợp thức của chúng.
6 1.3.2. Hình học – lĩnh vực mang lại tính hợp thức cho số phức Như vậy, √𝑎 chỉ là những “đối tượng được ký hiệu một cách hình thức, chưa có một “nghĩa” xác định nào. Vậy chúng là gì ? Giải thích như thế nào những phép toán trên tập số phức vốn được định nghĩa một cách hình thức? Câu hỏi về tính hợp thức của số phức đã khiến nhiều nhà toán học quan tâm, vì mọi khái niệm toán học dù trừu tượng đến mấy cũng phải tìm thấy “nghĩa”, tìm thấy “hình ảnh” của nó trong thực tế. Để tìm câu trả lời, một số nhà toán học viện đến sự giúp đỡ của hình học, giống như trước kia đã dùng đường thẳng số để biểu diễn các số âm. Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học cho số phức (thời đó được gọi là “ảo”, “phi lý”, “không thể”) mà họ đã đến với tính toán vectơ. (Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr. 84) Như vậy, số phức tìm thấy nghĩa của nó trong phạm vi Hình học. Mỗi số phức ứng với một vectơ. Phép cộng, trừ số phức ứng với phép cộng, trừ vectơ. Tiếp tục phát triển tư tưởng dùng Hình học để giải thích các phép toán được định nghĩa một cách hình thức trên tập số phức, các nhà toán học thấy tích hai số phức ứng với tích hai phép quay (chẳng hạn, bình phương của i bằng (-1) vì tích hai phép quay cùng tâm O, góc quay 90° sẽ cho phép quay 180°, biến điểm (0; 1) trên trục hoành thành điểm (−1; 0)). 1.3.3. Lượng giác - lĩnh vực mang lại thêm ngôn ngữ cho số phức Việc số phức tìm thấy phạm vi hợp thức của mình trong Hình học khiến nó lại trở thành một công cụ để giải quyết nhiều bài toán hình học (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr. 49-51). Cũng chính từ đây mà các khái niệm môđun, argumen của số phức được hình thành, mang lại cho số phức một cách viết mới, cách viết ở dạng lượng giác. Cách viết này cho phép người ta thực hiện dễ dàng các phép toán nâng lên lũy thừa cũng như khai căn trong tập số phức. Từ đó người ta lại chứng minh được công thức Euler, khiến số phức có một dạng biểu diễn mới – dạng mũ. Điều này làm cho ứng dụng của số phức trong toán học càng được mở rộng hơn, không chỉ trong Đại số, Hình học, Giải tích mà cả trong một số khoa học khác, đặc biệt là Vật lý.
7 Phân tích trên cho thấy số phức có các1 dạng biểu diễn: đại số - bởi biểu thức 𝑎 + 𝑏𝑖; lượng giác – dưới dạng 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃); mũ – bởi biểu thức 𝑟𝑒 𝑖𝜃 và hình học - bởi một điểm hay một vectơ. Do đó, có thể xem số phức là một ứng viên cho quan điểm của Douady trong việc luyện cho HS biết thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt để giải quyết nhiều vấn đề của toán học. Mấu chốt ở đây trước hết là phải dạy cho HS biết sử dụng những ngôn ngữ khác nhau để nghiên cứu số phức. Như chúng tôi phân tích dưới đây, điều này bước đầu đã được khai thác trong đề thi trắc nghiệm năm 2017. Chúng ta đã biết, số phức cũng có mặt trong hầu hết các đề thi môn Toán kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học - Cao đẳng các năm gần đây. Dạng bài toán liên quan đến số phức trong các đề thi tự luận chủ yếu là: - Giải phương trình bậc hai trên tập số phức. - Tìm môđun của số phức. - Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước. - Tìm phần thực, phần ảo của số phức. - Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa điều kiện cho trước. Để giải những bài toán này, HS chỉ cần áp dụng các phép toán trên tập số phức hoặc các công thức đại số liên quan đến số phức, chẳng hạn như công thức tính môđun của số phức, công thức nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức, ... Hiển nhiên, vì muốn kiểm tra kỹ năng sử dụng các công thức đó, số phức luôn được cho ở dạng đại số. Nhìn chung, trong các đề thi tự luận thì phương diện đại số của số phức chiếm ưu thế. Chỉ có dạng toán cuối cùng liên quan đến việc chuyển đổi phạm vi khi nói về số phức, từ Đại số sang Hình học. Tuy nhiên, lời giải vẫn chỉ là những biến đổi đại số. Nhưng với một đề thi trắc nghiệm thì vấn đề không còn là tìm câu trả lời trực tiếp bằng việc áp dụng những công thức đã học nữa. Chẳng hạn, qua phân tích đề thi THPT Quốc gia năm 2017, chúng tôi thấy có một câu hỏi liên quan đến chủ đề số phức như sau: Còn có nhiều cách khác để biểu diễn số phức, chẳng hạn như bởi một điểm của mặt cầu (gọi là 1 mặt cầu Riemann), hay bởi một ma trận (tham khảo Nguyễn Văn Mậu, 2009, tr. 27).
8 Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧. 𝑧̅ = 1 và |𝑧 − √3 + 𝑖| = 𝑚. Tìm số phần tử của S. A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. (Câu 50. Mã đề 104, Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017) Để tìm câu trả lời, ta có thể sử dụng một trong ba cách mà chúng tôi trình bày ngắn gọn dưới đây. Cách 1: Dùng phương pháp đại số Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅). Ta có z. z  1  x 2  y 2  1 (1) Và z  3  i  m  ( x  3) 2  ( y  1) 2  m 2 (2) (điều kiện m 0 )  x 2  y 2  1 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  2  x  y  2 3x  2 y  m  4 2 2 Để giải hệ phương trình này phải dùng phương pháp khử đại số và phương pháp thế với những tính toán phức tạp, rồi đưa về phương trình chứa tham số sau: 16x 2  2 3  2m2 – 10  x  m4 – 10m 2  21  0 * Lúc này phải tìm điều kiện để phương trình (*) có một nghiệm duy nhất, từ đó mới chọn được đáp án. Cách 2: Dùng ý nghĩa hình học của số phức Điều kiện: m  0 + Với m  0 . Từ giả thiết, ta có z  3  i  0 . Suy ra z  3  i . Khi đó, z.z  4 . Đẳng thức này mâu thuẫn với điều kiện z.z  1 . Do đó, loại trường hợp m  0 . + Với m  0 . Ta có: 𝑧. 𝑧̅ = 1 và |𝑧 − √3 + 𝑖| = 𝑚 nên M (điểm biểu diễn số phức 𝑧) thuộc cả hai đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  1 và đường tròn tâm I ( 3; 1), bán kính R’  m. Ta có khoảng cách giữa hai tâm là IO  3  1  2 Để tồn tại duy nhất một số phức z theo yêu cầu bài toán thì 2 đường tròn này phải tiếp xúc nhau.
9 1  m  2 m = 1 Suy ra   m  1  2 m  3 Chọn đáp án: A Cách 3: Kết hợp giữa đại số và phương pháp tọa độ  x  y  1 2 2 Từ hệ phương trình  ta dễ dàng nhận ra mỗi   x 2  y 2  2 3 x  2 y  m 2  4 phương trình của hệ là một phương trình đường tròn (với m > 0). Vẽ hai đường tròn này trên cùng một hệ trục tọa độ sao cho chúng tiếp xúc nhau, từ đó ta tìm được số giá trị m cần tìm. Phân tích trên cho thấy việc thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt số phức (từ Đại số sang Hình học) mang lại một lợi ích đáng kể cho việc tìm đáp án của bài toán. 1.3.4. Các cách tiếp cận khái niệm số phức Ở đây, thông qua việc trình bày ngắn gọn một số cách tiếp cận số phức, chúng tôi muốn nhấn mạnh thêm rằng việc nhìn số phức trong những phạm vi khác nhau còn cho phép hiểu bản chất của khái niệm này. Về mặt toán học, vào thế kỷ XIX các nhà toán học muốn xây dựng lại lâu đài toán học trên một nền tảng được xem như vững chãi nhất – số tự nhiên. Chính trong ý đồ đó mà tập hợp C các số phức được định nghĩa qua tích Đề-các R  R = (a, b) a, b  R với hai phép toán cộng và nhân được xác định như sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)  (c, d) = (ac - bd, ad + bc) (C, +,  ) là một trường giao hoán với hai phép toán trên. Mỗi phần tử của C được gọi là một số phức. Xét ánh xạ  : R  C a ⟼ (a, 0) Vì  là một đẳng cấu giữa R với  (R) = (a, 0) a  R nên có thể đồng nhất R với tập con  (R) của C và ký hiệu cặp (a, 0) một cách đơn giản là a. Với phép nhân định nghĩa như vậy thì (0,1).(0,1) = (-1, 0). Nói cách khác, nếu ký hiệu i = (0, 1) thì i2 = -1. Lúc bấy giờ: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0)  (1, 0) + (0, b)  (0, 1) hay (a, b) = a + bi
10 Hiển nhiên, định nghĩa này không thể đưa cho HS phổ thông. Đối với bậc học này, người ta thường xem số phức như một biểu thức đại số dạng a + bi, với a, b  R, i2 = - 1 và các phép toán trên số phức không khác gì những phép biến đổi đại số thông thường trên các đa thức với hệ số thực. Người ta gọi đây là cách tiếp cận đại số. Cách tiếp cận này mang lại nhiều thuận lợi cho các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số phức, bởi nó được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức. Tuy nhiên, đây là một định nghĩa hình thức, vì HS chỉ mới nghiên cứu đến tập R, mà i thì không thuộc R nên biểu thức trên không có nghĩa. Chính vì thế mà cách tiếp cận này bị nhiều nhà nghiên cứu phê phán: Nếu không có đại diện hình học, số phức chỉ được “vận hành thuận trong một chế độ hoàn toàn mang tính biểu tượng và thuật toán” (Panaoura, Elia, Gagatsis & Giatilis, 2006, p. 684) Có lẽ vì thế mà sau định nghĩa đại số hình thức về số phức người ta biểu diễn nó bởi một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Esperanza G. Chavez (2014) gọi cách tiếp cận “biểu thức đại số và điểm trong mặt phẳng” là cách “tiếp cận truyền thống”. Tác giả cho rằng cách tiếp cận này là thích hợp trong việc giới thiệu và giảng dạy các thao tác cơ bản trên số phức, tuy nhiên nó làm “thui chột” kỹ năng tư duy của HS. Ngoài cách tiếp cận truyền thống, tác giả còn giới thiệu những cách tiếp cận khác, trong đó có hai cách sau: - Cách tiếp cận Vectơ: Mỗi số phức là một vectơ. Khi đó, phép cộng và phép trừ hai số phức được quy về các phép toán trên vectơ, phép nhân hai số phức gắn liền với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong hình học. Theo tác giả Esperanza G. Chavez, dạy số phức với việc sử dụng vectơ có thể hữu ích cho HS vì hình ảnh thị giác mà nó cung cấp. - Cách tiếp cận lượng giác: Một cách khác để biểu diễn số phức z  a  bi là dùng tọa độ cực (r; 𝜃). Thực ra, cách tiếp cận này chính là biểu diễn số phức ở dạng lượng giác z  r (cos  i sin ) và dạng mũ 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 . Cách tiếp cận này vừa cho phép thấy hình ảnh “trực giác” của số phức vừa thuận lợi cho việc thực hiện phép toán nhân (mà trường hợp đặc biệt của nó là nâng lên luỹ thừa), chia, khai căn số phức. Ngoài ra, dạng mũ của số phức cũng được ứng dụng nhiều trong vật lí, toán học, đặc biệt là trong lí
11 thuyết hàm biến phức. Tuy nhiên phép cộng và trừ hai số phức thì thực hiện tương đối khá khó khăn ở dạng này. Như vậy, mỗi cách tiếp cận đều có những ưu, khuyết điểm riêng của nó. Do đó, nếu chỉ chọn một cách tiếp cận số phức thì không thể hiện hết sự “đẹp đẽ” của khái niệm, cũng như không thể khai thác hết các lợi ích của chuyển đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt. Thế nên, điều cần thiết phải tiếp cận số phức từ nhiều cách khác nhau. 1.4. Vấn đề đặt ra Hiện tượng đề thi trắc nghiệm đưa vào những câu hỏi mà để giải quyết thì việc nhìn đối tượng dưới nhiều ngôn ngữ khác nhau, đặt nó trong những phạm vi khác nhau đã cho phép đánh giá được mức độ hiểu sâu kiến thức cũng như một số năng lực của HS. Câu hỏi ban đầu của chúng tôi là vấn đề thay đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt đã được GV tính đến ra sao trong thực tiễn dạy học? Cần phải nói rõ rằng đối tượng số phức thực ra đã được nhiều người nghiên cứu, trong đó có các tác giả Nguyễn Thị Duyên (2009), Lê Thị Huyền (2010) và Lê Thị Thanh Tuyền (2012). Nhưng các tác giả này chỉ tập trung vào việc phân tích quan hệ thể chế với số phức trong dạy học ở lớp 12 và nghiên cứu ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế lên kiến thức của HS. Chúng tôi không tìm thấy luận văn nào nghiên cứu thực hành dạy học của GV đối với khái niệm số phức. Hơn nữa, với luận văn này, chúng tôi sẽ cố gắng tạo ra điểm khác biệt so với các luận văn trước đó về nghiên cứu thực hành dạy học bằng cách không chỉ phân tích các tiết dạy quan sát được trên lớp học mà sẽ nghiên cứu đầy đủ quá trình chuyển hoá sư phạm nội tại, và như đã nói, trong bối cảnh đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán có thay đổi về hình thức. 1.5. Lí thuyết tham chiếu 1.5.1. Chuyển hoá sư phạm nội tại Quá trình chuyển hóa sư phạm gồm 3 mắt xích. - Mắt xích thứ nhất: hình thành tri thức bác học. Mắt xích này được thực hiện bởi thể chế tạo ra và bảo quản tri thức. - Mắt xích thứ hai: Chuyển từ tri thức bác học đến tri thức cần dạy, do Noosphère thực hiện.