zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ma trận và hệ truy hồi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Báo xấu

37
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán liên quan đến dãy số rất phong phú và đa dạng, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế và các kì Olympic. Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến một phần nhỏ của lý thuyết dãy số là các dãy và hệ các dãy dạng truy hồi tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ma trận và hệ truy hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– NGÔ THỊ HƯỜNG MA TRẬN VÀ HỆ TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ HÀ NỘI - 2014
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Một số kiến thức về ma trận 5 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phép cộng hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phép nhân các phần tử trường K với ma trận . . . . . 6 1.2.3 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Vành ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Phương trình đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính 10 1.5.2 Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Giá trị riêng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Ma trận và hệ truy hồi 20 2.1 Xét dãy số qua phép nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Ứng dụng định lí Cayley - Hamilton vào dãy số . . . . . . . . . 27 2.3 Xét dãy số qua chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Xây dựng bài toán mới cho dãy số 46 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Xây dựng bài toán mới về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi 53 4.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Phương pháp cấp số nhân để xét dãy số . . . . . . . . . 53 4.1.2 Chuyển dãy truy hồi phức tạp về dãy đơn giản . . . . . 62 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1
Ma trận và hệ truy hồi LỜI NÓI ĐẦU Các vấn đề liên quan đến dãy số là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số, đặc biệt là một phần quan trọng không thể thiếu trong toán học phổ thông. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về dãy số...Các học sinh và sinh viên cũng thường xuyên phải đối mặt với nhiều bài toán khó liên quan đến dãy số. Các bài toán liên quan đến dãy số rất phong phú và đa dạng, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế và các kì Olympic. Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến một phần nhỏ của lý thuyết dãy số là các dãy và hệ các dãy dạng truy hồi tuyến tính. Một hệ truy hồi dù tuyến tính, nhưng để giải được nó bằng các bước biến đổi sơ cấp là rất phức tạp, thậm chí đưa bài toán về việc giải một phương trình bậc cao không đơn giản. Bằng việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dưới dạng phương trình ma trận, ta đã làm đơn giản hóa đáng kể bài toán, đưa đến việc tính toán trên các ma trận. Luận văn này tác giả cũng nhằm đáp ứng nhu cầu tự bồi dưỡng, học cách lý luận, cách mở rộng tự nhiên của một vấn đề từ đơn giản đến phức tạp, để từ đó hiểu và ứng dụng được một vấn đề sâu sắc, mạch lạc và có trình tự hơn. Bố cục của luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Một số kiến thức về ma trận. Nội dung của chương này là nhắc lại một số kiến thức về ma trận: Khái niệm, các phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận; hàm ma trận và giá trị riêng của hàm ma trận. - Chương 2: Ma trận và hệ truy hồi. Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dưới dạng ma trận, và sử dụng các phép biến đổi ma trận để giải toán. Luận văn cũng đề cập thêm đến các hệ thức truy hồi phi tuyến ma không thể dùng ma trận để giải. - Chương 3: Xây dựng bài toán mới cho dãy số. Chương này, luận văn đề cập đến việc xây dựng bài toán mới về dãy số từ các bài toán đã 2
Ma trận và hệ truy hồi biết nhờ các kiến thức của hàm ma trận. - Chương 4: Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi. Phần này, luận văn đề cập đến hai phương pháp: giải hệ truy hồi qua cấp số nhân và xét dãy số qua đồng cấu. 3
Ma trận và hệ truy hồi LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Thầy đã giành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, cùng các bạn học viên đã nhận xét và đóng góp ý kiến cho bản luận văn. Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, đông viên và cổ vũ tạo diều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 4
Chương 1 Một số kiến thức về ma trận 1.1 Khái niệm Giả sử X là một tập, m và n là các số nguyên dương. Ma trận A cỡ m × n với các phần tử thuộc tập X là một họ m × n phần tử aij ∈ X, trong đó i = 1, 2, ..., m gọi là chỉ số hàng; j = 1, 2, ..., n gọi là chỉ số cột. Ma trận A thường được ký hiệu a11 a12 ... a1n    a21 a22 ... a2n  A =  .. .. ..  . . ... . am1 am2 ... amn hay được viết gọn dưới dạng A = (aij )m×n . Ma trận cỡ 1 × n gọi là ma trận hàng, ma trận cỡ m × 1 gọi là ma trận cột. Ma trận cỡ n × n gọi là ma trận vuông cấp n hay ma trận cấp n. Trong ma trận vuông A = (aij )n×n dãy các phần tử a11 , a22 , ..., ann gọi là đường chéo chính của ma trận A. Ma trận đơn vị là ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận đơn vị thường được ký hiệu là E.   1 0 ... 0 0 1 ... 0 E= ... ... ... . . . 0 0 ... 1 0 Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma trận A = (a0ij )m×n trong 0 đó aij = aij với mọi i = 1,2,..,m và j=1,2,...,n. 5
Ma trận và hệ truy hồi Ma trận chuyển vị At nhận được từ ma trận A bằng cách chuyển cột thành hàng và chuyển hàng thành cột. Ma trận vuông A = (aij )n×n gọi là ma trận đối xứng nếu At = A, tức là aij = aji với mọi i = 1,2,..,m và j=1,2,...,n. 1.2 Các phép toán ma trận Cho K là một trường, Ký hiệu tập Mm×n [K] là tập các ma trận cỡ m × n với các phần tử thuộc trường K. Trong tập Mm×n [K] ta định nghĩa các phép toán sau 1.2.1 Phép cộng hai ma trận Giả sử hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , ta định nghĩa A + B = (aij + bij )m×n 1.2.2 Phép nhân các phần tử trường K với ma trận Giả sử λ ∈ K, A = (aij )m×n , ta định nghĩa λA = (λaij )m×n 1.2.3 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )n×l , ta định nghĩa tích hai ma trận A và B là ma trận C = AB = (cij )m×l trong đó cij = nk=1 aik bkj . Như vậy tich hai ma trận AB tồn tại khi và chỉ P khi số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Đối với các ma trận có cỡ thích hợp, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau • A + B = B + A. • λ(A + B) = λA + λB . • A + O = A (O là ma trận không). 6
Ma trận và hệ truy hồi • OA=O, AO = O. • A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA. • (AB)C = A(BC). • (At )t = A, kí hiệu At là ma trận chuyển vị của A. • (A + B)t = At + B t . • (AB)t = B t At . • AE = EA = A; Ar E = EAr = Ar . • Ar As = As Ar = Ar+s . • Ar (αAs + βAp ) = αAr+s + βAr+p với α, β ∈ K Ký hiệu Mn [K] là tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc trường K. Từ các tính chất trên ta thấy Mn [K] với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị E, được gọi là vành các ma trận vuông cấp n trên trường K. Với n ≥ 2 thì vành Mn [K] không giao hoán. 1.3 Vành ma trận Xét vành đa thức một biến K[x] trên trường K . Giả sử đa thức f (x) thuộc vành K[x] có dạng f (x) = as xs + as−1 xs−1 + ... + a1 x + a0 , và cho A là ma trận vuông cấp n. Ta định nghĩa f (A) = as As + as−1 As−1 + ... + a1 A + a0 E trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận vuông A. Từ các phép toán về ma trận ở trên ta suy ra được các kết quả sau Định lý 1.3.1. Với hai đa thức f và g thuộc vành đa thức K[x] và ma trận vuông A ta luôn có 1. Nếu f = g thì f(A) = g(A). 2. (f+g)(A) = f(A)+g(A). 3. (fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A). 4. (αf )(A) = αf (A) với α bất kì thuộc trường K. 7
Ma trận và hệ truy hồi Ký hiệu K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn [K]. Từ định lí (1.3.1) ta suy ra kết quả sau Định lý 1.3.2. Tập các ma trận K[A] tương ứng với hàm f ∈ K[x] cùng với phép cộng, nhân các ma trận và nhân ma trận với một sô lập thành một vành giao hoán có đơn vị E. Mệnh đề 1.3.1. Tương ứng φ : K[x] → K[A], f (x) 7→ f (A) là một toàn cấu với Ker(φ) 6= 0 Chứng minh. Theo định lí (1.3.1), ta có φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g) φ(f g) = (f g)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g). Do đó φ là một đồng cấu. Và với ma trận vuông A ∈ Mn [K] bất kì thì ma trận f (A) = as As + as−1 As−1 + ...+a1 A+a0 E sẽ có tương ứng đa thức f (x) = as xs +as−1 xs−1 +...+a1 x+a0 ∈ K[x] để φ(f ) = f (A). Do vậy φ là một toàn cấu. Vì tập tất cả các ma trận vuông cấp n Mn [K] trên trường K là một không gian vectơ n2 chiều nên tất cả các tập có nhiều hơn n2 các ma trận vuông cấp n đều phụ thuộc tuyến tính. Như vậy môt hệ gồm s + 1 các ma trận As , As−1 , ..., A, E với s ≥ n2 + 1 là một hệ phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số as , as−1 , ..., s1 , s0 không đồng thời bằng 0 để as As + as−1 As−1 + ... + a1 A + a0 E = 0. Vậy tồn tại đa thức khác không f (x) = as xs + as−1 xs−1 + ... + a1 x + a0 với s ≥ n2 + 1 mà f (A) = 0. Từ đó suy ra Ker(φ) 6= 0. Hệ quả 1.3.1. Ta có K[A] ∼ = K[x]/(F ) Chứng minh. Vì φ : K[x] → K[A], f (x) 7→ f (A) là một toàn cấu với Ker(φ) = (F ) 6= 0 nên ta có K[A] ∼ = K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F ) Vì K[x] là vành các iđêan chính nên có duy nhất một đa thức bậc thấp nhất m(x) = xd + a1 xd−1 + ... + ad ∈ K[x] để Ker(φ) = (m(x)). m(x) gọi là đa thức tối thiểu của ma trận A. 8
Ma trận và hệ truy hồi 1.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.4.1. Ma trận vuông B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n nếu AB = BA = E . Ma trận nghịch đảo B thường được ký hiệu là A−1 . Khi đó A gọi là ma trận khả nghịch. Giả sử ma trận vuông A = (aij )n×n , gọi Mij là định thức con cấp n - 1 của ma trận A sau khi đã bỏ đi hàng i và cột j. khi đó Aij = (−1)i+j .Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A. Xét ma trận   A11 A21 ... An1 ∗  A12 A22 ... An2  A = ... ... ... ...  A1n A2n ... Ann Ma trận A∗ gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Dễ thấy Xn cij = Aki akj = δ|A|. k=1 Do đó A∗ A = AA∗ = |A|E. Vậy nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo A−1 được tính theo công thức 1 ∗ A−1 = A . |A| Bổ đề 1.4.1. Ma trận vuông A có nghịch đảo A−1 khi và chỉ khi |A| = 6 0 Chứng minh. Giả sử A có ma trận nghịch đảo A−1 thì AA−1 = E . Khi đó 1 = |E| = |AA−1 | = |A||A−1 | Vậy |A| = 6 0 1 ∗ 6 0 thì A khả nghịch và A−1 = Ngược lại nếu |A| = A . |A| Chẳng hạn, ta xét ma trận thực ! 1 2 0 A= 0 3 1 0 1 2 9
Ma trận và hệ truy hồi Ta có
1 2 0
3 1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2430 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.