intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli-villars trong lý thuyết trường lượng tử

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:68

58
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích bản luận văn thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli -Villars.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli-villars trong lý thuyết trường lượng tử

  1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ THỊ MINH PHƯƠNG  MOMENT  TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ  PHƯƠNG PHÁP PAULI ­VILLARS TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                                                                                                                                    Hà Nội ­ 2014
  2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ THỊ MINH PHƯƠNG  MOMENT  TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ  PHƯƠNG PHÁP PAULI ­VILLARS TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành :  Vật lý lý thuyết và vật lý  toán Mã số :  60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                                           NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:                                                       GS. TSKH.  NGUYỄN XUÂN HÃN                                                    
  3. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm  ơn sâu sắc tới Thầy giáo,   GS.  TSKH. Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ  bảo tận tình, trực tiếp  giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ  khoa học này. Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập  thể cán bộ  Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã  giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến   khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này. Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm  ơn tới các Thầy   C«  ở  Khoa Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ  em trong  suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này . Hà Nội, 16  tháng 1  năm 2014     Học  viên 
  4. MỤC LỤC  Mã số  :  60.44.01                                                                                                                                  ..............................................................................................................................      2  MỞ ĐẦU                                                                                                                                              ..........................................................................................................................................      1  CHƯƠNG 1 ­ PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON                            ........................      4 CHƯƠNG 2 ­ CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ   THƯỜNG CỦA ELECTRON                                                                                                            ........................................................................................................       21  CHƯƠNG 3 ­ BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG                                                       ...................................................       31  KẾT LUẬN                                                                                                                                         .....................................................................................................................................       43  PHỤ LỤC A                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       45  PHỤ LỤC B                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       49  PHỤ LỤC C                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       51  Mã số  :  60.44.01                                                                                                                                  ..............................................................................................................................      2  MỞ ĐẦU                                                                                                                                              ..........................................................................................................................................      1  CHƯƠNG 1 ­ PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON                            ........................      4
  5. CHƯƠNG 2 ­ CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ   THƯỜNG CỦA ELECTRON                                                                                                            ........................................................................................................       21  CHƯƠNG 3 ­ BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG                                                       ...................................................       31  KẾT LUẬN                                                                                                                                         .....................................................................................................................................       43  PHỤ LỤC A                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       45  PHỤ LỤC B                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       49  PHỤ LỤC C                                                                                                                                        ....................................................................................................................................       51
  6. MỞ ĐẦU         Lý thuyết lượng tử  về  tương tác điện từ  của các hạt tích điện hay còn  gọi là điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự  phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger,   R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với   việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích   thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả  định tính lẫn định   lượng. Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên   tử Hydro hoặc moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và   số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6­13, 15,17/          Phương trình Dirac cho electron  ở  trường điện từ  ngoài, tương tác của  electron   với   trường   điện  từ,   sẽ   chứa   thêm   số   hạng   tương   tác   từ   tính   mới.  Cường độ  của tương tác này được mô tả  bằng moment từ  electron µ , và nó  e0 h e bằng   µ = = µ0 = 0    ( m0 và   e0 là khối lượng “trần” và điện tích  2m0 c | h = c = 1 2m0 “trần” của electron,   µ0   ­ gọi là magneton Bohr). Các hiệu  ứng tương tác của  chân không vật lý với electron – khi tính các bổ  chính bậc cao theo lý thuyết  nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ  electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng  electron ( m0 mR )   và điện tích electron   ( e0 eR )   sẽ  dẫn đến sự  đóng góp bổ  xung, mà nó được gọi là moment từ dị thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị  được lấy từ thực nghiệm.         Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng  µ = 1, 003875 µ0 ,   giá   trị   này   được   gọi   là   moment   từ   dị   thường   của   electron.   J.Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của  electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ   1
  7. chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai  số  tính toán với thực  nghiệm vào khoảng   10−10 % ). Biểu thức giải tích của  moment từ dị thường electron về mặt lý thuyết  đã thu được :    � α α2 α3 �                  µly thuyet = µ0 � 1+− 0,32748 2 + 1,184175 3 �      (0.1) � 2π π π � = 1, 001159652236 ( 28 ) .µ0 µ R = 1, 00115965241( 20 ) .µ0                                    (0.2)        Ở đây về cơ bản các giá trị moment được tính bằng lý thuyết theo thuyết  nhiễu loạn (0.1) và giá trị  được lấy từ  số  liệu thực nghiệm (0.2) có sự    trùng   khớp với nhau.         Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ  chính một vòng  cho moment từ  dị  thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ  trong  quá trình tính toán giản đồ  Feynman, ta sử  dụng phương pháp điều chỉnh Pauli   ­Villars. Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương,   kết luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo.       Chương 1.  Phương trình Pauli và moment từ  của electron. Phương  trình Pauli và moment từ  dị  thường có thể  thu nhận bằng hai cách: Trong mục  1.1 xuất phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu  được phương trình Pauli với số  hạng tương tác của moment từ  electron với   trường ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy   gần đúng phi tương đối tính phương trình Dirac  ở  trường điện từ  ngoài trong   ( ) gần đúng  v c  , v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính    2
  8. tương đối tính tiếp theo cho phương trình Pauli  ở  gần đúng bậc cao hơn  v c   ( ) thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy ­ Wouthuyen ở mục 1.3.      Chương   2.  Các   giản   đồ   Feynman   cho  đóng   góp  vào  moment   từ   dị  thường của electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường  ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S­ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ  electron   với   trường   điện   từ   ngoài.   Trong   mục   2.2   ta   phân   tích   các   giản   đồ  Feynman trong  gần  đúng  một  vòng  đóng góp  cho  moment  từ   dị  thường  của  electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ  số dạng điện   từ, đặc biệt  trong gần đúng phi tương đối tính.  Chương 3.  Moment từ  dị  thường của electron trong gần đúng một  vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauli ­ Villars ta tách phần hữu hạn   và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu   thức bổ  chính cho moment từ  dị  thường trong gần đúng một vòng được tiến  hành ở mục 3.2.   Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc   tổng  quát hóa sơ  đồ  tính toán cho các lý thuyết tương tự.   Trong bản luận văn này  chúng tôi sẽ  sử  dụng hệ  đơn vị  nguyên tử     h = c = 1   và metric Feynman. Các  véctơ phản biến là tọa độ:                        x µ = ( x 0 = t , x1 = x, x 2 = y, x 3 = z ) = ( t , x )                                             r thì các véctơ tọa độ  hiệp biến:   r                xµ = g µν xν = ( x0 = t , x1 = − x, x2 = − y , x3 = − z ) = ( t , − x ) ,   trong đó:     3
  9. 1 0 0 0� � � � 0 −1 0 0 � � g µν = g µν = � 0 0 −1 0 � � � 0 0 0 −1 � � Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. CHƯƠNG 1 ­ PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA  ELECTRON          Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron với   trường điện từ  ngoài có thể  thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương   trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của momen  từ  với trường ngoài được giới thiệu  ở  mục 1.1; ii/ Từ  phương trình Dirac cho  electron  ở trường điện từ  ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở  ( ) gần đúng bậc  v c  ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên  cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở  gần đúng bậc cao ta   phải sử dụng phép biến đổi Fouldy ­ Wouthuyen.               1.1  Phương trình Pauli           Phương trình Pauli mô tả  hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường  điện từ  ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng.  Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng   không), song hàm sóng ψ  trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng   r có một thành phần ψ ( r , t )  phụ  thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà   r còn chứa biến số spin của hạt là  sz . Kết quả để cho hàm sóng ψ ( r , sz , t )  là một  spinor hai thành phần:   4
  10. � �r h � � ψ 1 �r , + , t �� � r � 2 �                                       ψ = ψ ( r , s z , t ) = � �                                      (1.1) � �r h � � ψ 2 �r , − , t � � � � � 2 � � Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ thực nghiệm hiệu  ứng Zeemann   moment từ của hạt với spin bằng  h2 . r r                                        µ = µ0σ ,                                                                          (1.2) r µ0 ­ là magneton Bohr, còn  σ  là các ma trận Pauli. Khi đặt hạt vào trường điện   từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ. rr e r� e h r r                                      ∆U = − ( µ H ) = �µ = �r s �= 0 sH                               (1.3) mc � 2m c � 0   Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng:  r p2                                      H = + U ( r )                                                                 (1.4) 2m0 Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay  thế dưới đây trong phương trình Schrodinger:   r r e r p p− 0 A                                    c                                                                       (1.5) E E − e0ϕ Kể  thêm spin của hạt thì phương trình mô tả  phải có thêm một năng  rr e0 h r r lượng phụ   ∆U = − ( µ H ) = sH . 2m0 c Kết quả ta thu được phương trình:  r ψ ( r , sz , t ) �1 �r e0 r � 2 e h rr� r       ih = � �p − A �+ e0ϕ ( r ) + U ( r ) + 0 sH �ψ ( r , s z , t )           (1.6) t 2m0 � c � � 2m0c �  5
  11. r ở  đây  ϕ ( r ) ,  A(r )  là thế  vô hướng và thế  véc tơ  của trường điện từ. Phương   trình (1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể  giải thích được hiệu ứng   Zeemann.       1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn  phi tương đối tính Xuất phát từ  phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở  dạng  chính tắc ta có: ψ ( x) � r �r e0 r � �                    ih cα �p − A �+ e0 A0 + β m0c 2 � =� ψ ( x)                          (1.7) t � � c � � Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận   tiện ta viết các spinor hai thành phần: ψ1 � � ψ3 � � ψu � �                                  ψ u = � �, ψ d = � �, ψ = � �                                   (1.8) ψ2 � � ψ4 � � ψd � � Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình: ψu r �r e r �  ih ψ d + ( e0 A0 + m0c 2 ) ψ u = cσ �p − 0 A � t � c � �                             �                          (1.9)  ψd r �r e0 r � ih = cσ �p − A � ψ u + ( e0 A + m0c ) ψ d 0 2 t � c � Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai   thành phần dưới). Kể thêm:  � 0�( ) � �( ) �v 2 � i                         � h − e0 A ψ � u ,d = m0 c 2 �1 + O �2 � �ψ u ,d                                  (1.10) � t � � �c � � Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+): r ( +) σ �r e0 r � ( + ) �v 2 �                       ψ d = p − A ψ + O �2 �                        (1.11) 2m0 c � �u � c � �c � Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (­):  6
  12. r σ �r e0 r � ( −) �v 2 �                       ψ u( − ) = p − A ψ + O �2 �                        (1.12) 2m0 c � �d � c � �c � Điều này có nghĩa như  sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor   ψ d  liên hệ với  ψ u và trong trường hợp nghiệm âm  thì spinor ψ u  liên hệ với ψ d   ( ) thừa số   v c . Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho  nghiệm dương ta có: � 1 � ψ =� ψu   � O (v / c) � � 2 ψ � � �1 �r �r e r� � � �v 3 � � ih d = � �σ �p − A� � 0+ m c 2 + eA 0 + O � ψ 3 � u                (1.13) � t �2m0 �� c � � �c � � Và để cho nghiệm âm:                       ψ � � � 1 �r �r e r � � 2 � �v3 � � ih u = �− σ p �� c �− A � 0− m c 2 + eA 0 + O �3 ��ψd t � 2m0 �� � � �c �� O (v / c ) � �     ψ = � ψ d                                                                       (1.14) � � 1 � Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau: r r rr r r ( σrA) ( σrB ) = ( AB) + iσr( A B) , �r e r � �r e r � eh r                        �p − A � �p − A �= − B                                                        (1.15) � c �� c � ic Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac:  7
  13. ψ  = H nrψ ih t 2 � 2 1 �r e r � eh r r� �v3 �                    H nr =β� m0 c + �p − A � + eA 0 − σˆ B �+ O � 3 � , �            (1.16) � 2m0 � c � 2m0 c � �c � r r � σ 0� σˆ = � r � �0 σ � 2 ( ) đúng đến bậc   v c 2   cùng với toán tử  và tự  liên hợp   H n r . Nếu chúng ta giới  hạn ở nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phương trình này với độ  chính xác  m0 c 2 trùng với phương trình Pauli để  cho hạt có spin ½ trong trường   điện từ ngoài. Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối  tính hóa của phương trình Dirac  ở  trường ngoài sẽ  tự  động dẫn đến số  hạng  rr tương tác  − MB   giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trường ngoài, trong đó   electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn: eh eg M (e) = σ= S, g =2 (thừa   số   Lande)  2m0c 2m0c (1.17) Ngược lại trong phương trình Pauli số  hạng này đưa vào phương trình  theo kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ  bản, như  các proton hay các neutron quá   r ( p) r trình giới hạn trên dẫn đến các kết quả  sai   M = −eS / ( m p c ) . Rõ ràng trong  những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ  để  kể  thêm trường điện từ  ngoài. Chính vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình   phi tương đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận   là cộng “bằng tay” các số hạng moment.  8
  14. Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho  mật độ  xác suất và mật độ  dòng xác suất tương  ứng với phương trình (1.16)  2 với độ chính xác  v c 2 . ( ) h �† 2ie �             ρ = ψ †ψ , j = � 2im � ( ψ β�ψ − �ψ † βψ − hc )Aψ † βψ �                             (1.18) � Chúng  liên  hệ   với  nhau  bằng  phương   trình  liên   tục   �ρ / �t + �j = 0   và  trong trường hợp nghiệm dương, các biểu thức này trùng với công thức của lý  thuyết phi tương đối tính. 1.3  Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac  ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc  v 2 ( c2 )  và sai sót  trong Hamilton ở bậc  v 3 ( c ) . Trong giới hạn này  H 3 nr  là chéo nhưng các nghiệm  âm và dương là hoàn toàn “phân ly ”. Để  chéo hóa toán tử  Hamilton  ở  các bậc   cao hơn một cách hệ  thống, thì ta phải kể  thêm các bổ  chính tương đối tính,   bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phương trình Dirac.  Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc  ( v / c )  và phương trình Dirac ở dạng:                    m0 c 2 Kψ = 0, K = β + ε + ω                                                      (1.19) cùng  với: 1 � 0� �v 2 � �v 2 �                   ε = − i � h − eA �= O (1) + O �2 � , β + ε = O � 2 �                     (1.20) m0 c 2 � t � �c � �c � Và: cα � e � �v �                   ω = �p − A �= O � �                                                               (1.21) m0 c 2 � c � �c � ở đây  ε  và  ( β + ε )  là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo).  9
  15.   Sử   dụng   việc   chọn   phép   biến   đổi   Fouldy   –   Wouthuyen   thích   hợp  U = eiS , U = eiS , . . .  với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  ω  cao  hơn và cao hơn bậc   ( v / c )  điều đó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới   bậc  ( v / c ) . Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được:            m0 c 2 K ψ = 0, ψ = Uψ , K = UKU −1                                    (1.22) �v 2 � �v3 �            K = β + ε + ω , β + ε = O �2 � , ω = O � 3 � (hay cao hơn)       (1.23) �c � �c � Và phép biến đổi thứ hai ta có:             m0 c 2 K ψ = 0, ψ =U ψ, K =U K U −1                             (1.24) �v 2 � �v5 �                       K = β +ε +ω , β + ε = O �2 � , ω = O � 5 �  (hay   cao   hơn)  �c � �c � (1.25) và  tiếp tục...  Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là:  i βω             U = eiS , S =−                                                                      (1.26) 2 Cuối cùng ta được:                           K = β + ε + ω                                                                         (1.27) Cùng với:  10
  16. �v 2 � �v 6 � �v12 � �v18 � O � 2 � O � 6 � O �12 � O �18 � �c � �c � �c � �c �   βω 2 βω 4 1 �v 2 � ε =ε + − − �ω ,[ ω ,ε ] � �+ ... = O � 2 �                     (1.28) 2 8 8� �c � ω3 β β �v 5 � ω =− + [ ω ,ε ] + � ω , ω � , [ ω , ε ] �� ��+ ... = O � 5 �                        (1.29)  3 2 48 � � �c � Như  ta đã thấy   ω bây giờ  đã nâng lên hai bậc   ( v / c ) . Từ  đây chúng ta  nhận được toán tử   K = β + ε đúng đến bậc   v 3 ( c ) , đúng trong phương trình  3 Pauli (1.16)   Để  tiếp tục loại bỏ  phần lẻ  của các K­toán tử  chẵn, chúng ta tiếp tục   thực hiện phép  biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với  K  cùng : i βω                                                 U = eiS , S = −                                           (1.30) 2 Từ đây suy ra:                                                  K = β + ε + ω                                                  (1.31) cùng với:  �v 2 � �v 6 � �v12 � �v18 � O � 2 � O � 6 � O �12 � O �18 � �c � �c � �c � �c �                                 (1.32) βω 2 βω 4 1 �v 2 � ε =ε + − − �ω ,[ ω ,ε ] � �+ ... = O �2 � 2 8 8� �c � Và: ω3 β β �v 5 �             ω = − + [ ω ,ε ] + � � ω ,[ ω ,ε ] � ω ,� � � �+ ... = O �c 5 �                         (1.33) � 3 2 48 � �  11
  17. Bỏ  qua tất cả các số  hạng  O v 5 ( c )  (hay cao hơn) ta nhận được toán tử  5 chẵn: βω 2 βω 4 1 �v 5 �             K = β + ε + − − �ω , [ ω , ε ] �+ O � �c 5 �                        (1.34) 2 8 8� � � Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac: ψ                                               ih = H ψ                                                       (1.35) t Sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen ta tính một số công thức sau:  1 �� e � �� � e � � ω2 = α �p − A � � ��α �p − A � �                            m02 c 2 �� c � �� � c � � 1 � e � � e � = α iα j �pi − Ai � �p j − Aj �                                m02 c 2 i, j � c � � c � 2 i � e � � e � 1 � e � = ε ijk σˆ k �pi − Ai � �p j − Aj �+ 2 2 �p − A �                               2 2 m0 c i , j ,k � c � � c � m0 c � c � 2 ie 1 � e � =− σˆ ( p A ) + 2 2 �p − A �                                m0 c 3 m0 c � c � 2 eh 1 � e �                                 = − 3 σˆ B + 2 2 �p − A �                                            (1.36) m0 c m0 c � c � Tiếp theo ta tính giao hoán tử:  1 ��� e � [ ω, ε ] = − α �p − � , ih − eA0 � A� m02 c3 �� c � t � 1 �� ieh � �          = e� � α p, A0 � � �+ c �A, � m02c3 � � t� �  12
  18. ieh � 0 1 � ieh                 = − α� �A + A �= 2 3 α E m02c3 � c � m0 c ieh �� e � � ω,[ ω, ε ] � � � �= m3c 4 α �p − A � � ,α E � 0 �� c � � ieh       = [ α p, α E ] m03c 4 ieh       = α iα j ( pi E j − Ei p j ) m03c 4 i, j       = ieh m03c 4 i, j {α α ( p E ) + � i j � i �E p } α ,α �j i j j i ieh � �       = 3 4 � m0 c � � ( iε ijkσˆ k + δ ij ) ( pi E j ) + �2iε ijkσˆ k E j pi � i , j ,k i, j ieh2 eh2 2eh                             = Ѵ+3 � 4 σˆ+( � E ) E σˆ ( E p )                            (1.37) m0 c m03c 4 m03c 4 Khi tính các công thức (1.36), (1.37)  ta đã sử  dụng các đồng nhất thức  sau: )                           (1.38) α iα j = iε i j kα k , αi ,α j � � � �= 2iε i j kσ k Đúng đắn đến bậc  O v 4 ( c )  với việc chéo hóa Hamilton: 4 2 4 � 2 1 � e � eh � 0 � 1 � e � e 2 h2 2 � H =β� m0 c + �p − A �− σˆ B �+ eA − β � 3 2 �p − A �+ 3 4 B � � 2m0 � c � 2m0 c � 8m0 c � c � 8m0 c � � eh2 ieh2 eh �v 5 �              −�−Ѵ −�+E σˆ ( E) σ ( E p ) O �5 � ˆ         (1.39) 8m02 c 2 8m02 c 2 4m02 c 2 �c � Và ta có hàm sóng :                                     ψ ( x ) = e −iβω /2 e−iβω /2ψ ( x )                                                 (1.40)  13
  19. Tất   cả   ở   đây,   ta   thấy   việc   chéo   hóa   thành   công   của   toán   tử   Dirac   Hamilton cho những bậc cao hơn có thể  thực hiện  ( v / c ) . Vậy ta đã giả  thiết  một số điểm sau đây: ­   Khi   các   S , S , . . .   là   tự   liên   hợp,   thì   các   ma   trận   biến   đổi   Fouldy   – Wouthuyen  U , U , . . .  cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất  biến của giá trị trung bình như phép biến đổi  U [ .] U −1. ­ Để  cho toán tử  Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa   A / t = 0   khi sự  biến đổi :  Kψ = 0 K ψ = 0, K = UKU −1 = UKU † , ψ = Uψ                      (1.41) tương đương với : ψ ψ � �† ih = Hψ ih = Hψ , H = U �H − ih �U                     (1.42) t t � t� ­ Các toán tử  một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy – Wouthuyen  theo phép biến đổi cho các toán tử  ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các  phần chéo. Phương pháp Fouldy – Wouthuyen là không định xứ  và “loang ra”   của tọa độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt. ­ Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật  lý trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen   là hội tụ. ­ Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac.  Phép biến  đổi Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới   bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng:                      m0 c 2 K (0)ψ (0) = 0, K (0) = β + ε (0) + ω (0)                                   (1.43) Cùng   với   các   toán   tử   chẵn   ε ( 0) ,   β + ε (0) = O ( v 2 / c 2 )   và   toán   tử   lẻ  ω ( 0) = O ( v / c )  lặp lại các hệ thức này theo:  14
  20.           K ( n ) = β + ε ( n ) + ω ( n ) = U ( n −1) K ( n −1)U ( n −1)†                                   (1.44)                     ψ ( n ) ( x ) = U ( )ψ ( ) ( x )                                                                   (1.45) n −1 n −1 � i βω ( n ) �                      U (n) = exp �− �                                                                      (1.46) � 2 � Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó: �v 2 � �v 2 n +1 � β + ε (n) = O �2 � , ω ( n ) = O � 2 n +1 �                                                (1.47) �c � �c � Bỏ  qua các toán tử  lẻ, phần chẵn dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác  2 n −1 cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc  O v c 2 n −1 . ( )        ­ Electron trong thế  xuyên tâm tĩnh điện. Để  kết thúc ta trở  lại phương  trình (1.16). Phương trình này có thể  dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem   xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện: eA0 = V ( x ) = V ( r ) , A = 0                                                                  (1.48)                   Trong trường hợp này ta có: 1x V       B = 0, = −�= E−Ѵ= A0 , E 0                                    (1.49) er r Giới hạn hai thành phần trên của spinor, toán tử Hamiltonian tương ứng: p2 p4 h2 h 1 V       H u = m0 c 2 + + V ( r ) − 3 2 + 2 2 �2V + σ L            (1.50) 2m0 8m0 c 8m0 c 4m02 c 2 r r Thành phần thứ  tư   ở  vế  phải là bổ  chính tương đối tính cho thế  năng.  Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết  Darwin term và có thể  gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối  cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và  moment góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách   15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2