Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R và một số tính chất của tích phân. Chương 3 trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bình Daniell.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014
Mục lục Mở đầu 3 Lời cảm ơn 6 Bảng kí hiệu 7 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 21 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 34 3.1 Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1
3.1.2 Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1 Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 53 3.5 Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo 63 2
Mở đầu Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đào tạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân. Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậc Đại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo. Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quan điểm của giải tích hàm. Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quát thì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Để vượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành các tập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theo quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyển giới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kết quả quan trọng như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội. . . . Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phức tạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tích phân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc 3
liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h Khi đó I ∗ có được các tính chất như: I ∗ là hàm không giảm; I ∗ là tuyến tính; I ∗ là hàm σ - cộng tính dưới. Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I ∗ là trung bình Daniell Ω k.k∗ : R → [0, ∞] cho bởi f 7→ I ∗ (|f |) với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng được chứng minh. Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X . Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo. Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R và một số tính chất của tích phân. Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung 4
bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bình Daniell. 5
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả. Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả. Cảm ơn các bạn trong lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này. Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô và bạn đọc. Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ 6
Bảng kí hiệu Mµ : Tập tất cả các tập µ - đo được. M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh bởi [a, b]. MR : Lớp các hàm thực đo được. M: Lớp các tập con đo được của Ω. M(k.k): Tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với k.k trên E+ . L1 (Ω, F, µ): Tập hợp các hàm khả tích Lebesgue trên Ω. L1 (k.k): Tập hợp các hàm khả tích đối với trung bình k.k. Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là dàn vành khi đó: E : Bao đóng của E . u E : Bao đóng đều của E . E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn } ⊂ E thỏa mãn h = supn φn . E Σ : Giao của tất cả các dàn đóng chứa E và là dàn đóng bé nhất chứa E . F: σ - đại số các tập con của Ω. n Ω o F := f ∈ R : kf k < ∞ là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. ( 1 nếu x ∈ A 1A (x) := là hàm chỉ tiêu của tập A. 0 nếu x ∈ /A 7
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ hệ thống lại kiến thức về độ đo, phương pháp nới rộng độ đo, hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý về lớp hàm thực.... Các kiến thức này sẽ được sử dụng nhiều ở các chương sau. Các nội dung của phần này tác giả tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1], [3], [4], [6], [8].... 1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. Một tập hợp các F của Ω là một đại số nếu (i) ∅ ∈ F. (ii) Nếu A ∈ F thì Ac = Ω\A ∈ F. (iii) Nếu A, B ∈ F thì A ∪ B ∈ F. F gọi là một σ - đại số nếu thỏa mãn (i), (ii) và điều kiện ∞ (iii)’ Nếu Ai ∈ F thì Ai ∈ F. S i=1 Nếu F là σ - đại số thì cặp (Ω, F) gọi là không gian đo được. Định nghĩa 1.2. Tập hợp S các tập con của Ω được gọi là nửa vành nếu: (i) ∅ ∈ S . 8
(ii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì A ∩ B ∈ S . (iii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì tồn tại hữu hạn các tập con rời nhau Ci ∈ S , n S i = 1, n thỏa mãn A\B = Ci . i=1 Định nghĩa 1.3. Tập hợp R các tập con của Ω được gọi là vành nếu: (ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∩ B ∈ R. (ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∪ B ∈ R. Định nghĩa 1.4. Một hàm tập cộng tính trên vành S là một ánh xạ µ từ S vào một tập F có trang bị phép toán cộng. Ánh xạ này thỏa mãn tiên đề µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) nếu A ∩ B = ∅. Hàm tập µ được gọi là cộng tính đếm được hay σ - cộng tính, nếu: ∞ [ ∞ X µ( Ak ) = µ (Ak ) k=1 k=1 ∞ với mọi dãy {Ak } ⊂ S sao cho Ak Aj = ∅ với k 6= j và Ak ⊂ S. S k=1 Trong các phần tiếp theo ta giả thiết họ các biến cố F là một σ - đại số. Định nghĩa 1.5. Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0, ∞) được gọi là độ đo trên F, tức là nếu với mọi dãy {An } ⊂ F từng đôi không giao nhau thì ∞ [ ∞ X µ( Ak ) = µ (Ak ) k=1 k=1 Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo. Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian xác suất. Các tính chất cơ bản của độ đo (1) µ (∅) = 0. (2) A, B ∈ F , A ⊂ B , µ (B) < ∞ ⇒ µ (A\B) = µ (A) − µ (B). 9
(3) Tính đơn điệu: A, B ∈ F , A ⊂ B ⇒ µ (A) ≤ µ (B). (4) Tính nửa σ – cộng tính dưới: ∞ ∞ An ∈ F, A ∈ F, A ⊂ S P An ⇒ µ (A) ≤ µ (An ). n=1 n=1 Định lý 1.1. Giả sử F là σ – đại số, µ là hàm tập không âm, cộng tính hữu hạn trên F . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) µ là độ đo; (2) µ là nửa σ – cộng tính dưới; (3) µ liên tục dưới, tức là nếu An ↑ A thì µ (An ) ↑ µ (A). Nếu thêm điều kiện µ là hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương với một trong các điều kiện sau: (4) µ liên tục trên, tức là nếu An ↓ A thì µ (An ) ↓ µ (A). (5) µ liên tục tại ∅, tức là nếu An ↓ ∅ thì µ (An ) ↓ 0. Định nghĩa 1.6. Cho µ là độ đo trên σ – vành S , µ được gọi là độ đo đủ khi và chỉ khi ∀A ∈ S , µ (A) = 0 và (B ⊂ A) suy ra B ∈ S . Ta cũng nói rằng S là đủ đối với độ đo µ hoặc µ - đủ. Định nghĩa 1.7. Một hàm tập cộng tính trên vành S của không gian tôpô X nhận giá trị trong R+ được gọi là độ đo chính quy nếu thỏa mãn các tính chất: ∀ε > 0, ∀A ∈ S , ∃K ∈ S ,∃F ∈ S với K là tập compact tương đối sao cho: ◦ K ⊂ A ⊂ F, µ (A\K) < ε, µ (F \A) < ε 1.2 Nới rộng độ đo Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C . Khi đó, ta có thể nới rộng độ đo này lên σ – vành sinh bởi C bằng cách dùng độ đo ngoài của Caratheodory. 10
1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω là một hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn: (i) µ∗ (∅) = 0. (ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng). ∞ ∞ (iii) µ∗ ( µ∗ (An ) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới). S P An ) ≤ n=1 n=1 Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một họ khác rỗng E ⊂ P(Ω), ∅ ∈ E , và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa X [ µ∗ (A) = inf{ h(An ) : A ⊂ An , An ∈ E} (1.1) n n thì µ∗ là một độ đo ngoài. Định nghĩa 1.9. Cho µ∗ một độ đo ngoài trên Ω. Một tập E ⊂ Ω thỏa mãn µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) , ∀A ∈ Ω (1.2) được gọi là µ∗ - đo được. Nếu µ∗ (E) = 0 thì E được gọi là µ∗ - bỏ qua được. Định lý 1.3. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω. Tập hợp Mµ ∗ tất cả các tập µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được. Ngoài ra (Ω, Mµ ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ. Định lý 1.4. (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập cộng tính và cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0. Thì µ được mở rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ (E ). Chứng minh. Ta có, các hàm µ∗ cho bởi (1.1) với h = µ là một độ đo ngoài. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng: (i) µ∗ và µ là trùng nhau và (ii) Tập tất cả các tập µ∗ - đo được là σ - đại số và nó chứa E . Thật vậy 11
(i) Giả sử I ∈ E và I1 , I2 ... là dãy các tập con của I bao phủ I . Từ định nghĩa của µ∗ , tính σ - cộng tính dưới và tính cộng tính hữu hạn của µ chứng tỏ rằng X X µ∗ (I) ≤ µ (I) ≤ µ (I ∩ Ik ) ≤ µ (Ik ) k k Vậy, µ∗ (I) = µ (I). (ii) Cho I ∈ E và giả sử rằng A ⊂ Ω bị bao phủ bởi I1 , I2 ... với Ik ∈ E với mọi k và thỏa mãn X µ (Ik ) ≤ µ∗ (A) + ε. k Từ Ik = (Ik ∩ I) ∪ (Ik ∩ I c ) và Ik ∩ I c là hợp hữu hạn của các tập rời nhau trong E , nó chứng tỏ rằng µ (Ik ) ≥ µ (Ik ∩ I) + µ∗ (Ik ∩ I c ). Do đó, X X X µ∗ (A) + ε ≥ µ (Ik ) = µ (Ik ∩ I) + µ (Ik ∩ I c ) k k k X X = µ∗ (Ik ∩ I) + µ∗ (Ik ∩ I c ) k k ∗ ∗ ≥ µ (A ∩ I) + µ (A ∩ I c ) Cho ε → 0 ta có được rằng µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ I) + µ∗ (A ∩ I c ). Tính cộng tính dưới của độ đo ngoài µ∗ suy ra I là tập µ∗ - đo được. Hệ quả 1.1. Cho (Ω, σ (E) , µ) là mở rộng Caratheodory của µ trên nửa vành E , µ∗ là độ đo ngoài cho bởi (1.1) và E ↑ là họ của các hợp đếm được các tập trong E . Thì, với mọi E ⊂ Ω, tồn tại B ∈ σ (E ) sao cho E ⊂ B và µ∗ (E) = inf µ (C) : E ⊂ C ∈ E ↑ = µ (B) (1.3) Nếu η là một mở rộng khác của µ trên (Ω, σ (E)) thì η ≤ µ. Thêm nữa, nếu E là một vành thì η (E) = µ (E) , ∀E ∈ σ (E) với µ (E) < ∞. Định lý 1.5. Giả sử E là nửa vành trên Ω và µ là hàm cộng tính dưới đếm được. Nếu mở rộng Caratheodory là σ - hữu hạn trên σ(E) thì Mµ = σ (E) và mở rộng đó là duy nhất. 12
1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd , B(Rd )). Ta kí hiệu E là tập hợp tất cả các khoảng d - chiều dk=1 (ak , bk ] = (a, b] , với ak ≤ bk . Q Khi đó, E là nửa vành. Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là lim+ F (x) = F (a). Với a ≤ b và x→a 1 < j < d, kí hiệu: ∆j (a, b) F (s) = F (s1 , s2 , ...sj−1 , b, sj+1 , ..., sd ) − F (s1 , s2 , ...sj−1 , a, sj+1 , ..., sd ) Định lý 1.6. Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là d Q µ ((a, b]) = ∆j (aj , bj )F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ. Thì µ nhận j=1 một mở rộng thành độ đo trên σ - đại số B(Rd )⊂ Mµ . Chứng minh. Rõ ràng µ (∅) = 0 và µ là cộng tính hữu hạn trên E . ∞ S Bây giờ ta chứng minh µ là σ - cộng tính dưới trên E . Nếu (a, b] = (a(m), b(m)], m=1 tính liên tục phải và có gia số không âm của F suy ra là với mọi ε > 0, có aε và bε (j) thỏa mãn ε ε µ ((a, b]) < µ ((aε , b]) + ; µ ((a (m) , bε (m)]) < µ ((a (m) , b (m)]) + 2 2m+1 Từ một hộp đóng [aε , b] là tập compăct và ∞ [ ∞ [ [aε , b] ⊂ (a, b] ⊂ (a (m) , b (m)] ⊂ (a (m) , bε (m)) m=1 m=1 N S0 Có N0 ∈ N sao cho (aε , b] ⊂ [a, b] ⊂ (a (m) , bε (m)). Cộng tính hữu hạn có m=1 nghĩa là cộng tính dưới hữu hạn trên nửa vành E , do đó N0 ε X ε µ ((a, b]) < µ ((aε , b]) + ≤ µ ((a (m) , bε (m)]) + 2 2 m=1 ∞ X ≤ µ ((a (m) , b (m)]) + ε m=1 Tính cộng tính dưới đếm được của µ trên E có được khi cho ε & 0. Kết luận có được từ định lý mở rộng của Caratheodory. 13
Định nghĩa 1.10. Với mỗi F ∈ F tồn tại duy nhất một độ đo σ - hữu hạn trên σ - đại số B(Rd ) xác định bởi µ([a, b)) = F (b) − F (a) Khi đó, độ đo µ được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes. d Q Độ đo Lebesgue λ là độ đo tương ứng với trường hợp đặc biệt khi F (s) = sj , j=1 d Q trong trường hợp này λ ((a, b]) = (bj − aj ) và Mλ là σ - đại số Lebesgue. j=1 Định lý 1.7. Cho Rd , B Rd , µ là không gian có độ đo Borel hữu hạn và xác định hàm phân bố của µ bởi F (x) := µ {y : y ≤ x}. Thì i. F là hàm tăng không âm. ii. F là chính xác nghĩa là lim F (x) = µ Rd , lim F (x) = 0. mink xk %∞ mink xk &−∞ iii. F là liên tục phải. Ngược lại, nếu F thỏa mãn (i)-(iii) thì có độ đo µ trên Rd , B Rd với phân bố F. 1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + →R + là hàm không giảm với g(0) = 0 . Định nghĩa h : P(X) → R + là hàm A 7→ g(diam(A)) với diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A 6= ∅. Với mỗi δ > 0 đặt E δ là tập hợp các tập có đường kính tối đa là δ thì hàm tập Hδg định nghĩa bởi: Hδg (A) = inf{ P S g(diam(An ): A ⊂ An , An ∈ Eδ } n∈N n là độ đo ngoài. Từ Eδ ⊂ Eδ0 , ∀δ < δ 0 nên A 7→ H g (A) := supδ>0 Hδg (A) cũng là một độ đo ngoài. Định nghĩa 1.11. Một độ đo ngoài µ∗ trên không gian metric thỏa mãn µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) nếu d (A, B) > 0. 14
được gọi là độ đo metric ngoài. Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì Hδg (A ∪ B) = Hδg (A) + Hδg (B) Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo metric ngoài thì mọi tập Borel là µ∗ - đo được. Điều kiện Lipschitz: Một hàm f giữa không gian metric (X, d) và (Y, ρ) là Lipschitz bậc α > 0 nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 thỏa mãn: ρ (f (x1 ) , f (x2 )) ≤ Ld (x1 , x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X . Định lý 1.9. (Thuộc tính Lipschitz) Cho f là một hàm Lipschitz giữa không gian metric (X, d) và (Y, ρ) bậc α > 0. Với mọi s ≥ 0, H s/α (f (A)) ≤ Ls/α H s (A) Chứng minh. Chú ý rằng diam(f (A)) ≤ L(diam(A))α . Cho δ > 0 đặt δ ∗ = Lδ α . Nếu {An ⊂ Eδ là phủ đếm được của A, thì {f (An )} ⊂ Eδ là phủ mở của f (A). Khi đó: s/α X X Hδ (f (A)) ≤ diam (f (An ))s/α ≤ Ls/α (diam (An ))s n n hệ quả là H s/α (f (A)) ≤ Ls/α H s (A) với mọi A ⊂ X . 1.3 Hàm đo được Định nghĩa 1.12. (i) Cho các không gian đo được (X , S ) và (Y , R). Ánh xạ f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈ R ta có f−1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S (ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ). Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R ta có f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ) 15
Định lý 1.10. Các khẳng định sau là tương đương 1. Hàm số f : X → [−∞, +∞] là đo được. 2. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) > r} đo được. 3. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≥ r} đo được. 4. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) < r} đo được. 5. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≤ r} đo được. Định lý 1.11. 1. Giả sử f, g là các hàm đo được. Khi đó, các tập {f < g} , {f ≤ g} , {f = g} là đo được. 2. Giả sử f, g các là hàm đo được. Khi đó, f ∨ g = max {f, g} ; f ∧ g = f min {f, g} ; f + g; g (g 6= 0) ; |f | α (α ∈ R+ ) là đo được. 3. Nếu f đo được và g(x) = f (x) µ - hầu khắp nơi thì g cũng đo được. 4. Cho (fn ) là dãy hàm đo được. khi đó các hàm sup fn ; inffn ; lim sup fn ; lim inffn là đo được. Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn ) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ - hầu khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac ) < ε sao cho fn hội tụ đều tới f trên A. Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian đo được (Ω, A) và (Ω, B) và f là ánh xạ từ Ω vào X . Ánh xạ f được gọi là ((A - B)) – đo được hay gọi tắt là đo được nếu ∀B ∈ B, f −1 (B) ∈ A, tức là nghịch ảnh của một tập đo được là một tập đo được: f −1 (B) ∈ A Định lý 1.13. Giả sử (Ω, A) và (Ω, B) là hai không gian đo được và B = σ (C ) là một σ - đại số các tập con của Ω. Khi đó, f là (A - B) – đo được nếu và chỉ nếu f −1 (C) ⊂ A. 16
Bổ đề 1.1. Cho (Ω, F) là không gian đo được. Một hàm f trên Ω với giá trị trên không gian metric (S , d) là đo được nếu và chỉ nếu g ◦ f : Ω → R là đo được với mọi hàm giá trị thực g trên S . Định lý 1.14. Cho (Ω, F) là không gian đo được và (S , d) là không gian metric. Nếu {fn } ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim fn là hàm đo được. n 1.4 Các khái niệm của giải tích hàm Trong mục này trình bày kết quả trong Giải tích cổ điển: Định lý Stone- Weierstrass dạng cổ điển, các lớp hàm liên tục, hàm liên tục trong tập compact có thể xấp xỉ đều bởi đa thức.... Kết qủa này sẽ được sử dụng nhiều khi ta xây dựng lý thuyết tích phân theo quan điểm giải tích hàm. 1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass Định nghĩa 1.14. Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên Ω. (i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phức đối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phép nhân từng điểm. (ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phép cộng theo từng điểm và phép nhân vô hướng, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V ; f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V . (iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi hàm thực f ∈ V . Bổ đề 1.2. (Định lý Dini) Cho S là tập compact và cho {φn }n là một dãy các hàm liên điểm tăng hội tụ điểm đến hàm liên tục φ. Thì φn hội tụ đều đến φ. 17
Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E của E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian Hausdorff compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Giả thiết rằng E tách các điểm tức là với mọi cặp điểm s 6= t trong S thì tồn tại φ ∈ E thỏa mãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có: (i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S). (ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 } . Chứng minh. Kí hiệu V là không gian tất cả các hàm liên tục trên S nếu (i) thỏa mãn, hoặc là không gian tất cả các hàm liên tục trên S triệt tiêu tại x nếu trường hợp (ii) thỏa mãn. Khi đó E là một vành đóng với phép chặt cụt và E = E . Vậy nó là đầy đủ với giả thiết E là dàn vành đóng với phép chặt cụt. Cho f ∈ V . Với mọi s 6= t trong S , chọn ψst ∈ E sao cho ψst (s) 6= ψst (t). Vậy, với mỗi t ∈ S trong trường hợp (i) hoặc t ∈ S\ {z} trong trường hợp (ii), chọn ψt ∈ E sao cho ψt (t) = 1 và cho ψt ≡ 0 trong trường hợp (ii) và t = z . Với mỗi cặp s 6= t ∈ S xác định f (t) ψt (x) − f (s) ψs (x) φst (x) = f (s) ψs (x) + (ψst (x) − ψst (s)) ψst (t) − ψst (s) Chú ý rằng φst ∈ E và φst (t) = f (t), φst (s) = f (s). Cố định t ∈ S và với mỗi ε > 0 và s 6= t xét tập mở U t = {φst > f − ε}. Từ t ∈ Uεt và s ∈ Uεt với mọi s 6= t, Ust : s 6= t là một phủ mở của S . Do tính compact nên tồn tại phủ con hữu hạn t : k = 1, 2...n . Từ f = Wn Usk t k=1 φsk t ∈ E, f (x) − ε < ft (x) và ft (t) = f (t), các tập Vt = {ft < f + ε} có dạng là phủ mở của S . Theo tính compact sẽ có phủ con hữu hạn Vtj : j = 1, 2...m . Chú ý rằng fε = m V j=1 ftj ∈ E và |f (t) − fε (t)| < ε với mọi x ∈ S . Vậy f ∈ E . 18