Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên với mông muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năng và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015
Lời nói đầu Nhà toán học Pierre-Simon Laplace năm 1812 đã từng nói về vai trò của môn lý thuyết xác suất: "Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người. Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lý thuyết xác suất". Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một chuyên đề khá mới của môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu về các hàm ngẫu nhiên tuyến tính. Do đó, tôi đã chọn đề tài "Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năng và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó. Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách các ký hiệu, 3 chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo. Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, sự hội tụ của biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính và toán tử Hilbert - Schmidt. Đây là các kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ở các chương sau. Chương 2: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian 1
Hilbert. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Chương này được chia làm ba phần: Phần đầu nói về các khái niệm cơ bản liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và tích các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Phần hai nghiên cứu về hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss. Phần cuối, nghiên cứu về tính hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu về thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này được chia làm hai phần: Phần đầu nêu những thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Phần hai trình bày một cách chi tiết một phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng. Người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình giúp tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2015 Học viên Vũ Danh Được 2
Mục lục Lời nói đầu 1 Danh sách các ký hiệu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert 16 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Tích của các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3
2.2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . 29 2.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Sự hội tụ yếu của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . 36 2.3.2 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 37 3 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . 40 3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . 47 3.2.1 Miền xác định của thác triển của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Trường hợp Φei là độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 4
Danh sách các ký hiệu (Ω, F , P) - không gian xác suất Dη(ω) - phương sai của biến ngẫu nhiên Eη(ω) - kỳ vọng của biến ngẫu nhiên H - không gian Hilbert tách được L(X, Y ) - tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(H) - tập hợp các toán tử tuyến tính từ H vào H 0 (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào H (còn gọi là các biến ngẫu nhiên LH H−giá trị) LY0 (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi là các biến ngẫu nhiên Y −giá trị) (x, y) - tích vô hướng của hai phần tử x và y với x, y ∈ H. 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) là σ−đại số các tập Borel của trục thực R. Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá trị trên R gọi là hàm F −đo được hay biến ngẫu nhiên nếu {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với mỗi B ∈ B(R) Ví dụ 1.1.1. Ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập A là 1A , 1A (ω) = 1 nếu ω ∈ A, 1A (ω) = 0 P nếu ω ∈ / A. Cho Ai ∈ F , i ∈ I (I không quá đếm được) và Ai = Ω, khi đó với i∈I (xi )i∈I ⊂ R, X X(ω) = xi 1Ai (ω) i∈I gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi I hữu hạn thì X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá 6
trị trên R = (−∞; +∞). Hàm số F (x) = FX (x) = P(X < x), x∈R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.3. Cho X là biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X X= xk 1Ak k=1 trong đó xk ∈ R, Ak ∈ F , k = 1, ..., n và Ak Al = (k 6= l). Với mỗi biến ngẫu nhiên X như trên, kí hiệu EX là một số được xác định bởi n X EX = xk P(Ak ) k=1 Số này được gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của F , X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|G), thỏa mãn các điều kiện sau: 1. E(X|G) là G−đo được; 2. E(X|G) thỏa mãn đẳng thức Z Z E(X|G)(ω)P(dω) = X(ω)P(dω), A∈G (1.1) A A Bổ đề 1.1.1. (Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện). Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con nào đó của F 1. Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c); 2. X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c); 3. |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c); 7
4. a, b là các hằng số và aEX + bEY xác định thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) 5. E(X|{, Ω}) = EX (h.c.c); 6. E(X|F ) = X (h.c.c); 7. E(E(X|G)) = EX (h.c.c); 8. E E(X|G2 )|G1 = E(X|G1 ) = E E(X|G1 )|G2 (h.c.c) nếu G1 ⊂ G2; 9. Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ(X) và G độc lập) thì E(X|G) = EX (h.c.c); 10. Nếu Y là G−đo được và E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c). Chứng minh. 1. Hiển nhiên. R R 2. Với X ≤ Y h.c.c suy ra XdP ≤ Y dP với mọi A ∈ G. Suy ra: A A Z Z E(X|G)dP ≤ E(Y |G)dP, ∀A ∈ G A A Suy ra E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c 3. Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 4. Với A ∈ G thì Z Z Z (aX + bY )dP = a XdP + b Y dP = A A A Z Z Z = a E(X|G)dP + b E(Y |G)dP = (aE(X|G) + bE(Y |G))dP A A A 5. EX đo được đối với σ−đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω thì có Z Z XdP = EXdP A A Đó là điều phải chứng minh. 6. Hiển nhiên. 8
7. Sử dụng (1.1) với A = Ω. 8. Nếu A ∈ G1 thì Z Z Z E E(X|G2)|G1 dP = E(X|G2 )dP = XdP A A A Từ đó và từ định nghĩa 1.1.4 ta có đẳng thức đầu. Đẳng thức sau suy ra từ 6. và nhận xét E(X|G1) là G2−đo được. 9. Nếu A ∈ G thì X và 1A độc lập. Do đó: Z Z XdP = EX1A = EXP(A) = (EX)dP A A Suy ra điều phải chứng minh. 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên Ký hiệu (Xn ) là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P). Định nghĩa 1.1.5. (Hội tụ theo xác suất). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với > 0 bất kỳ lim P |Xn − X| > → 0 n→∞ P Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là Xn → X. Định nghĩa 1.1.6. (Hội tụ hầu chắc chắn). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho Xn (ω) → X(ω) với ω∈ /A h.c.c Sự hội tụ h.c.c được ký hiệu là Xn → X. Định nghĩa 1.1.7. (Hội tụ trung bình). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p(0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu E|Xn − X|p → 0, (n → ∞) 9
Lp Sự hội tụ trung bình được ký hiệu là Xn → X. Trong đó Lp (p > 0) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) thỏa mãn E|X|p < ∞. Trong Lp , chuẩn bậc p của X được ký hiệu 1 p p kXkp = E|X| Nhận xét 1.1.1. Từ bất đẳng thức Markov E|X|p P(|X| > ) ≤ , 0 → 0, n → ∞ k≥n Chứng minh. Đặt Zn = sup |Xk − X| k≥n h.c.c h.c.c h.c.c Rõ ràng, Xn → X khi và chỉ khi Zn → 0. Nhưng (Zn ) là dãy giảm nên Zn → 0 P tương đương với Zn → 0 hay cũng vậy, tương đương với P sup |Xk − X| > → 0, n → ∞ k≥n 10
1.2 Hàm ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. Cho T là 1 tập hợp, (Ω, F , P) là không gian xác suất. Khi đó ánh xạ Φ : T × Ω −→ R (t, ω) 7−→ Φ(t, ω) gọi là hàm ngẫu nhiên nếu với mỗi t ∈ T : ω 7−→ Φ(t, ω) là F −đo được. Khi T = N thì {Φ(t, ω)} = {Φ(n)} = (Φn ) gọi là dãy ngẫu nhiên. Khi T là (−∞, +∞) hoặc (0, +∞) hoặc (a, b) thì {Φ(t)} = (Φt ) gọi là quá trình ngẫu nhiên. Khi T ⊂ Rn thì {Φ(t)} gọi là trường ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.2.2. Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên (Φt , t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ−trường tích B(R+ ) × F . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp {(t, ω) : Φ(t, ω) ∈ B} thuộc về σ−trường tích B(R+ ) × F . Đó là σ−trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F . Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm ngẫu nhiên Φ(t) = Φ(t, ω). Hàm m(t) = EΦ(t) được gọi là hàm trung bình của Φ(t). Hàm tự tương quan là K(s, t) = cov Φ(s), Φ(t) = E Φ(s) − m(s) Φ(t) − m(t) 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener Định nghĩa 1.2.4. Hàm ngẫu nhiên W (t) = (Wt, t ≥ 0) được gọi là hàm ngẫu nhiên Wiener nếu nó thỏa mãn các tính chất sau 11
1. W (0) = 0; 2. Với 0 < s < t thì W (t) − W (s) có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 0 và phương sai là t − s; 3. W (t) có gia số độc lập, tức là với 0 ≤ t0 < t1 < ... < tn thì W (t1) − W (t0); W (t2) − W (t1); ...; W (tn) − W (tn−1 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Định lý 1.2.1. Cho hàm ngẫu nhiên Wiener W (t), khi đó ta có m(t) = 0 và K(s, t) = min(s, t) 1.3 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.3.1. Cho hai không gian vectơ X, Y . Một ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk với mọi x1, x2 , ..., xk ∈ X và mọi số α1, α2 , ..., αk . Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y , ký hiệu là L(X, Y ). Định nghĩa 1.3.2. Cho hai không gian vectơ định chuẩn X, Y . Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số k sao cho kAxk ≤ k.kxk, ∀x ∈ X (chú ý rằng chuẩn bên trái của bất đẳng thức là chuẩn trong Y , chuẩn bên phải là chuẩn trong X) Định lý 1.3.1. Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. 12
Chứng minh. Giả sử toán tử tuyến tính A liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng phải có một hằng số k sao cho kAxk ≤ k với mọi x có kxk = 1. Thật vậy, nếu trái xn lại, tức là ∀n, tồn tại xn , kxn k = 1, kAxn k > n thì ta lấy x0n = , ta có x0n → 0 và n Axn kAxn k kAx0n k = k k= > 1, trái với giả thiết A liên tục. Vậy phải có số k với tính n n x chất trên. Với x khác 0 ta có = 1, cho nên kAxk ≤ k, do đó kAxk ≤ k.kxk. kxk kxk Ngược lại, giả sử có hằng số k thỏa mãn định nghĩa 1.3.2 và xn → x0. Ta có kAxn − Ax0k = kA(xn − x0)k ≤ k.kxn − x0k → 0 Vậy A liên tục tại x0. 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt Định nghĩa 1.4.1. Giả sử rằng H là không gian Hilbert tách được và A ∈ B(H). Ta nói rằng A là toán tử Hilbert - Schmidt nếu tồn tại một cơ sở trực chuẩn {en }∞ n=1 P∞ 2 sao cho kAenk < ∞. n=1 Bổ đề 1.4.1. Giả sử rằng A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian H P ∞ tách được sao cho có một cơ sở trực chuẩn {en }∞ n=1 thỏa mãn kAen k2 < ∞. Khi n=1 đó với bất kỳ cơ sở trực chuẩn {fn }∞ n=1 ta có ∞ X ∞ X 2 kAfn k = kAenk2 n=1 n=1 Chứng minh. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, theo đẳng thức Parseval ta có: ∞ X ∞ X
Afn = hAfn , fk ifk , kAfn k =
hAfn , fk i
2 2 k=1 k=1 Xét với tổng n, áp dụng đẳng thức Parseval một lần nữa ta được: ∞ X ∞ X X ∞ ∞ X ∞