Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự tồn tại nghiệm của mô hình động lực rừng điều chỉnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về các không gian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự tồn tại nghiệm của mô hình động lực rừng điều chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoảng Hải Minh
Mục lục Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Xấp xỉ Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach . . 10 1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh . . 33 2.1. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1. Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2
LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường được quan tâm nhất hiện nay. Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá thể cây, cây trong một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời tiết cùng với những tương tác giữa các hệ thống nêu trên,... Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt được những kết quả quan trọng. Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya. Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán học về rừng trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mô hình đó sau này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự phát triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái sinh. Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn loài và giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng thành. Có ba yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và hạt giống trong không khí. Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện quá trình phát triển của hệ rừng như sau:  ∂u = β δ w − γ(v)u − f u trong Ω × (0, ∞),      ∂t  ∂v   = f u − hv trong Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w = d∆w − β w + αv trong Ω × (0, ∞),       ∂t  u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) trong Ω, 0 0 0 (0.1) trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển (Ω ⊂ R2 là một miền hai chiều bị chặn). Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại một vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm w(x,t) là mật độ hạt trong không khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển 3
của các cây non và các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện động lực của các hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0 lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và c > 0. Với w, một số điều kiện biên được đặt trên biên ∂ Ω. Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω. Mô hình (0.1) đã được một số tác giả nghiên cứu. Với điều kiện biên Neuman hoặc Dirichlet đặt lên w, các tác giả L. H. Chuan, A. Yagi và T. Shirai trong [3] và [5] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sự tồn tại hàm Lyapunove cho hệ (0.1). Tuy nhiên, mô hình trên có vẻ chưa đầy đủ. Các nghiệm dừng u, v của bài toán (0.1) có giá hoàn toàn trong Ω. Tuy nhiên đối với rừng tự nhiên do sự khuếch tán, mật độ hạt bên ngoài biên tự nhiên vẫn dương. Một số kết quả tính toán cũng chỉ ra một số nghiệm dừng của hệ (0.1) có mật độ cây ở miền bên ngoài biên của rừng dương. Hai tác giả A. Yagi và M. Primicerio vào năm 2014 trong [7] đã đưa ra hình động học rừng điều chỉnh sau:  ∂u = β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u trong Ω × (0, ∞),      ∂t  ∂v   = f u − hv trong Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w = d∆w − β w + α v˜ trong R2 × (0, ∞),      ∂t trong Ω và R2 .   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) 0 0 0 (0.2) Ở đây, w∗ > 0 là một số cho trước và ký hiệu (w − w∗ )+ là phần dương của w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ và với w < w∗ , (w − w∗ )+ = 0. Vì thế, w∗ là mật độ tối thiểu của hạt trên mặt đất, mật độ tối thiểu này là cần thiết để cây mọc lên. Giờ đây hàm w là mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn R2 . Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng của v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω và v(x)˜ =0 2 với x ∈ R \Ω. Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) đã cải thiện hai khía cạnh. Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành toàn không gian R2 vì w biểu thị mật độ hạt trong không khí và hạt có thể phân tán xa hơn so với biên của Ω. Một cách tự nhiên, ta không còn cần phải quan tâm tới các điều kiện biên trên w. Khía cạnh 4
thứ hai, ta có ngưỡng w∗ . Nếu w ≤ w∗ thì không có cây non mọc, tất nhiên khi đó sẽ không có cây trưởng thành. Điều đó khiến cho giá của các nghiệm dừng u, v là compact. Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2). Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương: • Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về các không gian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn. Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [6]. • Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của (0.2), sau đó chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của (0.2). Cuối chương là phần trình bày về hàm Lyapunov của hệ động lực sinh bởi (0.2). Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [7]. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoàng Hải Minh 5
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2). Cụ thể, ta hệ thống lại các kiến thức về một số không gian hàm, toán tử quạt, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính. Phần cuối chương ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục và đánh giá nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. 1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k, [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X), 0 < σ < β ≤ 1, như sau: Định nghĩa 1.1. Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục trên (a, b] (hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn khi t → a. 6
(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể là (s − a)1−β +σ kF(t) − F(s)k sup a≤s
đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau −1 M (λ − A) ≤ , λ∈/ Σω , (1.8) |λ | với hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X. Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) và (1.8). Khi đó, ωA được gọi là góc của toán tử quạt A. Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ωA < π2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π2 . Khi đó ta có σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} , (1.9) và −1 M (λ − A) ≤ , λ∈ / Σω . (1.10) |λ | Toán tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [[6], chương 2]), được xác định bởi công thức tích phân sau 1 Z e−zA = e−zλ (λ − A)−1 dλ , z ∈ Σ π −ω , 2πi Γ 2 trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ. Tích phân này hội tụ trong L(X). Đồng thời ta có kết quả sau. Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức 1 Z e −tA = e−tλ (λ − A)−1 dλ , 0 < t < ∞. 2πi Γ Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A. Mệnh đề 1.1 ([6], p.62). Với mọi φ sao cho 0 < φ < π2 − ω, tồn tại một số mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho e ≤ Cφ e−δφ |z| , z ∈ Σφ − {0} . −zA Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt. Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa 1 Z A−z = λ −z (λ − A)−1 dλ , 2πi Γ trong đó Γ là đường cong bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ nằm trong C\(∞, 0] ∩ ρ(A). Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và hàm này nhận giá trị trong L(X). Định nghĩa At với t ∈ R như sau: 8
Khi t = 0, A0 ≡ I. Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X). Khi t > 0, At = (A−t )−1 và D(At ) trù mật trong X. Hơn nữa, với 0 < t1 ≤ t2 thì D(At2 ) ⊂ D(At1 ). Ta có các tính chất sau của toán tử lũy thừa và toán tử mũ: Với mọi 0 < φ < π2 , khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1 trong X, (Xem [6], định lý 2.21). Chú ý rằng −z sup A < ∞. (1.11) |arg z|
Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các toán tử quạt, đồng thời ta có ước lượng θ −tAn An e ≤ Ct −θ , 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞. (1.15) và Aθn e−tAn → Aθ e−tA trong L(X) 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞. (1.16) Phần tiếp theo, ta trình bày một số kết quả đã biết về phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach. 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach Ta xét bài toán giá trị ban đầu   du = p(t)u + q(t), dt 0 < t ≤ T,  u(0) = u 0 trong không gian Banach X. Ở đây, p, q ∈ C([0, T ] ; X) được xác định bởi các hàm liên tục nhận giá trị trong X và u0 ∈ X là một giá trị ban đầu. Với mỗi 0 < t ≤ T , ta xét hàm Rt ϕ(s) = e s p(r)dr u(s), 0 ≤ s ≤ t. Vì toán tử f 7→ e f là một ánh xạ khả vi Fréchet từ X vào chính nó và đạo hàm của nó được xác định bởi công thức g 7→ e f g trên X, dẫn tới ϕ ∈ C1 ((0,t]; X) và Rt Rt Rt (e s p(r)dr u(s))0 = e s p(r)dr (−p(s)u0 (s) = e s p(r)dr q(s). Lấy tích phân kết quả trên [0, T ], ta có công thức Rt Z t Rt u(t) = e 0 p(r)dr u0 + e s p(r)dr q(s)ds, 0 ≤ t ≤ T. (1.17) 0 1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính Ta xét bài toán giá trị ban đầu   dU + AU = F(t), dt 0
trong không gian Banach X. Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A là một toán tử quạt trong X với góc ωA < π2 . Hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1. Giá trị ban đầu U0 được lấy trong X. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bài toán (1.18). Định lý 1.2 ([6], p.124). Cho A thỏa mãn (1.9) và (1.10). Với mỗi hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn tại duy nhất một nghiệm U của (1.18) nằm trong không gian hàm U ∈ C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1 ((0, T ]; X) (1.19) và thỏa mãn ước lượng dU dt (t) + t kAU(t)k ≤ C(kU0 k + kFkFβ ,σ ), kU(t)k + t 0 ≤ t ≤ T. (1.20) Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức Z t −tA U(t) = e U0 + e−(t−τ)A F(τ)dτ, 0 ≤ t ≤ T. (1.21) 0 Chứng minh. Với n = 1, 2, 3, ..., ký hiệu An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các toán tử bị chặn trên X. Đồng thời, An là các toán tử quạt trên X với góc ω < ωA , và An sinh ra duy nhất một nửa nhóm giải tích e−tAn . Đặt Z t −tAn Un (t) = e U0 + e−(t−τ)An F(τ)dτ, 0 ≤ t < T. 0 Vì khi n → ∞ thì e−tAn → e−tA nên Un (t) hội tụ điểm tới hàm U(t) được cho bởi công thức (1.21) trong X. Hơn nữa, An là toán tử bị chặn và Z t dUn −tAn −tAn = −An e U0 + −An e e F(τ)dτ + e−tAn etAn F(t) τAn dt 0 = −AnUn (t) + F(t), 0 < t ≤ T. Do đó, với bất kỳ 0 < ε < T , lấy tích phân hai vế ta có Z t Un (t) = Un (ε) + [F(τ) − AnUn (τ)] dτ, ε ≤ t ≤ T. (1.22) ε Tiếp theo ta sẽ đi xét sự hội tụ của AnUn (t). Với mục đích đó, ta viết Z t −tAn An e−(t−τ)An [F(τ) − F(t)] dτ + 1 − e−tAn F(t), AnUn (t) = An e U0 + 0 11
trong đó Z t An e−(t−τ)An dτ = 1 − e−tAn . (1.23) 0 Do đó −tA Z t kAnUn (t)k ≤ An e n kU0 k + An e−(t−τ)An kF(τ) − F(t)k dτ 0 −tA + 1 − e n kF(t)k . Từ (1.15) ta có −tA An e n ≤ Ct −1 , −(t−τ)An −1 An e ≤ C(t − τ) . Từ (1.3) ta có kF(t)k ≤ Ct −1+β kFkFβ ,σ , kF(τ) − F(t)k ≤ C(t − τ)σ τ β −σ −1 kFkFβ ,σ . Suy ra Z t kAnUn (t)k ≤ Ct −1 kU0 k + C(t − τ)−1 (t − τ)σ τ β −σ −1 kFkFβ ,σ dτ 0 −1+β +Ct kFkFβ ,σ Z t ≤ Ct −1 kU0 k +CkFkFβ ,σ (t − τ)σ −1 τ β −σ −1 dτ 0 +Ct −1+β kFkFβ ,σ ≤ C t −1 kU0 k + t β −1 kFkFβ ,σ , 0 < t ≤ T, (1.24) hằng số C không phụ thuộc vào n. Hơn nữa, từ (1.16) suy ra AnUn (t) hội tụ tới Z t −tA W = Ae + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + (1 − e−tA )F(t), 0 trong X với mỗi t ∈ (0, T ]. Hơn nữa, W là một hàm liên tục với 0 < t ≤ T . Cho n → ∞ trong Un (t) = An −1 AnUn (t), ta suy ra U(t) = A−1W . Điều đó dẫn tới U(t) ∈ D(A) và AU(t) = W (t) với mọi 0 < t ≤ T . Từ (1.24) và áp dụng Định lý hội tụ Lebesgue cho (1.22) ta có Z t U(t) = U(ε) + [F(τ) − AU(τ)] dτ, ε ≤ t ≤ T. ε 12
Suy ra U(t) khả vi với ε ≤ t ≤ T . Vì ε > 0 tùy ý nên U(t) ∈ C1 ((0, T ), X). Hơn nữa, U(t) có đạo hàm tại t = 0 nên U liên tục tại t = 0 suy ra U(t) ∈ C1 ([0, T ], X). Ta có Z t AU(t) = Ae U0 + Ae−(t−τ)A F(τ)dτ. −tA 0 Do vậy Z t t−τ )A −( t−τ kAU(t)k ≤ Ct −1 kU0 k + Ae−( e 2 )A kF(τ)k dτ. 2 0 Khi đó t − τ −1 −ρ ( t−τ ) β Z t t kAU(t)k ≤ C kU0 k +C ( ) e 2 t kFk β ,σ dτ F 0 2 Z t 2 −ρ ( t−τ ) β ≤ C kU0 k +CkFkFβ ,σ e 2 t dτ, 0 t −τ 2 −ρ ( t−τ 2 )t β mà t−τ e bị chặn khi t → ∞ nên t kAU(t)k ≤ C kU0 k | + kFkFβ ,σ , C không phụ thuộc vào t. Từ đó ta có U(t) thỏa mãn (1.20). Đồng thời ta dễ dàng kiểm tra được U(0) = U0 , suy ra U(t) là nghiệm của bài toán (1.18). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm U của (1.18). Thật vậy, giả sử có V (t) là nghiệm của bài toán (1.18) và thuộc không gian nghiệm (1.19). Khi đó, ta có dV (τ) = F(τ) − AV (τ), dτ và d −(t−τ)A e V (τ) = Ae−(t−τ)AV (τ) + e−(t−τ)A F(τ) − e−(t−τ)A AV (τ) dτ = e−(t−τ)A F(τ). Lấy ε > 0 bất kỳ, với ε < τ < t ta lấy tích phân hai vế đẳng thức trên thu được Z t −(t−ε)A V (t) = e V (ε) + e−(t−τ)A F(τ)dτ, ε < t ≤ T. ε Cho ε → 0 , ta thu được Z t −tA V (t) = e U0 + e−(t−τ)A F(τ)dτ, 0 < t ≤ T. 0 Suy ra V (t) = U(t) với mọi 0 < t ≤ T . 13
Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ ), ta có thể chứng minh được tính chất tốt hơn của nghiệm. Định lý 1.3 ([6], p.126). Cho F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, nghiệm U của (1.18) có các tính chất sau: Aβ U ∈ C((0, T ]; X), (1.25) dU , AU ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), (1.26) dt với các ước lượng β β A U ≤ C A U0 + kFkFβ ,σ , (1.27) C dU β dt β ,σ + kAUkF β ,σ ≤ C A U0 + kFk F β ,σ . (1.28) F Chứng minh. Đầu tiên, ta đi chứng minh (1.25). Ta đã biết Aβ là một toán tử quạt với ωAβ ≤ β ωA nên Aβ bị chặn và Aβ U(t) là liên tục với mọi t ∈ (0, T ]. Do vậy, ta chỉ cần chỉ ra Aβ U(t) liên tục tại t = 0. Thật vậy, ta có Z t β β −tA −(t−τ)A A [U(t) −U0 ] = A e U0 + e F(τ)dτ −U0 0 Z t −tA − 1 A U0 + Aβ e−(t−τ)A F(τ)dτ β = e 0 Z t = e − 1 A U0 + Aβ e−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ −tA β 0 Z t + Ae−(t−τ)A F(τ)dτAβ −1 F(t) 0 Z t −tA − 1 A U0 + Aβ e−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ β = e 0 −tA β −1 + (1 − e )A F(t) = J1 (t) + J2 (t) + J3 (t). Dễ thấy lim J1 (t) = 0 trong X. Hơn nữa t→0 Z t β −(t−τ)A kJ2 (t)kX ≤ A e kF(τ) − F(t)k dτ 0 τ 1−β +σ kF(τ) − F(t)kX Z t −β σ β −σ −1 ≤ C(t − τ) (t − τ) τ dτ sup 0 0
Mà lim ωF (t) = 0 nên lim J2 (t) = 0. Mặt khác, vì t→0 t→0 J3 (t) = (1 − e−tA )Aβ −1 F(t) = −t β −1 (e−tA − 1)Aβ −1t 1−β F(t), và theo (1.16) ta có với 0 < β ≤ 1, khi t → 0 thì t β −1 1 − e−tA Aβ −1 hội tụ đến 0 trong X nên lim J3 (t) = 0. Như vậy, Aβ [U(t) −U0 ] → 0 khi t → 0. t→0 Ta có β β β A U(t) ≤ A [U(t) −U0 ] + A U0 , −tA β β kJ1 (t)k ≤ e − 1 A U0 ≤ C A U0 , kJ2 (t)k ≤ CkFkFβ ,σ , kJ3 (t)k ≤ 1 − e−tA Aβ −1 kF(t)k , kết hợp với (1.11), ước lượng (1.27) được chứng minh. Tiếp theo, ta sẽ đi chứng minh (1.26). Tương tự trên có Z t −tA AU(t) = Ae U0 + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + (1 − e−tA )F(t) 0 = I1 (t) + I2 (t) + I3 (t). Theo Định lý 1.1 ta có, I1 (t) ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X). Vì thế ta chỉ cần chứng minh Ii (t) ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X) với i = 2, 3. Chứng minh I2 . Chuẩn của I2 (t) được ước lượng bởi τ 1−β +σ kF(τ) − F(t)kX Z t kI2 (t)k ≤ C (t − τ)σ −1 τ β −σ −1 dτ sup 0 0
Mặt khác, ta có Z t Z s −(t−τ)A I2 (t) − I2 (s) = Ae [F(τ) − F(t)] dτ − Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ 0 0 Z t Z s = Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ s 0 Z s − Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ 0 Z t Z s −(t−τ)A = Ae [F(τ) − F(t)] dτ + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ s 0 Z s Z s −(t−τ)A + Ae [F(s) − F(t)] dτ − Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ 0 0 Z t = Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ s Z s −(t−s)A + e −1 Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ 0 Z s + Ae−(t−τ)A [F(s) − F(t)] dτ 0 = I21 (t, s) + I22 (t, s) + I23 (t, s). Trong đó Z t kI21 (t, s)k ≤ Ae−(t−τ)A kF(τ) − F(t)k dτ s τ 1−β +σ kF(τ) − F(t)kX Z t ≤ (t − τ)−1 (t − τ)σ τ β −σ −1 dτ sup s 0
Hơn nữa Z t−s Z t−s −2 (ρ + s − τ) (s − τ) τ σ β −σ −1 dρ = (s − τ) τ σ β −σ −1 (ρ + s − τ)−2 dρ 0 0 σ β −σ −1 −1 1 = (s − τ) τ + t −τ s−τ = (t − s)(s − τ)σ −1 (t − τ)−1 τ β −σ −1 . Suy ra Z t−s Z s I= (ρ + s − τ)−2 (s − τ)σ τ β −σ −1 dτdρ 0 o Z t−s = (t − s) (s − τ)σ −1 (t − τ)−1 τ β −σ −1 dτ. 0 Đặt τ = s − x ta được Z s I = (t − s) (t − s + x)−1 xσ −1 (s − x)β −σ −1 dx. 0 Xét Z s H = (t − s) s (t − s + x)−1 xσ −1 (s − x)β −σ −1 dx 2 Z s = (t − s) s (t − s + x)−1 x−1 xσ (s − x)β −σ −1 dx 2 Z s −1 ≤ 2s (t − s) s (t − s + x)−1 xσ (s − x)β −σ −1 dx 2 Z sh i −1 −1 ≤ 2s (t − s) σ s (t − s + x) 1−σ σ x (t − s + x) (s − x)β −σ −1 dx. 2 Vì (t − s + x)−1 = (t − s + x)−1+σ (t − s + x)−σ nên 1−σ σ 1−σ σ −1 t −s x (t − s + x) x (t − s + x) = . t −s+x t −s+x t−s s x Trong đó t−s+x < 1 do x ∈ 2 ; s và t−s+x < 1 do t > s > 0. Suy ra (t − s + x)1−σ xσ (t − s + x)−1 < 1. Do vậy Z s H ≤ 2(t − s) s σ −1 (s − x)β −σ −1 dx. 0 17
Mặt khác Z s 2 (t − s) (t − s + τ)−1 τ σ −1 (s − τ)β −σ −1 dτ 0 s Z ∞ ≤ (t − s)(s − )β −σ −1 (t − s + τ)−1 τ σ −1 dτ 2 0 Z ∞ ≤ (t − s)2 1−β +σ β −σ −1 s (t − s + τ)−1 τ σ −1 dτ 0 21−β +σ π = (t − s)σ 21−β +σ vì B(σ , 1 − σ ) = π sin(σ π) . sin(σ π) Khi đó " !# 2 21−β +σ π kI22 (t, s)k ≤ CωF (t) (t − s)σ sβ −σ −1 + , β −σ sin σ π suy ra kI22 (t, s)k ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1 , 0 ≤ s < t ≤ T. Cuối cùng, vì h i −(t−s)A −tA I23 (t, s) = e −e [F(s) − F(t)] , h i s1−β +σ [F(s) − F(t)] = e−(t−s)A − e−tA σ (t − s)σ sβ −σ −1 , (t − s) nên kI23 (t, s)k ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1 , 0 ≤ s < t ≤ T. Tóm lại, ta có s1−β +σ kI2 (t) − I2 (s)kX sup → 0, 0≤s
Trong đó 1 − e−tA [F(t) − F(s)] ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1 , 0 ≤ s < t ≤ T, và từ (1.12) ta có, −(t−s)A −σ σ −sA −(t−s)A −σ σ −sA e − 1 A A e F(s) ≤ e − 1 A A e F(s) σ β −σ −1 σ σ −sA 1−β ≤ C(t − s) s s A e s F(s) , 0 ≤ s < t ≤ T. Hơn nữa, theo (1.13), lim sσ Aσ e−sA s1−β F(s) = 0. Chứng tỏ s→0 kI3 (t) − I3 (s)k ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1 , nên s1−β +σ kI3 (t) − I3 (s)kX lim sup = 0. t→0 0