zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Báo xấu

50
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định. Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu về định tính mô hình Solow.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———- * ——— NGUYỄN THÙY LINH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o NGUYỄN THÙY LINH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - Năm 2011
Mục lục Mở đầu 2 Bảng các ký hiệu 4 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 5 1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân . 7 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov . . . . . . . . . . 18 2 Một vài ứng dụng trong kinh tế 31 2.1 Mô hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Mô hình Solow với luật dân số Schoener . . . . . . . . . 35 2.2.1 Lập mô hình và nghiên cứu tính chất điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Hàm dân số Schoener và vai trò của tiến bộ công nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 1
MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân do A.Lyapunow, một nhà toán học người Nga đặt nền móng vào cuối thế kỉ 19 ngày càng có nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu lý thuyết và triển khai ứng dụng [4,5,6,7,10,11,12]. Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm khi thời gian dần về vô cùng. Các hệ phương trình như vậy thường được gọi một cách đơn giản là các hệ động lực [1,2,4,5]. Việc nghiên cứu tính ổn định thường được thực hiện bằng nhiều phương pháp, trong đó cơ bản nhất là hai phương pháp được chính Lyapunov giới thiệu. Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của hệ [1,2]. Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov[9,10,11]. Sau phần tổng quan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiến thức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mô hình Kinh tế rất nổi tiếng là mô hình Solow (giải thưởng Nobel về Kinh tế năm 1987) [7,8]. Việc phân tích định tính mô hình Solow về tăng trưởng kinh tế sẽ giải thích được nhiều câu hỏi về các hiện tượng tăng trưởng của các nền kinh tế đóng. Sự tăng trưởng của nền kinh tế chỉ tập trung vào một số yếu tố chính như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động và lượng lao động [6,9]. Luận văn gồm 2 chương: - Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định. - Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tôi về định tính mô hình Solow. Chương 1 bao gồm các kiến thức đã có, chúng tôi chỉ là người hệ thống lại. Chương 2 là phần cải tiến mô hình theo cách của chúng tôi với hy vọng nhận được mô hình mới có những đặc điểm tốt hơn so với mô hình nguyên thuỷ. Việc cải tiến được thực hiện bằng cách thay thế luật tăng trưởng dân số dạng mũ của Malthus trong mô hình nguyên thủy bằng luật tăng 2
trưởng dân số Schoener. Chúng tôi chọn hàm biến động dân số này là vì các lý do sau: Chưa có công trình nào trước đây đã làm công việc này. Hàm tăng trưởng Schoener có một vài ưu thế so với các hàm dân số khác, dễ thấy nhất là khi thời gian dần về vô cùng lượng dân số tiến tới giá trị L2 , trong đó L2 = L(r, b, c), nghĩa là giá trị tới hạn này có thể điều chỉnh tuỳ theo tình thế bằng cách thay đổi độ lớn các tham số r, b, c (đặc trưng độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh của quần thể). Điều này là khác so với các giá trị bất biến L∞ trong tăng trưởng dân số Bentalanffy hay L∗ trong tăng trưởng dân số Richards. Với hàm dân số mới chúng tôi nhận được kết quả về tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút toàn cục của mô hình Solow tương ứng. Chúng tôi có so sánh những điểm giống nhau và khác nhau giữa mô hình nguyên thủy với mô hình được cải tiến. Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc đọc các bài báo mới rồi thay đổi các dự kiện để tự thực hiện các tính toán mới, rút ra kết luận, trình bày và chứng minh theo cách của mình. Vì thế, bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các bạn đồng nghiệp chỉ bảo và lượng thứ. Bản khoá luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều thời gian để hướng dẫn và giúp đỡ em trong học tâp các kiến thức chuyên ngành và trong việc hoàn thiện bản luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy và các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ. Hà Nội, 12/2011 Nguyễn Thùy Linh 3
Bảng các ký hiệu R - tập số thực. R+ := [0; ∞) Rn - không gian vec tơ n chiều. X - không gian Banach U (t, s) - ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất E - tập các nghiệm của một phương trình vi phân χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng của nghiệm x = φ(t) χ[f ] - số mũ cả của phương trình x˙ = f (t, x) K - lớp hàm . H - ma trận Hurwitz K := K(t) - lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm t L := L(t) - lượng lao động tại thời điểm t I := I(t) - lượng đầu tư tại thời điểm t G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất của mỗi lao động Y := Y (t) - sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t δ - chỉ số sụt giảm vốn n - tốc độ tăng trưởng dân số g - tốc độ tiến bộ của công nghệ k - tỷ số vốn trên lao động s - chỉ số tích lũy t - biến thời gian y - tỷ số đầu ra trên lao động. 4
Chương 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 1.1 Tổng quan Xét phương trình vi phân: x˙ = f (t, x) (1.1) trong đó f : R+ × D −→ X : (t; x) 7−→ f (t; x); R+ = [0; +∞); D ⊆ X là một miền đơn liên của không gian Banach X . Trong luận văn ta chỉ xét với X = Rn . Với một điểm cho trước (to ; xo ) ∈ G := R+ × D, ký hiệu x(t) := x(t; to ; xo ) dùng để chỉ nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (to ; xo ) theo nghĩa x(to ) = x(to ; to ; xo ) = xo . Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm: 5
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Định lý 1.1.[1] Giả sử với hệ (1.1): (i) Hàm f liên tục theo (t, x) trên miền G = R+ × D, D mở trong X ; (ii) Hàm f lipschitz theo biến x (x ∈ D). Khi đó, với mỗi điểm ban đầu cho trước (to ; xo ) ∈ G đều tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Trong trường hợp đó, có thể kéo dài nghiệm theo trục t đến vô cùng. 1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: [1,2] x˙ = A(t)x + f (t) (1.2) thỏa mãn x(to ) = xo . Khi đó, hệ (1.2) có nghiệm tổng quát là: Z t x(t) = U (t, to )xo + U (t, τ )f (τ )dτ. to trong đó U (t, τ ) là ma trận cơ bản của hệ (1.2). Ma trận này có các tính chất: U (t, t) = I ∀t ≥ 0; U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) ∀t ≥ s ≥ τ ≥ 0; dU (t, s) = A(t)U (t, s) ∀t ≥ s ≥ 0. dt Nếu A(t) là ma trận hằng thì U (t, τ ) = eA(t−τ ) . Khi đó, hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng có nghiệm: Z t A(t−to ) x(t) = e xo + eA(t−τ ) f (τ )dτ. to 6
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân Ta luôn giả thiết hàm f trong phương trình: x˙ = f (t, x) (1.3) là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn. Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x∗ (t) là một nghiệm của hệ (1.1). • Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀to ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, to ) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) xuất phát từ (to ; x(to )) thỏa mãn kx(to ) − x∗ (to )k < δ thì cũng thỏa mãn kx(t) − x∗ (t)k < ∀t ≥ to . • Nếu x = x∗ (t) ổn định và có thêm tính hút, nghĩa là tồn tại δ1 > 0 sao cho: kx(to ) − x∗ (to )k < δ1 ⇒ kx(t) − x∗ (t)k → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. • Nếu δ, δ1 có thể chọn không phụ thuộc vào to thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. • Tại t = to nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho: kx(t) − x∗ (t)k ≤ N e−δ(t−to ) ∀t ≥ to . thì ta nói hệ là ổn định mũ. 7
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Trong trường hợp nghiệm x = x∗ (t) có tính hút tại t = to thì tập Ωto := {xo ∈ D : kx∗ (t) − x(t)k → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút của nghiệm này tại thời điểm to . Khi miền hút không phụ thuộc vào to , nếu Ω = Rn thì nói nghiệm trên là hút toàn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên là hút toàn cục trên tập D. Để bài toán được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết: f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = x∗ (t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗ (t) ≡ 0 ∀t ≥ 0. Trong trường hợp x∗ (t) không tầm thường thì dùng phép đổi biến z(t) = x(t) − x∗ (t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : z˙ = g(t; z) với tính chất: g(t; 0) = 0 ∀t ≥ 0. 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Ta có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất Lya- punov, phương pháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyên dụng hoặc khảo sát trực tiếp theo định nghĩa. 1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân được thực hiện thông qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình. Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây. 8
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân: x˙ = f (t, x), (1.4) t ∈ R+ , x ∈ X (X = Rn ). Ký hiệu E là tập nghiệm của phương trình này. Ta sẽ xây dựng phiếm hàm χ : E −→ R như sau: Nếu ϕ ≡ 0 ta lấy χ[0] = 0. Nếu ϕ(t) 6= 0, ta đặt: ln ||ϕ(t)|| χ[ϕ] = lim t→+∞ t và gọi giới hạn này là số mũ đặc trưng của nghiệm x = ϕ(t). ln ||ϕ(t)|| ln ||ϕ(t)|| Nếu lim t = lim t là hữu hạn thì χ[ϕ] gọi nó là số mũ t→+∞ t→+∞ đặc trưng ngặt của hàm x = ϕ(t). Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp các số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞) của các nghiệm đặc trưng của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Lyapunov của hệ phương trình vi phân đó: σ[f ] = {χ[ϕ] : ϕ ∈ E}. Tính chất của số mũ đặc trưng.[1] Với ϕ, ψ không tầm thường, ta có: 1. χ[||ϕ||] = χ[ϕ]; 2. χ[kϕ] = χ[ϕ]; 9
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 3. ||ϕ(t)|| ≤ ||ψ(t)|| ⇒ χ[ϕ] ≤ χ[ψ]; 4. χ[ϕ + ψ] ≤ max{χ[ϕ], χ[ψ]}; 5. χ[||ϕ.ψ||] ≤ χ[ϕ] + χ[ψ]; 6. χ[ ϕ1 ] = −χ[ϕ] nếu ∃T > 0 : ϕ(t) 6= 0 ∀t ≥ T và χ[ϕ] là ngặt. Số mũ Lyapunov nhỏ nhất và lớn nhất: χmax [f ] = max{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}; χmin [f ] = min{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}. Khái niệm số mũ đặc trưng cũng được mở rộng cho các ma trận hàm như sau: Định nghĩa1.3. Số mũ đặc trưng của ma trận hàm trên [0, ∞) A(t) = (aij (t))n×n là: χ[A] = max χ[aij ]. i,j Số mũ đặc trưng này có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞. Tính chất. Giả sử A(t), B(t) là các ma trận hàm cỡ n×n trên [0, ∞) thì ta cũng có các hệ thức: 1. χ[A] = χ[kAk]; 2. χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]}; 3. χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B]. 10
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Trên đây là các khái niệm số mũ đặc trưng trên hệ tổng quát. Ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn trên một số loại hệ phương trình đặc biệt. Số mũ Lyapunov của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Xét hệ: x˙ = A(t)x. (x ∈ Rn ) Đầu tiên ta xét trường hợp autonomous. a. Hệ autonomous Xét hệ: x˙ = Ax A - ma trận hằng. (1.5) Giả sử ma trận hằng A có n giá trị riêng, trong đó λ1 , λ2 , ..., λk là các giá trị riêng thực với bậc bội tương ứng là s1 , s2 , ..., sk . và λk+1 , λk+2 , ..., λk+h là các giá trị riêng phức thực sự với bậc bội tương ứng là r1 , r2 , ..., rh . Ta biết rằng tập nghiệm của hệ (1.5) bao hàm từ tập các tổ hợp tuyến tính của các vectơ dạng: Rj (t)vj eReλj t , trong đó: Rj (t) = Psj −1 (t) với j = 1, k; Rj (t) = Prj −1 (t)cos(Imλj )t + Qrj −1 sin(Imλj )t với j = k + 1, k + h. R˙ j (t) Ta nhận xét rằng lim = 0 ∀j . Ta thấy, nếu trong tổ hợp tuyến tính t→∞ Rj (t) chọn:  1 khi p = j Cp = 0 khi p 6= j thì nghiệm có dạng: xj (t) = vj i Pj (t)eReλi t (vj i ∈ R) 11
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân " # vji lnPj (t) ⇒ χ[xj ] = lim Reλj + = Reλj . t→∞ t Cho j chạy từ 1 đến k + h, ta thấy số mũ của các nghiệm xj của hệ chính là phần thực của giá trị riêng λj tương ứng. Tiếp theo, nghiệm tùy ý x(t) có dạng: X x(t) = Cj xj (t). j Theo tính chất của số mũ đặc trưng, ta có: χ[x] = max χ[xj ]. j Vậy không có thêm các số mũ đặc trưng nào khác ngoài: σ(A) = {Reλj : det(A − λI) = 0}. Như vậy, với hệ thuần nhất dừng, tập phổ Lyapunov không gì khác tập phần thực của các giá trị riêng. Định lí 1.2.[1,2] Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định nếu: Reλj ≤ 0 ∀λj ∈ σ(A), trong đó các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn. Nếu Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A) thì hệ là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Gọi λj là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trân A. Chúng 12
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân có phần thực không âm. Giả sử λj = αj + iβj , (j = 1, 2, ..., p). Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng: p X x(t) = eαj t eiβj t vj Pj (t), j=1 trong đó vj Pj (t) là hàm - vectơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bội của λj . Với αj < 0, ta có: eαj t Pj (t) → 0 khi t → ∞, và |eiβj t | = 1 nên x(t) → 0 khi t → +∞. Với αj = 0 khi đó Pj (t) là hằng số, do đó eαj t eiβj t vj Pj (t) là bị chặn trên R+ . Như vậy, mọi nghiệm x(t) bị chặn trên nửa trục to ≤ t < +∞. Ta sẽ chứng minh x(t) ≡ 0 ổn định. Thật vậy, gọi X(t) là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa của hệ (1.5): X(t) = [xjk (t)], trong đó X(t0 ) = E . Vì mọi nghiệm x(t) của hệ giới nội nên ma trận X(t) giới nội, giả sử M > 0: kX(t)k ≤ M ∀t > to . Ta có: x(t) = X(t)x(to ) nên ∀ > 0, to ∈ R+ , ∃δ = M sao cho kx(to )k < δ thì: kx(t)k ≤ kX(t)k.kx(to )k < M. < . M Vậy x(t) ≡ 0 ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov. Khi Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A) như ở phần chứng minh trên ta thấy x(t) → 0 13
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân khi t → +∞. Nghiệm tầm thường lại là ổn định. Vậy nó ổn định tiệm cận. Tiêu chuẩn Hurwitz. Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.5) là: f (λ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 + ... + an−1 λn−1 + an λn . Việc giải phương trình phức bậc n này là khó hoặc không thể. Vì thế ta sẽ gặp khó khăn để nhận biết phần thực của các giá trị riêng phân bố ra sao so với trục ảo. Tiêu chuẩn sau đây cho phép ta không cần giải phương trình đặc trưng mà vẫn biết được sự phân bố nói trên của tập phổ. Ta nói đa thức f (λ) trên đây có dạng chuẩn nếu a0 > 0 và an 6= 0, (n ≥ 1). Nếu có thêm phần thực của mọi giá trị riêng đều âm thì nói đây là một đa thức Hurwitz. Khi đó, ma trận tương ứng sau gọi là ma trận Hurwitz:   a1 a0 0 0 0 ... 0 a3 a2 a1 a0 0 ... 0       H=  a5 a4 a3 a2 a1 ... 0   .. .. .. .. .. .. ..  . . . . . . .   a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5 . . . an Ở đây: as = 0 khi s < 0 hoặc s > n. Định lý 1.3.[1,2] Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Hệ (1.5) ổn định tiệm cận; (ii) f (λ) là đa thức Hurwitz; (iii) Mọi định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, trong đó 14
Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân    ∆1 = a1 > 0  
a1 a0

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.01: Bộ Luận Văn Thạc Sĩ Quản Trị Kinh Doanh MBA

165 tài liệu

2070 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.