Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng bao gồm những nội dung về các khái niệm tôpô vi phân và hình học vi phân; các không gian có động cong hằng; các không gian riemanian có độ cong hằng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ************* LEÂ MINH HOØA Chuyeân ngaønh: Hình hoïc Toâ Poâ Maõ Soá: 1.01.05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ KHOA HOÏC TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: Ts. Nguyeãn Thaùi Sôn THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH – NAÊM 2004
MUÏC LUÏC Trang MÔÛ ÑAÀU 1 CHÖÔNG I: 3 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ TOÂ POÂ VI PHAÂN & HÌNH HOÏC VI PHAÂN §1. Ña taïp khaû vi 1.1- Ña taïp khaû vi 3 1.2- Tröôøng vectô 5 1.3- Tröôøng tenxô 12 1.4- Nhoùm Lie – Ñaïi soá Lie 16 §2 Khoâng gian phaân thôù 2.1- Khoâng gian phaân thôù 20 2.2- Ñoàng caáu phaân thôù 21 §3 Lieân thoâng 3.1- Lieân thoâng treân khoâng gian phaân thôù 27 3.2- Daïng cong vaø phöông trình caáu truùc 29 3.3- Lieân thoâng tuyeán tính 33 3.4- Tenxô cong – Tenxô xoaén 37 3.5- Lieân thoâng Riemanian 40 3.6- Söï bieåu dieãn trong toïa ñoä ñòa phöông 41 CHÖÔNG II: CAÙC KHOÂNG GIAN COÙ ÑOÄ CONG HAÈNG 45 2.1- Ñònh lyù Vitt 45 2.2- Ñònh lyù 47 2.3- Ñònh lyù 48 2.4- Ñònh lyù 50
2.5- Ñònh lyù 54 2.6- Ñònh lyù 56 2.7- Ñònh lyù (Heä quaû Killing – Hopf) 56 2.8- Ñònh lyù (Ñònh lyù Riman) 57 CHÖÔNG III: CAÙC KHOÂNG GIAN RIEMANIAN COÙ ÑOÄ CONG HAÈNG 59 §1. Nhöõng khaûo saùt ñaïi soá coù lieân quan 1.1- Ñònh lyù 59 1.2- Ñònh lyù 59 1.3- Ñònh lyù 60 1.4- Ñònh lyù 61 1.5- Ñònh lyù 61 §2. Ñoä cong thieát dieän 2.1- Ñònh lyù 62 2.2- Ñònh lyù 63 2.3- Heä quaû 64 2.4- Ñònh lyù 66 §3. Caùc khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng 3.1- Ñònh lyù 67 3.2- Heä quaû 74 KEÁT LUAÄN 76 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
MÔÛ ÑAÀU Hình hoïc toâ poâ laø moät ngaønh hoïc laâu ñôøi vaø phaùt trieån maïnh trong hôn nöûa theá kyû gaàn ñaây, vôùi nhöõng kieán thöùc veà lyù thuyeát ña taïp khoâng gian phaân thôù vaø lyù thuyeát lieân thoâng. Noù ñaõ trang bò cho chuùng ta nhöõng kieán thöùc cô sôû ñeå aùp duïng vaø nghieân cöùu nhöõng vaán ñeà cô baûn cuûa hình hoïc vi phaân, hình hoïc cao caáp maø chuùng ta ñaõ bieát trong giaùo trình ñaïi hoïc. Kieán thöùc veà “ñoä cong” trong hình hoïc vi phaân laø moät kieán thöùc heát söùc cô baûn. Tuy nhieân, trong giaùo trình ñaïi hoïc phaïm vi giôùi haïn chæ laø ñoä cong cuûa caùc taäp trong En hoaëc Rn. Treân cô sôû ñaõ ñöôïc nghieân cöùu caùc lyù thuyeát cô baûn cuûa hình hoïc toâ poâ, chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi: “Caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng” vôùi noäi dung chuû yeáu laø neâu ñöôïc quaù trình xaây döïng caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng moät caùch toång quaùt. Töø ñoù, seõ xaây döïng caùc khoâng gian haèng moät caùch cuï theå nhö khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng… Muïc ñích nghieân cöùu goàm hai noäi dung chính: + Giôùi thieäu quaù trình xaây döïng caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng toång quaùt thoâng qua caùc ñònh lyù töø caùc khaùi nieäm cô baûn vaø caùc ñònh lyù cô sôû. + Cuï theå hoùa caùc khoâng gian toång quaùt baèng caùc khoâng gian cuï theå “Khoâng gian Riemanian coù ñoä cong haèng”. Trong luaän vaên chæ nghieân cöùu caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng cô baûn vaø quen thuoäc. -1-
Ñeå thöïc hieän muïc ñích nghieân cöùu noùi treân chuùng toâi nghieân cöùu caùc lyù thuyeát cô baûn cuûa hình hoïc toâ poâ: lyù thuyeát ña taïp khaû vi – Lyù thuyeát khoâng gian phaân thôù – Lyù thuyeát lieân thoâng. Ngoaøi ra caàn nghieân cöùu theâm caùc kieán thöùc ñaïi soá coù lieân quan nhö: “Ñaïi soá Lie – Nhoùm Lie” ñeå laøm neàn taûng cho caùc nghieân cöùu caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng. Ñeå hoaøn thaønh ñöôïc luaän vaên toâi ñaëc bieät chaân thaønh caûm ôn Tieán só Nguyeãn Thaùi Sôn ñaõ daønh nhieàu thôøi gian vaø coâng söùc ñeå ñoïc, höôùng daãn vaø giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän vaø hoaøn thaønh luaän vaên. Toâi cuõng thaønh thaät caûm ôn caùc thaày trong toå hình hoïc thuoäc khoa Toaùn ñaõ ñoïc vaø goùp yù cho luaän vaên. Do kieán thöùc cuûa baûn thaân coøn haïn cheá, toâi nghó raèng trong noäi dung cuûa luaän vaên khoâng traùnh khoûi nhöõng sai soùt, raát mong ñöôïc söï ñoùng goùp cuûa thaày coâ vaø ñoäc giaû. -2-
CHÖÔNG I: CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ TOÂPOÂ VI PHAÂN & HÌNH HOÏC VI PHAÂN -------------------- Noäi dung chuû yeáu cuûa luaän vaên naøy laø chöông 2 vaø chöông 3 trình baøy vieäc xaây döïng caùc khoâng gian coù ñoä cong haèng. Tuy nhieân ñeå ñaït ñöôïc ñieàu ñoù, chuùng ta baét ñaàu töø nhöõng khaùi nieäm ñôn giaûn nhöng heát söùc caàn thieát cuûa Toâpoâ vi phaân vaø hình hoïc vi phaân, ñoù laø: Ña taïp khaû vi, khoâng gian phaân thôù vaø lieân thoâng treân caùc khoâng gian phaân thôù. §1 ÑA TAÏP KHAÛ VI 1.1- Ña taïp khaû vi: 1.1.1- Ña taïp khaû vi n-chieàu: Moät ña taïp khaû vi n-chieàu laø moät khoâng gian Hausdorff M cuøng vôùi hoï {(U ,ϕ ) } sao cho: α α α∈ A (a) {Uα }α ∈A laø moät phuû môû cuûa M; n (b) ϕα laø pheùp ñoàng phoâi cuûa Uα leân moät taäp con môû cuûa R ; (c) Neáu α , β ∈ A , thì aùnh xaï ϕ β .ϕα−1 : ϕα (Uα ∩ U β ) → ϕ β (Uα ∩ U β ) n laø moät aùnh xaï khaû vi leân moät mieàn trong cuûa R ; (d) {(U ,ϕ ) } laø hoï toái ñaïi coù ba tính chaát treân. α α α∈ A -3-
Caùc taäp hôïp Uα goïi laø caùc laân caän toïa ñoä trong M. Toïa ñoä ñòa phöông ϕα treân Uα ñöôïc cho baèng n haøm thöïc: ϕα ( x ) = (ϕα1 ( x ),...,ϕαn ( x )), x ∈ Uα 1 Trong ñoù ϕα ( x ) laø toïa ñoä ñòa phöông cuûa ñieåm x ∈ Uα Caëp (Uα ,ϕα ) ñöôïc goïi laø moät heä toïa ñoä ñòa phöông. Töø ñaây veà sau ta coi caùc aùnh xaï laø khaû vi lôùp C ∞ , töùc laø aùnh xaï trôn vaø ña taïp khaû vi lôùp C ∞ , goïi laø ña taïp trôn. 1.1.2- AÙnh xaï khaû vi: AÙnh xaï lieân tuïc f : M → M' giöõa caùc ña taïp goïi laø aùnh xaï khaû vi neáu vôùi moãi (Uα ,ϕα ) trong M vaø moãi (Vβ ,ψ β ) trong M’, sao cho f (Uα ) ⊂ Vβ thì aùnh xaï: ψ β D f D ϕα−1 : ϕα (Uα ) → ψ β (Vβ ) laø aùnh xaï khaû vi. Neáu u1 ,..., u n vaø v1 ,..., v n laø caùc heä toïa ñoä ñòa phöông öùng vôùi Uα vaø Vβ thì f ñöôïc bieåu dieãn thaønh caùc haøm khaû vi: v1 = f 1 (u1 ,..., u n ),..., v m = f m (u1 ,..., u n ) AÙnh xaï khaû vi maø coù aùnh xaï ngöôïc khaû vi goïi laø moät vi phoâi. Deã thaáy raèng tích caùc aùnh xaï khaû vi laø moät aùnh xaï khaû vi. -4-
Cho f : M → M' laø moät aùnh xaï khaû vi giöõa hai ña taïp: khi M laø moät khoaûng môû trong R thì f goïi laø moät ñöôøng cong trôn (khaû vi) trong M’. Khi M laø taäp con môû cuûa ña taïp M’, coøn M’ laø ñöôøng thaúng thöïc R. thì f goïi laø haøm thöïc khaû vi treân M ⊂ M' . 1.2- Tröôøng veùctô: 1.2.1- Veùctô tieáp xuùc vôùi M taïi moät ñieåm p ∈ M ; khoâng gian tieáp xuùc: Giaû söû τ ( p ) laø ñaïi soá caùc haøm khaû vi xaùc ñònh trong laân caän cuûa ñieåm p, x(t) laø ñöôøng cong trôn treân M, sao cho x(to ) = p . Veùc tô tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong x(t) taïi p laø aùnh xaï X: τ ( p ) → R ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: X f = (df ( x(t )) / dt )to Noùi caùch khaùc Xf laø ñaïo haøm cuûa f theo höôùng cuûa ñöôøng cong X (t ) khi t = t0 . Veùc tô X thoûa maõn hai ñieàu kieän: (1) X laø aùnh xaï tuyeán tính töø τ ( p ) vaøo R (2) X ( fg ) = ( Xf ) g ( p ) + f ( p )( Xg ) vôùi f , g ∈ τ ( p ) Taäp hôïp caùc aùnh xaï töø τ ( p) vaø R, thoûa maõn caùc ñieàu kieän (1) vaø (2) taïo thaønh moät khoâng gian veùctô thöïc. Thaät vaäy, trong heä toïa ñoä ñòa phöông u1 ,..., u n cuûa laân caän U cuûa j ñieåm p, vôùi moãi j thì (∂ / ∂u ) p laø moät aùnh xaï töø τ ( p ) vaø R thoûa maõn (1) vaø -5-
(2). Ta seõ chöùng toû raèng taäp hôïp caùc veùctô taïi p laø moät khoâng gian veùctô vôùi cô sôû laø (∂ / ∂u1 ) p ,..., (∂ / ∂u n ) p . Giaû söû ñaõ cho ñöôøng cong baát kyø x(t) vaø p = x ( t0 ) vaø giaû söû u j = x j (t ), j = 1,..., n laø phöông trình cuûa noù trong heä toïa ñoä ñòa phöông u1 ,..., u n . Khi ñoù: (df ( x (t ) / dt )t0 = ∑ (∂f / ∂u j ) p .( dx j (t ) / dt )t0 Chöùng toû raèng moãi veùctô taïi p laø toå hôïp tuyeán tính cuûa (∂ / ∂u1 ) p ,..., (∂ / ∂u n ) p . j j Ngöôïc laïi, neáu ñaõ cho toå hôïp tuyeán tính ∑ ξ (∂ / ∂u ) p , thì ta xeùt j ñöôøng cong ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: u j = u j ( p) + ξ j t, j = 1,..., n j j Khi ñoù vectô tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong ñoù taïi t=0 laø ∑ ξ (∂ / ∂u ) p j Ñeå chöùng minh (∂ / ∂u1 ) p ,..., (∂ / ∂u n ) p ñoäc laäp tuyeán tính, ta giaû söû: j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p = 0 j Khi ñoù: 0 = ∑ ξ j (∂u k / ∂u j ) p = ξ k vôùi k=1,...,n j -6-
j Ñieàu naøy suy ra {(∂ / ∂u ) p} ñoäc laäp tuyeán tính. Taäp hôïp caùc vectô tieáp xuùc taïi p∈M ta kyù hieäu laø Tp (M ) , goïi laø khoâng gian tieáp xuùc cuûa ña taïp M taïi p. Boä n soá thöïc ξ 1 ,...,ξ n goïi laø boä thaønh phaàn cuûa vectô j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p trong toïa ñoä ñòa phöông u1 ,..., u n . j 1.2.2- Tröôøng vectô treân ña taïp: Tröôøng vectô X treân taäp môû U⊂M laø aùnh xaï X: U → Tp ( M ) , ñaët töông öùng moãi ñieåm p ∈U vôùi vectô X p ∈ Tp (M ) . Neáu f laø haøm khaû vi treân M, ta ñònh nghóa haøm Xf treân M nhö sau: ( Xf )( p) = X p f Tröôøng vectô X ñöôïc goïi laø khaû vi neáu Xf laø khaû vi ñoái vôùi moãi haøm khaû vi f. Trong toïa ñoä ñòa phöông u1 ,..., u n tröôøng vectô X ñöôïc bieåu dieãn laø: X = ∑ ξ j (∂ / ∂u j ) j j trong ñoù ξ laø caùc haøm xaùc ñònh trong laân caän toïa ñoä goïi laø thaønh phaàn cuûa X ñoái vôùi u1 ,..., u n . j Nhö vaäy X khaû vi khi vaø chæ khi ξ khaû vi vôùi moïi j. -7-
Khi X laø aùnh xaï haèng thì tröôøng vectô X goïi laø tröôøng vec tô song song. 1.2.3- Tröôøng muïc tieâu: Tröôøng muïc tieâu treân taäp hôïp môû U⊂M laø heä goàm n tröôøng vectô {X1 ,..., X n} treân U sao cho vôùi moãi p ∈ U thì heä {X1 p ,..., X np} laø moät cô sôû cuûa Tp (M ) . Neáu vôùi moïi p ∈U maø Xip . X jp = δ ij thì {Xi} ñöôïc goïi laø tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån. Neáu vôùi moïi i maø tröôøng vectô Xi treân U laø song song thì {Xi} goïi laø tröôøng muïc tieâu song song. Trong tröôøng hôïp naøy, moãi tröôøng vectô X treân U ñöôïc bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng: n X = ∑ ϕ i Xi , ϕ i laø caùc haøm khaû vi. i =1 1.2.4- Ñaïo haøm cuûa tröôøng vectô doïc theo moät tröôøng vectô. Giaû söû χ (M ) laø taäp hôïp caùc tröôøng vectô khaû vi treân M, thì noù thaønh laäp moät khoâng gian vectô thöïc ñoái vôùi pheùp coäng töï nhieân vaø pheùp nhaân vôùi moät voâ höôùng. Neáu X , Y ∈ χ ( M ) , ta ñònh nghóa caùc daáu moùc [X,Y] laø aùnh xaï töø vaønh caùc haøm treân M vaøo chính noù nhö sau: [ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) Khi ñoù [X,Y] cuõng laø moät tröôøng vectô. -8-
Thaät vaäy, trong toïa ñoä ñòa phöông u1 ,..., u n ta coù: X = ∑ ξ j (∂ / ∂u j ), Y = ∑ μ j (∂ / ∂u j ) j j Khi ñoù: [ X , Y ] f = ∑ (ξ k (∂μ j / ∂u k ) − μ k (∂ξ j / ∂u k ))(∂f / ∂u j ) j ,k Ñieàu ñoù coù nghóa laø [X,Y] laø moät tröôøng vectô treân M, maø thaønh phaàn ñoái vôùi u1 ,..., u n laø: k j k k j k ∑ (ξ (∂μ / ∂u ) − μ (∂ξ / ∂u )) , j=1,...,n k ÔÛ ñaây ta coù theå xeùt χ (M ) laø modul treân ñaïi soá τ (M ) cuûa caùc haøm khaû vi treân M nhö sau: Neáu f laø haøm thuoäc τ (M ) , coøn X laø tröôøng vectô treân M, thì fX laø tröôøng vectô treân M, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: ( fX ) p = f ( p) X p vôùi p∈M Khi ñoù [ fX , gY ] = fg[ X , Y ] + f ( Xg)Y − g(Yf ) X , vôùi f , g ∈ τ ( M ) vaø X , Y ∈ χ ( M ) . Ñaïo haøm thuaän bieán treân ña taïp M laø aùnh xaï χ ( M ) × χ ( M ) → χ ( M ), ( X , Y ) 6 ∇ X Y ñaët töông öùng vôùi caëp tröôøng vectô (X,Y). Vôùi tröôøng vectô ∇ XY thoûa maõn 4 ñieàu kieän nhö sau: (1) ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z -9-
(2) ∇ X + Y ( Z ) = ∇ X Z + ∇Y Z (3) ∇ fX Y = f .∇ X Y vôùi moãi f ∈ τ (M ) (4) ∇ X ( fY ) = f .∇ X Y + ( Xf )Y vôùi moãi f ∈ τ (M ) ÔÛ ñaây ta goïi ∇ XY laø ñaïo haøm cuûa tröôøng vectô Y doïc theo tröôøng vectô X. Giaû söû f : M → M ' laø aùnh xaï khaû vi cuûa caùc ña taïp khaû vi, vaø giaû söû vôùi p ∈ M , x laø ñöôøng cong trôn treân M vôùi goùc x (0) = p . Khi ñoù f . x ñöôøng cong trôn trong M’ vôùi goác ( f . x )(0) = f ( p) , vaø ta ñònh nghóa f* ( x ' (0)) laø ( f . x )' (0) . Giaû söû y laø ñöôøng cong trôn khaùc trong M vôùi goác y( 0) = p vaø giaû söû x ' (0) = y' ( 0) . Khi ñoù, neáu bieåu dieãn f,x,y qua caùc haøm cuûa toïa ñoä ñòa phöông vaø theo quy taéc pheùp tính vi phaân cuûa haøm hôïp, ta coù: f* ( x ' (0)) = f* ( y' (0)) Ñieàu ñoù chöùng toû, aùnh xaï f* : Tp ( M ) → T f ( p ) ( M ' ) giöõa caùc khoâng gian tieáp xuùc, hoaøn toaøn xaùc ñònh laø aùnh xaï tuyeán tính. AÙnh xaï f* ñöôïc ñaët tröng nhö sau: Vôùi moïi X ∈ Tp (M ) vaø moïi haøm khaû vi h taïi f ( p) ∈ M ' , ta coù ( f* X )h = X (h. f ) Haøm h. f khaû vi taïi p ñöôïc xaùc ñònh bôûi ñaúng thöùc: - 10 -
( h. f )( x ) = h( f ( x )) Neáu M’ laø khoâng gian vectô thì f* truøng vôùi vi phaân df . Neáu X laø tröôøng vectô treân taäp môû U ∈ M , vaø treân f (U ) ∈ M ' ñaõ cho tröôøng vectô Y, sao cho f* X p = Y f ( p ) vôùi moïi p, q ∈ U vaø f ( p) = f (q) , ta coù: f* X p = f* X q Ngöôïc laïi, neáu ñaúng thöùc treân ñuùng thì ta xaùc ñònh ñöôïc tröôøng vectô Y treân f (U ) bôûi ñaúng thöùc Yf ( p ) = f* X p Ta noùi raèng aùnh xaï f : M → M' coù haïng r taïi p∈M , neáu dim f* (Tp ( M )) = r . Neáu haïng cuûa f taïi p baèng n = dim M , thì f* laø moät ñôn aùnh vaø dim M ≤ dim M ' . Neáu haïng cuûa f taïi p baèng n' = dim M ' , thì f* laø moät toaøn aùnh vaø dim M ≥ dim M ' . AÙnh xaï f : M → M' ñöôïc goïi laø pheùp nhuùng neáu f* laø ñôn aùnh ñoái vôùi p ∈ M , coøn f (M ) laø ña taïp con ñöôïc nhuùng trong M’. Neáu pheùp nhuùng f laø ñôn aùnh thì f ñöôïc goïi laø pheùp loàng töø M vaøo M’ coøn f (M ) laø ña taïp con ñöôïc loàng trong M’. Vaäy moät ña taïp con cuûa M’ coù theå laø taäp con ñoùng hoaëc môû cuûa M’. Taát caû caùc taäp con môû cuûa M’ ñeàu laø taïp con cuûa M’. 1.2.1- Thí duï: - 11 -
Giaû söû f laø haøm ñöôïc xaùc ñònh treân ña taïp M’, M laø taäp hôïp caùc ñieåm p ∈ M', sao cho f ( p) = 0 . Neáu ( df ) p ≠ 0 taïi moãi p∈M thì coù theå ñöa caáu truùc ña taïp khaû vi vaøo M, sao cho M laø ña taïp con ñoùng trong M’, vaø goïi laø sieâu maët tieáp xuùc ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình f = 0. Toång quaùt hôn neáu M laø taäp hôïp caùc haøm khoâng f1 ,..., fr xaùc ñònh treân M', neáu soá chieàu k cuûa khoâng gian con cuûa Tp* ( M ' ) ñöôïc ñònh ra bôûi ( df1 ) p ,..., ( dfr ) p laø khoâng ñoåi, trong laân caän taäp hôïp M ⊂ M ' , thì M laø ña taïp con ñoùng trong M' vôùi soá chieàu laø k .Tp* ( M ' ) laø khoâng gian vectô ñoái ngaãu cuûa khoâng gian tieáp xuùc Tp (M ' ) . 1.3- Tröôøng tenxô: 1.3.1- Tích tenxô: Tích tenxô U ⊗V cuûa hai khoâng gian vectô höõu haïn chieàu U vaø V treân R ñöôïc caùc ñònh nhö sau: Giaû söû M(U,V) laø moät khoâng gian vectô coù taäp hôïp U x V treân R ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: (u + u' v) − (u, v) − (u' , v), (u, v + v' ) − (u, v) − (u, v' ) (ru, v) − r (u, v), (u, rv) − r (u, v) trong ñoù u, u'∈ U vaø v, v'∈ V , r ∈ R . Ta ñaët U ⊕ V = M (U ,V ) / N - 12 -
Moãi caëp (u,v) ñöôïc xem laø phaàn töû cuûa M(U,V), aûnh cuûa noù vôùi pheùp toaùn laø pheùp chieáu töï nhieân M(U,V)ÆU ⊗V goïi laø u⊗v AÙnh xaï ϕ :U ×V → U ⊗V , ϕ (u, v) = u ⊗ v , vôùi (u, v) ∈ U × V ñöôïc goïi laø aùnh xaï song thuyeán tính chính taéc. r Vôùi moãi soá nguyeân döông r ta goïi T = V⊗V⊗…..⊗V (r tích tenxô) laø r khoâng gian vectô phaûn bieán baäc r. Moãi phaàn töû cuûa T goïi laø moät tenxô phaûn bieán baäc r. Khi r=1 thì T1 laø V. T0 ta xem chính laø tröôøng cô sôû cuûa R. Töông töï TS=V*⊗V*⊗…⊗V* (s laàn tích tenxô), V* laø khoâng gian vectô ñoái ngaãu cuûa khoâng gian vectô V, goïi laø khoâng gian tecxô hieäp bieán (thuaän bieán) baäc s. caùc phaàn töû cuûa noù goïi laø tenxô hieäp bieán baäc s. Ta cuõng coù T1=V* vaø T0 = R. Giaû söû e1,…,en laø moät cô sôû trong V vaø cô sôû ñoái ngaãu e1,…,en trong V*. thì {ei1 ⊗ ... ⊗ eir ;1 ≤ i1 ,..., ir ≤ n} laø cô sôû trong T r . Moãi tenxô phaûn bieán baäc r, K bieåu dieãn duy nhaát laø toå hôïp tuyeán tính sau: K = ∑ K i1...ir ei1 ⊗ ... ⊗ eir ií ,...,ir i ...ir Trong ñoù K 1 laø caùc thaønh phaàn cuûa K ñoái vôùi cô sôû e1,…,en trong V. Töông töï moãi tenxô thuaän bieán baäc s, L ñöôïc bieåu dieãn: L = ∑ L j1 ,..., js e j1 ⊗ ... ⊗ e js j1 ,..., js - 13 -
Trong ñoù L j1 ,..., js laø caùc thaønh phaàn cuûa L ñoái vôùi cô sôû e1,…,en trong V*. Khoâng gian tenxô kieåu (r,s) hoaëc laø khoâng gian tenxô phaûn bieán baäc r vaø hieäp bieán baäc s laø tích tenxô Tsr = V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V * ⊗... ⊗ V * = T r ⊗ Ts (goàm r nhaân töû V vaø s nhaân töû V*). Phaàn töû cuûa noù goïi laø tenxô kieåu (r,s) hay tenxô phaûn bieán baäc r vaø hieäp bieán baäc s. Trong cô sôû e1,…,en cuûa V vaø e1,…,en laø cô sôû ñoái ngaãu cuûa noù trong V*, thì tenxô K kieåu (r,s) laø: k = ∑ k ij11......irjr ei1 ⊗ ... ⊗ eir ⊗ e j1 ⊗ ... ⊗ e jr i1...ir j1... jr i1...ir Trong ñoù k j1... jr laø thaønh phaàn cuûa k ñoái vôùi cô sôû e1,…,en. 1.3.2- Tröôøng tenxô: Giaû söû Tx = Tx (M) laø khoâng gian tieáp xuùc vôùi ña taïp M taïi x vaø T(x) laø ñaïi soá tenxô treân Tx: T ( x ) = ∑ Tsr ( x ) , trong ñoù Tsr ( x ) laø caùc khoâng gian tenxô kieåu (r,s) treân Tx. Tröôøng tenxô kieåu (r,s) treân taäp con N cuûa M laø vieäc ñaët töông öùng moãi ñieåm x∈N vôùi tenxô K x ∈ Tsr ( x ) . - 14 -
Trong laân caän toïa ñoä U vôùi toïa ñoä ñòa phöông x1,…,xn ta choïn: Xi = ∂ / ∂x i , i=1,…,n laø cô sôû ñoái vôùi khoâng gian tieáp xuùc Tx , x∈U vaø ω i = dx i , i=1,…,n laø cô sôû ñoái ngaãu trong Tx* . Tröôøng tenxô K kieåu (r,s), ñöôïc xaùc ñònh treân U, khi ñoù bieåu dieãn nhö sau: K ε = ∑ i1j1.....ir jr X i1 ⊗ ... ⊗ X ir ⊗ ω j1 ⊗ ... ⊗ ω jr i ...i Trong ñoù K j11... rjr laø caùc haøm treân U, goïi laø caùc thaønh phaàn cuûa K ñoái vôùi toïa ñoä ñòa phöông x1,…,xn. 1.3.1- Thí duï: Meâtric Riemanian treân M laø moät tröôøng tenxô g hieäp bieán baäc 2, thoûa maõn caùc ñieàu kieän: (1) g( X , X ) ≥ 0 vôùi moïi X ∈ χ ( M ) vaø g( X , X ) = 0 ⇔ X = 0 (2) g( X , Y ) = g(Y , X ) vôùi moïi X , Y ∈ χ ( M ) Noùi caùch khaùc, g xaùc ñònh moät tích voâ höôùng trong moãi khoâng gian tieáp xuùc Tx (M ) , x∈M. Trong toïa ñoä ñòa phöông x1,…,xn caùc thaønh phaàn cuûa g ñöôïc cho nhö sau: gij = g(∂ / ∂x i , ∂ / ∂x j ) Caùch vieát thoâng thöôøng cuûa g laø ds = ∑ g ij dx dx 2 i j i, j - 15 -
1.4- Nhoùm Lie vaø Ñaïi soá Lie: Nhoùm Lie vaø ñaïi soá Lie laø coâng cuï raát maïnh trong hình hoïc vi phaân vaø caùc lónh vöïc khaùc cuûa toaùn hoïc. Trong luaän vaên naøy, do giôùi haïn neân ta khoâng ñeà caäp nhieàu veà nhoùm Lie vaø ñaïi soá Lie, tuy nhieân ñeå coù moät kieán thöùc vöõng chaéc vaø caàn thieát, trong chöùng minh ñònh lyù 3.1 chöông 2, ôû ñaây ta seõ trình baøy caùc kieán thöùc cô baûn veà nhoùm Lie vaø ñaïi soá Lie. Ñoù laø ñònh nghóa veà nhoùm Lie, tröôøng vectô baát bieán traùi, ñaïi soá Lie cuûa moät nhoùm Lie, taùc ñoäng cuûa nhoùm Lie treân moät ña taïp vaø moät vaøi ví duï caàn thieát. 1.4.1- Nhoùm Lie: Nhoùm Lie G laø moät nhoùm, ñoàng thôøi laø moät ña taïp khaû vi, sao cho pheùp toaùn G × G ∋ (a, b) 6 ab − 1 ∈ G laø moät aùnh xaï khaû vi töø G x G vaøo G. Ta kyù hieäu La (töông öùng Ra) laø taùc ñoäng traùi (töông öùng taùc ñoäng phaûi) treân G bôûi phaàn töû a∈G: Lax=ax (töông öùng Rax=xa) vôùi moãi x∈G. Ñoái vôùi a∈G, ada laø ñoàng caáu trong cuûa G ñöôïc xaùc ñònh laø (ada)x=axa-1 vôùi moïi x∈G. 1.4.2- Tröôøng vectô baát bieán traùi (phaûi). Tröôøng vectô X treân G ñöôïc goïi laø baát bieán traùi (phaûi) neáu noù baát bieán ñoái vôùi moïi taùc ñoäng La (Ra), a∈G. Tröôøng vectô baát bieán traùi hoaëc baát bieán phaûi luoân luoân khaû vi. Ñaïi soá Lie G cuûa nhoùm Lie G laø taäp hôïp taát caû caùc tröôøng vectô baát bieán traùi treân G vôùi pheùp coäng thoâng thöôøng vaø pheùp nhaân vôùi moät voâ höôùng vaø pheùp toaùn moùc. - 16 -
Gioáng nhö khoâng gian vectô, G ñaúng caáu vôùi khoâng gian tieáp xuùc Te (G) taïi ñôn vò e, pheùp ñaúng caáu chính laø aùnh xaï ñaët töông öùng tröôøng vectô X∈G vôùi vectô Xe, laø giaù trò cuûa X taïi e. Nhö vaäy G laø ñaïi soá con Lie n-chieàu cuûa ñaïi soá Lie cuûa caùc tröôøng vectô cuûa χ (G ) . Thí duï 1.4.1: GL(n;R) vaø GL(n;R) Giaû söû GL(n;R) laø nhoùm taát caû caùc ma traän khoâng suy bieán caáp n x n A=(aij), vôùi pheùp nhaân ñöôïc cho nhö sau: n ( AB)ij = ∑ aik bkj vôùi A=(aij) vaø B=(bij) k =1 GL(n;R) ñöôïc xem laø moät taäp con môû vaø do ñoù cuõng laø moät ña taïp con 2 môû trong Rn Ñoái vôùi caáu truùc khaû vi ñoù GL(n;R) laø moät nhoùm Lie. Taäp hôïp GL(n;R) taát caû caùc ma traän thöïc n x n, taïo thaønh moät ñaïi soá Lie n2-chieàu vôùi pheùp toaùn moùc [A,B]=AB-BA. Ngöôøi ta thöôøng ñoàng nhaát ñaïi soá Lie cuûa nhoùm GL(n;R) vôùi GL(n;R). Thí duï 1.4.2 O(N) vaø O(n) Nhoùm O(n) taát caû caùc ma traän tröïc giao caáp n x n laø moät nhoùm Lie. Thaønh phaàn ñôn vò cuûa noù goàm caùc ma traän vôùi ñònh thöùc baèng 1, ta kyù hieäu laø SO(n). - 17 -