Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trên cơ sở trình bày về lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể và các lý thuyết về nhiệt dung mạng tinh thể, tác giả đã áp dụng hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng cho dao động tử Boson và lý thuyết đại số biến dạng để xác định nhiệt dung của mạng tinh thể. Kế quả tác giả thu được biểu thức năng lượng và nhiệt dung đẳng tích của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== NGUYỄN THU HÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA MẠNG TINH THỂ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm, Tổ Vật lí lý thuyết và các thầy cô khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn. Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thu Hà
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kì một công trình khoa học nào khác. Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thu Hà
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................... 2 3 .Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2 4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2 5. Nội dung nghiên cứu .................................................................................... 3 NỘI DUNG ...................................................................................................... 4 Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể .............................. 4 1.1. Cấu trúc mạng tinh thể ............................................................................. 4 1.2. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể ......................................... 8 1.2.1. Lượng tử hoá dao động mạng ................................................................. 9 1.2.2. Phonon .................................................................................................. 10 Kết luận chương 1 .......................................................................................... 14 Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể ....................... 15 2.1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể ................................. 15 2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể ............................... 16 2.3. Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể .................................. 19 2.4. Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể ................ 25 2.4.1. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Cu .............................................. 25 2.4.2. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Ag .............................................. 28 2.4.3. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Au .............................................. 31 Kết luận chương 2 .......................................................................................... 35 Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q ............ 36 3.1. Dao động tử Boson biến dạng q .............................................................. 36 3.2. Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q ....................... 39
3.3. So sánh nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý thuyết Debye ................................................................................................... 42 3.4. Tính số ..................................................................................................... 43 3.4.1. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Cu ................................................. 44 3.4.2. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Ag .................................................. 45 3.4.3. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Au .................................................. 46 3.4.4. Kết luận ............................................................................................... 47 Kết luận chương 3 .......................................................................................... 48 KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 50
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vật lí là một ngành khoa học liên quan đến việc nghiên cứu các vấn đề tự nhiên theo thời gian và không gian. Đây có lẽ là ngành khoa học xuất hiện từ lâu đời nhất nếu xem Thiên văn học cũng là một phần của vật lí. Tuy nhiên Vật lí (khoa học vật lí) không được xem như một ngành khoa học theo đúng nghĩa của nó cho đến thế kỷ 17 khi mà các khía cạnh vật lí, sinh học và hóa học của khoa học được công nhận là ba chủ đề riêng biệt với những đặc trưng khác nhau.Vật lí và các nhà vật lí là tác giả của một số phát triển khoa học tiên tiến nhất trong 400 năm qua. Từ phát hiện của lực hấp dẫn của Newton và lý thuyết tương đối của Einstein cho đến chuyến phi hành lên mặt trăng lần đầu tiên vào năm 1969. Các nghiên cứu về vật lí không chỉ giúp con người lý giải về thế giới xung quanh, mà còn là một yếu tố quan trọng cho phép chúng ta phát triển và đổi mới công nghệ. Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lí học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Hiện nay, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lí chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lí chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lí tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong
2 các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lí thuyết. Vấn đề nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể đã được rất nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lí lý thuyết, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lí lý thuyết như Thống kê lượng tử, Vật lí chất rắn, quang học phi tuyến…Khi áp dụng đại số biến dạng vào vật lí thống kê, chúng ta rất thuận lợi trong nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng. Và tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến hạt Boson. Thống kê q- biến dạng đã được áp dụng cho một số hệ vật lí phức tạp, ví dụ thủy động lực học, nhiễu loạn khiếm khuyết, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, các mạng ngẫu nhiên. Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để áp dụng nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể. Với những lí do trên tôi xin chọn đề tài “ Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu. - Xác định nhiệt dung của mạng tinh thể biến dạng q 3 .Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Mạng tinh thể 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lí lý thuyết - Phương pháp đại số biến dạng
3 - Phương pháp toán giải tích - Phương pháp tính số bằng phần mềm toán học Mathematica 5. Nội dung nghiên cứu Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 1.1.Cấu trúc mạng tinh thể 1.2.Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể 2.1.Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể 2.2.Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể 2.3.Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể 2.4.Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q 3.1. Dao động tử Boson biến dạng q 3.2. Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q 3.3. So sánh nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý thuyết Debye 3.4. Giải số
4 NỘI DUNG Chƣơng 1: Lý thuyết lƣợng tử về dao động mạng tinh thể 1.1. Cấu trúc mạng tinh thể Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử [1], [2]. Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm các nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy được gọi là gốc. Do đó có thể viết một cách tượng trưng như sau: Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể Trog không gian, các nguyên tử được sắp xếp một cách có trật tự đều đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể.  Mạng không gian: Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các phân tử, nguyên tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi tinh thể đều chứa các nguyên tử như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn để ảnh hưởng tới tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử. Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ
5 chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử. Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc. Với các tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian.    Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a1 , a2 , a3 gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có  bán kính vectơ r , ta thấy no giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán  kính vectơ r :      r '  r  n1a1  n2 a2  n3a3 (1.1) Trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên tuỳ ý.   Tập hợp các điểm có bán kính vectơ r ' (sau này gọi là điểm r ' ) xác định theo (1.1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian. Các điểm đó gọi là nút của mạng không gian.    Ba vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 cũng đồng thời xác định các trục của hệ toạ độ trong tinh thể. Nói chung đó là hệ toạ độ không vuông góc. Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz). Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận.  Mạng đảo - Khái niệm mạng đảo: Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất. Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực). Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ
6     sở là a1 , a2 , a3 ta định nghĩa mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ b1 ,   b2 , b3 được xác định như sau:    a2  a3  b1  2    a1  a2 a3    a3  a1  b2  2    (1.2) a1  a2 a3     a1  a2  b3  2    a1  a2 a3    Các vectơ b1 , b2 , b3 là vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí các nút mạng đảo được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng như sau:     G  hb1  kb2  lb3 (1.3) Trong đó m1, m2, m3 có thể là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0. - Các tính chất của véctơ mạng đảo: + Tính chất 1:    b1  a2 , a3    b2  a3 , a1 (1.4)    b3  a1 , a2 + Tính chất 2: Độ lớn vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài + Tính chất 3: Hình hộp được dựng lên từ ba vectơ cơ sở của mạng đảo         b1 , b2 , b3 gọi là ô sơ cấp của mạng đảo, có thể tích V '  b1 b2  b3 : V ' 2 3 V     G  hb1  kb2  lb3 vuông góc với mặt phẳng + Tính chất 4: Vectơ mạng đảo (hkl) của mạng thuận. + Tính chất 5: khoảng cách giữa hai mặt phẳng mạng liên kết nhau thuộc họ  mặt phẳng (hkl) bằng nghịch đảo độ dài vectơ G nhân với 2π:
7 1 d  2  G hkl  - Ô cơ sở mạng đảo: Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình    hộp không gian trên cơ sở các vectơ 1 , b2 , b3 . Ô cơ sở Wigner – Seitz của b mạng đảo được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận. Có thể tính ra rằng thể tích V của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và thể tích V’ của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức: V ' 2  3 V - Ý nghĩa vật lí của mạng đảo: Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn. Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến. Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây: + Mạng đảo là khung của không gian chuyển động. + Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn. Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực).  Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử (N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng
8 hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể. Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử. Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể gần như khi mạng là vô hạn. Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể. Chúng ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý. Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như nhau: i Q  mn a t rm  rm N  Ae  Ae i Qmat eiQNa  rm eiNQa Muốn vậy eiQNa  1 Hay Qna=2nπ với n  Z 2n 2 hoặc Q  Na  L n   với L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều  Q ; vì a a N N vậy các giá trị nằm trong khoảng  n 2 2 Các giá trị này cho ta N giá trị khác nhau của Q. Như vậy điều kiện tuần hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của các vectơ sóng Q. Các giá trị này cách nhau 2 . Trong phổ   p  chỉ cho các giá trị của  ứng với N giá trị của Q. Na 1.2. Lý thuyết lƣợng tử về dao động mạng tinh thể
9 1.2.1. Lượng tử hoá dao động mạng Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa: mx  kx (1.5) k Và nếu ta đặt  2  thì phương trình trở thành: m x   2  0 (1.6) Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng động năng và thế năng: mx 2 kx2 E  K U   (1.7) 2 2 Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của dao động tử: p 2 m 2 2 H  x (1.8) 2m 2 Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và pˆ . Khi đó, toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa (lượng tử) là: pˆ 2 m 2 2 Hˆ   xˆ (1.9) 2m 2 Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu thức cho năng lượng của dao động tử:  1 En    n   (1.10)  2 trong đó, n = 0,1,2,3,…. Theo cơ học lượng tử thì giá trị nhỏ nhất của năng lượng dao động tử sẽ là  , ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng bậc không. 2 Ta thu được năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử là:
10     1 Es Q  s Q  nQs   (1.11)  2 với nQs  0,1,2,3...... Công thức trên cho ta thấy rằng năng lượng của một dao động tử điều hòa chỉ  có thể thay đổi một cách gián đoạn theo một số nguyên lần s Q . Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa được xác định bởi:  E    E s Q  (1.12) Q s 1.2.2. Phonon a. Phương pháp chuẩn hạt Khi nghiên cứu các tính chất của tinh thể chúng ta gặp khó khăn là phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy, cần phải sử dụng phương pháp gần đúng và một trong các phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng thái của một khối khí lí tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác nhau. Các kích thích đó mô tả chuyển động tập thể của các nguyên tử chứ không phải là chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích của tinh thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và xung lượng xác định. Năng lượng của trạng thái kích thích của vật rắn là tổng năng lượng của các chuẩn hạt.  E     p n p (1.13)  p   với n p là số chuẩn hạt có xung lượng là p và năng lượng   p  . Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài vật thể. Sự tồn tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô. Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như có sự chuyển pha), thì chuẩn hạt
11 tương ứng cũng mất đi. b. Tính chất của chuẩn hạt Ta hãy xét một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể. Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi: E    . f  , T Z  d (1.14) trong đó: f  , T  là hàm phân bố, cho biết số lượng trung bình của các chuẩn Z   là mật độ trạng thái; 1 hạt ở trạng thái có năng lượng ε và ở nhiệt độ T; V đại lượng Z  d xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ    d Vận tốc của chuẩn hạt là:   v  grad p   p  Mật độ dòng chuẩn hạt là:   j   n p grad p   p   p   Xung lượng toàn phần của khí chuẩn hạt là: P   p.n p  p Chuẩn hạt cũng mang theo năng lượng. Mật độ dòng năng lượng mà các chuẩn hạt chuyển tải được xác định bởi:    U   n p   p grad p   p  (1.15)  p Giả thiết các chuẩn hạt không tương tác với nhau chỉ là gần đúng. Ở các phép gần đúng bậc cao hơn, có thể có các tương tác giữa các chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt không còn là khí lí tưởng. Khi đó trạng thái của chuẩn hạt chỉ là chuẩn dừng. Nếu thời gian sống của chuẩn hạt là τ thì độ bất định của chuẩn hạt là:
12  E  (1.16)  Vì vậy, ta chỉ có thể mô tả trạng thái kích thích của vật thể bằng các chuẩn hạt nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:     p  (1.17)  c. Phonon Trong phép gần đúng điều hòa, có thể coi trạng thái kích thích yếu của tinh thể như là tập hợp các chuẩn hạt, mỗi chuẩn hạt có năng lượng:  s  s Q   (1.18) Và chuẩn xung lượng:   p  Q (1.19)  Chuẩn hạt được xác định bởi (1.18) và (1.19) được gọi là phonon. Với Q và s xác định các mức năng lượng, chúng cách đều nhau và khoảng cách giữa  chúng là s Q . d. Tính chất của phonon  Ở trạng thái cân bằng nhiệt, số phonon trung bình có năng lượng s Q  được xác định bởi biểu thức của hàm phân bố Bose – Einstein (hay còn gọi là phân bố Planck) với thế hóa học (µ=0) bằng không: 1 nQs  s Q    (1.20) e k BT 1 Năng lượng của dao động mạng là tổng năng lượng của các phonon:   E   s Q     Q  nQs  (1.21) Q Q Khi các phonon tương tác với nhau, định luật bảo toàn năng lượng được thỏa
13 mãn. Còn định luật bảo toàn xung lượng xác định sai kém nhau vectơ mạng  đảo G . Chẳng hạn khi có sự va chạm giữa hai phonon có chuẩn xung lượng    Q1 và Q2 để tạo thành một phonon có chuẩn xung lượng Q (hoặc quá trình  ngược lại, một phonon có chuẩn xung lượng Q tách thành hai phonon có   chuẩn xung lượng Q1 và Q2 ). Định luật bảo toàn năng lượng có dạng: 1   2      s Q1  s Q2   Q (1.22) với chuẩn xung lượng ta có đẳng thức:     Q1  Q2  Q  G (1.23)        Khi G  0 , thì (1.22) trở thành: Q1  Q2  Q hay Q1  Q2  Q . Nghĩa là, tổng xung lượng hay tổng vectơ sóng được bảo toàn. Quá trình va chạm thỏa mãn (1.22) gọi là quá trình bình thường (quá trình N). Tương tác trong đó tổng của vectơ sóng thay đổi đi một lượng X gọi là quá trình bật ngược (hay quá trình U).   Đó vì trong quá trình bình thường vectơ Q1  Q2 vượt ra khỏi vùng Brillouin   thứ nhất. Nhưng trạng thái ứng với Q1  Q2 này hoàn toàn tương đương với   trạng thái ứng với vectơ Q sai khác một vectơ mạng đảo G . Trên hình vẽ ta    thấy hai vectơ Q1 và Q2 hướng theo chiều của trục x nhưng vectơ Q lại hướng theo chiều âm.
14 Kết luận chƣơng 1 Trong chương này chúng tôi đã trình bày về lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể. Với các nội dung cụ thể là: cấu trúc mạng tinh thể, lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể. Trong đó, chúng tôi đã nêu rõ đặc điểm và tính chất của hạt phonon.
15 Chƣơng 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể 2.1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể Trong mạng tinh thể của chất rắn các nguyên tử thực hiện các dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng. Trong chừng mực nào đó ta có thể coi chúng là các dao động tử điều hòa ba chiều. Thế năng của dao động tử điều hòa phụ thuộc tọa độ dưới dạng toàn phương, vì vậy giá trị trung bình của thế năng kT ứng với mỗi bậc tự do là . Mỗi nguyên tử là dao động tử điều hòa ba chiều 2 (có ba bậc tự do), vì vậy số bậc tự do của cả hệ N nguyên tử sẽ là [3], [4]: f  3N Năng lượng trung bình của hệ là:  kT kT  E  f    3NkT  2 2  (2.1) Đối với 1 phân tử gam: E  mol  3N0 kT  3RT (2.2) Nhiệt dung đẳng tích được xác định bởi công thức: dE CV   3Nk dT (2.3) Đối với một phân tử gam: CV mol  3N0 k  3R Hằng số khí R=8,31 jun/độ, vì vậy nhiệt dung đẳng tích của 1 mol chất rắn là: CV mol  3R  25 jun / mol.đô Như vậy, theo thuyết nhiệt dung cổ điển thì nhiệt dung chất rắn có giá trị không đổi theo nhiệt độ. Đó chính là định luật Dulong-Petit. Thực nghiệm cho thấy rằng định luật Dulong-Petit chỉ đúng đối với vùng nhiệt độ cao. Điều này rất dễ hiểu, bởi vì ở vùng nhiệt độ cao chúng ta có thể áp dụng thống kê cổ điển nói chung và định luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do nói