Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu dao động biến dạng và phân bố thống kê của dao động biến dạng; áp dụng phương pháp thống kê của dao động biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI THỊ ÁNH NGUYỆT XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS – TS. Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan, người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi cô luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ. Nhân dịp này cho phép tôi được chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đõ tôi hoàn thành khóa học. Học viên Bùi Thị Ánh Nguyệt
LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phƣơng pháp thống kê biến dạng, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành luận văn. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt đƣợc không trùng với kết quả của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan luận văn này đƣợc hoàn thành là do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Học viên Bùi Thị Ánh Nguyệt
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Đóng góp mới..................................................................................................... 2 NỘI DUNG ............................................................................................................ 3 CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q .......................................................... 3 1.1 Dao động biến dạng q-Boson ........................................................................... 3 1.1.1 Dao động Boson ............................................................................................ 3 1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson ........................................................................ 6 1.2 Dao động biến dạng q Fermion ......................................................................10 1.2.1 Dao động Fermion.......................................................................................10 1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion ...................................................................11 CHƢƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q ........................................................14 2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên .........................................14 2.1.1 Thống kê của Boson ....................................................................................14 2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q ................................................................15 2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên ..................................16 2.2.1 Thống kê của Fermion ................................................................................16 2.2.2 Thống kê của Fermion biến dạng q .............................................................17 CHƢƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG ................................19 3.1 Nhiệt dung Debye ..........................................................................................19 3.2 Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phƣơng pháp thống kê biến dạng. ........................................................................................................26 KẾT LUẬN ..........................................................................................................33 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................34
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý hiện đại nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất. Vật chất là một hệ nhiều hạt, đối với hệ nhiều hạt thì nó tuân theo quy luật của thống kê. Cho nên có thể nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng phƣơng pháp thống kê, để xác định các đại lƣợng vật lý của hệ nhiều hạt bằng quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố thống kê. Khi một tập hợp hạt đƣợc xem nhƣ một tập hợp các dao động điều hòa thì phân bố thống kê của hệ đã đƣợc xác định; đối với các hạt có spin nguyên thì tuân theo thống kê Bose-Einstein và đối với các hạt có spin bán nguyên thì tuân theo thống kê Fermi-Dirac và các đại lƣợng vật lý mô tả hệ hoàn toàn có thể tính qua hàm phân bố thống kê cho các kết quả còn có các sai lệch so với thực nghiệm. Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nƣớc và trên thế giới nghiên cứu và đƣa ra khái niệm về nhóm lƣợng tử, đại số biến dạng và dao động biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý nhƣ: chúng liên quan đến những vấn đề tán xạ ngƣợc lƣợng tử trong cơ học thống kê, nghiên cứu nghiệm của phƣơng trình Yang-Bacter lƣợng tử, và đặc biệt chúng tỏ ra rất hữu ích trong việc nghiên cứu các môi trƣờng đậm đặc, trong nghiên cứu quang lƣợng tử,… Theo quan niệm của dao động biến dạng thì một hệ hạt đƣợc xem nhƣ là một hệ dao động biến dạng và nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao động biến dạng thì thống kê của các hạt boson đƣợc gọi là thống kê Bose- Einstein biến dạng q và thống kê của các hạt fermion đƣợc gọi là thống kê Fermi-Dirac biến dạng q với một hi vọng rằng tính đƣợc hàm phân bố thống kê biến dạng để tìm các đại lƣợng vật lý mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt sẽ cho các kết quả gần với thực nghiệm hơn tính bằng hàm phân bố thống kê của trƣờng hợp chƣa biến dạng.
2 Ở luận văn này, chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để tính các hàm phân bố thống kê biến dạng cho các hệ nhiều hạt có spin nguyên và spin bán nguyên và từ đó ứng dụng để tính các đại lƣợng vật lý mô tả trạng thái của hệ. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động biến dạng và phân bố thống kê của dao động biến dạng. - Áp dụng phƣơng pháp thống kê của dao động biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu và áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp của vật lý thống kê. - Phƣơng pháp của đại số lƣợng tử (đại số biến dạng). 5. Đóng góp mới Áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể.
3 NỘI DUNG CHƢƠNG I: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q 1.1 Dao động biến dạng q-Boson 1.1.1 Dao động Boson Dao động tử Boson đơn mode đƣợc đặc trƣng bởi hệ thức giao hoán:  a, a    1 (1.1) Toán tử số dao động tử N đƣợc biểu diễn theo các toán tử sinh dao động tử a+ và toán tử hủy dao động tử a nhƣ sau: N  a a (1.2) Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , a   a (1.3)  N , a    a  Không gian Fock là không gian mà các vector cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock trạng thái chân không 0 đƣợc định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0, thoả mãn điều kiện: a 0 0 (1.4) n là trạng thái n hạt: số hạt n hay trạng thái n dao động tử Biểu thức (1.1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các vector riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N: 1  a  0 n n  n = 0,1,2… (1.5) n! Ta có thể chứng minh hệ thức sau:  a,  a  n   n  a  n1 (1.6)   Chứng minh: Ta chứng minh (1.6) bằng phƣơng pháp quy nạp nhƣ sau: Với n = 1:
4  a, a    1 Với n = 2:  a,  a  2   a  a, a    a, a   a   2a        Nhận thấy (1.6) đúng với n = 1,2. Giả sử biểu thức (1.6) đúng với n=k , tức là:  a,  a  k   k  a  k 1   Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n=k+1. Ta có:  a,  a  k 1   a   a,  a  k   a, a    a  k       a,  a  k 1   a  .k  a  k 1   a  k    a,  a  k 1    k  1  a  k (đpcm)   Dễ dàng thử lại đƣợc: m n   mn m,n = 1,2,… (1.7) Từ hệ thức (1.6) ta có thể chứng minh n là vector riêng của toán tử số hạt N ứng với trị riêng của toán tử số hạt N tƣơng ứng với trị riêng n tức là: N n n n Thật vậy: N n  a a n (1.8) N n  a a 1 n! a  n 0 a a  a  0 1  n N n  n! a  a,  a    0 1  n N n  n!   n  a  0 n N n  n!
5 N n  n. a   n 0 n! N n n n (1.9) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung lƣợng p đƣợc định nghĩa: x 2m a   a (1.10) m  pi 2 a  a (1.11) Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:  p, x  i (1.12) Thật vậy: m  p, x  i  a   a  a   a    a   a  a   a  2 2m    p, x   2a  a  2aa   i 2  p, x  i a, a    p, x  i Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa đƣợc biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy dao động tử a+,a nhƣ sau: p2 1 H  m 2 x 2 (1.13) 2m 2 h  h   a  a   a  a 2 2 H  4 4  H 2  a a  aa     1 H   N   (1.14)  2
6 1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson Dao động tử biến dạng q - Boson đơn mode đƣợc mô tả bởi các toán tử hủy và toán tử sinh dao động tử a, a  tuân theo hệ thức giao hoán sau: aa   qa  a  q  N (1.15) Trong đó: q là thông số biến dạng N là toán tử số dao động thỏa mãn phƣơng trình hàm riêng, trị riêng: N n q  n n q (1.16) và thỏa mãn hệ thức giao hoán  N , a   a (1.17)  N , a    a  Nếu q→1 thì (1.15) lại trở về hệ thức của dao động tử điều hòa Boson: aa   a  a  1 Chúng ta đƣa vào không gian cơ bản Fock có các vector cơ sở là các vector riêng của toán tử số dao động N là : n  a   n 0 (1.18) q  nq  Ở đây 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu: qn  qn  nq  q  q 1 (1.19)  nq    nq  n  1q  n  2q ...............1q Tác dụng a  a, aa lên trạng thái riêng n q ta đƣợc: aa n q   n q n q (1.20) aa n  q   n  1q n q Chứng minh: Ta chứng minh biểu thức a  a n q   nq n q của (1.20) bằng phƣơng pháp quy nạp nhƣ sau:
7 Với n=0: a  a 0 q  0  0q 0 q Với n=1: a 0 aa 1 q  aa 1q  a   qa  a  q  N  a a1q 0 1 a  a 1 q  a  q 0 0 aa 1 q  a 0 a  a 1 q  1q 1 Với n=2: aa 2 a a a    2 0 q  2q  a   qa  a  q  N  a  0 1 aa 2  q  2q  aa 2  1  qa a aa    0  aq N 1  q  2q  aa 2 q  1  q  a  2  qa  a  q  N  0  a  q 1 1   2q    aa 2  1  q  a  2 q 0 0  q 1 (a  )2 0  q  2q    aa 2  1  q  q  a  1  2 0 q  2q  a  a 2 q   q  q 1  2 q aa 2 q   2q 2 q
8 Nhận thấy biểu thức a  a n q   nq n q của (1.20) đúng với n = 0,1,2 Giả sử biểu thức a  a n q   nq n q đúng với n = k tức là: ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k+1 aa k  1 q  aa 1 a   k 1 0  k  1q  1 a  a k  1 q  a  aa  k  k  1q q 1 aa k  1 q  a  aa  k  k  1q q a   qa  a  q  N  k 1 aa k  1 q   k  1q q aa k  1 q  1  k  1q  qa a a k   q  a q k k q  aa k  1 q  1  k  1q  qa k   k k q  aq N k q  1  qk  qk  aa k  1 q  q  qk  a k  k  1q  q  q 1  q   q k 1  q  ( k 1)   1 a a k 1 q   a k  k  1q  q  q 1  q   k  1q a  k a k 1 q  q a  k  1q  k  1q  a   0 k 1  a a k 1 q   k  1q  k q  a  a k  1 q   k  1q 1 a   k 1 0  k  1q  a  a k  1 q   k  1q k  1 q
9 → Điều phải chứng minh Áp dụng biểu thức 1 của (1.20) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2: aa  n q   n  1q n q Ta có : aa  n q   qa  a  q  N  n q aa  n q  q  nq n q  q  N n q  qn  qn  aa  n  q 1  qn  n  qq q q  q n 1  q   n 1 aa  n  n q q  q 1 q aa  n q   n  1q n q → Điều phải chứng minh Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lƣợng p có dạng: p2 1 H  m 2 x 2 (1.21) 2m 2 Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ x và toán tử xung lƣợng p là:  p, x  i q N   q  1  N q  (1.22) Chứng minh: x 2m a  a   m Vì: p  i 2 a   a và  p, x  px  xp nên ta đƣợc:  a   a  a   a    a   a  a   a  i  p, x   2   p, x  i  aa   a a   p, x  i  N  1q   N q 
10  p, x  i  N  1q  q  N q  q  N q   N q   p, x  i q N   q  1  N q  → Điều phải chứng minh. Khi q = 1 thì (1.22) trở về hệ thức hoán vị thông thƣờng  p, x  i Toán tử Hamiltonian đƣợc biểu diễn nhƣ sau:  H 2  a a  aa     H 2  N  q   N  1q  (1.23) Phổ năng lƣợng của dao động điều hòa biến dạng q đƣợc xác định từ phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H : H n q  En n q (1.24) Mà ta lạicó:  H n q  2  N  q   N  1q n  q  H n q  2  n  q   n  1q n  q Vậy:  En  2 n  n  1  q q (1.25) Khi q = 1 thì phổ năng lƣợng của dao động điều hòa biến dạng trở về phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa một thông thƣờng:  En   2n  1 2 1.2 Dao động biến dạng q Fermion 1.2.1 Dao động Fermion Dao động tử Fermion đơn mode đƣợc đặc trƣng bởi hệ thức giao hoán : bb  bb  1 b2  0 (1.26)
11 Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao động tử b, b+ nhƣ sau: N  bb 1  N  bb (1.27) Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , b  b  N , b   b (1.28) Trạng thái chân không thỏa mãn: b 0 0 Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động tử N : N n n n n = 0, 1 (1.29) Trong đó: n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn m n   mn m,n = 0, 1 (1.30) Tác dụng của các toán tử b, b+ lên các vector trạng thái n nhƣ sau: b 0 0 b1  0 b 0  1 b 1  0 1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion Các toán tử sinh và hủy b , b của dao động tử Fermion biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán: bb  qbb  q  N b2   b   0 2 (1.31) Trong đó: q là thông số biến dạng N là toán tử số dao động tử thỏa mãn hệ thức giao hoán
12  N , b  b  N , b   b (1.32) Phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử số dao động tử N là: N n q n n q (1.33) Các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N đƣợc định nghĩa nhƣ sau: n  b   n 0 (1.34) q nq  q  n   1 q n n Với: nq  (1.35) q  q 1 Khi q =1 thì nq  n Trong không gian Fock với vector cơ sở là các vector trạng thái n q ta có: bb   N q bb   N  1q (1.36) Khi q =1 ta có dao động tử Fermion thông thƣờng: bb  bb  1 Ở đây nguyên lý loại trừ Pauli là hệ quả trực tiếp từ điều kiện: b2   b   0 2 KẾT LUẬN: Trong chƣơng 1 chúng ta đã viết tổng quan về dao động tử điều hòa và dao động tử điều hòa biến dạng q của các hạt có spin nguyên và các hạt có spin bán nguyên. Đồng thời cũng xây dựng đƣợc không gian Fock cho các dao động tử và nhận thấy khi thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn (q→1) thì tất cả các kết quả của các dao động biến dạng sẽ trở về dao động lúc chƣa biến dạng.
13 Hay nói cách khác, dao động biến dạng phản ánh các dao động của các dao động tử một cách tổng quát hơn. Và dao động lúc chƣa biến dạng là một trƣờng hợp riêng của dao động biến dạng.
14 CHƢƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q 2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên 2.1.1 Thống kê của Boson Hàm Green của đại lƣợng vật lý F tƣơng ứng với toán tử Fˆ đƣợc định ngĩa qua công thức: Tr  e  H F  1 F  Z với   Tr Gˆ   n Gˆ n n Z là hàm phân bố, đƣợc xác định nhƣ sau: Z  Tr  e  H   Z   e n n 0 1 Z (2.1) 1  e  1 Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê   và H là kT Hamiltonian mà thông thƣờng nó có dạng H=ωN với ω là năng lƣợng dao động của một hạt. Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hòa Bosson nhƣ sau: Tr  e  H a  a  1 aa  Z 1 a a   Z n n e  n a  a n 1 a a   Z n n e   N N n 1 a a   n e  n n n Z n 1 aa   e  n n Z n
15 a a  1 d      Z d n  e  n  1 e  aa  Z 1  e  2 Mà ta lại có: Z  Tr  e  N  Z   n e   N n n Z   e  n n 1 Z (2.2) 1  e  Từ đây suy ra: 1 aa    (2.3) e 1 2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q Đối với hệ các dao động tử Boson biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán: aa   qa  a  q  N ta thu đƣợc phân bố thống kê sau:  1 aa   Z  n 0 n e   N a  a n  1 aa    n e  N  N q n Z n 0  1 aa    n e  n  nq n Z n 0  1 aa   Z  e    n n 0  n q 1   qn  qn  aa    e    n  q  q 1  Z n 0  1 1     n    1 n  aa   e q   Z q  q 1  n 0 n 0 e q   
16 1 1  1 1  aa   1       1  Z q  q  1 e q 1 e q  aa   1 1  q  q 1  e  Z q  q 1 1   q  q 1  e   e2  Nhƣ vậy: e   1 aa   e2    q  q 1  e   1 (2.4) Nhận xét: Trong trƣờng hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê (2.4) trở về phân bố Bose-Einstein thông thƣờng đối với hệ các Boson: 1 aa    e 1 2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên 2.2.1 Thống kê của Fermion Tƣơng tự nhƣ dao động tử Boson ta xác định thống kê cho dao động tử Fermion: Z  Tr  e  N  1 Z   n e   N n n 0 1 Z   n e  n n n 0 1 Z   e  n n 0 Z  e   1 (2.5) Từ đây suy ra: Tr  e  N b b  1 bb  Z 1 1 bb  Z  n 0 n e  n n n 1 1 bb  Z e  n n 0  n