Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về phân tích phổ của hệ động lực Tôpô

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn được chia làm 2 chương trình bày các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức đồng phôi giãn của một không gian mêtric tôpô và các tính chất liên quan, tính bóng của đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô; phân tích phổ của hệ động lực tôpô. Các nội dung quan trọng và chứng minh chi tiết về phân tích phổ theo Smale và Bowen sẽ được trình bày.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về phân tích phổ của hệ động lực Tôpô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019
Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tính giãn đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tính bóng của đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Phân tích phổ của hệ động lực tôpô 23 2.1 Tập quay lui xích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập ổn định và không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Phân tích phổ của hệ động lực tô-pô . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Huy Tiễn. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành và tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ môn Toán giải tích, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và nghiên cứu. Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập. Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019. Học viên Nguyễn Hoàng Việt 1
Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu được biết đến bởi Issac-Newton, người mà đã mô tả các quy luật chuyển động và phát hiện ra lực hấp dẫn. Trong lý thuyết của Newton, các chuyển động trong một hệ động lực được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân. Sau đó, cuối thế kỷ 19, Poincaré đã phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân. Poincaré nghiên cứu tính chất nghiệm thay vì tìm được công thức giải tích của nghiệm. Nhiều năm sau đó, các nhà khoa học đã phát triển các lý thuyết nghiên cứu định tính hệ động lực trong cơ sở lý thuyết tôpô. Trong đó, việc nghiên cứu đồng phôi giãn và bóng là một chủ đề lớn trong những năm qua. Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân. Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước. Tính bóng được nghiên cứu đầu tiên bởi Anosov, Bowen, Sinai, các tác giả này đã cho rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực. Các tác giả này đều tiếp cận tính bóng bằng các phương pháp hình học. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề “Về phân tích phổ của hệ động lực tô-pô ”. Trong đó, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về đồng phôi không giãn và bóng có phân tích phổ. Nội dung luận văn được chia làm 2 chương. Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức đồng phôi giãn của một không gian mêtric tôpô và các tính chất liên quan, tính bóng của đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô. 1
• Chương 2: Phân tích phổ của hệ động lực tôpô. Các nội dung quan trọng và chứng minh chi tiết về phân tích phổ theo Smale và Bowen sẽ được trình bày. Tài liệu chính được tham khảo khảo trong khi hoàn thành luận văn này là [2]. Ngoài ra, chúng tôi cũng tham khảo các tài liệu [1], [7]. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ động lực, ánh xạ liên tục và các tính chất của hệ Anosov và ánh xạ Anosov tôpô. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày một số vấn đề về đồng phôi giãn và tính chất giả quỹ đạo. Các tài liệu chính được tham khảo cho kiến thức ở chương này là [2]. 1.1 Tính giãn đồng phôi Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, tính chất của một đồng phôi giãn. Từ đó dẫn đến tính chất của ánh xạ giãn dương, ánh xạ c-giãn trên một không gian mêtric compact. Trong phần này, ta luôn giả thiết không gian pha của một hệ động lực là một đa tạp khả vi. Định nghĩa 1.1.1. Toàn ánh liên tục f : M → N của một không gian mêtric được gọi là một đồng phôi nếu nó là một đơn ánh và ánh xạ ngược f −1 : N → M cũng liên tục. Không gian mêtric M được gọi là một đa tạp tôpô n-chiều nếu tồn tại tập con mở Ui ⊂ M và đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 mỗi tập Ui thành một tập con mở của không gian Rn , sao cho {Ui } phủ M . Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian mêtric với mêtric d. Đồng phôi f : X → X được gọi là đồng phôi giãn nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho 3
với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n là số nguyên. Hằng số e ở đây được gọi là hằng số giãn của f . Hơn nữa, tính chất này phụ thuộc vào cách chọn mêtric đối với X khi X là compact. Ta đưa ra khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Điều kiện này yếu hơn điều kiện giãn, tức là với mỗi x ∈ X , tồn tại δ > 0 và lân cận U của x mà tồn tại y ∈ U và n ∈ Z sao cho d(f n (x), f n (y)) > δ . Từ khái niệm này ra suy ra X không có điểm cô lập. Tiếp theo, ta đưa ra tính chất truyền ứng tôpô của một đồng phôi. Đồng phôi f : X → X có tính truyền ứng tôpô nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật trong X . Với khái niệm này, ta có một số kết quả sau đây. Định lý 1.1.3. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Khi đó, (a) Đồng phôi f có tính chất truyền ứng tôpô khi và chỉ khi với các tập mở khác rỗng U, V , tồn tại số nguyên n ∈ Z sao cho f n (U ) ∩ V 6= ∅. (b) Nếu giả thiết thêm X là tập vô hạn, đồng phôi f có tính chất truyền ứng tôpô và P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật trong X thì f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Chú ý rằng, với f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact như ở trên và ký hiệu cl(E) là bao đóng của tập con E nào đó. Khi đó, một phủ mở hữu hạn α của X là phần tử sinh (phần tử sinh yếu) đối với f nếu với mọi dãy kép {An } của α: giao vô hạn ∞ −n T n=−∞ f (cl(An )) tại nhiều nhất một điểm. Nếu α, β là các phủ mở của X thì hợp của chúng là α ∨ β được xác định bởi α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β}. 4
Ta nói rằng β là mịn hơn α nếu mọi phần tử của β đều là tập con của phần tử nào đó thuộc α và khi đó ta ký hiệu là α ≤ β . Rõ ràng α ≤ α ∨ β và β ≤ α ∨ β . Hơn nữa, nếu f : X → X là toàn ánh liên tục thì f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} là một phủ mở của X . Ta cũng có thể thấy rằng nếu f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) và f −1 (α) ≤ f −1 (β) nếu α ≤ β . Định lý 1.1.4. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (1) f là giãn, (2) f có một phần tử sinh, (3) f có một phần tử sinh yếu. Chứng minh. Rõ ràng (2) ⇒ (3) là hiển nhiên. Trước khi đi vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại rằng với X là một không gian mêtric compact và α là một phủ mở hữu hạn của X . Nếu với bất kỳ tập con A ⊂ B ∈ α luôn thỏa mãn diam (A) < δ thì δ được gọi là số Lebesgue của α. Ta sẽ chứng minh (3) ⇒ (2). Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , . . . , B2 } là các phần tử sinh yếu của f và δ > 0 là số Lebesgue của β . Ký hiệu α là một phủ mở hữu hạn chứa các tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ . Nếu {Ain } là một dãy đôi trong α thì với mọi n, tồn tại jn sao cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ [ \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f −n (Bjn ). n=−∞ n=−∞ Do đó, α là phần tử sinh. (1) ⇒ (2): Cho δ > 0 là hằng số giãn của f và α là một phủ hữu hạn chứa các hình cầu mở bán kính δ/2. Giả thiết rằng x, y ∈ T∞ −n n=−∞ f (cl(An )), với An ∈ α. Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với mọi n nên theo giả thiết suy ra x = y . (3) ⇒ (1): Giả sử α là phần tử sinh yếu và δ > 0 là số Lebesgue của α. Khi đó, nếu f (f n (x), f n (y)) < δ với mọi số nguyên n thì An ∈ α, 5
n ∈ Z sao cho f n (x), f n (y) ∈ An và x, y ∈ ∞ −n T n=−∞ f (An ), mà giao vô hạn này tại nhiều nhất một điểm. Suy ra f là giãn. Vậy định lý được chứng minh. Định lý 1.1.5. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact và k là số nguyên khác 0. Khi đó, f là đồng phôi giãn khi và chỉ khi f k là giãn. Chứng minh. Ta chú ý từ khẳng định nếu α là phần tử sinh đối với f thì |k|−1 _ f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), i=0 cũng là phần tử sinh đối với f k . Ngược lại nếu α là phần tử sinh đối với f k thì α cũng là phần tử sinh đối với f . Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.1.6. (a) Nếu f : X → X là đồng phôi giãn và Y là tập con đóng của X với f (Y ) = Y , khi đó f|Y : Y → Y là đồng phôi giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, là ánh xạ giãn thì đồng phôi f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 là đồng phôi giãn. Hơn nữa, mọi tích trực tiếp hữu hạn của các đồng phôi giãn là giãn, (c) Nếu X compact và f : X → X là đồng phôi giãn thì h◦f ◦h−1 : Y → Y là đồng phôi giãn, trong đó, h : X → Y là một đồng phôi. Trong phần tiếp theo của mục này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về đồng phôi giãn dương và c-giãn cùng một số tính chất. Định nghĩa 1.1.7. Cho X là không gian mêtric. Đồng phôi f : X → X là giãn dương nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho nếu x 6= y thì 6
d(f n (x), f n (y)) > e với số nguyên n không âm (hằng số e ở đây được gọi là hằng số giãn của f ). Mệnh đề 1.1.8. Giả sử X là compact và k là số nguyên dương. Khi đó, f là giãn dương khi và chỉ khi f k cũng là giãn dương. Chứng minh. Giả sử f : X → X là giãn dương và e > 0 là hằng số giãn. Vì f liên tục đều nên tồn tại δ > 0 sao cho với 1 ≤ i ≤ k : d(x, y) < δ thì d(f i (x), f i (y)) < e. Từ đây suy ra δ là hằng số giãn của f k . Chiều ngược lại của mệnh đề chứng minh hoàn toàn tương tự. Định lý 1.1.9. (a) Nếu f : X → X là ánh xạ giãn dương và Y là tập con đóng của X với f (Y ) = Y thì f|Y : Y → Y là ánh xạ giãn dương, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, là ánh xạ giãn dương thì toàn ánh liên tục f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 là ánh xạ giãn dương. Hơn nữa, mọi tích trực tiếp hữu hạn của các ánh xạ giãn dương là giãn dương, (c) Nếu X compact và f : X → X là ánh xạ giãn dương thì h ◦ f ◦ h−1 : Y → Y là ánh xạ giãn dương, trong đó, h : X → Y là một đồng phôi. Ví dụ 1.1. Ta xét ánh xạ giãn dương nhưng không mở sau đây. Xét tập con X trong mặt phẳng được xác định như sau
3
1
3
1 X = {z : |z = 1|} ∪ z :