Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015
Mục lục 1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh của chúng 5 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . 9 1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips . . . . . . . . . . 15 1.5 Một số ví dụ khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . 17 1.5.1 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Nửa nhóm đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3 Nửa nhóm điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.4 Nửa nhóm nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa trừu tượng và ứng dụng 26 2.1 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một vài tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa . . . . . . . 47 2.6 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm trong mô hình quần thể sinh học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi 53 2.6.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào tuổi và sự phân bố dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1
Mở Đầu Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm. Đồng thời sử dụng trong việc nghiên cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều người quan tâm, nghiên cứu là áp dụng phương pháp nửa nhóm cho các phương trình tiến hóa trừu tượng, từ đó ứng dụng vào mô hình dân số. Trong nhiều mô hình ứng dụng, ta thường gặp bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng: ∂v = A(D)v (1) ∂t trong đó v là một hàm véc tơ v = (v1 , ..., vm ) phụ thuộc vào t và x, X A(D) = Aα Dα , |α|≤r i∂ α = (α1 , .., αn ) là một đa chỉ số, |α| = α1 + ... + αn , Dα = D1α1 ...Dnαn , Dk = (k = ∂xk 1, 2, ..., n), x = (x1 , ..., xn ) là một điểm trong không gian Rn và hệ số Aα là một ma trận hằng cấp m × n. Số r được gọi là cấp của hệ. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1), v = v(t, x) thỏa mãn điều kiện v(0, x) = φ(x) (2) được gọi là bài toán Cauchy, trong đó hàm vector φ(x) được cho trong toàn bộ không gian Rn . Đôi khi người ta cũng có thể gọi là bài toán với giá trị ban đầu. Bài toán với giá trị ban đầu (1) thường được giải bằng phương pháp Fourier. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó người ta thường xét phương trình đạo hàm riêng dạng ∂v = A(D)v + g(t, v). (3) ∂t 2
Nhờ áp dụng phương pháp nửa nhóm việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình (3) có thể đưa về nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > t0 dt u(t ) = u0 0 trong đó −A là một toán tử sinh của C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, trong không gian Banach X và f : [t0 , T ] × X → X là ánh xạ liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u. Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, về tán xạ và một số dạng khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh. Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kiến thức đã được trình bày trong các tài liệu [1], [4], [8], [9] và chuyên đề cao học của TS. Trần Đức Long. Chương hai trình bày bài toán nhiễu của nửa nhóm, tính chất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh, sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; từ đó đưa ra bài toán mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi. Để hoàn thành các nội dung đó, chúng tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản và tư liệu đã được trình bày trong các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7], [8] và các nội dung trong các chuyên đề cao học của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn và PGS.TS. Đặng Đình Châu. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những 3
sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian còn bị hạn chế nên bản luận văn còn để lại nhiều thiếu sót về lỗi ấn loát và các lỗi khi bỏ qua một số trình bày chi tiết việc chứng minh lại các kết quả trong chương 1 cũng như trong một vài ví dụ ứng dụng. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Phạm Như Thành 4
Chương 1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh của chúng 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. 2. T (0) = I . 3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0. t→t0 Ví dụ 1.1. Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0 (R), xác định bởi C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0}. s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)|. Ta có (C0 , ||.||) là một không gian Banach. s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: (Tl (t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R. và (Tr (t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R. Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển trái và phải của C0 . 5
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự. +) Ta chứng minh (Tl (t)) là một nửa nhóm. Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có (Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s) suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h). +) Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh. Thật vậy, ta cần chỉ ra rằng, ∀f ∈ C0 thì lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0. t→0+ t→0+ s∈R Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0, nên f s→±∞ liên tục đều trên R. Do đó ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ⇒ |f (s1 ) − f (s2 )| < . Khi đó với mọi t : 0 ≤ t < δ thì |t + s − s| < δ , với mọi s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| < ∀s ∈ R. Suy ra sup |f (t + s) − f (s)| ≤ với mọi t : 0 ≤ t < δ. Vậy theo định nghĩa giới s∈R hạn ta có lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0. t→0+ s∈R Vậy (Tl (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Bổ đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương. (a) F là toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K 3 t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ X. (b) F là bị chặn đều trên K, và ánh xạ K 3 t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật trong X . (c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X ; tức là, ánh xạ K × C 3 (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X. Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. 6
(b) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ X. t→0 (c) Có một số δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn i) ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ], ii) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ D. t→0 Chứng minh. +) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii). Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach, nên lim T (t)x = T (0)x = x ∀x ∈ D (Do D trù mật trong X ). t→0+ +) Chứng minh (a) ⇒ (c.i). Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0 (do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh). +) Chứng minh (c) ⇒ (b). Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến 0. Khi đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D. Do đó áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn )x = x ∀x ∈ X. n→∞ Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh. +) Chứng minh (b) ⇒ (a). Giả sử t0 > 0, và x ∈ X . Khi đó lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy ra (T (t))t≥0 liên tục phải. Nếu h < 0 ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x|| dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0 ]. Vậy (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Định lý 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằng số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > 0. (1.1) 7
Chứng minh. Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ 1. Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt với w = ln M và t ≥ 0. Định nghĩa 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , chúng ta gọi ω0 là cận tăng trưởng nếu ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0}. Xét trong trường hợp đặc biệt. - Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn. - Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co. - Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm đẳng cự. Ví dụ 1.2. Theo định lý 1.2 ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng hạn trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: ( f (t + s) nếu s + t ≤ 1 T (t)f (s) = 0 nếu s + t > 1 Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1. Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1 do Z 1 ||T (t)f || = || T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||. 0 Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó: ||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ 0. Vậy ω0 = −∞. 8
1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta có bổ đề sau. Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X. Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương. (a) ξx (.) là khả vi trên R+ . (b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0. Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử 1 Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x) (1.2) h→0 h xác định với mọi x trong miền xác định của nó D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. (1.3) Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó 1 D(A) = {x ∈ X : lim (T (h)x − x) tồn tại}. (1.4) h→0+ h Miền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là (A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.4). Định lý 1.3. Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , ta có các tính chất sau là đúng. (i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính. (ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x ∀t ≥ 0. (1.5) dt (iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có Zt T (s)xds ∈ D(A). 0 9
(iv) ∀t ≥ 0, ta có Zt T (t)x − x = A T (s)xds nếu x ∈ X, (1.6) 0 Zt = T (s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.7) 0 Định lý 1.4. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật và xác định một nửa nhóm duy nhất. Định lý 1.5. Giả sử T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X có toán tử sinh (A, D(A)) và lấy một hằng số w ∈ R, M ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t ≥ 0. (1.8) Khi đó các tính chất sau là đúng. R∞ (i) Nếu λ ∈ C thỏa mãn R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds tồn tại ∀x ∈ X , thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). (ii) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A), và giải thức được cho bởi tích phân trong (i). M (iii) ||R(λ, A)|| ≤ với mọi Reλ > w. Reλ − w Hệ quả 1.1. Đối với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt với mọi t ≥ 0, với Reλ > w và n ∈ N ta có: n−1 n−1 Z+∞ (−1) d 1 R(λ, A)n x = R(λ, A)x = sn−1 e−λs T (s)xds, ∀x ∈ X. (n − 1)! dλn−1 (n − 1)! 0 (1.9) Đặc biệt, ta có: M ||R(λ, A)n || ≤ , ∀n ∈ N và Reλ > w. (Reλ − w)n Chứng minh. Đẳng thức (1.9) tương đương với: dn−1 n−1 R(λ, A)x = (−1)n−1 (n − 1)!R(λ, A)n x dλ Z+∞ = (−1)n−1 sn−1 e−λs T (s)xds. 0 Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I . Do vậy, ta suy ra: [λIR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A) 10
và R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A). Do A và R(λ, A) giao hoán với nhau nên trừ từng vế hai phương trình trên, ta được: R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A). Suy ra: R(λ, A) − R(µ, A) = −R(λ, A)R(µ, A) với µ 6= λ. λ−µ Cho µ → λ, ta có: d R(λ, A) = −R(λ, A)2 . dλ Mặt khác, ta cũng có: Z+∞ Z+∞ d d R(λ, A) = e−λs T (s)xds = − se−λs T (s)xds. dλ dλ 0 0 Vậy (1.9) đúng với n = 2. Trường hợp tổng quát ta suy ra bằng quy nạp. Thật vậy giả sử (1.9) đúng với n, tức là: dn−1 R(λ, A) n−1 = (−1)n−1 (n − 1)!(R(λ, A))n . dλ Ta chứng minh cho trường hợp n + 1. Ta có: dn R(λ, A) d n = (−1)n−1 (n − 1)! (R(λ, A))n dλ dλ d = (−1)n−1 n!R(λ, A)n−1 R(λ, A) dλ n n+1 = (−1) n!R(λ, A) . tức là đẳng thức thứ nhất trong (1.9) đúng với n + 1. Mặt khác từ đẳng thức: Z+∞ dn−1 n−1 R(λ, A)x = (−1)n−1 sn−1 e−λs T (s)xds dλ 0 Z+∞ dn R(λ, A) ⇒ = (−1)n sn e−λs T (s)xds. dλn 0 Vậy (1.9) đúng cho n + 1. 11
1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm Định lý 1.6. Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida) Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh. (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.10) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.11) Reλ Chứng minh. +) (a) ⇒ (c) đúng (theo định lý 1.4 và định lý 1.5) +) (c) ⇒ (b) hiển nhiên. +) Chứng minh (b) ⇒ (a). Chúng ta định nghĩa xấp xỉ Yosida sau: An = nAR(n, A) = n2 R(n, A) − nI n ∈ N, (1.12) là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n ∈ N. Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi: Tn (t) = etAn t ≥ 0. (1.13) An hội tụ đến A theo từng điểm trên D(A). Khi đó ta có các tính chất sau: (i) T (t)x = lim Tn (t)x tồn tại với mỗi x ∈ X. n→∞ (ii) (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X. (iii) Nửa nhóm này có toán tử sinh (A, D(A)). Ta chứng minh các tính chất này là đúng. Thật vậy: (i) Mỗi (Tn (t))t≥0 là một nửa nhóm co vì: 2 ||Tn (t)|| ≤ e−nt e||n R(n,A)||t ≤ e−nt ent = 1 t ≥ 0. Áp dụng định lý cơ bản của tích phân đối với hàm s 7→ Tm (t − s)Tn (s)x 0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ N. 12
Ta có: Zt d Tn (t)x − Tm (t)x = (Tm (t − s)Tn (s)x)ds ds 0 Zt = Tm (t − s)Tn (s)(An x − Am x)ds. 0 Khi đó ||Tn (t)x − Tm (t)x|| ≤ t||An x − Am x||. (1.14) Vì (An (x))n∈N là dãy Cauchy đối với mỗi x ∈ D(A) nên (Tn (t)x)n∈N hội tụ đều với mỗi x ∈ D(A) trên khoảng [0, t0 ]. (ii) Vì (Tn (t))t≥0 (n = 1, 2, ...) là các nửa nhóm nên (T (t))t≥0 là nửa nhóm. Hơn nữa ||Tn (t)x|| ≤ ||x|| ⇒ ||T (t)x|| ≤ ||x|| ∀x ∈ X, suy ra ||T (t)|| ≤ 1 ∀t ≥ 0. Do đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm co. Mặt khác, với mỗi x ∈ D(A), ánh xạ ξ : t 7→ T (t)x 0 ≤ t ≤ t0 , là giới hạn đều của các hàm liên tục, nên T (t)x → x khi t → 0. Suy ra nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh (do (1.14)). (iii) Ký hiệu (B, D(B)) là toán tử sinh của (T (t))t≥0 và cố đinh x ∈ D(A). Trên mỗi khoảng compact [0, t0 ] hàm ξn : t 7→ Tn (t)x hội tụ đều đến ξ(.) do (1.14), và hàm ξ˙n : t 7→ Tn (t)An x hội tụ đều đến η : t 7→ T (t)Ax. ˙ Suy ra ξ là hàm khả vi với ξ(0) = η(0); Tức là D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với x ∈ D(A). 13
Chọn λ > 0, khi đó λ − A là một song ánh từ D(A) vào X (vì λ ∈ ρ(A)). Mặt khác, B là toán tử sinh của nửa nhóm co (T (t))t≥0 , nên λ ∈ ρ(B) (do định lý 1.5), suy ra λ − B cũng là song ánh từ D(B) vào X . Vậy D(A) = D(B) và A = B. Hệ quả 1.2. Giả sử w ∈ R, (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn ||T (t)|| ≤ ewt t ≥ 0. (1.15) (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và ||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1. (1.16) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ ∈ C mà Reλ > w, ta có λ ∈ ρ(A) và 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.17) Reλ − w Nửa nhóm thỏa mãn (1.15) được gọi là nửa nhóm tựa co. Chứng minh. Xét nửa nhóm điều chỉnh S(t) = e−wt T (t), toán tử sinh của nhóm này là B = A − w. Ta có: ||S(t)|| = ||e−wt T (t)|| ≤ e−wt ||T (t)|| ≤ e−wt ewt = 1 ∀t ≥ 0. Suy ra (S(t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh. Áp dụng định lý 1.6 cho nửa nhóm co (S(t))t≥0 ta được điều phải chứng minh. Nhận xét 1.1. Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ta thấy: - Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn. - Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với chuẩn này nửa nhóm trở thành nửa nhóm co. 14
1.4 Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính (A, D(A)) trên không gian Banach X gọi là tán xạ nếu ||(λI − A)x|| > λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A). (1.18) Định lý 1.7. Đối với tán xạ (A, D(A)) ta có các tính chất sau: (a) λI − A là đơn ánh với mọi λ > 0 và ta có: 1 ||(λI − A)−1 x|| 6 .||x||, ∀x ∈ R(λI − A). (1.19) λ (b) λI − A là toàn ánh với λ > 0 nào đó khi và chỉ khi nó là toàn ánh với mỗi λ > 0. Trong trường hợp này ta có (0, +∞) ⊂ ρ(A). (c) Toán tử A là đóng khi và chỉ khi miền giá trị R(λI − A) là đóng với λ > 0 nào đó (và do đó với mọi λ > 0). (d) Nếu R(A) ⊂ D(A), chẳng hạn nếu A là xác định trù mật thì toán tử A có thể mở rộng thành toán tử đóng. Bao đóng A của nó lại là tán xạ thỏa mãn: R(λI − A) = R(λI − A), ∀λ > 0. Định lý 1.8. (Lunner-Phillips) Đối với tán xạ xác định trù mật (A, D(A)) trên không gian Banach X các mệnh đề sau tương đương: (a) Bao đóng A của A sinh ra nửa nhóm co. (b) R(λI − A) trù mật trong X với một λ > 0 nào đó (và do đó với mọi λ > 0). Chứng minh. +) (a) ⇒ (b). Do A sinh ra một nửa nhóm co nên theo định lý 1.6, với mọi λ > 0 thì λ ∈ ρ(A). Do đó R(λI − A) = X . Theo định lý 1.7 thì R(λI − A) = R(λI − A). Vậy ta có điều phải chứng minh. +) (b) ⇒ (a). Vì R(λI − A) = R(λI − A) = X (theo giả thiết (b)), theo định lý 1.7 thì (0, +∞) ⊂ ρ(A). Do A là tán xạ nên A là tán xạ. Ta có ||λR(λ, A)|| 6 1 nên theo định lý 1.6, A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh. Hệ quả 1.3. Giả sử (A, D(A)) là toán tử xác định trù mật trên không gian Banach X. Nếu cả A và toán tử liên hợp A∗ tán xạ thì bao đóng A của A sinh ra một nửa nhóm co trên X. Chứng minh. Theo định lý Lunmer-Phillips, ta chỉ cần chứng minh R(λI − A) = X . Thật vậy giả sử ngược lại R(λI − A) 6= X . Theo định lý Hahn-Banach tồn tại x∗ ∈ X ∗ , x∗ 6= 0 sao cho:< (I − A)x, x∗ >= 0 với mọi x ∈ D(A). Từ đó, ta suy ra x∗ ∈ D(A∗ ). Do D(A) = X nên < x, (I ∗ − A∗ )x∗ >= 0 với mọi x ∈ X . Suy ra 15
(I ∗ − A∗ )x∗ = 0. Điều này mâu thuẫn với tính chất (I ∗ − A∗ ) đơn ánh do A∗ là tán xạ (theo định lý 1.7) Giả sử X là không gian Banach, X ∗ là không gian liên hợp của X. Theo định lý Hahn-Banach với mỗi x ∈ X , tồn tại f ∈ X ∗ sao cho < x, f >= ||x||, ||f || = 1. Đặt x∗ = ||x||.f . Khi đó, ta có: ||x∗ || = ||x|| và < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗ ||2 . Với mỗi x ∈ X , tập sau đây gọi là đối ngẫu của x: F(x) = {x∗ ∈ X ∗ : < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗ ||2 }. Theo trên F(x) 6= ∅. Các tập này cho ta một đặc trưng của tán xạ. Ta có kết quả sau đây: Định lý 1.9. Toán tử (A, D(A)) là tán xạ khi và chỉ khi với mọi x ∈ D(A), tồn tại j(x) ∈ F(x) sao cho Re < Ax, j(x) >≤ 0 (∗). Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh thì (∗) đúng với mọi x ∈ D(A) và x∗ tùy ý thuộc F(x). Cho đến nay những kết quả về toán tử sinh đều nhấn mạnh đến tính trù mật của miền xác định như là một giả thiết cơ bản. Dưới đây, ta chỉ ra rằng ta sẽ dùng tán xạ để khắc phục giả thiết này như thế nào. Tuy nhiên dựa trên các phát biểu của định lý 1.7, tán xạ A∗ có tính chất (λI − A) là toàn ánh với λ > 0 nào đó, vì vậy (0, +∞) ⊂ ρ(A). Định lý 1.10. Giả sử (A, D(A)) là tán xạ trên không gian Banach X sao cho (λI − A) là toàn ánh với λ > 0 nào đó. Khi đó phần A| của A trong không gian con X0 = D(A) là xác định trù mật và sinh ra nửa nhóm co trong X0 . Chứng minh. Ta có A|x = Ax với mọi x ∈ D(A|) = {x ∈ D(A) : Ax ∈ X0 } = R(λ, A)X0 . Do R(λ, A) tồn tại với λ > 0, điều đó kéo theo R(λ, A)| = R(λ, A|). Do vậy (0, +∞) ⊂ ρ(A). Theo định lý Hille-Yoshida, ta chỉ cần chứng minh D(A|) trù mật trong X0 . Lấy x ∈ D(A) và đặt xn = nR(n, A)x. Khi đó xn ∈ D(A) và lim nR(n, A)x = x n→+∞ do ||R(n, A)|| ≤ n1 (theo định lý 1.8). Do vậy các toán tử nR(n, A) hội tụ mạnh trên D(A) đến toán tử I . Do ||nR(n, A)|| ≤ 1 với mọi n, ta có yn = nR(n, A)y → y với mọi y ∈ X0 . Do yn ∈ D(A|) nên ta suy ra D(A|) trù mật trong X0 . 16
Ví dụ 1.3. Sau đây ta nêu ra ví dụ về một tán xạ có miền xác định không trù mật. Giả sử X = C[0,1] , xét toán tử Af = −f 0 với miền xác định D(A) được xác định như sau: 1 D(A) = {f ∈ C[0,1] : f (0) = 0}. A là toán tử đóng. Thật vậy, giả sử fn → f, Afn = −fn0 → g , theo định lý về lấy đạo hàm của dãy hàm ta có f ∈ C[0,1] 1 , f ∈ D(A) và Af = g . Suy ra A đóng. D(A) 6= X vì nếu f ∈ D(A) thì f (0) = 0. Giả sử R(λ, A) là giải thức của A. Khi đó 1 với mọi f ∈ C[0,1] từ hệ thức (λI − A)(λI − A)−1 f = f , ta suy ra u(t) = R(λ, A)f (t) là nghiệm của phương trình λu + u0 = f, u(0) = 0 (do u ∈ D(A)). Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nghiệm của nó là: Z t u(t) = R(λ, A)f (t) = e−λ(t−s) f (s)ds, t ∈ [0, 1], f ∈ C[0,1] . 0 Với mọi λ > 0, ta có: Z t ||R(λ, A)|| 6 e−λ(t−s) ||f ||ds, ∀f ∈ C[0,1] . 0 Suy ra: Z t 1
t 1 1