Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Khảo sát biến dạng thân máy tiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:132

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn "Khảo sát biến dạng thân máy tiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn" nhằm hệ thống hoá các kiểu phần tử trong bài toán cơ học và xây dựng các mô hình tính cho một số chi tiết phức tạp trong chế tạo máy đang là một vấn đề cấp bách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Khảo sát biến dạng thân máy tiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP -------------------------- LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY ‘’KH ẢO SÁT BIẾN DẠNG THÂN MÁY TIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ’’ Học viên: Nguyễn Thế Đoàn Hướng dẫn Khoa học: PGS.TS Trần Vệ Quốc THÁI NGUYÊN 2009
4 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC Trang Mở đầu ………………………………………………………………………………………… 7 Chương I: CÁC DẠNG KẾT CẤU HIỆN ĐẠI CỦA THÂN MÁY TIỆN ………………. 9 Chương II: CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 12 2.1 Các phương pháp tính sức bền trong cơ học………………………………………….. 12 2.1.1 Phương pháp nhân biểu đồ Veresaghin kết hợp với phương trình vi phân đường 12 đàn hồi………………………………………………………………………………………… 2.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn……………………………………………………… 13 2.2 Các dạng đối tượng của bài toán sức bền trong thiết kế hiện đại……………………. 23 2.2.1. Chi tiết dạng thanh…………………………………………………………………. 23 2.2.2 Chi tiết dạng dầm…………………………………………………………………… 23 2.2.3 Chi tiết dạng khối.……………..…………………………………………………… 23 2.3. Các kiểu phần tử của bài toán phần tử hữu hạn và sử dụng…………………………. 24 2.3.1. Phần tử kiểu đường………………………………………………………………… 24 2.3.2. Phần tử kiểu đa giác……………………………………………………………….. 24 2.3.3. Phần tử kiểu tứ diện………………………………………………………………... 25 2.3.4. Các kiểu khác………………………………………………………………………. 25 2.4. Các bước thực hiện bài toán phần tử hữu hạn……………………………………….. 25 2.5. Các bài toán ứng dụng phương phần tử hữu hạn……………………………………. 27 2.5.1. Bài toán cơ học……………………………………………………………………. 27 2.5.2. Bài toán truyền nhiệt………………………………………………………………. 29 2.5.3. Bài toán dòng chất lưu……………………………………………………………... 33 2.5.4. Giới hạn nghiên cứu của đề tài……………………………………………………. 33 2.6. Các mô hình toán học của phương pháp phần tử hữu hạn………………………….. 34 2.6.1. Phương trình mô tả chuyển vị…………………………………………………….. 34 2.6.2. Phương trình mô tả lực nút………………………………………………………… 34 2.6.3. Phương trình vi phân đường đàn hồi………………………………………………. 34 2.7. Giới thiệu một số phần mền tính FEM………………………………………………. 34 2.7.1. Ansys……………………………………………………………………………….. 34 2.7.2. Catia………………………………………………………………………………... 37 2.7.3. Cosmos Design Star……………………………………………………………… 38 2.7.4. Mechanical Destop…………………………………………………………………. 40 2.8. Lựa chọn công cụ chính và công cụ hỗ trợ………………………………………….. 41 2.8.1. Công cụ chính……………………………………………………………………… 41 2.8.2. Công cụ hỗ trợ…………………………………………………………………….. 41 2.8.3. Nhận dạng lẫn nhau………………………………………………………………. 41 2.9. Tổng quan về mô hình cấu trúc……………………………………………………… 41 2.9.1. Tổng quan về xây dựng mô hình…………………………………………………... 41 2.9.2. Các bước tiến hành………………………………………………………………… 43 2.9.3. Các hệ trục toạ độ…………………………………………………………………. 49 2.9.4. Sử dụng chuột và mặt phẳng làm việc……………………………………………. 53
5 2.9.5. Mô hình thông qua các đối tượng hình học……………………………………….. 54 2.9.6. Phát sinh lưới……………………………………………………………………… 57 2.9.7. Hiệu chỉnh mô hình………………………………………………………………… 63 2.9.8. Sinh lưới thích ứng ………………………………………………………………… 67 2.9.9. Phát sinh trực tiếp………………………………………………………………….. 71 2.9.10. Mô hình đường ống ………………………………………………………………. 71 2.9.11. Hiệu chỉnh số nút và phần tử……………………………………………………... 73 2.10. Xây dựng mô hình hình học………………………………………………………… 76 2.10.1. Giới thiệu…………………………………………………………………………. 76 2.10.2. Các sản phẩm kết nối…………………………………………………………….. 78 2.10.3. Sử dụng các lệnh trong phần mềm……………………………………………….. 78 2.11. Tạo mô hình phần tử hữu hạn……………………………………………………… 80 2.11.1. Tổng quan………………………………………………………………………… 80 2.11.2. Các thuộc tính cơ bản của phần tử………………………………………………... 81 2.11.3. Các thuộc tính kết hợp của phần tử………………………………………………. 86 2.11.4. Điều khiển mật độ lưới…………………………………………………………… 87 2.12. Đặt tải………………………………………………………………………………. 87 2.12.1. Định nghĩa tải…………………………………………………………………….. 87 2.12.2. Hệ toạ độ nút (Nodal Coordinate System - NCS)……………………………...... 88 2.12.3. Các ràng buộc chuyển vị………………………………………………………….. 89 2.12.4. Lực tập trung……………………………………………………………………… 89 2.12.5. Kiểm tra các kết quả……………………………………………………………… 89 CHƯƠNG III : MÔ HÌNH HỌC VÀ MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN CỦA BÀI 91 TOÁN THÂN MÁY TIỆN…………………………………………………………………. 3.1. Xây dựng mô hình hình học thân máy………………………………………………. 91 3.1.1. Cụm thân máy…………………………………………………………………….. 91 3.1.2. Mô hình hình học với Mechanical Destop………………………………………… 99 3.1.3. Mô hình FEM của thân máy………………………………………………………. 100 3.2. Xác định các thông số cơ bản của mô hình hình học………………………… 101 3.2.1. Thông số cơ học của vật liệu……………………………………………………… 101 3.2.2. Thông số hình học của mô hình…………………………………………………… 101 3.3. Tính toán bộ tham số ngoại lực tác động tĩnh lên trục chính và thân máy…………. 102 3.3.1. Chế độ cắt tính toán…….………………………………………………………….. 102 3.3.2. Tính lực cắt………………………………….……………………………………… 102 Chương IV: TÍNH TOÁN PHÂN TÍCH THÂN MÁY TIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ 104 HỮU HẠN TRÊN HỆ THỐNG COSMOS/ANSYS……………………………………………….. 4.1. Sơ đồ tính……………………………………………………………………………. 104 4.2. Phân tích hệ thống ngoại lực tác dụng………………………………………………. 104 4.3. Đơn vị tính………………………………………………………………………….. 107 4.4. Ứng dụng phần mềm Ansys/Cosmoss….…………………………………………….. 107 4.4.1. Khởi động chương trình Ansys, giao diện Ansys…………………………………. 107 4.4.2. Xây dựng mô hình học…………………………………………………………….. 108 4.4.3. Định hướng bài toán………………………………………………………………. 108 4.4.4. Tạo mô hình phần tử hữu hạn……………………………………………………… 109 4.4.5. Khai báo các thuộc tính của vật liệu……………………………………………….. 109
6 4.4.6. Khai báo các điều kiện biên……………………………………………………….. 110 4.4.7. Đặt tải trên mô hình………………………………………………………………… 110 4.4.8. Giải…………………………………………………………………………………. 111 4.4.9. Kết quả……………………………………………………………………………… 111 4.5. Kết quả dạng dữ liệu…………………………………………………………………. 120 4.6. Đánh giá và kết luận …..……………………………………………………………… 121 4.6.1. Đánh giá …………………………….……………………………………………… 121 4.6.2. Kết luận…..………………………………………………………………………… 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO. …………………………………………………………………… 124 PHỤ LỤC. …………………………………………………………………………………… 126 MỞ ĐẦU Phương pháp phần tử hữu hạn đã được ứng dụng vào cơ học từ rất lâu, nó thường được sử dụng để khảo sát các mô hình có những đặc điểm cơ học phức tạp. Do đặc điểm quản lý thông tin về nút (lực nút, chuyển vị nút) nên khối lượng tính toán sơ cấp rất lớn. Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ thực sự có ý nghĩa khi được ứng dụng máy tính. Ngày nay với sự phát triển của kỹ thuật gia công và các phần mền hỗ trợ thiết kế. Trong thực tế xuất hiện rất nhiều các loại chi tiết không thuộc kiểu chi tiết truyền thống (Trục, dầm, thanh) điều này điều này đòi hỏi phải có công cụ tính mới. Bên cạnh đó các hệ vật phức tạp khi tính toán sức bền được ứng dụng Phương pháp phần tử hữu hạn cho hiệu quả kinh tế và kỹ thuật tốt nhất. Xuất phát từ tình hình nói trên, việc hệ thống hoá các kiểu phần tử trong bài toán cơ học và xây dựng các mô hình tính cho một số chi tiết phức tạp trong chế tạo máy đang là một vấn đề cấp bách. Vì vậy đòi hỏi phải đầu tư nghiên cứu sâu.
7 Tuy nhiên, mặc dù có cố gắng nhiều trong việc xây dựng ý tưởng mô hình nhưng nội dung của luận văn còn nhiều thiếu sót và còn nhiều những điểm mới cần được đề xuất và trao đổi, thảo luận thêm. Tác giả rất mong và trân trọng mọi sự đóng góp, phê bình của các thầy giáo và đồng nghiệp đối với luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Đào tạo sau Đại học Trường Đại học KTCN, Ban Giám hiệu và Ban Chủ nhiệm Khoa Kỹ thuật Công nghiệp Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã hết sức tạo điều khiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo trong Hội đồng bảo vệ Đề cương luận văn Thạc sỹ đã góp ý, chỉnh sửa và phê duyệt đề cương để luận văn của em được hoàn thành với nội dung tốt nhất. Đặc biệt, em xin trân trọng cảm ơn PGS TS Trần Vệ Quốc, Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Nghề kỹ thuật Thiết bị Y tế - Hà Nội đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình xây dựng ý tưởng mô hình và hoàn thành nội dung luận văn. Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các cộng tác viên đã giúp đỡ, thảo luận và đề xuất những giải pháp tốt nhất trong quá trình viết luận văn và xây dựng mô hình thiết bị thử nghiệm. Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, cổ vũ về tinh thần và vật chất cho bản thân trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. HỌC VIÊN Nguyễn Thế Đoàn
8 CHƯƠNG I : CÁC DẠNG KẾT CẤU HIỆN ĐẠI CỦA THÂN MÁY TIỆN 1.1. Thân máy tiện thường.
9 1.2. Thân máy tiện CNC.
10
11
12
13 CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1. Các phương pháp tính sức bền trong cơ học. 2.1.1. Phương pháp nhân biểu đồ Veresaghin kết hợp với phương trình vi phân đường đàn hồi. * Thành lập công thức: Dựa theo công thức tích phân Mor, ta có nhận xét như sau: - Mô men uốn do tải trọng gây ra Mx là hàm số bất kì f(z). -Mô men uốn Mk do lực đơn vị gây ra là hàm số bậc nhất ta có thể phân tích là: Mk =F(z) =az+b (2.1) Giả sử EJ =const, ta tính tích phân: l l l l l I= M x .M k .dz f z .F z dz f z az b dz a f z .z.dz b f z .dz (2.2) 0 0 0 0 0 Ta nhận thấy: f(z).dz là diện tích của hình gạch gạch, cho nên: l f z .z.dz Sf z .z c (mô men tĩnh của hình phẳng giới hạn bởi đường f(z) với 0 trục f(z)) l f z .z.dz là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đường f(z) 0 Thay vào ta được: I a .z c b. a.z c b . c (2.3) C f(z) * Phép nhân biểu đồ: - Vẽ biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây nên, ta được 0 z biểu đồ mô men được ký z dz l hiệu là MP. Giả sử ta tính zc F(z) được diện tích của biểu đồ MP là và trọng tâm C của c biểu đồ. Hình 2.1 z - Tại điểm cần tính chuyển vị ta đặt 1 lực đơn vị (Pk=1) và vẽ biểu đồ mô men do lực đơn vị đó gây nên. Ta
14 được biểu đồ Mk gọi là biểu đồ đơn vị. Gióng từ trọng tâm C của biểu đồ MP xuống biểu đồ Mk ta được tung độ tương ứng là . Khi đó chuyển vị của điểm K được xác định như sau: 1 fk= (Mp).(Mk) = . (2.4) EJ Ta có quy tắc nhân biểu đồ sau: Lấy diện tích của biểu đồ Mp nhân với tung độ tương ứng với trọng tâm của biểu đồ Mp lấy trên biểu đồ Mk Phương pháp sử dụng các phương trình vi phân: phức tạp, độ chính xác tương đối cao nhưng việc xác định kết quả của bài toán tại các điểm khác nhau trên chi tiết là rất khó khăn và phức tạp. 2.1.2. Phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method) là một phương pháp số, dùng để giải các bài toán cơ học. Tư tưởng của phương pháp này là chia phần tử ra thành một tập hợp hữu hạn các miền con liền nhau nhưng không liên kết hoàn toàn với nhau trên khắp từng mặt biên của chúng. Trường chuyển vị ứng, ứng suất, biến dạng được xác định trong từng miền con. Mỗi miền con được gọi là một phần tử hữu hạn. Dạng phần tử có thể là thanh, thanh dầm, tấm, vỏ, khối. Các phần tử được kết nối với nhau thông qua các nút, nút được đánh số theo thứ tự từ 1 đến n (n số nút của phần tử) Là phương pháp cho độ chính xác cao và kiểm tra kết quả rất thuận tiện. Ngày nay duới sự trợ giúp của máy vi tính nên phương pháp này đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ. Phương pháp này xây dựng công thức dựa trên cơ sở hai phương pháp: phương pháp biến phân (phương pháp Rayleigh–Ritz) và phương pháp weighted residuals (phương pháp Galerkin). Các phương trình cơ bản đều được suy ra từ các phương trình cân bằng tĩnh học bởi các giá trị đặc trưng của điều kiện biên. Quá trình xây dựng các phương trình cân bằng của phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phương pháp Galerkin: L u ( x) f ( x) a x b (2.5) u (a ) u a u (b) ub
15 Trước hết ta chia đoạn [a,b] thành n miền con (hình 2.1). Các miền con này được gọi là các phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Hình 2.2. Quá trình phân chia các miền và nội suy các hàm quan hệ. Giả thiết rằng, ta có thể tính toán xấp xỉ u của chuyển vị u thông qua phương trình các miền nhỏ có dạng là các đoạn thẳng trong miền con. (2.6) Trong đó: ui – giá trị u của phần tử thứ i. Ni(x) – là hàm quan hệ (hàm hình dạng) của các nút thứ i. (2.7) Trong đó: e - số phần tử (e = 1, 2, ... n). xi - toạ độ của điểm nút thứ i (i = 1, ..., e-1, e, ..., n, n+1). N iee - giá trị của hàm quan hệ tại nút ie (ie = 1e, 2e). ξ – là gia số của 1 điểm tuỳ ý trên phần tử đang xét, ξ = x – x e = x – x1e (h(e) ξ 0). h(e) - chiều dài của phần tử đang xét, h(e) = x1e - xe = x2e – x1e Các hàm quan hệ thường được sử dụng là hàm bậc nhất hoặc hàm bậc hai. Nói chung, hàm bậc hai cho lời giải tốt hơn hàm bậc nhất.
16 Phương pháp Galerkin đưa ra cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn thông qua hàm trọng số wi(x) bằng với hàm quan hệ Ni(x). wi(x) = Ni(x) (i = 1, 2, ..., n + 1) (2.8) Phương trình Galerkin: (2.9) Trong FEM, toàn bộ các phương trình đại số có các ẩn số là u(x) tại nút u i và các vi phân du/dx, (dx/di)i được suy ra từ phương trình tích phân trên thông qua các điều kiện biên tại các nút. Dưới sự trợ giúp của máy tính thì việc giải các phương trình trên tại tất cả các nút để từ đó đưa ra giá trị của u i và dx/di là rất nhanh và dễ dàng. *. Biến dạng phẳng (hai chiều) trong FEM Nhìn chung, giá trị biến dạng được xác định nhờ giải các phương trình vi phân riêng thông qua phương trình cân bằng quan hệ ứng suất - biến dạng hoặc các phương trình liên kết (quan hệ biến dạng - chuyển vị) và các phương trình quan hệ thông qua các điều kiện biên. Các lời giải chính xác chỉ có thể nhận được trong các bài toán kết cấu tĩnh và nói chung không thể nhận được lời giải trong các kết cấu kín. Để khắc phục các khó khăn này, phương pháp FEM đã đưa ra cách giải bằng phương pháp số hoá rất mạnh cho lời giải gần đúng nhận được với biến dạng nhận được rất đa dạng. Phương pháp FEM giả thiết phân tích chi tiết thành các miền có hình dạng và kích thước khác nhau (phần tử), các phương trình gần đúng khác nhau tạo lập bởi các phương trình đại số và số hoá quá trình tính toán các biến dạng. Các phần tử có dạng: đoạn thẳng (có một kích thước); tam giác và chữ nhật (hai kích thước); khối tứ diện, khối hộp và khối lăng trụ (có 3 kích thước). *. Phương pháp FEM trong phân tích biến dạng phẳng Bước 1: Phân tích đối tượng thành các phần tử. Bước 2: Xác định kiểu phần tử hoặc các hàm quan hệ, xác định gần đúng hàm quan hệ chuyển vị và biến dạng trong các phần tử. Bước 3: Xác định ma trận độ cứng, xây dựng mối quan hệ giữa lực và chuyển vị trong mỗi phẩn tử.
17 Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng chung, xác định quan hệ giữa chuyển vị và lực trên toàn vật thể. Bước 5: Đưa các điều kiện biên (tải trọng, chuyển vị) vào ma trận độ cứng chung. Bước 6: Giải phương trình quan hệ (bước 5). Bước 7: Xác định giá trị ứng suất và biến dạng *. Khảo sát mối quan hệ của ứng suất, biến dạng và chuyển vị trong biến dạng phẳng a. Phương trình cân bằng Xét sự cân bằng của của một phân tố diện tích chữ nhật trong một vật thể trên hệ toạ độ vuông góc với biến dạng hình 2.1. Phân tố chịu tác dụng của hai lực Fx và Fy lần lượt theo hai phương x và y, phương trình cân bằng biến dạng của phân tố (2.9): (2.10) Hình 2.3.Trạng thái ứng suất và biến dạng của phân tố diện tích phẳng trong hệ xoy. Trong đó: + x, y - các ứng suất pháp. + xy = yx - các thành phần ứng suất tiếp. b. Quan hệ biến dạng và chuyển vị
18 u x x v (2.11) y y v u xy x y Trong đó: εx - biến dạng pháp tuyến theo phương x. εy - biến dạng pháp tuyến theo phương y. γxy - biến dạng góc trên mặt phẳng x-y. u, v - chuyển vị theo hai phương của trục x và y. c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng Theo định luật hook ta xây dựng được công thức quan hệ như sau: (2.12) Hoặc (2.13) E - mô đun đàn hồi dọc. - hệ số Poisson. G - mô đun đàn hồi trượt: E 2G 1
19 V ev - biến dạng thể tích, ev và ev = εx + εy + εz. V - Ứng suất phẳng: z = 0; yz = zy = 0; xz = zx = 0. (2.14) (2.15) - Biến dạng phẳng: εz = γyz = γzx = 0 (2.16) (2.17) Đặt: Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng Thay vào trên ta có:
20 (2.18) (2.19) Trong đó: d. Điều kiện biên Khó khăn chủ yếu gặp phải khi giải các phương trình vi phân là không xác định được các hằng số trong phương trình. Để khử bỏ các khó khăn trên, ta phải đặt các điều kiện giới hạn của ứng suất hoặc chuyển vị trên biên của bề mặt vật bị biến dạng. Các điều kiện đó được gọi là điều kiện biên. Các kiểu điều kiện biên: - Điều kiện biên là các tải trọng đặt trên bề mặt. - Điều kiện biên là các chuyển vị. Xét một phần của một vật bị biến dạng, trong đó ứng suất đã được xác định bởi Sσ và bề mặt chính, Chuyển vị được xác định bởi Su. Tổng hợp bề mặt của vật bị biến dạng được xác định bởi S = Sσ + Su. Chú ý: ta không thể đặt đồng thời cả hai điều kiện của ứng suất và chuyển vị trên một phần bề mặt của vật bị biến dạng. - Điều kiện biên tải trọng do Sσ xác định bởi phương trình: (2.20) * * Trong đó: t x , t y - là hình chiếu của lực t* trên hai trục x và y. Phương trình điều kiện cân bằng của bề mặt:
21 (2.21) Trong đó: α – là góc giữa véc tơ đơn vị pháp (n) đặt tại một điểm của một phần tử nhỏ trên phần bề mặt Sσ và trục x. Tại các bề mặt tự do không chịu lực tác * * dụng thì t x = 0, t y = 0. Hình 2.4. Quan hệ giữa các phần tử theo hai phương. - Điều kiện biên về chuyển vị Su xác định bởi phương trình: (2.22) Trong đó: u , v - là hình chiếu chuyển vị u của Su lên hai phương x và y. Điều kiện biên được sử dụng nhiều nhất là các chuyển vị, tại ngàm và gối thì chuyển vị: u = 0 và (hoặc) v=0 (hình 2.4). e. Công thức biến phân trong biến dạng Nguyên lý di chuyển khả dĩ - Nguyên lý: nếu một vật bị biến dạng và cân bằng thì công khả dĩ của ngoài lực sẽ bằng năng lượng đàn hồi khả dĩ. (2.23) W= U Trong đó: W - công khả dĩ của ngoại lực. U - năng lượng đàn hồi khả dĩ trên một chuyển vị khả dĩ. - Xét một vật thể đàn hồi bị liên kết và chịu lực tác dụng: + Phần bị liên kết Ak (điều kiện biên): các chuyển vị đã biết u.
22 + Phần chịu lực As: các lực bề mặt (ứng suất, lực) đã biết P, bên trong vật (trọng lực, lực hút) fm đã biết nhưng chuyển vị u chưa biết. + Nếu một vật di chuyển khả dĩ u làm nó di chuyển và biến dạng nhỏ. Nếu chuyển vị này có u = 0 trên Ak còn trên As và bên trong vật thì u # 0 thì: W T f mA udV p T udA (2.24) (2.19) V As (2.25) T U dV V T dV T f mA udV p T udA (2.26) V V As Nguyên lý trong biến dạng phẳng Nguyên lý di chuyển khả dĩ sử dụng trong việc nghiên cứu biến dạng phẳng thông qua biểu thức: (2.27) trong đó: D - tất cả các miền của vật bị biến dạng phẳng Sσ- tất cả các phần của bề mặt vật của vật bị biến dạng (S = Sσ U Su). Fx và Fy – đã được xác định ở (2.1) t – là chiều dày phần tử. Từ phương trình trên ta có thể xác định được toàn bộ các biến của bài toán biến dạng phẳng của vật. f. Các công thức cơ bản của FEM với biến dạng phẳng 1. Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vi [B] Xét vật biến dạng có phần tử ở dạng tam giác (hình vẽ) để từ đó suy ra biểu thức quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị trong biến dạng phẳng: