Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao" được hoàn thành với mục tiêu nhằm nghiên cứu bài toán tính toán dao động và ổn định của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Quasi-3D. Nghiên cứu này phát triển nghiên cứu ứng xử của dầm composite nhiều lớp sợi bằng lý thuyết Quasi-3D, áp dụng tính toán bài toán dầm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HOÀNG THIỆN TÂM PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP– 60580208 S K C0 0 4 7 1 0 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HOÀNG THIỆN TÂM PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP– 60580208 Hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN TRUNG KIÊN Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2015
LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2015 Hoàng Thiện Tâm ii
LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Trung Kiên đã tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn và cung cấp các thông tin cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng của trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh. Xin cảm ơn tất cả ngƣời thân trong gia đình đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn. Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự đóng góp của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2015 Hoàng Thiện Tâm iii
TÓM TẮT Luận văn này đề xuất một phƣơng pháp phân tích tần số dao động và lực ổn định của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Phƣơng trình chuyển động đƣợc rút ra từ phƣơng trình Lagrange. Lý thuyết sử dụng là lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Quasi-3D với nhiều điều kiện biên khác nhau. Kết quả số của luận văn về phân tích tần số dao động và lực ổn định tới hạn đƣợc so sánh với kết quả của các tác giả nghiên cứu khác thu đƣợc bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác, bên cạnh đó là phƣơng pháp giải bằng giải tích hoặc mô hình phần tử hữu hạn. Phân tích hiệu ứng giữa sự thay đổi góc xoay của hƣớng sợi, tỉ lệ chiều dài và chiều sâu của tiết diện dầm (L/h), tỉ lệ module đàn hồi đối với lực ổn định tới hạn. . iv
MỤC LỤC Trang Tựa Trang QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LÝ LỊCH CÁ NHÂN ............................................................................................ i LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ii LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... iii TÓM TẮT ........................................................................................................... iv MỤC LỤC ............................................................................................................ v DANH SÁCH CÁC HÌNH ................................................................................vii DANH SÁCH CÁC BẢNG ............................................................................. viii DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU ............................................................................ x CHƢƠNG 1:TỔNG QUAN ................................................................................. 1 1.1. Tổng quan ............................................................................................1 1.2. Vật liệu composite ...............................................................................2 1.3. Tổng quan tình hình nghiên cứu..........................................................6 1.4. Mục tiêu của đề tài. .............................................................................7 1.5. Phƣơng pháp nghiên cứu. ....................................................................7 CHƢƠNG 2: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO .......... 8 2.1. Nguyên tắc chuyển trục tọa độ. ...........................................................8 2.2. Thuộc tính vật liệu. ............................................................................10 2.2.1. Ma trận độ cứng.................................................................................10 2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. .......................................................12 2.3.1. Chuyển vị và biến dạng .....................................................................12 2.3.2. Phƣơng trình ứng xử. .........................................................................13 2.3.3. Động học ...........................................................................................13 2.3.4. Phƣơng trình Lagrange. .....................................................................14 v
2.3.5. Lời giải giải tích. ...............................................................................15 2.3.6. Áp dụng điều kiện biên. ....................................................................17 CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT QUASI-3D ....................................... 19 3.1. Lý thuyết Quasi -3D .............................................................................19 3.2. Phƣơng trình ứng xử. ............................................................................19 3.3. Phƣơng trình động học..........................................................................19 3.4. Phƣơng trình biến phân. ........................................................................20 3.5. Lời giải giải tích. ...................................................................................24 Chƣơng 4:VÍ DỤ SỐ .......................................................................................... 26 4.1. Tổng quát. .............................................................................................26 4.2. Bài toán 1: Tính toán tần số dao động của dầm composite. .................27 4.3. Bài toán 2: Tính toán lực ổn định của dầm composite tiết diện chữ nhật bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao sử dụng nhân tử Lagrange. .................28 4.4. Bài toán 3: tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite với hƣớng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau................................29 4.5. Bài toán 4: Lực ổn định tới hạn với tỉ số Module đàn hồi thay đổi. .....33 4.6. Bài toán 5: Lực ổn định tới hạn với tỉ số L/h thay đổi. .........................37 4.7. Vật liệu và công thức trực giao. ............................................................38 Chƣơng 5: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ............................................................. 40 5.1. Kết luận .................................................................................................40 5.2. Kiến Nghị ..............................................................................................40 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 41 PHỤ LỤC ........................................................................................................... 44 vi
DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực hàng không vũ trụ ...... 1 Hình 1.2: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực vận tải biển ................ 1 Hình 1.3: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực năng lƣợng ................. 2 Hình 1.4: Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng .................................... 2 Hình 1.5. Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi ............................................. 3 Hình 1.6. Vật liệu composite từ nhiều phân tử ..................................................... 3 Hình 1.7: Vật liệu Sandwich Panel ...................................................................... 3 Hình 1.8: Dầm composite cấu tạo từ các lớp sợi. ................................................. 4 Hình 1.9. Ứng xử của vật liệu .............................................................................. 4 Hình 1.10. Trục toạ độ tổng thể và địa phƣơng của tấm composite .................... 5 Hình 2.1 Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phƣơng .............. 8 Hình 2.2. Thuộc tính vật liệu trực hƣớng ............................................................ 10 Hình 2.3. Mô hình chƣa biến dạng và biến dạng của tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và bậc cao ................................................................................ 12 Hình 2.4 Mô hình chƣa biến dạng và biến dạng của tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và bậc cao ................................................................................ 13 Hình 2.5 Kích thƣớc hình học của một dầm composite laminate ....................... 13 Hình 3.1. Kích thƣớc hình học của một dầm composite laminate ...................... 20 Hình 4.1 Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi đối xứng và hƣớng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác nhau L/h = 15 .................................... 31 Hình 4.2 Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi đối xứng và hƣớng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác nhau L/h = 5 ...................................... 31 Hình 4.3 Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi đối xứng và hƣớng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác nhau L/h = 10 .................................... 32 Hình 4.4 Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi đối xứng và hƣớng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác nhau L/h = 20 .................................... 32 vii
Hình 4.5 Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi đối xứng và hƣớng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác nhau L/h = 50 .................................... 33 Hình 4.6 Đồ thị hiệu ứng của vật liệu không đẳng hƣớng lên lực ổn định tới hạn của vật liệu có góc sợi đối xứng và không đối xứng L/h=5 .......................... 35 Hình 4.7 Đồ thị hiệu ứng của vật liệu không đẳng hƣớng lên lực ổn định tới hạn của vật liệu có góc sợi đối xứng và không đối xứng L/h=10 ........................ 35 Hình 4.8 Đồ thị hiệu ứng của vật liệu không đẳng hƣớng lên lực ổn định tới hạn của vật liệu có góc sợi đối xứng và không đối xứng L/h=50 ........................ 36 Hình 4.9 Đồ thị hiệu ứng của sự thay đổi L/h lên lực ổn định tới hạn của vật liệu ........................................................................................................................ 37 viii
DANH SÁCH CÁC BẢNG BẢNG TRANG Bảng 2.1: Bảng điều kiện biên của dầm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.. 17 Bảng 3.1: Bảng điều kiện biên của dầm theo lý thuyết Quasi-3D .................... 24 Bảng 4.1: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhip - chiều cao tiết diện lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ bản của một dầm composite lớp sợi cross- ply đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn. ........................... 27 Bảng 4.2: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhip - chiều cao tiết diện lên lực ổn định tới hạn không thứ nguyên cơ bản của một dầm composite lớp sợi cross- ply đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn ............................. 28 Bảng 4.3:Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp sợi đối xứng, góc sợi thay đổi. ........................................................................... 30 Bảng 4.4:Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite với điều kiện biên là tựa đơn(vật liệu II và III với E1/E2=40) .................................. 34 ix
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU εx, εy, εz Biến dạng dài theo các phƣơng x, y, z u, v, w Chuyển vị theo phƣơng x, y, z θx, θz Chuyển vị xoay quanh trục x, y θ,x, θ,z Đạo hàm chuyển vị theo x,y γxy, γxz, γyz Biến dạng cắt trong mặt phẳng xy, xz, yz x, z Ứng suất pháp tuyến theo trục x, z  b , s xx xx Độ cong của dầm. U,V ,K Năng lƣợng biến dạng, công thực hiện và động năng. Π Tổng năng lƣợng của toàn hệ.  xy ,  xz ,  yz Ứng suất cắt trên các mặt có vector pháp tuyến là x, y, z ν Hệ số poisson của vật liệu E Mô đun đàn hồi h Bề dày dầm L Chiều dài dầm Mx , My Môment uốn trên mỗi đơn vị chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng Oxy Mxy Môment xoắn trên mỗi đơn vị chiều dài trong mặt phẳng Oxz Ncr Lực ổn định tới hạn. N cr Lực ổn định tới hạn đã đƣợc chuẩn hoá. 𝜔 Tần số dao động tự nhiên  Tần số dao động tự nhiên Cij Độ cứng của vật liệu trong hệ trục tổng thể Cij Độ cứng của vật liệu trong hệ trục toạ độ địa phƣơng. Qij Độ cứng giảm của vật liệu trong hệ trục tổng thể Qij Độ cứng của vật liệu trong hệ trục toạ độ địa phƣơng. x
T , T Ma trận chuyển trục từ hệ toạ độ địa phƣơng sang tổng thể.  ( x),  ( x) Hàm dạng  Nhân tử Lagrange x
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1. Tổng quan Các cấu kiện kết cấu làm bằng vật liệu composite ngày càng đƣợc ứng dụng rộng rãi ở những lĩnh vực khác nhau vì sự vƣợt bậc ở cƣờng độ, độ cứng và trọng lƣợng nhẹ. Điển hình về ứng dụng của vật liệu composite, ta có thể thấy đƣợc qua các ứng dụng của vật liệu này trong cuộc sống nhƣ hàng không, vận tải biển, năng lƣợng... Hình 1.1 Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực hàng không vũ trụ [2] Hình 1.2 Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực vận tải biển.[Internet] 1
Hình 1.3 Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực năng lƣợng. Bên cạnh đó, riêng đối với lĩnh vực kết cấu xây dựng, vật liệu composite đang ngày càng đƣợc ứng dụng rộng rãi và phổ biến nhằm đáp ứng cho những kết cấu đòi hỏi những tính năng ƣu việt của vật liệu composite. Hình 1.4. Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng 1.2. Vật liệu composite a. Định nghĩa: Vật liệu composite: là vật liệu hợp thành từ hai hoặc nhiều loại vật liệu với nhau để tạo thành vật liệu có thuộc tính lý tƣởng mà không thể có từ những vật liệu thƣờng. Một số thuộc tính có thể phát triển và cải tiến thành những cấu kiện tăng cƣờng độ cứng, cƣờng độ, giảm trọng lƣợng, chống xoắn, thuộc tính nhiệt, tuổi thọ tăng và chống ăn mofn.  Phân loại composite: 2
o Phân loại theo cấu tạo: - Composite cấu tạo từ các lớp sợi - Composite cấu tạo từ nhiều phân tử. Hình 1.5: Vật liệu cấu tạo từ các lớp sợi Hình 1.6. Vật liệu composite từ nhiều phân tử o Phân loại theo tự nhiên hình thành: - Composite hữu cơ - Composite vô cơ - Composite khoáng vật b. Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi.  Ƣu điểm của vật liệu:  Gia tăng thuộc tính cơ học của vật liệu: độ cứng, cƣờng độ, .v.v.  Gia tăng thuộc tính vật lý của vật liệu: khả năng chịu nhiệt, chống lửa, chống ăn mòn, dẫn diện...  Tăng cƣờng cho các thuộc tính gốc c. Vật liệu composite hƣớng sợi dùng trong lĩnh vực xây dựng. 3
Hình 1.7: Vật liệu Sandwich [2] Hình 1.8. Kết cấu dạng phân lớp.[2] 4
Hình 1.9. Sơ đồ ứng xử của kết cấu composite phân lớp [2] Vật liệu cấu tạo composite rõ ràng có ƣu điểm vƣợt bậc về thuộc tính vật liệu và khả năng làm việc kết cấu so với vật liệu thông thƣờng. Ngày nay, với nhu cầu sử dụng các kết cấu phức tạp và đòi hỏi tính kinh tế, nghiên cứu tiềm năng về vật liệu composite đã và đang dẫn đến sự ra đời của nhiều lý thuyết nghiên cứu. Từ nhu cầu nghiên cứu tiềm năng của vật liệu composite, lịch sử nghiên cứu đã phát triển ra ba dạng lý thuyết: Lý thuyết dầm cổ điển (CBT) đƣợc biết đến nhƣ là dầm Euler-Bernoulli là lý thuyết đơn giản nhất và chỉ có thể áp dụng đối với dầm mỏng. Nhƣng thực tế, các cấu kiện dầm cũng tồn tại đồng thời dầm mỏng và dầm dày. Đối với dầm dày, vấn đề nghiên cứu lực ổn định và tần số dao động tự nhiên là rất quan trọng bởi vì lý thuyết CBT đã bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt ngang. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FOBT) đƣợc biết đến nhƣ là dầm Timoshenko đề xuất vƣợt qua giới hạn của dầm CBT vì lý thuyết có tính đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang. Kể từ khi FOBT có sự thiếu sót về ứng suất cắt bằng không trên bề mặt trên và đáy của dầm, một hế số chống cắt cần thiết đƣợc đƣa vào 5
tính toán. Nhƣng nhìn chung, vẫn có sự không nhất quán về lý thuyết tính toán giữa lý thuyết CBT và lý thuyết FOBT. Để loại bỏ tính không nhất quán giữa CBT và FOBT, lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao (HOBT) đƣợc phát triển để tránh sử dụng hệ số chống cắt và có sự dự đoán tốt hơn về đáp ứng của dầm laminate. Lý thuyết HOBT có thể phát triển dựa vào giả thuyết của biến bậc cao của chuyển vị trong mặt phẳng hoặc cả chuyển vị trong mặt phẳng và mặt phẳng ngang trong suốt chiều dày của dầm. Nhiều nghiên cứu số học đã đƣợc sử dụng để giải bài toán động học và phân tích ổn định của dầm composite HOBTs. Lý thuyết HOBTs đƣợc nghiên cứu tính toán đến chuyển vị trong mặt phẳng tiết diện đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm bậc cao đối với chuyển vị theo phƣơng tiếp tuyến đối với mặt phẳng giữa của tiết diện dầm nhƣng bỏ qua chuyển vị theo phƣơng pháp tuyến đối với mặt phẳng giữa của tiết diện dầm. Do đó lý thuyết Quasi-3D đƣợc ra đời để giải quyết vấn đề này. 1.3. Tổng quan tình hình nghiên cứu Một số các nhà nghiên cứu đã nghiên cứu dao động tự do thuộc tính của dầm composite bằng cách sử dụng biện pháp phần tử hữu hạn [24]. Khdeir và Reddy [20] phát triển giải pháp cho dao động tự do và ổn định của dầm composite cross- ply với điều kiện biên bất kỳ. Giải pháp phân tích dao động và ổn định của dầm composite đánh giá chuyển vị khác nhau của Zhen và Wanji [25]. Aydogdu [22,23] tiến hành nghiên cứu dao động và ổn định của dầm crossply và angle-ply với những điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng phƣơng pháp Ritz. Vo [4] nghiên cứu dao động và sự ổn định của dầm composite bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt điều chỉnh. Bên cạnh đó Vo[5] phát triển nghiên cứu dao động và ổn định của dầm sanwich panel bằng lý thuyết Quasi – 3D. Neves[9] nghiên cứu bài toán tĩnh và dao động tự do của tấm nhiều lớp bằng lý thuyết biến dạng cắt Quasi – 3D. 6
Phƣơng pháp giải bài toán xấp xỉ Ritz cũng đã đƣợc tác giả Fiorenzo A. Fazzolari và Erasmo Carrera [26] nghiên cứu để giải bài toán phân tích dao động tự do của tấm FGM và tấm sandwich với nhân FGM. Phân tích tất cả tình hình nghiên cứu trên cho thấy, vấn đề nghiên cứu dao động của dầm composite nhiều lớp sợi bằng lý thuyết Quasi-3D kết hợp nhân tử Lagrange vẫn chƣa đƣợc các tác giả trong và ngoài nƣớc nghiên cứu. 1.4. Mục tiêu của đề tài. Trong chuyên đề này, học viên thực hiện nghiên bài toán tính toán dao động và ổn định của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Quasi-3D. Nghiên cứu này phát triển nghiên cứu ứng xử của dầm composite nhiều lớp sợi bằng lý thuyết Quasi-3D, áp dụng tính toán bài toán dầm tốt hơn. Việc nghiên cứu ứng xử của dầm composite là một vấn đề phức tạp. Vì vậy giới hạn nghiên cứu của đề tài này phân tích tần số dao động tự nhiên và lực ổn định tới hạn. 1.5. Phƣơng pháp nghiên cứu. Giới hạn trong luận văn này, các nghiên cứu và kết quả đạt đƣợc đều đƣợc áp dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau: - Sử dụng lý thuyết dầm composite phân lớp biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Quasi – 3D. - Sử dụng phƣơng trình Lagrange cho các bài toán đặc trƣng. - Sử dụng lời giải dạng Ritz, trong đó trƣờng chuyền vị đƣợc xấp xỉ dƣới dạng đa thức bậc cao. 7
CHƢƠNG 2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO 2.1. Nguyên tắc chuyển trục tọa độ. Đối với bài toán dầm composite cấu tạo bởi nhiều lớp sợi, và các hƣớng sợi với góc xoay khác nhau, vấn đề chuyển trục tọa độ là cần thiết. Hình 2.1 minh họa điển hình tọa độ địa phƣơng và tọa độ tổng thể. Hệ trục tọa độ địa phƣơng xoay một góc θ đối với hệ trục tọa độ tổng thể. Hình 2.1: Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phƣơng Hai hệ trục toạ độ: tổng thể và địa phƣơng thể hiện ở Hình 2.2 đƣợc sử dụng để mô tả chính xác hoàn toàn thuộc tính của vật liệu composite.  Hệ trục toạ độ 1-2-3 là hệ trục toạ độ địa phƣơng, trong đó trục 1 là hƣớng sợi, trục 2 là phƣơng ngang và trục 3 là phƣơng vuông góc với mặt phẳng của sợi.  Hệ trục toạ độ x-y-z là hệ trục toạ độ tổng thể và đƣợc đặt ở mặt trung bình của tấm. 8