Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại các kết quả nghiên cứu của Pinčuk về sự liên tục giải tích của ánh xạ chỉnh hình và sự tương đương song chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực trong C^n ( n>=1) dẫn tới sự liên hệ với sự song chỉnh hình của các miền giả lồi mạnh. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hạnh i
M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan ......................................................................................................... i Mục lục ................................................................................................................ ii LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 4 1.1. Ánh xạ chỉnh hình.......................................................................................... 4 1.2. Đa tạp phức .................................................................................................... 5 1.3. Hàm đa điều hòa dưới.................................................................................. 10 1.4. Miền giả lồi . ................................................................................................ 11 1.5. Miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình...................................................... 12 1.6. Thác triển giải tích ....................................................................................... 16 Chương 2. ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC ..................................................................................................... 19 2.1. Sự thác triển của dây chuyền các ánh xạ chỉnh hình. .................................. 19 2.1.1. Một số khái niệm liên quan. ..................................................................... 19 2.1.2. Sự tham số hóa của một dây chuyền. ....................................................... 20 2.2. Sự thác triển liên tục của trên . ............................................................. 25 2.3. Sự liên tục giải tích của . ............................................................................ 31 2.4. Một vài ứng dụng......................................................................................... 40 KẾT UẬN........................................................................................................ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 43 ii
LỜI MỞ ĐẦU Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích phức. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề này và trong khoảng 3 thập kỷ qua đã có nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng. Cho đến nay việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua các tập mỏng (tức là các tập có độ đo Lebegue bằng 0). Thác triển kiểu này được gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. Một trong những hướng nghiên cứu của thác triển chỉnh hình kiểu Riemann là thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt. Thác triển giải tích của một mầm của ánh xạ giữa các siêu mặt thực đã thu hút được nhiều sự chú ý của các nhà toán và Poincaé là ngư i khởi xướng trong trư ng hợp siêu mặt nguồn và siêu mặt đích có cùng số chiều. Vào năm 1974, Fefferman [6] đã chứng tỏ rằng nếu là các miền giả lồi mạnh có các biên lớp thì một ánh xạ song chỉnh hình có thể thác triển thành một đồng cấu vi phân giữa các bao đóng ̅ và ̅ . Với kết quả định lý này tác giả Fefferman đã chứng minh trong [12] rằng là liên tục giải tích trong một lân cận của bao đóng ̅ nếu các biên và là giải tích thực. Do vậy, vấn đề về sự tương đương song chỉnh hình của các miền dẫn đến sự tương đương song chỉnh hình của các biên của chúng. Trong trư ng hợp các biên và là các siêu mặt giải tích thực giả lồi mạnh trong , bài toán về sự tương đương song chỉnh hình địa phương của các siêu mặt này đã được nghiên cứu trong các công trình nghiên cứu của Poincaré [10] và Cartan [8]. Chern và Moser [11] đã gần như hoàn chỉnh bài toán này. Pinčuk [12], đã 1
chứng minh sự tương đương song chỉnh hình của các đoạn nhỏ tùy ý của và kéo theo sự tương đương toàn cục của và và do đó kéo theo sự tương đương của các miền . Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại các kết quả nghiên cứu của Pinčuk [12] về sự liên tục giải tích của ánh xạ chỉnh hình và sự tương đương song chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực trong ( ) dẫn tới sự liên hệ với sự song chỉnh hình của các miền giả lồi mạnh. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về ánh xạ chỉnh hình, hàm chỉnh hình, đa tạp phức, tập giải tích, hàm đa điều hòa dưới, nguyên lí thác triển chỉnh hình. Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực của Pinčuk [12]. Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em. Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào Tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22B (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học. Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. 2
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hạnh 3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình. 1.1.1. Hàm chỉnh hình. Định nghĩa 1.1.1: Giả sử M là tập mở trong và là một hàm số, hàm được gọi là khả vi phức tại nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính sao cho | ( ) ( ) ( )| | | | | ⁄ trong đó ( ) và | | (∑ | | ) Hàm được gọi là chỉnh hình tại nếu khả vi phức trong một lân cận nào đó của và được gọi là chỉnh hình trên nếu chỉnh hình tại mọi điểm thuộc Ví dụ: Giả sử tập lập nên hai hình cầu đóng ̅ {| ( )| } và ̅ {| ( )| } được nối với nhau bởi đoạn { | | }. Xác định trên hàm ̅ ( ) { ̅ Rõ ràng nó liên tục trên , và với mỗi điểm có thể xây dựng lân cận và thác triển được vào đó như hàm chỉnh hình. Thật vậy, với các điểm của ̅ kể cả giao điểm . / của ̅ và , có thể lấy các lân cận như vậy là các hình cầu không giao với ̅ và thác triển vào đó bằng cách đặt ( ) . Với các điểm của ̅ , làm tương tự, chỉ khác là đặt ( ) . Cuối cùng, đối với các điểm trong của , ta lấy các hình cầu không chứa các đầu mút của đoạn đó, và đặt trong đó . 4
1.1.2. Ánh xạ chỉnh hình. Định nghĩa 1.1.2: Một ánh xạ có thể viết dưới dạng ( ) trong đó là các hàm tọa độ. Khi đó được gọi là chỉnh hình trên nếu chỉnh hình trên với mọi Định nghĩa 1.1.3: Ánh xạ ( ) được gọi là song chỉnh hình nếu là song ánh, chỉnh hình và cũng là ánh xạ chỉnh hình. Định lí 1.1.4: Cho là các miền và ánh xạ ( ) Khi đó là ánh xạ chỉnh hình nếu và chỉ nếu hàm chỉnh hình trong , là một hàm chỉnh hình trong . 1.1.3. Siêu mặt thực trong Cho M là tập con trong . M được gọi là siêu mặt thực nếu với mọi tồn tại một lân cận của trong và hàm khả vi liên tục nhận giá trị thực trong sao cho * ( ̅) + với ( ) Hàm như trên được gọi là hàm xác định địa phương. Nếu là hàm giải tích thực trơn thì được gọi là siêu mặt giải tích thực trơn. 1.2. Đa tạp phức. 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1.2.1: Cho M là không gian tôpô Hausdorff.  Cặp ( ) được gọi là một bản đồ địa phương của M, trong đó V là một tập mở trong M và là một ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) ( ) là tập mở trong ii) ( ) là một đồng phôi. 5
 Họ   (Vi , i )iI của M được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) Vi iI là một phủ mở của M, ii) Với mọi Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của chúng là một atlas trên X. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên gọi là một cấu trúc khả vi phức trên X. X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Ta biết rằng, một lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của nó. Do đó một atlat khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi. Ví dụ 1: Cho là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương *( )+ Ví dụ 2: Đa tạp xạ ảnh ( ). Xét quan hệ tương đương trên * + được xác định bởi để Ta gọi ( ) * + với tôpô thương. Đặt { ( ) * + }với Rõ ràng * + là một phủ mở cửa của ( ) Xét các đồng phôi cho bởi ̂ ( ) ( ) Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa là số hạng dưới mũ đó được bỏ đi. Khi đó ánh xạ ngược được cho bởi ( ) [( )] Giả sử ( ) và ( ) là hai bản đồ địa phương trên ( ) và i < j thì ( ) ( ) cho bởi công thức 6
̂ ( ) ( ) Rõ ràng là ánh xạ chỉnh hình. Vì vậy, họ * + là tập bản đồ địa phương xác định cấu trúc khả vi trên ( ) vì vậy ( ) là đa tạp khả vi phức n chiều. 1.2.2. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức. Định nghĩa 1.2.2: Giả sử M, N là hai tạp khả vi phức. Ánh xạ liên tục được gọi là chỉnh hình trên nếu với mọi bản đồ địa phương ( ) của và mọi bản đồ địa phương ( ) của sao cho ( ) , thì ánh xạ ( ) ( ) là ánh xạ chỉnh hình. Hay tương đương, với mọi tồn tại hai bản đồ địa phương ( ) và ( ) tại và tương ứng sao cho: ( ) ( ) là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 1.2.3. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức. Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và D là đĩa đơn vị trong . Giả sử ( ) là bản đồ địa phương quanh ; tức là, là một lân cận của và là ánh xạ song chỉnh hình Đặt ( ) Khi đó ( ) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh . Đặt trong đó và là các giá trị thực Khi đó ( ) là hệ tọa độ địa phương thực quanh , ở đó được xem như đa tạp khả vi thực chiều. Giả sử là không gian tiếp xúc của tại Khi đó là không gian vecto thực chiều, và {( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) 7
là một cở sở của Kí hiệu là phức hóa của Khi đó ( 1) cũng là một cơ sở của không gian vectơ phức Đặt ( ) Ta kí hiệu {∑ ( ⁄ ) } Khi đó là một không gian con tuyến tính phức chiều của , mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương ( ) Ta gọi là không gian tiếp xúc của đa tạp phức tại . Đặt ⋃ (hợp r i). Ta định nghĩa phép chiếu bởi điều kiện ( ) Khi đó có cấu trúc của đa tạp phức chiều sao cho là ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử ( ) là tọa độ chỉnh hình địa phương xác định trên một tập con mở của . Khi đó ta có ( ) {∑ ( ⁄ ) } Ánh xạ ∑ ( ⁄ ) ( ) ( ( ) ( ) ) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của Ta gọi là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M. 1.2.4. Tập giải tích trên đa tạp phức. 8
Định nghĩa 1.2.3: Cho  là một đa tạp phức (một miền trong hoặc trong ). Một tập A  được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm a  có một lân cận U của a và các hàm chỉnh hình trên U sao cho: * ( ) ( ) + Định nghĩa 1.2.4: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích (địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó. Nhận xét: n n + Mọi miền D là tập giải tích trong nhưng nó là tập con giải tích trong n chỉ khi D  n . + Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích của một lân cận của nó. Định nghĩa 1.2.5: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập con giải tích sao cho: 1. ; 2. A i  A, i  1,2. Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy. Định nghĩa 1.2.6: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tích A được gọi là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tích A A sao cho A  A và A A là khả quy. Hệ quả 1.2.7: Cho ánh xạ chỉnh hình của các đa tạp phức. Khi đó tạo ảnh của tập giải tích là một tập giải tích trong X. Chứng minh: 9
Cho ( ) , và là các hàm chỉnh hình trong lân cận U của a, xác định trên Khi đó ( ) là lân cận của b và trong V tập ( ) trùng với tập không điểm chung của các hàm chỉnh hình . Ảnh của một tập giải tích qua ánh xạ chỉnh hình không phải lúc nào cũng phải là một tập giải tích. Ví dụ: qua ánh xạ ( ) ảnh của đĩa đơn vị *| | + trong không là tập giải tích trong bất kỳ lân cận nào của điểm ( ) Hệ quả 1.2.8: Giả sử là các tập giải tích. Khi đó, tích trực tiếp là tập con giải tích trong Chứng minh: Giả sử là phép chiếu của lên thì ( ) và ( ) là các tập con giải tích của . Khi đó tập ( ) ( ) nên là tập con giải tích. Định lý 1.2.9: (Định lý duy nhất) Nếu đa tạp phức liên thông và tập giải tích chứa một tập con mở khác rỗng thì . Chứng minh: Đặt là tập các điểm trong của A. Theo giải thiết ta có , và theo định nghĩa là tập mở. Giả sử a là điểm giới hạn của . Vì A tà tập đóng trong nên , do đó trong lân cận liên thông U của a tập là tập không điểm chung của các hàm . Vì trên tập mở khác rỗng trong U nên Như vậy, cũng là tập đóng trong . Vì là liên thông nên 1.3. Hàm đa điều hòa dưới. 1.3.1. Hàm điều hòa dưới. Định nghĩa 1.3.1: Giả sử là miền trong . Một - hàm xác định trên được gọi là điều hòa nếu 10
̅ trên Định nghĩa 1.3.2: Hàm , ) được gọi là hàm điều hòa dưới trong miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: i) là nửa liên tục trên trong tức là tập * ( ) + là tập mở với mỗi số thực ; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối của và mọi hàm là điều hòa trong và liên tục trong ̅ ta có: nếu trên thì trên . 1.3.2. Tiêu chuẩn điều hòa dưới. Cho là hàm nửa liên tục trên trong miền . là hàm điều hòa dưới trong , khi và chỉ khi với mỗi điểm , tồn tại ( ) sao cho ( ) ∫ ( ) v i mọi ( ) 1.3.3. Hàm đa điều hòa dưới. Định nghĩa 1.3.3: Giả sử là một tập con mở trong . Một hàm , ) được gọi là đa điều hòa dưới trên nếu i) là nửa liên tục trên và không đồng nhất bằng trên mọi thành phần liên thông của ii) Với mỗi và mà , và với mỗi ánh xạ ( ) hàm là điều hòa dưới hoặc bằng trên mỗi thành phần liên thông của ( ) (là các miền trong ). 1.4. Miền giả lồi. 1.4.1. Miền lồi. Định nghĩa 1.4.1: iền lồi là các miền mà cùng với các với điểm tùy ý, chúng chứa mọi điểm x= , ( ) -, trong đó ( ). Từ định nghĩa trên, ta có định nghĩa tương đương sau. 11
Định nghĩa 1.4.2: Miền được gọi là miền lồi nếu hàm ( ) ( ) là hàm lồi trong , trong đó ( ) là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của miền. 1.4.2. Miền giả lồi. Định nghĩa 1.4.3: Miền được gọi là miền giả lồi, nếu hàm ( ) ( ) là hàm đa điều hòa dưới trong D, trong đó ( ) là hàm khoảng cách Ơclit từ điểm đến biên 1.4.3. Miền giả lồi mạnh. Định nghĩa 1.4.4: Cho D là một miền bị chặn trong và D được gọi là giả lồi mạnh với biên nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới xác định trong lân cận U của biên sao cho: i. * ( ) + ii. trong U. Dạng Levi của tại là một dạng Hermitan cho như sau: ∑ ( ) ̅ ( ) Khi X là miền giả lồi mạnh biên vì dạng là xác định dương, compact, tồn tại hai số dương sao cho ( ) . 1.5. Miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình. 1.5.1. Miền chỉnh hình. Định nghĩa 1.5.1: Miền gọi là miền chỉnh hình của hàm nếu chỉnh hình trong và không thác triển giải tích được ra ngoài giới hạn của miền này. 12
Nghĩa là: đối với điểm tùy , hàm chỉnh hình trong đa tròn lớn nhất ( ) không thác triển chỉnh hình được vào bất kì đa tròn nào ( )( ) và là các vô hướng. Miền được gọi là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm nào đó. Định nghĩa 1.5.2: Miền chứa miền trong gọi là mở rộng chỉnh hình của nếu mọi ( ) đều thác triển được thành một hàm chỉnh hình trong . Một trong các bài toán quan trọng đầu tiên là tìm đặc trưng của miền chỉnh hình. Hiển nhiên đặc trưng này liên hệ chặt chẽ với các điểm biên của . Vì vậy ta đưa ra khái niệm sau: Định nghĩa 1.5.3: Điểm gọi điểm chướng ngại (đối với việc mở rộng chỉnh hình) nếu tập compact hàm chỉnh hình trên thỏa mãn | | sup*| ( )| + nhưng sup*| ( )| + đối với mọi lân cận của . Rõ ràng rằng nếu tồn tại chỉnh hình trên sao cho lim sup| ( )| thì là điểm chướng ngại. Định lí 1.5.4: Giả sử miền trong sao cho có tập đếm được trù mật các điểm chướng ngại . Khi đó là miền chỉnh hình. Chứng minh: Ta xây dựng dãy * + từ các điểm của sao cho mọi điểm của nó gặp vô hạn lần (Chẳng hạn nếu là tập các điểm thì ta đặt ) Định lí sẽ được chứng minh nếu ta xây dựng được một dãy * + và một hàm chỉnh hình trên sao cho | | và | ( )| khi . 13
Để xây dựng dãy * + và hàm ta xây dựng theo quy nạp đồng th i a) Dãy vét cạn các tập compact ⋃ b) Dãy điểm * + | | c) Dãy hàm { } chỉnh hình trên ‖ ‖ nhưng | ( )| Với chọn tùy ý tập compact trong . Do là điểm chướng ngại tồn tại chỉnh hình trên và để | | | | | ( )| Giả sử đã xây dựng và thỏa mãn a) – c). Đặt { ( ) | | } { } Do là điểm chướng ngại ta lại tìm được hàm chỉnh hình trên và để | | ‖ ‖ | ( )| Như vậy a) – c) đã được xây dựng. Do | ( )| ta tìm được ( ) sao cho | ( )| ∑ | ( )| ( ) Xét chuỗi ∑ | ( )| ( ) Bởi vì | ( )| và dãy { } là dãy vét cạn các tập compact của , chuỗi (1.2) hội tụ đều trên mọi tập compact trong . Như vậy tổng của nó là hàm chỉnh hình trên Mặt khác từ 14
| ( )| | ( )| ∑ | ( )| ∑ ∑ ta suy ra | ( )| khi Định lí được chứng minh. Hệ quả 1.5.5: Mọi miền trong là chỉnh hình. Hệ quả 1.5.6: Mọi miền lồi trong là miền chỉnh hình 1.5.2. Miền lồi chỉnh hình. Định nghĩa 1.5.7: a) Giả sử là một miền trong . Với mọi tập compact đặt ̂ * | ( )| ( )+ Tập ̂ gọi là bao lồi chỉnh hình của . b) Miền gọi là lồi chỉnh hình nếu ̂ là compact với mọi tập compact trong Định lí 1.5.8: Mọi miền lồi chỉnh hình trong là miền chỉnh hình. Chứng minh: Thật vậy, chọn tùy ý một tập đếm được trù mật khắp nơi trong và một dãy tăng các tập con compact vét cạn của Ω với (̂ ) p Lập dãy từ tập như trong định lí 1.5.4, với mọi p chọn và ( ) ‖ ‖ | ( )| và | | 15
Lặp lại sự chứng minh của định lí 1.5.4 xuất phát từ các dãy { }* + và { } ta tìm được ( ) mà không thể mở rộng chỉnh hình tới miền lớn hơn Ω. 1.6. Thác triển giải tích. 1.6.1. Định lí duy nhất. Định lí 1.6.1: Giả sử ( ) chỉnh hình trên một miền và bằng 0 trên một tập hợp có điểm giới hạn trong Khi đó đồng nhất bằng 0 trên Chứng minh: Giả sử là điểm giới hạn của tập trong Đặt * ( ) + hiển nhiên là tập đóng và Ta chứng minh Trước hết ta chứng minh, nếu một điểm nào đó là điểm giới hạn của tập thì phải là điểm trong của tức là tồn tại một lân cận của nằm hoàn toàn trong Giả sử ngược lại, khi đó trong mọi lân cận của luôn tồn tại các điểm mà tại đó ( ) Xét khai triển taylo của hàm ( ) tại Vì trong lân cận tùy ý của có các điểm mà tại đó ( ) nên trong các hệ số của khai triển taylo phải có hệ số khác 0, giả sử là Khi đó ( ) ( ) ( ( ) ) Đặt ( ) ( ) khi đó ( ) chỉnh hình tại và ( ) Do tính liên tục của suy ra tồn tại một lân cận của sao ( ) với mọi Trong lân cận này hàm ( ) ( ) ( ) không có không điểm nào khác Trái với giả thiết là điểm tụ của 16