Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên tam điều hòa phi tuyến và phương pháp giải số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn sẽ trình bày về cơ sở các phương pháp lặp trong không gian metric, các lược đồ sai phân với độ chính xác bậc cao tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình sai phân. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên tam điều hòa phi tuyến và phương pháp giải số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- PHAN QUANG SƠN BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2020
Möc löc Líi c£m ìn 3 Líi cam oan 4 Mð ¦u 5 1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n 8 1.1 Mët sè khæng gian h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Khæng gian m¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Khæng gian tuy¸n tuy¸n t½nh ành chu©n . . . . . . . 9 1.1.3 Khæng gian t½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Lþ thuy¸t v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Cæng thùc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh x¡c c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh x¡c c§p bèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n tam i·u háa phi tuy¸n 20 2.1 B i to¡n bi¶n tam i·u háa vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet . . . 20 2.1.1 B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t . . . . . 21 2.1.2 B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n khæng thu¦n nh§t . 28 2.2 B i to¡n bi¶n tam i·u háa vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp . . . 31 1
3 Mët sè k¸t qu£ t½nh to¡n thû nghi»m 35 3.1 B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t . . . . . . . . . 35 3.2 B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n khæng thu¦n nh§t . . . . . 37 3.3 B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp . . . . . . . . . . 39 K¸t luªn 41 Appendices 45 2
Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Vô Vinh Quang. Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc tîi ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc cõa m¼nh, ng÷íi ¢ °t v§n · nghi¶n cùu, d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n v tªn t¼nh gi£i ¡p nhúng thc mc cõa em trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Em công xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i nguy¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n-Tin, còng c¡c gi£ng vi¶n ¢ tham gia gi£ng d¤y, ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º em håc tªp v nghi¶n cùu. çng thíi, em công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp cao håc To¡n (khâa 2018-2020), c£m ìn gia ¼nh b¤n b± ¢ ëng vi¶n v gióp ï em r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh håc tªp. 3
Líi cam oan Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o TS Vô Vinh Quang còng vîi sü cè gng cõa b£n th¥n. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng th nh qu£ nghi¶n cùu cõa c¡c nh khoa håc, c¡c nh nghi¶n cùu vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn. Tæi xin cam oan nhúng k¸t qu£ trong luªn v«n n y l k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa b£n th¥n, khæng tròng vîi luªn v«n cõa t¡c gi£ kh¡c. Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ 4
Mð ¦u Mët sè b i to¡n trong cì håc c¡c mæi tr÷íng li¶n töc nh÷ c¡c b i to¡n nghi¶n cùu v· truy·n nhi»t, c¡c b i to¡n v· lþ thuy¸t dao ëng qua mæ h¼nh hâa ·u ÷a v· c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh elliptic c§p cao v iºn h¼nh l c§p bèn v c§p s¡u. Trong tr÷íng hñp khi mæi tr÷íng l thu¦n nh§t v i·u ki»n bi¶n b¼nh th÷íng th¼ vi»c t¼m nghi»m cõa b i to¡n câ thº ÷ñc thüc hi»n thæng qua c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p t¡ch bi¸n, ph÷ìng ph¡p h m Green ho°c c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m x§p x¿ nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n hay ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n. Tuy nhi¶n khi v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh l h m phi tuy¸n èi vîi h m v c¡c ¤o h m cõa h m c¦n t¼m ho°c h» i·u ki»n bi¶n cõa b i to¡n l phùc t¤p th¼ c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n g°p khâ kh«n. Khi â º gi£i quy¸t, ng÷íi ta th÷íng sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p tr¶n cì sð cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p sai ph¥n º t¼m nghi»m x§p x¿ thæng qua c¡c thuªt to¡n sè. Trong c¡c ph÷ìng tr¼nh c§p cao th¼ ph÷ìng tr¼nh thæng döng nh§t l ph÷ìng tr¼nh song i·u háa (mët lo¤i ph÷ìng tr¼nh c§p bèn), ¥y l mæ h¼nh cì b£n trong lþ thuy¸t n hçi ph¯ng, lþ thuy¸t b£n mäng, lþ thuy¸t dáng ch£y v g¦n ¥y ph÷ìng tr¼nh c§p bèn cán xu§t hi»n trong ph¥n t½ch £nh v thi¸t k¸ h¼nh håc. Lo¤i ph÷ìng tr¼nh n y ¢ ÷ñc nghi¶n cùu nhi·u kº c£ v· lþ thuy¸t v c¡c thuªt to¡n t½nh to¡n b¬ng sè. G¦n ¥y, do nhu c¦u ph¡t triºn cõa khoa håc v cæng ngh» ng÷íi ta bt ¦u quan t¥m ¸n ph÷ìng tr¼nh c§p s¡u m ti¶u biºu l ph÷ìng tr¼nh tam i·u háa 5
(triharmonic equation) d¤ng ∆3 u = f (x). Trong â, ∆ l to¡n tû Laplace trong khæng gian 2 ho°c 3 chi·u. Ph÷ìng tr¼nh n y l mæ h¼nh cõa pha tinh thº, hay l mæ h¼nh hâa dáng ch£y quay chªm cõa ch§t läng nhît cao v l cæng cö quan trång trong mæ h¼nh hâa h¼nh håc. Do ph÷ìng tr¼nh tam i·u háa câ nhi·u ùng döng trong thüc t¸ n¶n ng÷íi ta quan t¥m nhi·u ¸n ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh n y vîi gi£ thi¸t r¬ng b i to¡n câ nghi»m duy nh§t v õ trìn. Câ thº kº ¸n âng gâp cõa Nudi v Neilan, ð â ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n ¢ ÷ñc sû döng. C¡c nghi¶n cùu v· vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh tam i·u háa tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n vîi i·u ki»n bi¶n u = g1 , ∆u = g2 , ∆2 u = g3 b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n thuëc v· Mohanty v c¡c cëng sü. Trong c¡c cæng tr¼nh n y, c¡c t¡c gi£ ¢ x¥y düng c¡c l÷ñc ç sai ph¥n vîi ë óng c§p hai ho°c c§p bèn º t¼m nghi»m nh÷ng vi»c gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh ríi r¤c thu ÷ñc khæng ÷ñc quan t¥m. T¤i Vi»t Nam, ph÷ìng tr¼nh c§p cao ¢ ÷ñc t¡c gi£ °ng Q. còng c¡c cëng sü quan t¥m tø hìn hai chöc n«m nay. N«m 2006, trong [1] t¡c gi£ ¢ · xu§t mët c¡ch ti¸p cªn ho n to n kh¡c vîi c¡c t¡c gi£ tr¶n khi nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh song i·u háa tuy¸n t½nh vîi i·u ki»n bi¶n Neumann. Theo c¡ch ti¸p cªn n y t¡c gi£ ¢ ÷a b i to¡n bi¶n c¦n nghi¶n cùu v· mët ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v sau â chùng minh to¡n tû n y l mët ¡nh x¤ co, tø â thu ÷ñc k¸t qu£ v· sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n bi¶n v t½nh hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n công ÷ñc thi¸t lªp. Ti¸p töc ph¡t triºn ph÷ìng ph¡p n y, t¡c gi£ v c¡c cëng sü ¢ nghi¶n cùu ti¸p v· c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy¸n c§p bèn cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m th÷íng v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v ¢ thu ÷ñc nhi·u k¸t qu£ v· ành t½nh công nh÷ ành l÷ñng [2,3,4,5]. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc c¡c nh nghi¶n cùu ¡nh gi¡ cao, ÷ñc tr½ch d¨n nhi·u v sû döng khi nghi¶n cùu v· c¡c lo¤i b i to¡n bi¶n phi tuy¸n. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n s³ tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v· 6
cì sð c¡c ph÷ìng ph¡p l°p trong khæng gian metric, c¡c l÷ñc ç sai ph¥n vîi ë ch½nh x¡c bªc cao t¼m nghi»m x§p x¿ cõa c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, tø â ÷a ra mët sè k¸t qu£ trong c¡c nghi¶n cùu v· ành t½nh công nh÷ líi gi£i sè cho b i to¡n bi¶n tam i·u háa. Luªn v«n dü ki¸n câ bè cöc nh÷ sau. Ch÷ìng 1 : ÷a ra mët sè ki¸n thùc cì b£n v· c¡c khæng gian h m nh÷ khæng gian Metric, khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n nguy¶n lþ ¡nh x¤ co, i·u ki»n Lipchitz. Cì sð ph÷ìng ph¡p sè gi£i b i to¡n elliptic c§p hai nh÷ kh¡i ni»m v· khæng gian l÷îi v h m l÷îi, thuªt to¡n thu gån khèi l÷ñng t½nh to¡n, giîi thi»u th÷ vi»n RC2009 v ph÷ìng ph¡p sai ph¥n vîi ë ch½nh x¡c bªc cao. Ch÷ìng 2 : Tr¼nh b y mæ h¼nh b i to¡n tam i·u háa phi tuy¸n v ph÷ìng ph¡p gi£i sè bao gçm: mæ h¼nh têng qu¡t cõa b i to¡n, sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m, ph÷ìng ph¡p l°p èi vîi b i to¡n thu¦n nh§t, ph÷ìng ph¡p l°p mùc ë li¶n töc, sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p, ph÷ìng ph¡p l°p ð mùc ë ríi r¤c tø â ÷a ra ph÷ìng ph¡p l°p èi vîi b i to¡n têng qu¡t vîi i·u ki»n bi¶n khæng tu¦n nh§t. Ch÷ìng 3 : ÷a ra mët sè k¸t qu£ thüc nghi»m tr¶n M¡y t½nh i»n tû thæng qua c¡c v½ dö cö thº. C¡c k¸t qu£ thüc nghi»m trong luªn v«n ÷ñc thüc hi»n b¬ng c¡c ch÷ìng tr¼nh vi¸t tr¶n n·n ngæn ngú Matlab ch¤y tr¶n m¡y t½nh PC. 7
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· c¡c khæng gian h m, lþ thuy¸t v· sai ph¥n v °c bi»t l c¡c k¸t qu£ x¥y düng th÷ vi»n gi£i sè b i to¡n bi¶n elliptic c§p hai tr¶n mi·n chú nhªt. ¥y l c¡c ki¸n thùc v cæng cö quan trång s³ sû döng º nghi¶n cùu v thüc hi»n t½nh to¡n trong c¡c ch÷ìng ti¸p sau cõa luªn v«n. C¡c k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1, 2, 4, 5]. 1.1 Mët sè khæng gian h m 1.1.1 Khæng gian m¶tric ành ngh¾a 1.1. Cho X l mët tªp kh¡c réng. Tr¶n X ta trang bà mët h m sè ρ:X ×X →R (x, y) → ρ(x, y), thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau 1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X ; 3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X . Khi â, ρ ÷ñc gåi l mët m¶tric hay kho£ng c¡ch tr¶n X v c°p (X, ρ) gåi l mët khæng gian m¶tric (æi khi ch¿ k½ hi»u l X ). Méi ph¦n tû cõa X 8
s³ ÷ñc gåi l mët iºm, ρ(x, y) gåi l kho£ng c¡ch giúa hai x v y iºm tr¶n X . D¢y (xn ) l d¢y Cauchy hay d¢y cì b£n n¸u vîi måi , tçn t¤i N () sao cho vîi måi m, n ≥ N () th¼ d(xn , xm ) < . Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l õ n¸u måi d¢y cì b£n hëi tö ¸n mët ph¦n tû n o â thuëc X. 1.1.2 Khæng gian tuy¸n tuy¸n t½nh ành chu©n ành ngh¾a 1.2. Cho X l mët khæng gian tuy¸n t½nh, ta ÷a v o ¡nh x¤ kþ hi»u l chu©n X k.k : X → R thäa m¢n c¡c i·u ki»n a. kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0; b. kλxk = |λ|kxk; c. kx + yk ≤ kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ X . Khi â c°p (X, k.k), trong â X l mët khæng gian tuy¸n t½nh, k.k l mët chu©n tr¶n X , gåi l mët khæng gian ành chu©n (hay cán gåi l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n). Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co ành ngh¾a 1.3. Cho (X, d) l mët khæng gian metric. nh x¤ f : X → X ÷ñc gåi l mët ¡nh x¤ co tr¶n X n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i q ∈ [0, 1) sao cho vîi måi x, y ∈ X , d(f (x), f (y)) ≤ qd(x, y), trong â, q ÷ñc gåi l h» sè co. D¹ th§y måi ¡nh x¤ co ·u li¶n töc. ành lþ 1.1 (Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach) . Cho f l ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric õ (X, d). Khi â, (a) Tçn t¤i duy nh§t x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗. Ph¦n tû x∗ ÷ñc gåi l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ f . 9
(b) Måi d¢y l°p xn+1 = f (xn), n ≥ 0 xu§t ph¡t tø x0 b§t ký ·u hëi tö. Ngo i ra, ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ), n ≥ 1 d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ), n ≥ 1. Ti¸p theo, ta ÷a ra i·u ki»n Lipchitz cho h m nhi·u bi¸n. Gi£ sû f :V →W ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n Lipchitz n¸u tçn t¤i c¡c h¬ng sè Lk ≥ 0 sao cho vîi måi yk , zk th¼ h» thùc sau ¥y ÷ñc thäa m¢n kf (x, y1 , . . . , yn ) − f (x, z1 , . . . , zn )k ≤ L1 ky1 − z1 k + · · · + Ln kyn − zn k, trong â L1 , L2 , . . . , Ln ÷ñc gåi l c¡c h¬ng sè Lipchitz. Cho X l mët khæng gian ành chu©n. X²t h m sè ρ : X × X → R, x¡c ành bði ρ(x, y) = kx−yk, vîi x, y ∈ X . D¹ chùng minh ÷ñc vîi ành ngh¾a nh÷ tr¶n th¼ ρ l mët metric tr¶n X, gåi l metric sinh bði chu©n. Nh÷ vªy, khæng gian ành chu©n l mët khæng gian metric. 1.1.3 Khæng gian t½ch væ h÷îng Trong ph¦n n y, ta luæn coi tr÷íng væ h÷îng F ho°c l tr÷íng sè thüc R, ho°c l tr÷íng sè phùc C. ành ngh¾a 1.4. Khæng gian t½ch væ h÷îng l khæng gian v²ctì X tr¶n tr÷íng F ÷ñc trang bà mët t½ch væ h÷îng, tùc l mët ¡nh x¤ h., .i : X × X → F thäa m¢n ba t½nh ch§t sau vîi måi x, y, z ∈ X v a ∈ F (i) X¡c ành d÷ìng: hx, xi ≥ 0 v hx, xi = 0 ⇔ x = 0. (ii) T½nh tuy¸n t½nh hax, yi = a hx, yi hx, y + zi = hx, yi + hx, zi . 10
(iii) Li¶n hñp èi xùng hx, yi = hy, xi. 1.2 Lþ thuy¸t v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n Ph÷ìng ph¡p l÷îi hay cán gåi l ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ÷ñc ¡p döng rëng r¢i tr¶n nhi·u l¾nh vüc khoa håc, kÿ thuªt. Nëi dung ch½nh cõa nâ l ÷a b i to¡n vi ph¥n ang x²t v· gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (tùc l h» thùc ho°c c¡c h» thùc li¶n h» c¡c gi¡ trà cõa h m sè t¤i c¡c thíi iºm kh¡c nhau) b¬ng c¡c ph÷ìng ph¡p ¤i sè. 1.2.1 Cæng thùc Taylor Gi£ sû u(x, y) l mët h m sè x¡c ành v câ c¡c ¤o h m ri¶ng theo c¡c bi¸n ¸n c§p m+1 trong mët kho£ng Ω ∈ R2 chùa c¡c iºm (x, y) v (x + h, y + k), trong â h, k l c¡c ¤i l÷ñng õ nhä câ thº d÷ìng hay ¥m. Khi â t÷ìng tü nh÷ h m 1 bi¸n sè, chóng ta câ cæng thùc khai triºn Taylor nh÷ sau ∂u ∂u u(x + h, y + k) = u(x, y) + h +k ∂ ∂y 2 2 2 (1.1) 1 2∂ u ∂ u 2∂ u + h 2 + 2hk + k 2 + · · · + o(hm + k m ). 2! ∂x ∂x∂y ∂y V· m°t þ ngh¾a to¡n håc t½nh to¡n th¼ cæng thùc Taylor, gi¡ trà cõa h m sè t¤i iºm (x + h, y + k) s³ ÷ñc ÷ñc t½nh qua c¡c gi¡ trà h m v c¡c ¤o h m ri¶ng c¡c c§p t¤i iºm (x, y). N¸u chóng ta giú ¸n sè h¤ng chùa c¡c ¤o h m c§p m th¼ k¸t qu£ t½nh to¡n s³ £m b£o sai sè x§p x¿ mët ¤i l÷ñng væ còng b² l o(hm ). Sau ¥y luªn v«n s³ ÷a ra mët sè k¸t qu£ khi xªy düng c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n düa tr¶n cæng thùc Taylor. 11
1.2.2 C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh x¡c c§p hai L÷îi sai ph¥n X²t b i to¡n  −∆u = f, x ∈ Ω  (1.2) u = g, x ∈ ∂Ω,  trong â Ω = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, chån hai sè nguy¶n N > 1 v M > 1, °t h = (b − a)/N gåi l b÷îc l÷îi theo x, k = (d − c)/M gåi l b÷îc l÷îi theo y. °t xi = a + ih, yj = c + jh, i = 0, . . . , N , j = 0, . . . , M . Méi iºm (xi , yj ) gåi l mët nót l÷îi kþ hi»u l nót (i, j). Tªp hñp t§t c£ c¡c nót trong kþ hi»u l Ωhk . Nót ð tr¶n bi¶n Γ gåi l nót bi¶n; tªp t§t c£ c¡c nót bi¶n kþ hi»u l Γhk , tªp Ωhk = Ωhk ∪ Γhk gåi l mët l÷îi sai ph¥n tr¶n Ω. H m l÷îi Méi h m sè x¡c ành t¤i c¡c nót cõa l÷îi gåi l mët h m l÷îi, gi¡ trà cõa h m l÷îi u(x, y) t¤i nót l÷îi (i, j) vi¸t tt l ui,j . Méi h m u(i, j) x¡c ành t¤i måi (x, y) ∈ Ω t¤o ra h m l÷îi u x¡c ành bði ui,j . B i to¡n sai ph¥n Sû döng cæng thùc Taylor trong tr÷íng hñp 2 bi¸n sè, chóng ta thu ÷ñc c¡c cæng thùc t½nh g¦n óng c¡c gi¡ trà ¤o h m t¤i c¡c nót l÷îi (i, j) nh÷ sau
∂u
1 = (ui+1,j − ui,j ) + o(h) ∂x
(i,j) h
∂u
1 = (ui,j+1 − ui,j ) + o(k) ∂y