Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, nội dung bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố hình học nói riêng luôn luôn thu hút được sự quan tâm của cả giáo viên và học sinh bởi sự đa dạng, phong phú và ứng dụng của nó trong thực tiễn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KHÁNH TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC JACK GARFUNKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KHÁNH TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC JACK GARFUNKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2017
3 Mục lục Danh mục các ký hiệu 4 Mở đầu 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 12 1.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Một số kiến thức sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.1 Khái niệm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.2 Các ví dụ về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . . . . . . . . 32 1.3.4 Các định lý về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 2. Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34 2.1 Lịch sử vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Lịch sử ra đời của bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34 2.1.2 Mô tả thí nghiệm của Jack Garfunkel . . . . . . . . . . . 35 2.2 Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel và cách chứng minh . . 41 2.2.1 Cách chứng minh của C.S. Gardner . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Một hướng chứng minh bất đẳng thức Jack Garfunkel khác 44 2.3 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55
5 Danh mục các ký hiệu ∆ABC Tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ∆ABC a, b, c Độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của ∆ABC ha , hb , hc Độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ∆ABC ma , mb , mc Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ∆ABC la , lb , lc Độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ∆ABC R, r Bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác a+b+c p Nửa chu vi của tam giác p = m 2 P ai Ký hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am i=1 Qm bi Ký hiệu tích b1 b2 · · · bm i=1
6 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán Trung học phổ thông, nội dung bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố hình học nói riêng luôn luôn thu hút được sự quan tâm của cả giáo viên và học sinh bởi sự đa dạng, phong phú và ứng dụng của nó trong thực tiễn. Đã có một vài luận văn thạc sĩ, chẳng hạn như: Trần Quang Hùng (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), Đặng Văn Hiếu, Nguyễn Thị Huyền Trang (Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên),. . . đã được thực hiện liên quan đến chủ đề bất đẳng thức, tuy nhiên cũng còn rất nhiều mảng liên quan đến bất đẳng thức, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan đến hình học chưa được khai thác một cách đầy đủ. Từ khi ra đời, máy tính điện tử ngay lập tức đã trở thành một công cụ rất mạnh hỗ trợ cho việc ứng dụng và nghiên cứu toán học. Nhiều mô hình rất trừu tượng đã được mô phỏng một cách trực quan nhờ đồ họa trên máy tính hoặc ngược lại, từ những mô hình trên máy tính đã dẫn đến những dự đoán, giả thuyết để từ đó dẫn đến những tính chất, bài toán thú vị. Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel là một trong những tình huống như vậy. Từ việc đo đạc các yếu tố của nhiều tam giác, nhà toán học Mỹ Jack Garfunkel đã đưa ra dự đoán về một bất đẳng thức liên quan đến độ dài đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác trong một tam giác (1960) và phải nhiều năm sau (1975) với chứng minh của nhà toán học Mỹ C.S. Gardner, người ta mới thấy rõ dự đoán của Garfunkel là chính xác. Với mong muốn mô tả lại quá trình phát hiện, chứng minh bất đẳng thức hình học Garfunkel, tác giả đã chọn đề tài: “Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel” là đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình.
7 2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống lịch sử và các cách chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu một vài ứng dụng của bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để có một tài liệu chuyên đề dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu (i). Tìm hiểu sơ lược về các bất đẳng thức hình học nói chung, bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh, các đường trong một tam giác để có điểm tựa cho việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel. (ii). Mô phỏng lại lịch sử đưa ra dự đoán bất đẳng thức của nhà toán học Jack Garfunkel bằng việc sử dụng phần mềm hình học động trên máy tính. (iii). Trình bày lại việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu một vài ứng dụng của bất đẳng thức này. 4 Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày ngắn gọn trong hai chương • Chương 1: Trình bày sơ lược một vài bất đẳng thức cơ bản thường được sử dụng khi giải các bài toán bất đẳng thức hình học và giới thiệu một vài bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh, các đường trong tam giác. • Chương 2: Sau khi trình bày lịch sử của bất đẳng thức Jack Garfunkel, nội dung chương 2 tập trung vào việc trình bày việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel và giới thiệu một vài bất đẳng thức hình học liên quan. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của Phó Giáo sư, Tiến sĩ Trịnh Thanh Hải. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy, vì
8 những chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Toán khóa 9B(2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Lê Ích Mộc, huyện Thủy Nguyên, thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình. Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến các thành viên trong gia đình đã luôn động viên và chia sẻ với tác giả trong suốt quá trình học tập và cả khi thực hiện luận văn này. Hải Phòng, ngày 19 tháng 5 năm 2017 Học viên Hoàng Khánh Trình
9 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Với mục tiêu tìm hiểu một số bất đẳng thức liên quan đến các cạnh và độ dài các đường trong một tam giác nên trong mục này, luận văn đưa ra một số bất đẳng thức cơ bản sẽ được dùng trong các chứng minh về sau. 1.1 Một số bất đẳng thức cơ bản Định lí 1.1.1. (Bất đẳng thức AM - GM) Cho a1 , a2 , ..., an là các số không âm. Khi đó a1 + a2 + ... + an √ ≥ n a1 a2 ...an n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an . Hệ quả 1.1.1. Với a, b, c là các số không âm ta có 2 (a + b + c) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ≥ ab + bc + ca 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Hệ quả 1.1.2. Với a1 , a2 , a3 , . . . , an là các số dương ta có 1 1 1 1 n2 + + +···+ ≥ a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + ... + an hay 1 1 1 1 (a1 + a2 + a3 + ... + an ) + + +···+ ≥ n2 . a1 a2 a3 an Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an . Ví dụ 1.1.1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
10 1 1 1 1 1 1 a) + + ≥ + + . a+b−c b+c−a c+a−b a b c b) (a + b − c) (b + c − a) (c + a − b) ≤ abc. Chứng minh. a) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM với x, y > 0 ta có 1 1 4 + ≥ . x y x+y Khi đó 1 1 4 2 + ≥ = . a+b−c b+c−a (a + b − c) + (b + c − a) b Tương tự 1 1 2 + ≥ , a+b−c c+a−b a 1 1 2 + ≥ . b+c−a c+a−b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   a+b−c= b+c−a   a + b − c = c + a − b ⇔ a = b = c.    b+c−a= b+c−a 2 b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với mọi a, b > 0 ta có (a + b) ≥ 4ab. Khi đó 2 [(a + b − c) + (b + c − a)] ≥ 4 (a + b − c) (b + c − a) ⇔ 4b2 ≥ 4 (a + b − c) (b + c − a) ⇔ b2 ≥ (a + b − c) (b + c − a) Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được a2 ≥ (a + b − c) (c + a − b) c2 ≥ (b + c − a) (c + a − b) .
11     a, b, c > 0    a+b−c>0 Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên    b+c−a>0   c+a−b>0  Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được 2 2 (abc) ≥ [(a + b − c) (b + c − a) (c + a − b)] . Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   a+b−c= b+c−a   a + b − c = c + a − b ⇔ a = b = c.    b+c−a= b+c−a Định lí 1.1.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn . Khi đó 2 (a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ) ≤ a21 + a22 + ... + a2n b21 + b22 + ... + b2n . a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ... = . b1 b2 bn Định lí 1.1.3. (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương, ta có a b c 3 + + ≥ . b+c a+c a+b 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 1.1.2. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AA0 , BB 0 , CC 0 . Gọi khoảng cách từ A0 đến AB, B 0 đến BC, C 0 đến AC lần lượt là a1 , b1 , c1 . Chứng minh rằng a1 b1 c1 3 + + ≥ . ha hb hc 2 Chứng minh. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC và K là chân đường vuông góc hạ từ A0 xuống AB. Ta có
12 1 1 SABA0 = ha .BA0 = a1 .AB. 2 2 Suy ra a1 BA0 CA0 BA0 + CA0 a = = = = . ha AB CA AB + CA b+c Tương tự ta có b1 b c1 c = ; = . hb c + a hc a+b Do đó a1 b1 c1 a b c 3 + + = + + ≥ . ha hb hc b+c c+a a+b 2 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong tam giác Do các bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và các đường trong tam giác là vô cùng phong phú, đa dạng nên luận văn không thể nào nêu ra hết các dạng mà chỉ đưa ra một vài ví dụ minh họa.
13 1.2.1 Một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác Định lí 1.2.1. (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có |b − c| < a < b + c, |c − a| < b < c + a, |a − b| < c < a + b. Định lí 1.2.2. Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài hơn là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác ngắn hơn. Định lí 1.2.3. Trong tam giác ABC kí hiệu ha là độ dài đường cao, la là độ dài đường phân giác trong, ma là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A thì ta có bất đẳng thức ma ≥ la ≥ ha . Định lí 1.2.4. (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có a b c = = = 2R. sin A sin B sin C Định lí 1.2.5. (Định lý hàm số côsin) Trong tam giác ABC ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. Định lí 1.2.6. Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau 1 1 1 S = aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 = absinC = bc sin A = casinB 2 2 2 abc = 4R p = p (p − a) (p − b) (p − c) = pr. Định lí 1.2.7. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp A r = (p − a) tan 2
14 Định lí 1.2.8. Công thức tính độ dài đường trung tuyến 2 2 b2 + c2 − a2 ma = 4 Định lí 1.2.9. Công thức tính độ dài đường phân giác trong 4bc la2 = 2 p (p − a) (b + c) 1.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong tam giác Ví dụ 1.2.1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta luôn có a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca) . Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có 2 |a − b| < c ⇔ (a − b) < c2 2 |b − c| < a ⇔ (b − c) < a2 2 |c − a| < b ⇔ (c − a) < b2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Ví dụ 1.2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có
a − b b − c c − a
1
a + b + b + c + c + a
< 8.