Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụng trong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong các bài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quan đến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018
ii Mục lục MỞ ĐẦU iv Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược 1 1.1 Đồng nhất thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin . . 1 1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5 1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược 13 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác . . . . . . . . . 13 2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược . . . . . . 19 2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin 19 2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan 23 Chương 3. Một số dạng toán liên quan 28 3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học . . . . . . . . . 35 3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức . . . . . . . . . 35 3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức . . . . . . . . 41 3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học . . . . . . . . . . 50 3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic . . . . . . . . . 60
iii KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67
iv MỞ ĐẦU Chuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung học phổ thông. Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quan đến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa. Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụng trong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong các bài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quan đến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số. . . Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toán liên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liên quan thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằm trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổ thông hiện hành. Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác cho giáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược”. Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình. . . . Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sử dụng các tài liệu tham khảo [1]-[6]. Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương. Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược. Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng giác ngược. Xét các ví dụ áp dụng liên quan.
v Chương 2. Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược. Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác, lượng giác ngược và các dạng toán liên quan. Chương 3. Một số dạng toán liên quan. Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị trong đại số và một số bài tập áp dụng lượng giác trong các bài toán hình học. Tiếp theo, chương này trình bày hệ thống các bài tập giải các đề thi HSG quốc gia và Olympic liên quan. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS - Người thầy rất nghiêm khắc, tận tâm trong công việc và đã truyền thụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo đã tham giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trường THPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả có cơ hội học tập và nghiên cứu. Tác giả.
1 Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng giác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các chương tiếp theo. 1.1 Đồng nhất thức lượng giác 1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin Ta có công thức Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R. Khi đó  iα −iα cos α = e + e  2 iα − e−iα sin α = e .  2i eα + e−α Từ đó, ta suy ra cos(iα) = . Như vậy hàm số cost với t = iα là biểu thức 2 1 1 có dạng a+ , trong đó a = eα , cho nên, về mặt hình thức ta sẽ có nhiều 2 a biến đổi thu được từ các công thức liên quan đến biến x ∈ / [−1; 1] giống như hàm số cost. Ví dụ 1.1. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = 2 cos2 t − 1, chính là công thức 1 2 1 2 1 1 a + 2 =2 a+ − 1. 2 a 2 a
2 hay 2 1 2 1 1 1 2x − 1 = a + 2 , với x = a+ , a 6= 0. 2 a 2 a Ví dụ 1.2. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = 4 cos3 t − 3 cost, chính là công thức 1 3 1 3 1 1 1 1 a + 3 =4 a+ −3 a+ . 2 a 2 a 2 a 1 1 4x3 − 3x = a3 + 3 , 2 a với 1 1 x= a+ , a 6= 0. 2 a Ví dụ 1.3. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cost, chính là công thức 1 5 1 3 1 5 1 1 1 1 1 a + 5 = 16 a+ − 20 a+ +5 a+ . 2 a 2 a 2 a 2 a hay 5 3 1 5 1 16x − 20x + 5x = a + 5 , 2 a với 1 1 x= a+ , a 6= 0. 2 a Ví dụ 1.4. Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t + cost = 2 cos 3t cos 2t, chính là công thức 1 5 1 1 1 1 3 1 1 2 1 a + 5 + a+ =2 a + 3 a + 2 . 2 a 2 a 2 a 2 a
3 Từ đó, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t ta thu được đồng nhất thức đại số sau 1 5 1 a + 5 = −x + 2 4x3 − 3x (2x2 − 1), 2 a trong đó 1 1 x= a+ , a 6= 0. 2 a Ví dụ 1.5. Cho số thực m với |m| > 1. Tính giá trị của biểu thức M = 8x3 − 6x, trong đó q q 1 3 p 3 p x= m + m2 − 1 + m − m2 − 1 . 2 Lời giải. Vì |m| > 1 nên tồn tại số thực q để có hệ thức 1 3 1 m= q + 3 . 2 q Đặt t = q3 ta được phương trình t 2 − 2mt + 1 = 0, √ √ từ đó suy ra t = m ± m2 − 1 hay q3 = m ± m2 − 1. Chọn q 3 p q = m + m2 − 1, thì ta được q q 1 1 1 3 p 3 p q+ = m + m2 − 1 + m − m2 − 1 = x. 2 q 2 Theo ví dụ 1.2 thì 4x3 − 3x = m nên M = 2m. Tiếp theo, trong mục này sẽ trình bày một số đồng nhất thức quen biết liên quan đến hàm số sin. Từ công thức Euler ta thu được hệ thức eit − e−it i sint = . 2 Suy ra biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta cách chuyển đổi các đồng nhất thức đối với hàm số sin sang các đồng nhất thức đại số.
4 Ví dụ 1.6. Xét công thức khai triển sin 3t = 3 sint − 4 sin3 t, Từ đây ta thu được công thức i sin (3it) = 3 (i sin it) + 4 (i sin it)3 . Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức 1 3 1 3 1 1 1 1 a − 3 =3 a− +4 a− , 2 a 2 a 2 a hay 1 1 4x3 + 3x = a3 − 3 2 a với 1 1 x= a− , a 6= 0. 2 a Ví dụ 1.7. Xét công thức biến đổi sin 5t + sint = 2 sin 3t 1 − 2 sin2 t , Ta viết lại công thức dưới dạng h i 2 i sin i (5t) + i sin(it) = 2i sin i(3t) 1 + 2 (i sin it) . Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức " 2 # 1 5 1 1 1 1 3 1 1 1 a − 5 + a− =2 a − 3 1+2 a− . 2 a 2 a 2 a 2 a Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển hàm lượng giác sin 3t ta thu được đồng nhất thức đại số sau 1 5 1 a − 5 = −x + 2 4x3 + 3x 2x2 + 1 , 2 a trong đó 1 1 x= a− , a 6= 0. 2 a
5 Ví dụ 1.8. Cho số thực m. Tính giá trị của biểu thức 3 M = x3 + x, 4 trong đó q q 1 3 p 3 p x= m + m2 + 1 − m − m2 + 1 . 2 Lời giải. Với ∀m ∈ R luôn tồn tại số thực q để có hệ thức 1 3 1 m= q − 3 . 2 q Đặt t = q3 ta được phương trình t 2 − 2mt − 1 = 0, √ √ từ đó suy ra t = m ± m2 + 1 hay q3 = m ± m2 + 1. Chọn q 3 p q= m+ m2 + 1 thì ta được q q 1 1 1 3 p 3 p q− = m + m2 + 1 − m − m2 + 1 = x. 2 q 2 m Theo ví dụ 1.6 thì 4x3 + 3x = m nên M = . 4 1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang Theo công thức lượng giác cơ bản ta có sint π tant = ,t 6= + kπ, k ∈ Z. cost 2 Từ công thức Euler, ta thu được hệ thức eiα − e−iα i tant = iα , e + e−iα Từ đây suy ra e−α − eα i tan (it) = −α , e + eα hay a2 − 1 i tan (it) = 2 . a +1 Ta thấy biểu thức i tan(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta cách chuyển đổi các đồng nhất thức đối với hàm số tant sang các đồng nhất thức đại số.
6 Ví dụ 1.9. Xét công thức khai triển 2 tant π tan 2t = , t, 2t 6= + kπ, k ∈ Z 1 − tan2 t 2 Từ đây ta thu được công thức (hình thức) 2i tan(it) i tan i(2t) = . 1 + (i tan it)2 Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức a2 − 1 a4 − 1 2 2 = a +1 4 a +1 2 , a2 − 1 1+ 2 a +1 hay a4 − 1 2x = , a4 + 1 1 + x 2 với a2 − 1 x= 2 . a +1 Ví dụ 1.10. Xét công thức khai triển 3 tant − tan3 t π tan 3t = , t, 3t 6 = + kπ, k ∈ Z 1 − 3 tan2 t 2 Từ đây ta thu được công thức (hình thức) 3i tan(it) + (i tan it)3 i tan i(3t) = . 1 + 3(i tan it)2 Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức 3 a2 − 1 2 a −1 3 2 + 2 a6 − 1 a +1 a +1 = 2 , a6 + 1 2 a −1 1+3 2 a +1 hay a6 − 1 3x + x3 a2 − 1 = với x = . a6 + 1 1 + 3x2 a2 + 1
7 Ví dụ 1.11. Xét công thức khai triển 2 tan 2t π tan 4t = , 2t, 4t 6= + kπ, k ∈ Z 1 − tan2 2t 2 Từ đây ta thu được công thức (hình thức) 2i tan i(2t) i tan i(4t) = 1 + (i tan i (2t))2 Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức a4 − 1 a8 − 1 2 4 = a +1 8 a +1 2 , a4 − 1 1+ 4 a +1 Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển hàm lượng giác tan 2t, ta thu được đồng nhất thức đại số sau: 4x a8 − 1 1 + x2 = 2 , a8 + 1 2x 1+ 1 + x2 với a2 − 1 x= 2 . a +1 Ví dụ 1.12. Hệ thức đại số ứng với công thức 1 π cot 2t = , 2t 6= k , k ∈ Z tan 2t 2 chính là đồng nhất thức dưới đây a4 + 1 1 + x 2 = , a4 − 1 2x với a2 − 1 x= 2 . a +1 Ví dụ 1.13. Hệ thức đại số ứng với công thức 1 π cot 3t = , 3t 6= k , k ∈ Z tan 3t 2
8 chính là đồng nhất thức dưới đây a6 + 1 1 + 3x2 = , a6 − 1 3x + x3 với a2 − 1 x= 2 . a +1 Ví dụ 1.14. Hệ thức đại số ứng với công thức 1 π cot 4t = , 4t 6= k , k ∈ Z tan 4t 2 chính là đồng nhất thức dưới đây 2 2x 1 + a8 + 1 1 + x2 = , a8 − 1 4x 1 + x2 với a2 − 1 x= 2 . a +1 Ví dụ 1.15. Xét đồng nhất thức (tant + cott)2 − (tant − cott)2 = 4 Ta viết lại đồng nhất thức đã cho dưới dạng [i tan(it) + i cot(it)]2 − [i tan(it) − i cot(it)]2 = −4, Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức với 2 2 2 2 a − 1 a2 + 1 a − 1 a2 + 1 − − 2 + = −4. a2 + 1 a2 − 1 a + 1 a2 − 1 hay 1 2 1 2 x− − x+ = −4 x x với a2 − 1 x= . a2 + 1
9 1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược Định nghĩa 1.1. Cho hàm số song ánh: f :X →Y trong đó X,Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mỗi phần tử y = f (x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép đặt tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và kí hiệu là: f −1 : y 7→ x = f −1 (y) Nếu f −1 tồn tại ta nói hàm số f (x) khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f (x) khả nghịch, tức là nếu f (x) là song ánh thì tồn tại hàm ngược f −1 và ngược lại. Sau đây là một điều kiện đủ để hàm số đã cho có hàm số ngược. Định lí 1.1 (xem [1]-[3]). Giả sử hàm y = f (x) xác định, đồng biến (đơn điệu tăng thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục trong một khoảng X nào đó. Khi đó trong khoảng tập các giá trị Y tương ứng của hàm đó, tồn tại hàm ngược (đơn trị) x = g(y) và cũng là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó. Nhận xét 1.1. Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảng đồng h πbiến hoặc nghịch biến củachúng. πi π π Trong − ; , (hay trong − ; ) hàm số y = sin x (hay y = tan x) là hàm 2 2 2 2 đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x) như sau:   y = arcsin x     x = sin y   sin(arcsin  x) ≡ x π π −1 ≤ x ≤ 1 ⇔ − ≤ arcsin x ≤  π π  2  2 −1 ≤ ≤    − ≤y≤  x 1 2 2
10   y = arctan x     x = tan y   tan(arctan  x) ≡ x π π −∞ < x < +∞ ⇔ − ≤ arctan x ≤  π π  2  2 −∞    − ≤y≤  < x < +∞ 2 2 • Trong [0; π] (hay trong (0; π)) hàm số y = cos x (hay y = cot x) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arccos x (hay y = arccot x) như sau:    y = arccos x   cos(arccos x) ≡ x  x = cos y ⇔ 0 ≤ arccos x ≤ π   −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π   −1 ≤ x ≤ 1 và     y = arccot x  cos(arccot x) ≡ x  x = cot y ⇔ 0 < arccot x < π   −∞ < x < +∞, 0 < y < π   −∞ < x < +∞ 1) arcsin (−x) = −arcsin x, ∀x ∈ [−1; 1] 2) arccos (−x) = π − arccos x, ∀x ∈ [−1; 1] 3) arctan (−x) = −arctan x 4) arccot (−x) = −arccot x Để khảo sát các hàm lượng giác ngược, ta cũng cần phải biết tính đạo hàm các cấp của chúng. Định lí 1.2 (xem [1]-[3]). Giả sử hàm y = f (x) thoả mãn các điều kiện của Định lí 1.1 về sự tồn tại hàm ngược và tại điểm x = x0 hàm số có đạo hàm f 0 (x0 ) hữu hạn và khác 0. Khi đó đối với hàm ngược x = g(y) tại điểm tương ứng y0 = f (x0 ) cũng tồn tại đạo hàm và có giá trị bằng 1 . f 0 (x0 ) Vậy ta có công thức đơn giản 1 x0y = . y0x Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác ngược. Để thuận lợi trong tính toán, ta đổi vai trò của các biến x và y và viết công thức 1 trên dưới dạng y0x = 0 . xy
11 π π * Hàm y = arcsin x, (−1 < x < 1), với − 0 với − 0 với 0 < x < 1 và y00 < 0 với −1 < x < 0. (1 − x2 )3 Suy ra hàm y = arcsin x lõm với 0 < x < 1 và lồi với −1 < x < 0. Hơn nữa, ta có Với 0 < x < 1 thì y00 > 0 nên y (x) > y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a ∈ (0; 1) . Với −1 < x < 0 thì y00 < 0 nên y (x) < y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a ∈ (−1; 0) . Tương tự, ta xét các hàm lượng giác ngược còn lại. * Hàm y = arccos x(−1 < x < 1) với 0 < y < π (hàm ngược của hàm x = cos y). Ta có x0y = −siny với 0 < y < π. Khi đó 1 1 1 1 y0x = 0 =− = −p = −√ < 0. xy sin y 1 − cos2 y 1 − x2 Vậy nên, hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. Lại có 2x y00 = − q < 0 với 0 < x < 1 và y00 > 0 với −1 < x < 0. (1 − x2 )3 Suy ra hàm y = arccos x lồi với 0 < x < 1 và lõm với −1 < x < 0. Hơn nữa, ta có Với 0 < x < 1 thì y00 < 0 nên y (x) < y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a ∈ (0; 1) . Với −1 < x < 0 thì y00 > 0 nên y (x) > y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a ∈ (−1; 0) . π π * Hàm y = arctan x, −∞ < x < +∞ với − < y < (hàm ngược của hàm 2 2 x = tan y). 1 1 1 Ta có x0y = = 2 = . cos y 1 − sin y 1 − x2 2
12 1 1 Suy ra y0x = 0 = > 0. Do đó, hàm y = arctan x là hàm đồng biến. xy 1 + x2 −2x Lại có y00x = 2 < 0 với x > 0 và y00 > 0 với x < 0, suy ra hàm y = arctan x 2 (1 + x ) lồi với ∀x > 0 và lõm với ∀x < 0. Và hơn nữa, ta có Với x > 0 thì y00 < 0 nên y (x) < y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a > 0. Với x < 0 thì y00 > 0 nên y (x) > y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a < 0. * Hàm y = arccot x, −∞ < x < +∞ với 0 < y < π (hàm ngược của hàm x = cot y). 1 Ta có x0y = − 2 = − 1 + cot2 y = − 1 + x2 . sin y 1 1 Suy ra y0x = 0 = − < 0. xy (1 + x2 ) Do đó, hàm y = arccot x là hàm nghịch biến. 2x Lại có y00x = 2 > 0 với x > 0 và y00 < 0 với x < 0, 2 (1 + x ) suy ra hàm y = arccot x lõm với ∀x > 0 và lồi với ∀x < 0. Và hơn nữa, ta có Với x > 0 thì y00 > 0 nên y (x) > y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a > 0. Với x < 0 thì y00 < 0 nên y (x) < y (a) + y0 (a) (x − a) , ∀a < 0.
13 Chương 2. Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược Nội dung chương này trình bày về các bất đẳng thức sinh bởi các hàm lượng giác, lượng giác ngược và một số bài tập cơ bản được áp dụng trong chương sau. 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác 2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin Bài toán 2.1. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có 1 3 cos A + cos B + cosC < . 2 2 Lời giải. Vì vai trò của A và B như nhau, ta thấy bài toán có tính chất đối xứng cục bộ. Ta có 1 A+B A−B 1 cos A + cos B + cosC = 2 cos cos + cosC 2 2 2 2 C A−B 1 2C = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 2 2 2 2 C A−B A−B 1 3 = − sin − cos + cos2 + ≤ 2 2 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra C A−B ⇔ sin = cos = ±1 vô lí 2 2 Vậy 1 3 cos A + cos B + cosC < . 2 2
14 1 Bài toán 2.2. Cho số dương m, 0 < m < . Chứng minh rằng với mọi tam giác 2 ABC ta đều có cos A + cos B + m cosC < 2 − m. Lời giải. Ta thấy ngay bài toán có tính chất đối xứng cục bộ. Ta có P = cos A + cos B + m cosC A+B A−B = 2 cos cos + m cosC 2 2 C A−B 2C = 2 sin cos + m 1 − 2 sin 2 2 2 C C ≤ 2 sin + m 1 − 2 sin2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B Xét hàm số πi 2 f (t) = 2 sint + m(1 − 2 sin t),t ∈ 0, . 2 Ta có 0 πi 1 f (t) = 2 cost(1 − 2m sint) > 0, ∀t ∈ 0, , 0 < m < 2 2 πi Vậy f (t) đồng biến trong khoảng 0, . Do vậy 2 π π f (t) < f = 2 − m, ∀t ∈ 0, . 2 2 Suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 2.3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có cos A + cos B + cosC > 1. Lời giải. Ta có A+B A−B cos A + cos B + cosC = 2 cos cos + cosC 2 2 C A−B C = 2 sin cos + 1 − 2 sin2 2 2 2 C A−B A+B = 1 + 2 sin cos − cos 2 2 2 A B C = 1 + 4 sin sin sin ≤ 1. 2 2 2