Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và phương trình Hessian trong các lớp Cegrell

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lớp năng lượng hữu hạn của hàm m - điều hòa dưới là tổng quát hóa các lớp Cegrell đối với hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy biến (ddcj)m Ùbn-m = m, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và phương trình Hessian trong các lớp Cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– PHÙNG THỊ KIM OANH CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM m - ĐIỀU HOÀ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Phùng Thị Kim Oanh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii MỤC LỤC ....................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 1 3. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ...................................................................................... 2 Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI............. 3 1.1. Hàm điều hòa dưới..................................................................................... 3 1.2. Hàm đối xứng sơ cấp ................................................................................. 4 1.3. Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian ................................................. 5 1.4. m - dung lượng tương đối. ....................................................................... 8 1.5. Hàm m - cực trị tương đối ..................................................................... 10 Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL ..... 13 2.1. Các định nghĩa và tính chất ...................................................................... 13 2.2. Toán tử Hessian phức .............................................................................. 21 2.3. Tích phân từng phần ................................................................................ 25 2.4. Nguyên lý so sánh .................................................................................... 26 Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL.... 32 3.1. Các hàm năng lượng ................................................................................ 32 3.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell .......... 37 KẾT LUẬN ................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho WÌ Ā n là một miền bị chặn và m là số nguyên sao cho 1 Ā m Ā n . Xét phương trình m - Hesian phức có dạng (dd cj )m Ù b m - n = m (1.1) 2 trong đó b = dd c z là dạng K¨ahler chuẩn trong C n và µ là độ đo Radon dương. Phương trình m - Hessian phức được nghiên cứu lần đầu tiên bởi S.Y. Li năm 2004. Ông đã sử dụng phương pháp liên tục để giải bài toán Dirichlet không suy biến cho phương trình (1.1) trong các miền m - giả lồi mạnh. Một trong những vấn đề suy biến tương tự được nghiên cứu bởi Blocki năm 2005. Ông đã giải phương trình thuần nhất với điều kiện biên liên tục và trình bày những bước đầu tiên của lý thuyết thế vị đối với phương trình này. Gần đây, Abdullaev và Sadullaev đã quan tâm đến các tập m - cực và m - dung lượng của các hàm m - điều hòa dưới. Khi m trù mật trong Lp (w)( p > n / m ) , Dinew và Kolodziej đã chứng minh rằng với điều kiện biên liên tục đã cho, bài toán Dirichlet của phương trình (1.1) có một nghiệm liên tục duy nhất. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và Phương trình Hessian trong các lớp Cegrell“. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lớp năng lượng hữu hạn của hàm m - điều hòa dưới là tổng quát hóa các lớp Cegrell đối với hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy biến (dd cj )m Ù b n - m = m, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối. + Nghiên cứu và trình bày các kết quả gần đây của L.H. Chinh về một số tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp kiểu Cegrell. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 49 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối. Chương 2: Trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới. Chương 3: Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
3 Chƣơng 1 HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1. Hàm điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1. Giả sử W là tập mở trong Ā . Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0 Ā r Ā d ta có 1 2p u( w) Ā 2p ò0 u( w + re it )dt . Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) . Mệnh đề 1.1.2. Giả sử W là tập mở trong Ā , u, v Î SH (W) . Khi đó: (i ) m ax(u , v ) là hàm điều hòa dưới trên W. (ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón lồi, nghĩa là nếu u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) . Định lý 1.1.3 Giả sử W là miền bị chặn trong Ā , u Î SH (W) . Khi đó: (i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên W thì u là hằng số trên W. (ii ) Nếu lim sup u (z ) Ā 0 " V Î ¶ W thì u Ā 0 trên W. z® V Định lý 1.1.4. Giả sử W là tập mở trong Ā và u là hàm nửa liên tục trên trên W. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. (i ) u là hàm điều hòa dưới trên W. (ii ) Với mọi w Î W, tồn tại d > 0 sao cho D(w, d > 0) Ì W và với mọi 0 Ā r < d, 0 Ā t < 2p ta có 1 2p d2 - r 2 u ( w + re ) Ā ò u ( w + de i q )d q. it 2 2 2p 0 d - 2drcos(q - t ) + r { } ở đó D(w, d > 0) = z Î W: z - w Ā d là đĩa đóng tâm w bán kính d. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
4 (iii ) Với mọi miền D compact tương đối trong W và h là hàm điều hòa trên trên D, liên tục trên D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) Ā 0 (V Î ¶ D ) z® V ta có u Ā h trên D. Định lý 1.1.5. Giả sử { u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trên Ā và u = lim un . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W. n® ¥ Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi a Î R, tập ¥ {z Î W: u (z ) < a } = U{z Î W: u n (z ) < e}. n Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều hòa dưới trên W. W Hệ quả 1.1.6. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền WÌ Ā sao cho u không đồng nhất - ¥ trên W. Khi đó tập { E = z Î W; u (z ) = - ¥ } có độ đo Lebesgue bằng 0. Tập E Ì Ā mà trên đó có hàm điều hòa dưới, không đồng nhất - ¥ , nhận giá trị bằng - ¥ trên đó gọi là các tập cực. Sau này trong trường hợp Ā n , tập như vậy gọi là tập đa cực. Đó là các tập kỳ dị đối với lớp hàm điều hòa dưới( tương ứng đa điều hòa dưới). 1.2. Hàm đối xứng sơ cấp Cho Sk , k = 1, ..., n là một hàm k - đối xứng sơ cấp với l = (l 1 ,..., l n ) Î R n , S k (l ) = å 1Ā i1 < i2 < ...< ik Ā n l i l i ...l i . Đặt S 0(l ) = 1 và 1 2 k S k (l ) = 0 nếu k > n hoặc k < 0. Ta có đồng nhất thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
5 n (l 1 + t )...(l n + t ) = å k= 0 S k (l ) t n - k , t Î ¡ . Kí hiệu Gk là bao đóng của các thành phần liên thông của tập hợp {S k (l ) > 0} chứa (1,...,1) . Ta có { Gk = l Î R n / S k (l 1 + t ,..., l n + t ) ³ 0, " t > 0}. m Từ S m (l 1 + t ,..., l n + t ) = å ( ) S (l )t k= 0 n- k m- k k m- k ,t Î ¡ suy ra Gk := {l Î R n / S j (l ) ³ 0, " 1 Ā j Ā k}. Ký hiệu H là không gian vectơ trên ¡ gồm các ma trận Hermitian k phức cấp n ´ n . Với A Î H , ký hiệu l (A ) = (l 1 , ..., l n ) là các giá trị riêng của A . Đặt S%k (A ) = S k (l (A )) . Từ đẳngthức n det (A + tI ) = å k= 0 S%k (A )t n - k , t Î ¡ suy ra hàm S%k là tổng của tất cả các định thức con chính bậc k , S%k (A ) = å AI I . Do đó, S%k là một đa thức thuần nhất bậc k trên H I =k mà nó là hyperbolic đối với ma trận đồng nhất I . Như trong [3], ta địnhnghĩa G % = {A Î H / S%(A + tI ) ³ 0, " t ³ 0 . Ta có k k % = {A Î H / l (A ) Î G } là nón lồi và hàm Sþk 1/ k G lõm trên G %. k k k 1.3. Hàm m-điều hòa dƣới và toán tử Hessian Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong C n và W là một miền m - siêu lồi bị chặn trong Ā n , tức là tồn tại một hàm m - điều hòa dưới liên tục f : W® ¡ - sao cho {f < c} Ð W, với mỗi c < 0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
6 Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a trong C n với các ma trận Hermitian [a jk ] i bởi a = p åj ,k a jk dz j Ù dz k . Khi đó dạng K¨ahler chính tắc b được kết hợp với ma trận đồng nhất I . Ta có ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n . Định nghĩa 1.3.1. C ho a là (1,1) - dạng thực trên W . Ta nói rằng a là m - dương tại một điểm cho trước P Î W nếu tại điểm này ta có: a j Ùb n - j ³ 0, " j = 1,..., k. a gọi là k - dương nếu nó là k - dương tại mọi điểm thuộc W. Cho T là một dòng song bậc (n - k , n - k )(k Ā m ) . Khi đó T được gọi là m - dương nếu a 1 Ù .... Ù a k ÙT ³ 0 , với mọi (1,1) - dạng m - dương a 1 , ..., a k . Định nghĩa 1.3.2. Hàm u : W® ¡ È {- ¥ } được gọi là m - điều hòa dưới nếu nó là hà m điều hòa dưới và ddcu Ù a 1.... Ù a m - 1 Ù b n - m ³ 0, với mỗi (1,1) - dạng m - dương a 1,..., a m - 1 . Lớp tất cả hàm m - điều hòa dưới trên W được ký hiệu là SH m (W) . Mệnh đề 1.3.3 [3] i ) Nếu u là C 2 tr ơ n thì u là m - điều hòa dưới khi và chỉ khi dd cu là m - dương tại mọi điểm thuộc W. ii ) Nếu u, v Î SH m (W) thì l u + mv Î SH m (W), " l , m > 0 iii ) Nếu u là m - điều hòa dưới trong W thì u å c 0 cũng là m - điều hòa dưới trong We = {x Î W/ d(x , ¶ W) > e}. iv ) Nếu (ul ) Ì SH m (W) bị chặn đều địa phương thì (sup u l )* Î SH m (W) t r o n g đ ó v å là chính qui nửa liên tục trên của v . v ) PSH = Pn Ì ... Ì P1 = SH . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
7 vi ) Cho Æ¹ U Ì W là tập mở sao cho ¶ U Ç W compact tương đối trong W. Nếu u Î P (W) , v Î SH (U ) và lim sup v(x ) Ā u (y ) với mọi y Î ¶ U Ç W m m x® y thì hàm số w được xác định bởi íï u trên W\ U w = ïì ïï max(u, v ) trên U î là m - điều hòa dưới trong W. Đối với các hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u1, ¼ , u p ( p Ā m ) ta có thể định nghĩa bằng quy nạp m -dòng dương đóng (theo Bedford and Taylor [2]). Bổ đề 1.3.4. [14] Cho u1, ¼ , uk (k Ā m ) là hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương trong W và T là m - dòng dương đóng song bậc (n - p, n - p) ( p ³ k ) . Khi đó ta có thể định nghĩa bằng qui nạp m -dòng dương đóng dd cu1 Ù dd cu 2 Ù¼ Ù dd cu k ÙT , và tích đối xứng, nghĩa là dd cu 1 Ù dd cu 2 Ù ¼ Ù dd cu p ÙT = dd cu s (1) Ù dd cu s (2) Ù ¼ Ù dd cu s (p ) ÙT đối với mỗi hoán vị s : {1, ¼ , k } ® {1, ¼ , k }. Nói riêng, độ đo Hessian của j Î SH m (W) Ç L¥loc được xác định bởi H m (u ) = (dd cu1 )m b n - m . Mệnh đề 1.3.5. Cho T là m - dòng dương đóng song bậc (n - 1, n - 1) trên W. u , v là các hàm m - điều hòa dưới bị chặn trong W sao cho u, v Ā 0 và lim u(z ) = 0. z® ¶W Khi đó ò W vdd cu ÙT Ā ò udd cv ÙT W (1.2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
8 Hơn nữa nếu giả sử lim v(z ) = 0, thì trong (1.2) xảy ra đẳng thức z® ¶W ò vdd cu ÙT = W ò udd cv ÙT . W Chứng minh. Dễ chứng minh dựa theo trường hợp cổ điển (xem [12]). W Mệnh đề 1.3.6 (Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg). Cho K Ð D Ð W với K compact, D mở. Khi đó tồn tại A > 0 sao cho dd cu 1 Ù ¼ Ù dd cu k ÙT Ā A. u1 ¼ uk T , và K L¥ (D ) L¥ (D ) D ( )ò vdd cu1 Ù¼ Ù dd cuk ÙT Ā A . u1 ¥ ... uk ¥ v T Ùbp K L (D ) L D W với mỗi hàm m - điều hòa dưới v khả tích đối với m - dòng dương đóng T song bậc (n - p, n - p )( p ³ k ) , và tất cả các hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u1, ¼ , u k . Định lý 1.3.7. Cho (u 0j ), ¼ ,(ukj ) là dãy giảm các hàm m - điều hòa dưới trong W hội tụ đến u 0, ¼ , u k Î SH m (W) Ç L¥loc tương ứng. T là m - dòng dương đóng song bậc (n - p, n - p )( p ³ k ) trên W. Khi đó u 0j .dd cu1j Ù¼ Ù dd cu kj ÙT ® u 0.dd cu1 Ù¼ Ù dd cu k ÙT yếu theo nghĩa dòng. 1.4. m - dung lƣợng tƣơng đối. Định nghĩa 1.4.1. Cho E Ì W là tập Borel. m - dung lượng của E đối với W được định nghĩa như sau Capm (E , W) = sup {ò H W m (j ) / SH m (W) , 0 Ā j Ā 1 . } m - dung lượng có các tính chất cơ bản như CapBT . Mệnh đề 1.4.2. i ) Capm (E 1, W) Ā Capm (E 2, W) nếu E 1 Ì E 2 ii ) Capm (E , W) = lim Capm (E j , W) nếu E j Z E j® ¥ iii ) Capm (E , W) Ā å Capm (E j , W) đối với E = UE j . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
9 Mệnh đề 1.4.3. Cho K Ð U Ð W. Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập đó sao cho u Î SH m (W) , u < 0 tuỳ ý , ta có C ( Capm K Ç {u < - j }, W Ā ) j u 1 . L (U ) Chứng minh. Cố định v Î SH m (W) với - 1 Ā v < 0 . Khi đó theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg ta có 1 C ò (dd cv )m Ù wn - m Ā j òK Ù Ā c m n- m u (dd v ) w u 1 . K Ç{u < - j } j L (U ) Định nghĩa 1.4.4. Dãy u j các hàm xác định trong W hội tụ theo m - dung lượng tới u nếu với t > 0 và K Ð W ta có ( { lim j ® ¥ Capm K Ç u - u j > t }) = 0. Các kết quả sau đây có thể chứng minh nhờ lập luận tương tự trong [10]. Mệnh đề 1.4.5. Dãy u j Î S H m (W) Ç L¥loc với u j ¯ u trong W hội tụ tới u Î SH m (W) Ç L¥loc đối với m - dung lượng. Định lý 1.4.6. Đối với hàm m - điều hòa dưới u xác định trong W và một số e > 0 có thể tìm được tập mở U Ì W với Capm (U , W) < e và sao cho u hạn chế trên W\ U là liên tục ¥ Định lý 1.4.7. Cho dãy u kj { } j=1 bị chặn đều địa phương các hàm m - điều hòa dưới trong W đối với k = 1, 2, ¼ , N Ā m và ukj Z uk Î SH m (W) Ç L¥loc hầu khắp nơi khi j ® ¥ với k = 1, 2, ¼ , N . Khi đó dd cu1j Ù¼ Ù dd cu Nj Ùb n - m ® dd cu1 Ù¼ Ù dd cu N Ù b n - m . Hệ quả 1.4.8. Cho u j là một dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm m - điều hòa dưới trong W hội tụ hầu khắp nơi tới u Î SH m (W) Ç L¥loc và fi là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
10 dãy đơn điệu bị chặn địa phương của m - hàm nửa liên tục hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nửa liên tục bị chặn địa phương. Khi đó fi (dd cu1j )m Ù b n - m ® f (dd cu )m Ù b n - m . Mệnh đề 1.4.9. (Nguyên lý cực đại ). Cho WÐ C n , u, v Î SH m (W) Ç L¥loc . Khi đó I {u > v }H m ((max(u, v )) = I {u > v }H m (u ). Hệ quả 1.4.10. (Nguyên lý so sánh). Giả sử u, v Î SH m (W) Ç L¥loc sao cho lim (u(z ) - v(z )) ³ 0. Khi đó z® ¶W ò{ (dd cv )m Ùb n - m Ā u < v} ò{ (dd cu )m Ù b n - m . u < v} Hệ quả 1.4.11. Cho W là miền bị chặn trong C n và u, v Î SH m (W) Ç L¥loc sao cho u Ā v trên ¶ W và H m (u ) ³ H m (v ) . Khi đó u Ā v trong W. 1.5. Hàm m - cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.5.1. Cho tập con E của miền WÌ C n , ta định nghĩa hàm m - cực trị tương đối là hàm được xác định bởi { u m ,E ,W = u m ,E = sup u Î SH (W) / u < 0, và u Ā - 1 trên E . } Dễ thấy rằng u m* ,E ,W là hàm m -điều hòa dưới trong W. Để không bị nhầm lẫn ta dùng kí hiệu u E và u E* thay cho u m ,E ,W và u m* ,E ,W theo thứ tự . Mệnh đề 1.5.2. i ) Nếu E 1 Ì E 2 thì u E Ā u E . 2 1 ii ) Nếu E Ì W1 Ì W2 thì u E ,W Ā u E ,W . 2 1 iii ) Nếu K j ¯ K , với K j compact trong W thì (lim u *K W)* = u *K , W. j, n Bổ đề 1.5.3. Giả sử 0 < r < R và đặt a = > 1. Khi đó hàm m -cực trị m u = u m ,B (r ),B ( R ) được cho bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
11 æ 2- 2a 2- 2a ö÷ ççR - z ÷ u (z ) = max çç 2- 2a ,- 1÷÷ ÷. çç r - R 2- 2a ÷ è ø÷ Mệnh đề 1.5.4. Nếu E là tập con compact tương đối của W, thì tại một điểm w Î ¶ W tuỳ ý ta có lim um ,E ,W(z ) = 0. z® w Mệnh đề 1.5.5. Nếu tập compact K Ì W là hợp của các hình cầu đóng, thì å u K = uK là liên tục. Nói riêng, nếu K Ì W là tập compact tùy ý và e < dist (K , ¶ W) , thì u K là liên tục, trong đó e K e = {z Î W/ dist (z , K ) Ā e }. Định nghĩa 1.5.6. Hàm m - điều hòa dưới u : W® ¡ là m - cực đại nếu với tập con compact tương đối mở G Ð W tuỳ ý và hàm v nửa liên tục trên trong G , v Î SH m (G ) và v Ā u trên ¶ G thì v Ā u trong G . Từ nguyên lý so sánh suy ra rằng mỗi hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u thỏa mãn H m (u ) = 0 trong W là m - cực đại. Ngược lại, mọi hàm m - cực đại u trong W đều thỏa mãn H m (u ) = 0 . Mệnh đề 1.5.7 [3] Cho W là tập con mở của C n và u là hàm m - cực đại trong W. Khi đó H m (u ) = 0 . Mệnh đề 1.5.8. Nếu K Ì W là tập compact, thì u *m ,K ,W là m - cực đại trong W\ K . Định lý 1.5.9. Cho K Ì W là tập compact và u = u m ,K , W là hàm m - cực trị tương đối. Khi đó Capm (K , W) = ò K H m (u * ) . Ngoài ra, nếu u * > - 1 trên K thì Capm (K , W) = 0 . Hệ quả 1.5.10. Nếu U là tập con compact tương đối mở của W, thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
12 Capm (U , W) = ò W H m (u m ,U ,W) . Định nghĩa 1.5.11. Cho W là tập mở trong C n và cho U Î SH m (W) là họ các hàm bị chặn địa phương ở trên. Đặt u (z ) = sup {v(z ) / v Î U} Các tập có { } dạng N = z Î W/ u(z ) < u *(z ) và tất cả các tập con của nó được gọi là m - bỏ được. Định nghĩa 1.5.12. Tập E Ì C n được gọi là m - cực nếu với z Î E tuỳ ý đều tồn tại lân cận V của z và v Î SH m (V ) sao cho E ÇV Ì {v = - ¥ }. Nếu E Ì {v = - ¥ } đối với v Î SH m ( Ā n ) thì E được gọi là m - cực toàn cục. Định lý 1.5.13. Tập E Ì C n gọi là m - bỏ được khi và chỉ khi nó là m - cực. Mệnh đề 1.5.14. Nếu WÌ C n là tập mở và u Î SH m (W) Ç L¥loc thì với tập con m - cực tuỳ ý E Ì W ta có ò E H m (u ) = 0. Định lý 1.5.15. Tập E là m - cực khi và chỉ khi tồn tại u Î SH m ( Ā n ) sao cho uº - ¥ trên E . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
13 Chƣơng 2 CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL Trong chương này chúng ta nghiên cứu về các lớp năng lượng hữu hạn của các m - hàm điều hòa dưới trong các miền m - siêu lồi. Chúng là tổng quát hoá của các lớp Cegrell (xem [4],[5]). 2.1. Các định nghĩa và tính chất Trong lý thuyết đa thế vị đây là một trong những bước quan trọng để chính qui hóa các hàm điều hòa dưới suy biến. Điều này dễ thực hiện nột cách địa phương bởi tích chập với hạch trơn. Định lý sau sẽ giải thích cho việc thực hiện nó một cách toàn cục như thế nào trong miền m -siêu lồi. Ký hiệu SH m- (W) là lớp con của SH m (W) gồm các hàm không dương. Định lý 2.1.1. Với mỗi j Î SH m- (W) tồn tại dãy j j các hàm m -điều hòa dưới thỏa mãn các điều kiện sau: i) j j liên tục trên W và j j º 0 trên ¶ W ; ii ) mỗi H m (j j ) đều có khối lượng hữu hạn, tức là ò H m (j j ) < + ¥ ; W iii ) j j ¯ j trên W . Chứng minh. Nếu B là hình cầu đóng trong W thì theo Mệnh đề 1.5.5 hàm m - cực trị u = u m ,B ,W liên tục trên W và suppH m (u ) Ð W. Ta sẽ dựa theo Định lý 2.1 [5]. Lấy một dãy giảm các số dương (rj ) sao cho ({ } ) 0 < rj < dist u (z ) < - 1 / 2 j 2 , ¶ W . Gọi y j là dãy chính quy hóa của j bởi tích chập với các hạch trơn. Dãy này được xác định trên Wj = {z Î W: dist ( z , ¶ W) > 1 / j }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
14 Đặt íï ïï max( y (z ) - 1 , pu (z )) khi z Î W v p (z ) = ïì rp p rp ïï ïïî pu (z ) khi z Î W\ Wr p, và j j = su p v p . p³ j Dễ kiểm tra rằng với mỗi p , v p Î SH m (W) ÇC (W) và v p º 0 trên ¶ W. Khi đó j j là nửa liên tục dưới với mỗi j . Hơn nữa bằng cách đặt íïï 1ü ï j k = max ì v j , ¼ , vk - 1, vk + ïý, k > j , j ïîï k ïïþ Ta thấy j k j ¯j j khi k ® + ¥ . Vì mỗi j k j là hàm liên tục nên j j là nửa liên tục trên do đó j j liên tục . Suy ra j j ¯j trên W . W Định nghĩa 2.1.2. { Em0 (W) = j Î SH m- (W) Ç L¥loc (W) : lim j (z ) = 0 &ò H m (j ) < + ¥ z® ¶W W }. Emp (W) = {j Î SH m (W) : $ (j j ) Î Em0 (W), j j ] j trên W và sup j ò (- j j ) p H m (j j ) < + ¥ , p > 0 . W } Ngoài ra, nếu ò W H m (j j ) < + ¥ thì theo định nghĩa j Î F mp (W). Định nghĩa 2.1.3. { Em (W) = j Î SH m- (W) : với mỗi z 0 Î W đều $ lân cận U Ì W của z 0 và $ (j j ) Î Em0 (W) , j j ] j trong U và sup j ò H m (j j ) < + ¥ W }. { F m (W) = j Î SH m- (W) : $ (j j ) Î Em0 (W), j j ] j & sup j ò H m (j W j ) < + ¥ }. Chú ý 2.1.4. SH m- (W) Ç L¥loc Ì Em (W) . Thật vậy, giả sử u Î S H m- (W) và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
15 z 0 Î B (z 0, r ) Ð W. Xét hàm h = hm ,B ,W. Ta biết h j Î Em0 (W) và h º - 1 trong B . Với mỗi A > 0 đủ lớn, ta có max(u, A h ) Î Em0 (W) và max(u, A h ) = u trong B . Định lý 2.1.5. Lớp Em (W) là lớp con lớn nhất của SH m- (W) thỏa mãn: i ) Nếu u Î Em (W) , v Î SH m- (W) thì max(u, v ) Î Em (W) . ii ) Nếu u Î Em (W) , j j Î S H m- (W) Ç L¥loc , u j ¯ u, thì H m (u j ) hội tụ yếu. Chứng minh. Dễ kiểm tra Em (W) thỏa mãn điều kiện i ) . Giả sử u Î Em (W) , u j Î SH m- (W) Ç L¥loc , u j ¯ u. Cố định hàm kiểm tra c với giá compact K Ð W và h Î Em0 (W) . Với mỗi j ta lấy n j sao cho u j ³ n j .h trong một lân cận của K . Đặt j j = max(u j , n j .h ) Î Em0 (W) , ta thấy j j ¯ u Î Em (W) , và H m (j j ) là hội tụ yếu đến H m (u ) theo định nghĩa của Em (W). Chú ý u j = j j gần K , kéo theo ò c H m (u j ) ® W ò W c H m (u ) . Bây giờ, giả sử K Ì SH m- (W) thử lại (i) và (ii). Lấy u Î K . Ta cần chứng minh u Î Em (W) . Lấy dãy u j Î Em0 (W) Ç C (W) sao cho u j ¯ u trên W. Điều này có thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét tập compact tương đối B Ð W và với mỗi j đặt { h j = sup v Î SH m- (W) / v Ā u j trên B . } Khi đó, h j Î Em0 (W) và suppH m (h j ) Ì B với " j . Hơn nữa h j ¯ u trên B và sup ò H m (h j ) = sup ò H m (h j ) < + ¥ j W j B vì H m (h j ) hội tụ yếu theo (ii) W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
16 Chú ý 2.1.6. Theo Định lý 2.1.5 mỗi u Î Em (W) là địa phương trong F m (W) tức là với mỗi K Ð W tồn tại u%Î F m (W) sao cho u%= u trên K . Định nghĩa 2.1.7. p - năng lượng ( p > 0) của j Î Em0 (W) được xác định bởi e p (j ) = ò W (- j )p H m (j ) . Ta tổng quát bất đẳng thức Holder trong bổ đề sau đây. Khi m = n nó là kết quả của Persson [13]. Bổ đề 2.1.8. Giả sử u, v1, ¼ , vm Î Em0 (W) và p ³ 1 . Khi đó ta có p 1 1 ò (- u ) dd v1 Ù ¼ Ù dd vm Ù b Ā D j ,p (e p (u ) ) ¼ e p (v m ) p c c n- m m+ p m+p m+p e p (v1 ) (2.1), W pa ( p ,m )/ (p - 1) ở đó D j ,1 = 1 và với mỗi p > 1 , ta có D j ,1 = p , ở đó a ( p, m ) = (p + 2)(( p + 1) / p)m - 2 - p - 1 . Chứng minh. Với u, v1, ¼ , vm Î Em0 (W) , đặt F (u, v1, ¼ , vm ) = ò W (- u )p dd cv1 Ù¼ Ù dd cvm Ù b n - m . Theo Định lý 4.1 [13] chỉ cần chứng minh p 1 F (u, v1, ¼ , vm - 1 ) Ā a( p)F (u, v1, ¼ , vm ) p+ 1 F (u , v1, ¼ , vm ) p+ 1 (2.2) p trong đó a( p) = 1 nếu p = 1 và a( p) = p p- 1 nếu p > 1. Đặt T = dd cv1 Ù¼ Ù dd cvm - 1 Ù b n - m . Khi p = 1 , (2.2) trở thành 1 1 ò (- u )dd v ÙT Ā ( ò (- u )dd u ÙT ) ( ò (- v )dd v ÙT ) , c c 2 c 2 W W W đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp p > 1 , lặp lại phép chứng minh của Mệnh đề 1.3.5, để nhận được ò (- u )p dd cv ÙT Ā p ò (- u )p - 1(- v )dd cu ÙT . W W Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn