Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các lớp hàm Choquet-Monge-Ampere trên các đa tạp Kahler Compact

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích tìm hiểu và nghiên cứu các lớp hàm ChoquetMonge-Amp±re Ch p (X, ω) trên đa tạp p-Kahler compact với số chiều phức hữu hạn n>= 2 và so sánh chúng với các lớp năng lượng hữu hạn E p (X, ω). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các lớp hàm Choquet-Monge-Ampere trên các đa tạp Kahler Compact

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ TM CC LÎP HM CHOQUET-MONGE-AMPERE TRN CC A TP KAHLER COMPACT LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2020
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ TM CC LÎP HM CHOQUET-MONGE-AMPERE TRN CC A TP KAHLER COMPACT Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. D×ÌNG QUANG HI Th¡i Nguy¶n - N«m 2020
Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS D÷ìng Quang H£i .C¡c t i li»u trong luªn v«n l trung thüc. C¡c k¸t qu£ ch½ch cõa luªn v«n ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong c¡c luªn v«n Th¤c s¾ cõa t¡c gi£ kh¡c. Tæi xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¨ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin t½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçi gèc. T¡c gi£ Ph¤m Thà T¥m X¡c nhªn cõa X¡c nhªn cõa Khoa chuy¶n mæn. Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Tr¦n Nguy¶n An TS. D÷ìng Quang H£i i
Líi c£m ìn B£n luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. D÷ìng Quang H£i. Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y v· sü h÷îng d¨n tªn t¼nh còng nhúng kinh nghi»m trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n, c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi v Vi»n To¡n håc ¢ gi£ng d¤y v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu khoa håc. B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh v b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, kh½ch l», t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2020 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Ph¤m Thà T¥m ii
Möc löc Líi c£m ìn ii Möc löc ii Mð ¦u 1 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 To¡n tû Monge-Amp±re phùc . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lîp Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 N«ng l÷ñng Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 N«ng l÷ñng Monge-Amp±re . . . . . . . . . . . . 6 1.3 T½ch ph¥n Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Lîp Choquet-Monge-Amp±re . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 C¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact 11 2.1 C¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact. 11 2.2 N«ng l÷ñng Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 nh cõa to¡n tû Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact húu h¤n chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 To¡n tû Monge-Amp±re tr¶n lîp Choquet-Monge- Amp±re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 V½ dö v· lîp Choquet-Monge-Amp±re . . . . . . . 25 K¸t luªn 29 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iii
Mð ¦u Trong nhúng n«m g¦n ¥y, vi»c nghi¶n cùu nhúng ùng döng cõa lþ thuy¸t a th¸ và phùc v o h¼nh håc K ahler ang ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi. Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc húu h¤n n ≥ 1. Mët h m tüa a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n a t¤p Kahler X l mët h m nûa li¶n töc tr¶n v v· m°t àa ph÷ìng l têng cõa mët h m a i·u háa d÷îi v mët h m nh®n. Khi â, mët h m ÷ñc gåi l a i·u háa d÷îi tr¶n a t¤p Kahler phùc (X, ω) n¸u nâ l mët h m tüa a i·u háa d÷îi tr¶n X v d¤ng Kahler ωϕ := ω + ddc ϕ ≥ 0 l mët dáng d÷ìng. Câ r§t nhi·u c¡ch º o t½nh ký dà cõa nhúng lîp h m n y. Mët trong nhúng c¡ch â l chóng ta câ thº o ë lîn cõa c¡c tªp d÷îi mùc {ϕ ≤ −t} khi t → +∞ nhí v o dung l÷ñng Monge-Amp±re. C¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n E p (X, ω) cõa nhúng h m tüa a i·u háa d÷îi câ nhúng vai trá quan trång trong nhúng ùng döng g¦n ¥y cõa lþ thuy¸t a th¸ và v o h¼nh håc K ahler phùc. N«m 2016, Vincent Guedj, Ahmed Zeriahi còng c¡c cëng sü ¢ nghi¶n cùu c¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re phùc v ch¿ ra r¬ng nhúng h m tüa a i·u háa d÷îi thuëc v o lîp n y khi v ch¿ khi nâ câ n«ng l÷ñng Choquet l húu h¤n. Tr¶n nhúng a t¤p Kahler phùc vîi sè chi·u phùc n ≥ 2 th¼ lîp c¡c h m Choquet-Monge-Amp±re phùc Chp (X, ω) l nhúng tªp con thüc sü n¬m giúa c¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n E p (X, ω). N¬m trong h÷îng nghi¶n cùu n y, · t i luªn v«n C¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact ÷ñc °t ra nh¬m möc ½ch t¼m hiºu v nghi¶n cùu c¡c lîp h m Choquet- Monge-Amp±re Chp (X, ω) tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc húu h¤n n ≥ 2 v so s¡nh chóng vîi c¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n E p (X, ω). çng thíi · t i luªn v«n công nghi¶n cùu £nh cõa to¡n tû 1
Monge-Amp±re tr¶n c¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re . Cuèi còng, so s¡nh hai lîp h m Choquet-Monge-Amp±re v c¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n Chp (X, ω) tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc húu h¤n n ≥ 2. Tø â, mæ t£ c¡c lîp n«ng l÷ñng Choquet trong mët sè tr÷íng hñp °c bi»t. C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y düa trong t i li»u tham kh£o ch½nh sè [10]. Nëi dung cõa · t i luªn v«n "C¡c lîp h m Choquet-Monge- Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact" ÷ñc chia l m 2 ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· cõa lþ thuy¸t a th¸ và phùc v gi£i t½ch phùc nh÷ h m nûa li¶n töc tr¶n, h m a i·u háa d÷îi, to¡n tû Monge-Amp±re, h m tüa a i·u háa d÷îi, h m ω - a i·u háa d÷îi tr¶n c¡c a t¤p K ahler compact (X, ω), ... Tø â, ành ngh¾a v· h m n«ng l÷ñng Choquet, h m n«ng l÷ñng Monge - Amp±re, t½ch ph¥n Choquet, lîp Choquet-Monge-Amp±re, lîp n«ng l÷ñng húu h¤n v nghi¶n cùu mët v i t½nh ch§t quan trång cõa c¡c lîp n y. Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu lîp Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc húu h¤n. Düa v o t½nh ch§t li¶n töc cõa to¡n tû Monge-Amp±re v Nguy¶n lþ so s¡nh, chóng ta s³ nghi¶n cùu mët °c tr÷ng cõa lîp Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact húu h¤n chi·u v so s¡nh c¡c lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp (X, ω) v c¡c lîp c¡c h m ω - a i·u háa d÷îi câ p-n«ng l÷ñng húu h¤n E p (X, ω). Cuèi ch÷ìng, chóng ta s³ nghi¶n cùu °c tr÷ng v· t½nh kh£ t½ch cõa c¡c h m thuëc lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp (X, ω) v mæ t£ £nh cõa to¡n tû Monge-Amp±re phùc t¡c ëng tr¶n c¡c lîp Choquet. 2
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 To¡n tû Monge-Amp±re phùc ành ngh¾a 1.1.1 (H m nûa li¶n töc tr¶n, nûa li¶n töc d÷îi). Gi£ sû (Ω, d) l mët khæng gian metric, mët h m u : Ω → R ∪ {−∞} ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n n¸u {z ∈ Ω : u (z) < r} l mët tªp mð vîi måi r ∈ R. Mët h m u ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi n¸u −u l nûa li¶n töc tr¶n. Tø ành ngh¾a cõa giîi h¤n lim sup, chóng ta câ mët h m u l nûa li¶n töc tr¶n n¸u v ch¿ n¸u vîi måi z0 ∈ Ω, ta câ lim sup u (z) = u (z0 ) , z→z0 trong â lim sup u (z) = inf {sup {u (z) : z ∈ Ω, d (z, z0 ) < ε}} . z→z0 ε>0 i·u n y câ ngh¾a l , vîi måi α > u(z0 ) tçn t¤i ε > 0 sao cho u(z) < α vîi d (z, z0 ) < ε. Mët h m thüc l li¶n töc n¸u v ch¿ n¸u nâ vøa l nûa li¶n töc d÷îi, vøa l nûa li¶n töc tr¶n. ành ngh¾a 1.1.2 (H m i·u háa d÷îi). Gi£ sû Ω l tªp mð trong C. H m u : X → [−∞, +∞) gåi l i·u háa d÷îi tr¶n Ω n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n Ω v thäa m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n Ω, ngh¾a l vîi måi ω ∈ Ω tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r ≤ δ ta câ Z2π 1 u ω + reit dt. (1.1) u (ω) ≤ 2π 0 Chó þ r¬ng vîi ành ngh¾a tr¶n th¼ h m çng nh§t −∞ tr¶n Ω ÷ñc 3
xem l h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω. Kþ hi»u tªp hñp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω l SH (Ω). M»nh · 1.1.3. N¸u f : Ω → C l h m ch¿nh h¼nh tr¶n Ω th¼ log |f | l h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω. ành ngh¾a 1.1.4 (H m a i·u háa d÷îi). Gi£ sû Ω ⊂ Cn l tªp mð, u : Ω → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa Ω. H m u gåi l a i·u háa d÷îi tr¶n Ω n¸u vîi måi a ∈ Ω v b ∈ Cn , h m λ 7→ u (a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Kþ hi»u PSH(Ω) l lîp t§t c£ c¡c h m a i·u háa d÷îi trong Ω. V kþ hi»u PSH_ (Ω) l tªp c¡c h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n Ω. ành ngh¾a 1.1.5 (Tªp a cüc). Tªp E ⊂ Cn ÷ñc gåi l tªp a cüc n¸u vîi méi iºm a ∈ E ·u câ mët l¥n cªn V cõa a v mët h m u ∈ PSH(V ) sao cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u (z) = −∞}. ành ngh¾a 1.1.6. N¸u u ∈ C 2 (Ω) th¼ to¡n tû 2 n ∂ u (ddc u) = 4n n!det dV, ∂zj ∂ z¯k n ð ¥y dV = 2i dz1 ∧ d¯ z1 ∧ dz2 ∧ d¯ zn l ë o thº t½ch z2 ∧ ... ∧ dzn ∧ d¯ trong Cn gåi l to¡n tû Monge-Amp±re phùc. Ti¸p theo, chóng ta nhc l¤i Nguy¶n lþ so s¡nh èi vîi c¡c h m a i·u háa d÷îi bà ch°n trong c¡c tªp gi£i t½ch trong Cn . Cho u ∈ PSH(V ) l mët h m bà ch°n àa ph÷ìng, a i·u háa d÷îi tr¶n mët tªp gi£i t½ch V . Gi£ sû dim V = k . Khi â, ta ành ngh¾a b¬ng quy n¤p to¡n tû Monge-Amp±re cõa h m u tr¶n ph¦n ch½nh quy Vr cõa V nh÷ sau m ddc u := ddc u(ddc u)m−1 , vîi måi 1 6 m 6 k . V ë o (ddc u) ÷ñc x¡c ành tr¶n V bði Z Z c k ddc u)k , (dd u := E E∩Vr vîi måi tªp con Borel E cõa V . 4
ành ngh¾a 1.1.7. Mët tªp kh¡c réng U ÷ñc gåi l lçi n¸u vîi hai iºm z1 v z2 , ta câ vîi måi 0 ≤ λ ≤ 1 th¼ λz1 + (1 − λ)z2 ∈ U . Ti¸p theo, ta câ Nguy¶n lþ so s¡nh ¢ ÷ñc chùng minh bði Bedford v o nhúng n«m 80 cõa th¸ k tr÷îc ành lþ 1.1.8. Cho u, v l c¡c h m a i·u háa d÷îi bà ch°n tr¶n V . Gi£ sû lim (u(z) − v(z)) > 0. Khi â, ta câ z→∂V Z Z c k ddc v)k . (dd u := u
Kh¡i ni»m v· t½nh n«ng l÷ñng cõa h m c tr¶n Ω ¦u ti¶n ÷ñc ành ngh¾a tr¶n c¡c tªp Borel, sau â nâ ÷ñc mð rëng tr¶n c¡c tªp hñp con cõa Ω b¬ng c¡ch x¥y düng h m tªp x§p x¿ b¶n ngo i c¡c tªp con Borel cõa Ω. V½ dö 1.2.2. Cho M l mët hå c¡c ë o Borel tr¶n Ω. H m tªp hñp cM ành ngh¾a tr¶n c¡c tªp con Borel A ⊂ Ω bði cM (A) := sup{µ(A); µ ∈ M} l mët h m ti·n n«ng l÷ñng tr¶n Ω. H m cM ÷ñc gåi l bao lçi tr¶n cõa hå M. Ta câ, h m ti·n n«ng l÷ñng cM khæng nh§t thi¸t l h m cëng t½nh tr¶n Ω v ch½nh quy b¶n ngo i tªp A trø khi M l mët tªp húu h¤n. Tuy nhi¶n, n¸u hå M l mët tªp hñp comact èi vîi tæpæ ∗-y¸u th¼ h m tªp c∗M l mët h m n«ng l÷ñng Choquet. K¸t qu£ sau ¥y l mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa ành lþ n«ng l÷ñng Choquet. M»nh · 1.2.3. [10] N¸u c l mët h m n«ng l÷ñng Choquet tr¶n Ω th¼ vîi måi tªp con Borel B ⊂ Ω ta câ c(B) = sup{c(K); K compact, K ⊂ B}. 1.2.2 N«ng l÷ñng Monge-Amp±re Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact n- chi·u. °t Lp (X) = Lp (X, R, dV ) kþ hi»u l khæng gian Lebesgue c¡c h m o ÷ñc gi¡ trà thüc, Lp -kh£ t½ch t÷ìng ùng vîi d¤ng thº t½ch cè ành dV . ành ngh¾a 1.2.4. Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc n ≥ 1. Mët h m ϕ : X → R ∪{−∞} ÷ñc gåi l tüa a i·u háa d÷îi tr¶n X n¸u ϕ l mët h m nûa li¶n töc tr¶n v v· m°t àa ph÷ìng l têng cõa mët h m a i·u háa d÷îi v mët h m nh®n tr¶n X. 6
ành ngh¾a 1.2.5. Mët h m ϕ : X → R ∪{−∞} ÷ñc gåi l h m ω -a i·u háa d÷îi tr¶n X n¸u ϕ l mët h m tüa a i·u háa d÷îi tr¶n X v thäa m¢n ωϕ := ω + ddc ϕ ≥ 0, l mët dáng d÷ìng. Kþ hi»u ϕ ∈ PSH(X, ω) la tªp hñp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi tr¶n X. Nhªn x²t 1.2.6. Vîi måi p ≥ 1, ta câ PSH(X, ω) ⊂ Lp (X). º do t½nh ký dà cõa c¡c h m tüa a i·u háa d÷îi, n«m 1982, E. Bedford, B. A. Taylor ¢ ành ngh¾a h m n«ng l÷ñng Monge - Amp±re nh÷ sau ành ngh¾a 1.2.7. Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc n ≥ 1. H m n«ng l÷ñng Monge - Amp±re Cω ành ngh¾a tr¶n c¡c tªp con Borel K ⊂ X x¡c ành bði Z Cω (K) := sup M A(u); u ∈ PSH(X, ω), −1 ≤ u ≤ 0 , K trong â M A(u) = ωun / ω n l mët ë o x¡c su§t tr¶n X . R X M»nh · 1.2.8. [1] Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc n ≥ 1. Khi â, måi h m n«ng l÷ñng Monge - Amp±re Cω tr¶n X l n«ng l÷ñng Choquet. 1.3 T½ch ph¥n Choquet Cho X l mët khæng gian tæpæ, compact. Cho C l h m n«ng l÷ñng Choquet tr¶n X , K ⊂ X l mët tªp con Borel cõa X . Kþ hi»u 1K l h m °c tr÷ng tr¶n K . ành ngh¾a 1.3.1. T½ch ph¥n Choquet cõa mët h m Borel khæng ¥m f : X −→ R+ tr¶n X ÷ñc x¡c ành bði Z Z +∞ f dC := C({f ≥ t})dt. X 0 7
Tø ành ngh¾a 1.3.1, b¬ng c¡ch êi bi¸n ta câ nhªn x²t sau Nhªn x²t 1.3.2. Vîi måi sè mô p ≥ 1, ta câ Z Z +∞ p f dC := p tp−1 C({f ≥ t})dt. X 0 Hìn núa, n¸u K ⊂ X l mët tªp con Borel cõa X th¼ Z 1K dC = C(K). X ành ngh¾a 1.3.3. Vîi måi p ≥ 1, °t Lp (X, C) := {f ∈ B(X, R); kf kLp (X,C) < +∞}, trong â B(X, R) l khæng gian c¡c h m Borel gi¡ trà thüc tr¶n X v Z 1/p p kf kLp (X,C) := |f | dC . X Tø t½nh ch§t cëng t½nh d÷îi cõa c¡c h m n«ng l÷ñng, chóng ta câ k¸t qu£ sau M»nh · 1.3.4. Cho f, g ∈ Lp (X, C) v λ ∈ R. Khi â, ta câ 1. N¸u 0 ≤ f ≤ g th¼ gdC . R R X f dC ≤ X 2. kλf kLp (X,C) = |λ|kf kLp (X,C) . 3. kf + gkLp (X,C) ≤ 2(kf kLp (X,C) + kgkLp (X,C) ), Chùng minh. Hai k¸t luªn ¦u l hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a 1.3.3. v vîi måi f, g ∈ Lp (X, C), ta câ t t {f + g ≥ t} ⊂ {f ≥ } ∪ {g ≥ }. 2 2 Tø t½nh ch§t cëng t½nh d÷îi cõa c¡c h m n«ng l÷ñng suy ra kλf kLp (X,C) = |λ|kf kLp (X,C) . i·u ph£i chùng minh. Nhªn x²t 1.3.5. Trong tr÷íng hñp °c bi»t khi Lp (X, C) l mët khæng gian v²c tì. Tø b§t ¯ng thùc thù 3 tüa b§t ¯ng thùc tam gi¡c trong M»nh · 1.3.4, chóng ta câ thº trang bà cho Lp (X, C) mët metric b§t bi¸n ρ sao cho mët d¢y h m (fj ) hëi tö tîi h m f t÷ìng ÷îng vîi metric ρ n¸u v ch¿ n¸u lim kfj − f kLp (X,C) = 0. j→+∞ 8
M»nh · 1.3.6. [10] Cho (fj ) l mët d¢y h m Borel khæng ¥m tr¶n X . Khi â, ta câ 1. N¸u (fj ) l mët d¢y h m khæng gi£m v f := supj fj th¼ Z Z Z f dC = lim fj dC = sup fj dC. X j→+∞ X j X 2. N¸u d¢y h m (fj ) l mët d¢y gi£m c¡c h m d÷ìng, nûa li¶n töc tr¶n v f := inf j fj th¼ Z Z Z f dC = lim fj dC = inf fj dC. X j→+∞ X j X Chùng minh. C¡c k¸t luªn tr¶n ¥y cõa m»nh · l h» qu£ trüc ti¸p tø nhúng t½nh ch§t li¶n töc cõa h m n«ng l÷ñng Choquet. 1.4 Lîp Choquet-Monge-Amp±re Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi n - chi·u phùc. ành ngh¾a 1.4.1. Lîp Choquet-Monge-Amp±re tr¶n X ÷ñc x¡c ành bði Chp (X, ω) := PSH(X, ω) ∩ Lp+n (X, Cω ). Nhªn x²t 1.4.2. Tø ành ngh¾a 1.4.1, suy ra n¸u ϕ ∈ Chp (X, ω) v ϕ ≤ 0 th¼ Z Z +∞ p+n (−ϕ) dCω = (p + n) tp+n−1 Cω ({ϕ ≤ −t})dt. X 0 Hìn núa, ta câ Z Cω ({ϕ ≤ −t}) ≤ t−p−n (−ϕ)p+n dCω . X Ti¸p theo, chóng ta câ t½nh ch§t lçi cõa lîp Choquet-Monge-Amp±re M»nh · 1.4.3. Lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp (X, ω) l mët tªp lçi. Hìn núa, n¸u (ϕj ) ∈ Chp (X, ω)N l mët d¢y h m trong lîp Choquet- Monge-Amp±re hëi tö theo L1 (X) ¸n h m ϕ ∈ PSH(X, ω) v thäa m¢n supj X (−ϕj )p+n dCω < +∞, th¼ ta câ ϕ ∈ Chp (X, ω) v R Z Z (−ϕ) dCω ≤ lim inf (−ϕj )p+n dCω . p+n X j→+∞ X 9
Chùng minh. °t !∗ ϕ˜j := sup ϕ` . `≥j Khi â, ta câ d¢y (ϕ˜j ) l mët d¢y khæng t«ng c¡c h m trong PSH(X, ω) hëi tö tøng khóc tîi h m ϕ. V¼ ϕj ≤ ϕ˜j ≤ 0 vîi måi j chóng ta s³ chùng minh ϕ˜j ∈ Chp (X, ω) v Z Z Z p+n (−ϕ˜j ) dCω ≤ (−ϕj ) dCω ≤ M := sup (−ϕj )p+n dCω . p+n X X j X Theo M»nh · 1.3.6, suy ra Z Z (−ϕ) dCω = lim (−ϕ˜j )p+n dCω p+n X j XZ ≤ lim inf (−ϕj )p+n dCω ≤ M. j X V¼ vªy, ta câ ϕ ∈ Chp (X, ω) v do â ta câ Z Z (−ϕ) dCω ≤ lim inf (−ϕj )p+n dCω . p+n X j→+∞ X Vªy M»nh · 1.4.3 ÷ñc chùng minh. 10
Ch÷ìng 2 C¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc n ≥ 1. Trong ch÷ìng n y, chóng ta tªp trung nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa c¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact X v so s¡nh vîi c¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n E q (X, ω) ÷ñc ành ngh¾a bði V. Guedj v A. Zeriahi n«m 2007 trong [11]. Cuèi ch÷ìng, chóng ta s³ nghi¶n cùu £nh cõa to¡n tû Monge-Amp±re phùc tr¶n lîp Choquet- Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p K ahler compact húu h¤n chi·u. 2.1 C¡c lîp n«ng l÷ñng húu h¤n tr¶n c¡c a t¤p Kahler com- pact. Cho (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u phùc n ≥ 1. Cho ϕ ∈ PSH(X, ω) l mët h m ω -a i·u háa d÷îi tr¶n X . Vîi méi j ≥ 0, x²t c¡c h m x§p x¿ ch½nh tc cho bði ϕj := max(ϕ, −j) ∈ PSH(X, ω) ∩ L∞ (X). Theo lþ thuy¸t Bedford-Taylor [1], c¡c ë o M A(ϕj ) ho n to n ÷ñc x¡c ành v l c¡c ë o x¡c su§t. V¼ d¢y {ϕj }j l gi£m n¶n d¢y ë o x¡c su§t {M A(ϕj )}j hëi tö y¸u. M»nh · 2.1.1. D¢y c¡c ë o µj := 1{ϕ>−j} M A(ϕj ) l mët d¢y t«ng c¡c ë o Borel. 11
Chùng minh. Cho u, v l c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n mët tªp con mð D cõa Cn . Khi â, ta câ 1{u>v} [ddc u]n = 1{u>v} [ddc max(u, v)]n (2.1) theo ngh¾a cõa ë o Borel tr¶n D. Theo (2.1), suy ra d¢y h m (ϕj )j l mët d¢y gi£m. Do â, ta câ 1{ϕj >−k} [ω + ddc ϕj ]n = 1{ϕj >−k} [ω + ddc max(ϕj , −k)]n . N¸u j ≥ k th¼ (ϕj > −k) = (ϕ > −k) v max(ϕj , −k) = ϕk , v¼ vªy 1{ϕ>−k} [ω + ddc ϕj ]n = 1{ϕ>−k} [ω + ddc ϕk ]n . M°t kh¡c, v¼ (ϕ > −k) ⊂ (ϕ > −j) n¶n suy ra j ≥ k =⇒ 1{ϕ>−j} [ω + ddc ϕj ]n ≥ 1{ϕ>−k} [ω + ddc ϕk ]n , theo ngh¾a cõa c¡c ë o Borel y¸u. Ta câ, trång to n cöc cõa ë o Monge-Amp±re 1{ϕ>−j} M A(ϕj ) = 1{ϕ>−j} [ω + ddc ϕj ]n bà ch°n tr¶n bði X ω n = 1. Suy ra, trång to n cöc R cõa c¡c c¡c ë o µj bà ch°n tr¶n b÷ði 1. Theo ành lþ Stokes, ta câ µϕ := lim 1{ϕ>−j} [ω + ddc ϕj ]n . j→+∞ l mët ë o Borel d÷ìng tr¶n X , vîi trång to n cöc µϕ (X) l§y gi¡ trà trång [0, X ω n ]. Hay ta câ trång to n cöc µϕ (X) l§y gi¡ trà ≤ 1 tr¶n X . R i·u ph£i chùng minh. ành ngh¾a 2.1.2. ành ngh¾a E(X, ω) := {ϕ ∈ PSH(X, ω) | µϕ (X) = 1} . Vîi ϕ ∈ E(X, ω), °t M A(ϕ) := µϕ . Nhªn x²t 2.1.3. 1) Tø ành ngh¾a 2.1.2 suy ra c¡c to¡n tû Monge- Amp±re ϕ 7→ M A(ϕ) ho n to n ÷ñc ành ngh¾a tr¶n lîp E(X, ω) v câ trång to n cöc X ω n trong X \ (ϕ = −∞). Tùc l vîi måi d¢y gi£m R cõa c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi ϕj (°c bi»t h m nh®n), ta d¢y câ ë o x¡c su§t M A(ϕj ) hëi tö y¸u ¸n ë o µϕ n¸u ϕ ∈ E(X, ω). Do â, chóng ta câ thº sû döng kh¡i ni»m sau mët c¡ch tü nhi¶n M A(ϕ) = (ω + ddc ϕ)n := µϕ = lim 1{ϕ>−j} [ω + ddc ϕj ]n , j→+∞ 12
vîi ϕ ∈ E(X, ω). 2) V¼ {ϕ > −j} = X vîi j õ lîn n¶n vîi måi h m ω - a i·u háa d÷îi bà ch°n ·u thuëc v o lîp E(X, ω). Do â, ta câ µϕ ≡ µj = M A(ϕj ) = M A(ϕ). Tuy nhi¶n, lîp E(X, ω) công bao gçm c¡c h m ω - a i·u háa d÷îi khæng bà ch°n. Khi X l mët m°t Riemann compact (vîi sè chi·u phùc n = dimC X = 1), ta câ tªp hñp E(X, ω) l tªp c¡c h m ω - i·u háa d÷îi m câ Laplace khæng l m thay êi c¡c tªp a cüc. 3) N¸u ϕ ∈ PSH(X, ω) l mët h m ω - a i·u háa d÷îi tr¶n X ÷ñc chu©n hâa sao cho ϕ ≤ −1 th¼ −(−ϕ)ε thuëc v o lîp E(X, ω) trong â 0 ≤ ε < 1. Ti¸p theo, chóng ta câ nguy¶n lþ so s¡nh èi vîi c¡c h m trong lîp E(X, ω). M»nh · 2.1.4. [11, ành lþ 1.5] Cho u, v ∈ E(X, ω). Khi â, ta câ Z Z M A(u) ≤ M A(v). {v
2.2 N«ng l÷ñng Choquet Cho ϕ ∈ PSH− (X, ω) l mët h m ω - a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n a t¤p Kahler compact X v cho p ≥ 1, °t n X Z Z Chp (ϕ) := Cjn (−ϕ)p+j ωϕn−j ∧ ω j = (−ϕ)p [(−ϕ)ω + ωϕ ]n . j=0 X X ! n Trong luªn v«n, chóng ta sû döng kþ hi»u Cnj := v j Z V olω (X) := ωn. X Khi â, chóng ta t½nh ch§t cõa h m n«ng l÷ñng Monge-Amp±re tr¶n lîp E(X, ω) sau M»nh · 2.2.1. Cho c¡c h m ϕ, ψ ∈ E(X, ω). Khi â, vîi måi s > 0 v 0 ≤ δ ≤ 1 ta câ Z n δ Cω ({ϕ − ψ < −s − δ}) ≤ M A(ϕ). {ϕ−ψ
Ti¸p theo, chóng ta chùng minh k¸t luªn ¦u ti¶n cõa M»nh · 2.2.1.Cè ành u ∈ P SH(X, ω) vîi 0 ≤ u ≤ 1. Khi â, vîi δ > 0 °t δ = t/(1 + t). Suy ra 0 ≤ δ ≤ 1 v ψ + tu {ϕ − ψ < −s − δ} ⊂ ϕ < − s − δ ⊂ {ϕ − ψ < −s − δψ}. 1+t °t ϕ˜ := (ψ + tu)/(1 + t) − s − δ ∈ P SH(X, ω). V¼ ta câ n Z 1 t Z Z δn ωun ≤ ωψ + ωu ≤ [ω+ddc ϕ] ˜ n. (ϕ−ψ