Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của P. H. Quý trong bài báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one". Kết quả khẳng định nếu M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho p(M) ≤ 1 thì irM(q M) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THÀNH TRUNG CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đỗ Minh Châu THÁI NGUYÊN - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. 4 ăm 2019 T giả ận n Nguyễn Thành Trung i
LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chặn đều chỉ số khả quy cho Iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương" được hoàn thành sau thời gian 2 năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo của tôi - TS. Trần Đỗ Minh Châu, người cô kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 25. Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình, bạn bè đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và nghiên cứu thật tốt. iiiii
iii
MỞ ĐẦU Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Giả sử x = x1 , . . . , xd là một hệ tham số của M và q = (x1 , . . . , xd ). Cho n = (n1 . . . , nd ) là bộ gồm d số nguyên dương và xn = xn1 1 , . . . , xnd d . Ta xem hiệu IM,x (n) = `(M/xn M ) − e(xn ; M ) như một hàm theo biến n trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với dãy x. Mặc dù IM,x (n) không là đa thức với n1 , . . . , nd đủ lớn nhưng nó bị chặn trên bởi các đa thức. Trong [7], N. T. Cường đã chứng minh được bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn trên IM,x (n) là không phụ thuộc vào việc chọn x. Bậc này được gọi là kiểu đa thức của M, kí hiệu là p(M ). Chú ý rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu `(M/ q M ) = e(q; M ), với một (và do đó với mọi) iđêan tham số q của M. Vì thế nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1. Để mở rộng lớp môđun Cohen- Macaulay, J. Stuckrad và W. Vogel đã giới thiệu lớp môđun Buchsbaum. Một R-môđun M được gọi là Buchsbaum nếu và chỉ nếu với mọi iđêan tham số q, hiệu `(M/ q M ) − e(q; M ) là không đổi. Sau đó, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [9] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Môđun M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu hiệu `(M/ q M ) − e(q; M ) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Dễ 1
dàng thấy rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M ) ≤ 0. Cho đến nay vẫn còn rất ít thông tin về cấu trúc của M khi p(M ) > 0. Cho q là iđêan tham số của M. Số thành phần bất khả quy xuất hiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn của q M được gọi là chỉ số khả quy của q trong M và kí hiệu là irM (q M ). Chú ý rằng ta luôn có irM (q M ) = dimR/m Soc(M/ q M ), trong đó với mỗi R-môđun N tùy ý, Soc(N ) = (0 :N m). Một kết quả cổ điển của D. G. Northcott phát biểu rằng chỉ số khả quy của các iđêan tham số đối với môđun Cohen-Macaulay là một bất biến của môđun M. Trong [11], S. Endo và M. Narita đã đưa ra ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại là không đúng. Khi M là môđun Cohen- Macaulay suy rộng, S. Goto và N. Suzuki [13] đã chứng minh rằng irM (q M ) có chặn trên cho bởi công thức d−1 ! X d irM (q M ) ≤ `R (Hmj (M )) + dimk Soc Hmd (M ) j=0 j với mọi iđêan tham số q của M. Trong trường hợp M là môđun Buchs- baum, S. Goto và H. Sakurai [12] đã chứng minh dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra với mọi iđêan tham số q nằm trong lũy thừa đủ lớn của m. Tiếp theo, N. T. Cường và H. L. Trường [10] đã mở rộng kết quả của Goto, H. Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Gần đây, N. T. Cường và P. H. Quý đã sử dụng kỹ thuật chẻ ra của đối đồng điều địa phương để chứng minh lại kết quả này. Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của P. H. Quý trong bài báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter 2
ideals of a module whose polynomial type is at most one". Kết quả khẳng định nếu M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho p(M ) ≤ 1 thì irM (q M ) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của môđun hữu hạn sinh gồm chiều, độ sâu và số bội; khái niệm và tính chất của Đối ngẫu Matlis, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại và kiểu đa thức. Chương 2 trình bày khái niệm chỉ số khả quy, chặn đều số phần tử sinh tối tiểu của môđun con trong trường hợp chiều 1 và chặn đều chỉ số khả quy trong trường hợp p(M ) ≤ 1. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđun tùy ý không nhất thiết hữu hạn sinh. 1.1. Chiều, hệ tham số và số bội của môđun hữu hạn sinh Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả về các bất biến của R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu và số bội ứng với một hệ tham số. Định nghĩa 1.1.1. Ta nói dãy các iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn của R có độ dài n nếu qi 6= qi+1 với mọi i. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R. Ví dụ 1.1.2. (i) Cho k là một trường. Vành các đa thức vô hạn biến R = k[X1 , X2 , . . . , Xn , . . .] có chiều là ∞ vì xích các iđêan nguyên tố (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ . . . ⊂ (X1 , X2 , . . . , Xn ) ⊂ . . . tăng vô hạn. (ii) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của R đều là một iđêan cực đại. Đặc biệt, mỗi trường đều có chiều bằng 0. 4
(iii) Vành các số nguyên Z có dim Z = 1, vì 0 là một iđêan nguyên tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.1.3. Chiều Krull của M, kí hiệu là dim M, là chiều Krull của vành R/ AnnR (M ). Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử m ∈ M sao cho p = AnnR (m). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M. Chú ý rằng iđêan nguyên tố p ∈ AssR M nếu và chỉ nếu M chứa một môđun con đẳng cấu với R/ p . Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR M và tập các iđêan tối tiểu của AssR M là bằng nhau. Vì thế ta có công thức tính dim M qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M như sau. Bổ đề 1.1.4. dim M = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR M }. Cho I 6= R là iđêan của R. Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ nếu √ ab ∈ I và a ∈ / I kéo theo b ∈ I với mọi a, b ∈ R. Chú ý rằng nếu I là √ iđêan nguyên sơ thì p = I là iđêan nguyên tố. Trong trường hợp này ta nói I là iđêan p-nguyên sơ. Cho L là R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Dãy 0 = L0 & L1 & L2 & . . . & Lt = L (*) trong đó mỗi Li là môđun con của L được gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy hợp thành nếu tồn tại dãy (*) mà giữa Li và Li+1 không thể thêm một môđun con nào khác, với mọi i = 0, . . . , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành thì mọi dãy môđun con không 5
có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng được thành một dãy hợp thành và các dãy hợp thành của L có chung độ dài. Trong trường hợp này ta nói L có độ dài hữu hạn và độ dài của L, kí hiệu là `R (L), là độ dài của một dãy hợp thành. Nếu L không có dãy hơp thành thì ta nói L có độ dài vô hạn, ta kí hiệu `R (L) = ∞. Định lý sau cho ta hai bất biến tương đương với chiều Krull của M . Định lý 1.1.5. [14, Định lý 13.4]. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó `R (M/ qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và dim M = deg `R (M/ qn M ) = inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m, `R (M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞}. Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn tại hữu hạn phần tử x1 , . . . , xt thuộc m sao cho m = (x1 , . . . , xt )R. Vì `R (M/mM ) < ∞ nên ta suy ra `R (M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞. Do đó theo Định lý 1.1.5 ta có dim M ≤ t. Suy ra dim M < ∞. Định nghĩa 1.1.6. Một hệ gồm d phần tử {x1 , . . . , xd } nằm trong m được gọi là một hệ tham số của M nếu `R (M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞. Nếu {x1 , . . . , xd } là một hệ tham số của M thì xi được gọi là một phần tử tham số của M và tập con i phần tử {x1 , . . . , xi } được gọi là một phần hệ tham số của M. Chú ý rằng luôn tồn tại hệ tham số của M theo Định lý 1.1.5. Khi đó (x1 , . . . , xd ) + AnnR M là iđêan m-nguyên sơ. Mệnh đề sau cho ta một số tính chất của hệ tham số. Mệnh đề 1.1.7. Các phát biểu sau là đúng. 6
(i) Nếu {x1 , . . . , xd } là một hệ tham số của M thì {xn1 1 , . . . , xnd d } cũng là một hệ tham số của M với mọi n1 , . . . , nd ∈ N. (ii) Cho x ∈ m. Khi đó x là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x ∈ /p với mọi p ∈ AssR M thỏa mãn dim R/ p = d. n Với hai số tự nhiên k ≤ n, ta đặt k là tổ hợp chập k của n phần tử. Định nghĩa 1.1.8. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số của M. Đặt q = (x1 , . . . , xd ). Khi đó tồn tại các số nguyên e0 , e1 , . . . , en với e0 > 0 sao cho với n đủ lớn ta có. ! ! n+d n+d−1 `R (M/ qn M ) = e0 + e1 + . . . + en . d d−1 Ta gọi e0 là số bội của M ứng với x và kí hiệu là e(x, M ). 1.2. Đầy đủ theo tôpô m-adic và Đối ngẫu Matlis Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là R- môđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Mục tiêu của tiết này là nhắc lại khái niệm vành đầy đủ R b của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := Hom(−, E(R/m)). Nội dung tiết này tham khảo trong [4, Chương 10]. Định nghĩa 1.2.1. Một dãy (xn ) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N để xn − xm ∈ mk , với mọi m, n ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊂ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk , với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy không. Kí hiệu R b là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý 7
rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế chúng là các phép toán trên R b và cùng với phép toán này R b làm thành một vành b . Vành R Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất m b vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R. Một dãy (zn ) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho zn − zm ∈ mk M, với mọi m, n ≥ n0 . Dãy (zn ) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho zn ∈ mk , với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (zn ), (tn ) được gọi là tương đương nếu dãy (zn − tn ) là dãy không. Kí hiệu M c là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng tổng của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một phần tử thuộc R b với một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn ) + (tn ) = (zn + tn ) và quy tắc nhân vô hướng a(zn ) = (azn ) với a ∈ R, b không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên M c và cùng với phép toán này M c làm thành một R b-môđun và được gọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành R. b Ví dụ 1.2.2. Cho k là một trường, k[x] là một vành đa thức một biến trên k. Vành S = k[x] không là vành địa phương. Chọn P = (x)S là iđêan cực đại của S. Do đó vành địa phương hóa R = SP là vành địa phương với iđêan tối đại là m = (x)R. Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic của R là k[[x]]. Định nghĩa 1.2.3. Cho L 6= 0 là một R-môđun, một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩ L 6= 0. Một R-môđun E được gọi là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của 8
L. Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, nếu E và E 0 là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E 0 sao cho f (x) = x, với mọi x ∈ L. Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là E(L). Một giải nội xạ của L là một dãy khớp 0 → L → E0 → E1 → E2 → . . . trong đó mỗi Ei là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải nội xạ. Định nghĩa 1.2.4. Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R. Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các R-môđun đến chính nó. Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính và khớp trái. Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi R-môđun L, ta gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L. Xét µL : L → DD(L) = HomR (HomR (L, E), E) là đồng cấu cho bởi (µL (x))(f ) = f (x), với mỗi x ∈ L, với mọi f ∈ HomR (L, E). Ta có µL là đơn cấu. Thật vậy, giả sử 0 6= x ∈ L. Xét R-đồng cấu f 0 : Rx → R/m xác định bởi f 0 (rx) = r + m với mọi r ∈ R. Khi đó f 0 (x) = 1 + m 6= 0. Xét đơn cấu nhúng i : R/m → E. Do E là bao nội xạ nên tồn tại f : L → E sao cho f = f j = if 0 , trong đó j là đơn cấu nhúng từ Rx → L. Vì thế f (x) = f j(x) = if 0 (x) = f 0 (x) 6= 0. Suy ra µL (x)(f ) 6= 0. Vậy µL là đơn cấu. Bổ đề 1.2.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Các phát biểu sau là đúng. (i) AnnR L = AnnR D(L); (ii) Nếu `R (L) < ∞ thì D(L) ∼ = L; 9
(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin; (iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun Noether. 1.3. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Trong tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh). Mục đích của tiết này là trình bày các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương phục vụ cho chương sau. Các kiến thức và thuật ngữ ở đây được tham khảo từ cuốn sách của Brodmann-Sharp [4]. Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI (L) = ∪n≥0 (0 :L I n ). Chú ý rằng ΓI (L) là môđun con của L. Nếu f : L → L0 là đồng cấu các R-môđun thì f ∗ : ΓI (L) → ΓI (L0 ) cho bởi f ∗ (x) = f (x) cũng là đồng cấu. Do đó ta có hàm tử ΓI (−) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù R-môđun. Rõ ràng, ΓI (−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái và ta gọi nó là hàm tử I -xoắn. Định nghĩa 1.3.2. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I -xoắn ΓI (−) ứng với R-môđun L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của L với giá I, và được kí hiệu bởi HIn (L). Cụ thể để tính HIi (L) ta lấy α0 1 u u 0→L→ − E0 − → E1 − → E2 → . . . là một giải nội xạ tùy ý của L, sau đó tác động hàm tử ΓI (−) ta được đối phức 0 u∗ 1 u∗ 0 → Γ(E0 ) − → Γ(E1 ) − → Γ(E2 ) → . . . Khi đó HIi (L) = Ker u∗i / Im u∗i−1 là môđun đối đồng điều thứ i của đối phức trên. Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L. Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I -xoắn nếu L = ΓI (L). Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. 10
Mệnh đề 1.3.3. Các phát biểu sau đây là đúng: (i) HI0 (L) ∼ = ΓI (L); (ii) Nếu L là nội xạ thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1; (iii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1; (iv) HIi (L) là môđun I -xoắn với mọi I; (v) HIj (HIi (L)) = 0 với mọi j > 0; (vi) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : HIn (L00 ) → HIn+1 (L0 ) gọi là đồng cấu nối, sao cho ta có dãy khớp dài: δ → ΓI (L0 ) → ΓI (L) → ΓI (L”) − →0 HI1 (L0 ) → HI1 (L) → HI1 (L00 ) δ − →1 HI2 (L0 ) → HI2 (L) → . . . Một kết quả rất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là Định lý triệt tiêu của Grothendieck. Định lý 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. Khi đó HIi (M ) = 0 với mọi i > dim M. Ví dụ 1.3.5. Cho R = Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđun hữu hạn sinh với dim = 0 và I = 12Z. Ta có HI0 (M ) = M và theo Định lý triệt tiêu của Grothendieck thì HIi (M ) = 0 với mọi i > 0. Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh nhìn chung không Artin. Sau đây là một kết quả về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp. Định lý 1.3.6. (Xem [4, Định lý 7.1.3]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0. 11
1.4. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường sử dụng trong chương 2 về lớp môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng. Trước hết ta nhắc lại khái niệm độ sâu của môđun. Định nghĩa 1.4.1. (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là ước của không đối với M nếu 0 :M x = 0, tức là xm = 0 kéo theo m = 0 với mọi m ∈ M. (ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính quy nếu ta có 0 :M x = 0 và M 6= xM, tức là x không là ước của không đối với M và xM 6= M. (iii) Một dãy các phần tử (x1 , . . . , xk ) trong vành R được gọi là M -dãy chính quy hay M -dãy nếu xi là M/(x1 , . . . , xi−1 )-chính quy với mọi i = 1, . . . , k, tức là M 6= (x1 , . . . , xk )M và ((x1 , . . . , xi−1 )M :M xi ) = (x1 , . . . , xi−1 )M với mọi i = 1, . . . , k. Ví dụ 1.4.2. Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức ba biến x, y, z trên một trường k. Khi đó x, y, z là R-dãy vì R 6= (x, y, z)R, và ta có (0 :R x) = 0, (0 :R/xR y) = 0, (0 :R/(x,y)R z) = 0. Định nghĩa 1.4.3. Một M -dãy (x1 , . . . , xk ) các phần tử trong I được gọi là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1 , . . . , xk , y) là M -dãy. Mệnh đề 1.4.4. Giả sử M 6= IM. Khi đó mỗi M -dãy trong I đều mở rộng được thành M -dãy tối đại trong I và hai M -dãy tối đại trong I có chung độ dài. Định nghĩa 1.4.5. Độ dài của một M -dãy chính quy tối đại trong I được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ). Độ sâu của 12
M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâu của M. Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M. Từ đó, ta có định nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau Định nghĩa 1.4.6. M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M. Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Một trong những ví dụ quan trọng về vành Cohen-Macaulay là vành K[[x1 , . . . , xn ]] các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K. Vành này có chiều và độ sâu đều là n vì ta có dãy chính quy x1 , . . . , xn của R = K[[x1 , . . . , xn ]]. Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen- Macaulay. Mệnh đề 1.4.7. Các khẳng định sau đây là đúng. (i) Giả sử M là Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/ p = dim M với mọi p ∈ AssR M. (ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là M -dãy. Mệnh đề 1.4.8. Các điều kiện sau là tương đương. (i) M là môđun Cohen-Macaulay. (ii) M c là Cohen-Macaulay. (iii) M/xM là Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính quy x ∈ m. (iv) Hmi (M ) = 0 với mọi i = 0, . . . , d − 1. 13
Giả sử e(x, M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ). Ta luôn có e(x, M ) ≤ `R (M/xM ). Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x là M -dãy. Từ đó ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.4.9. M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e(x, M ) = `R (M/xM ) với mọi hệ tham số x. Định nghĩa 1.4.10. Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu: supx (`R (M/xM ) − e(x, M )) < ∞, trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của M. Định nghĩa 1.4.11. Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu R-môđun R là Cohen-Macaulay suy rộng. Sau đây là một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Định lý 1.4.12. Các phát biểu sau đây là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) `R (Hmi (M )) < ∞, với mọi i < d. (iii) M c là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. 1.5. Kiểu đa thức Khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N.T. Cường trong [6]. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M và n = (n1 , . . . , nd ) là một bộ gồm d số nguyên dương. Xét hiệu số IM,x (n) = `R (M/(xn1 1 , . . . , xnd d )M ) − e(xn1 1 , . . . , xnd d ; M ) 14
trong đó e(x, M ) là bội của M ứng với hệ tham số x. Nhìn chung, IM,x (n) xét như một hàm số với các biến n1 , . . . , nd không là đa thức với n1 , . . . , nd đủ lớn nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đa thức. Định nghĩa 1.5.1. Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn trên hàm số IM,x (n) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x. Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của M và được kí hiệu là p(M ). Kiểu đa thức của một môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin về cấu trúc của môđun đó. Chẳng hạn, nếu quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì rõ ràng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Kiểu đa thức của một môđun có thể coi là một độ đo tốt để xem môđun đó gần với tính Cohen-Macaulay như thế nào. Sau đây là một số tính chất cơ bản của kiểu đa thức p(M ). Mệnh đề 1.5.2. Các khẳng định sau là đúng. (i) p(M ) ≤ d − 1. (ii) Nếu kí hiệu M c là đầy đủ m-adic của M thì p(M ) = p b (M R c). Đặt ai (M ) = Ann Hmi (M ) với 0 ≤ i ≤ d − 1. Ta cũng đặt a(M ) = a0 (M ) . . . ad−1 (M ). Kí hiệu nCM(M ) = {p ∈ Supp(M ) | Mp không Cohen-Macaulay}. Chú ý rằng M được gọi là đẳng chiều nếu dim R/ p = dim M với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu p của M . Định lý sau cho ta thấy ý nghĩa của kiểu đa thức. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu 15