Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt và bài toán Elastic ngược

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt và bài toán Elastic ngược gồm có 3 chương, trong đó chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, chương 2 - Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt, chương 3 - Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt và bài toán Elastic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt và bài toán Elastic ngược

THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH PHÙNG TRỌNG THỰC CHỈNH HÓA NGHIỆM CHO BÀI TOÁN NHIỆT VÀ BÀI TOÁN ELASTIC NGƯỢC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trường ĐH Sư Phạm và ĐH KHTN đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt thời gian học cao học Toán. Đặc biệt em chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng đã rất ân cần và chu đáo hướng dẫn em làm luận văn này. Học Viên: Phùng Trọng Thực.
1 MỞ ĐẦU Nội dung chính của luận văn là đưa ra sự chỉnh hóa nghiệm cho một dạng của bài toán nhiệt hai chiều và bài toán Elastic ba chiều. Cụ thể là đưa ra một chỉnh hóa nghiệm cho các bài toán: Bài toán nhiệt: Cho T > 0 là độ dài của thời gian quan sát và Ω = (0, 1) × (0, 1) là vật dẫn nhiệt. Xác định cặp hàm (u, f ) thỏa mãn hệ:     ut − ∆u = ϕ (t) f (x, y) ,   u (0, y, t) = u (1, y, t) = u (x, 0, t) = u (x, 1, t) = 0, x x y y    u (1, y, t) = 0,   u (x, y, 0) = g (x, y) , với (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T ), trong đó g ∈ L1 (Ω) và ϕ ∈ L1 (0, T ) được cho. Bài toán Elastic: Cho T > 0 là độ dài của thời gian quan sát và Ω = (0, 1) × (0, 1) × (0, 1) là vật thể đàn hồi đẳng hướng ba chiều. Xác định cặp (u, f ) thỏa mãn hệ: ∂ 2u  + µ∆u + (λ + µ) ∇ (div (u)) = ϕ (f1 , f2 , f3 ) , (x, t) ∈ Ω × (0, T ) ,   ∂t2         (u1 (x, t) , u2 (x, t) , u3 (x, t)) = (0, 0, 0) , (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ) ,  1 (x, 0) , u2 (x, 0) , u3 (x, 0)) = (g1(x) , g2 (x) , g3 (x)) , x ∈ Ω, (u     ∂u1 ∂u2 ∂u3 (x, 0) , (x, 0) , (x, 0) = (h1 (x) , h2 (x) , h3 (x)) , x ∈ Ω,  ∂t ∂t  ∂t            σ1 τ12 τ13 n1 X1   τ21 σ2 τ23   n2  =  X2  ,           τ31 τ32 σ3 n3 X3  ∂uj với λ và µ là các hằng số thỏa µ < 0, λ + 2µ < 0, σj = λdiv (u) + 2µ , ∂xj
2 ∂uj ∂uk τjk = µ( + ) và n = (n1 , n2 , n3 ) là pháp vectơ đơn vị hướng ra ngoài ∂xk ∂xj trên ∂Ω. Trong đó dữ kiện được cho là 1 1 1 3 2 3 2 3 I (ϕ, X, g, h) ∈ L (0, T ) , L 0, T, L (∂Ω) , L (Ω) , L (Ω) . Bài toán nhiệt và bài toán Elastic như trên là những bài toán ngược, không chỉnh. Tính không chỉnh của bài toán ở chỗ bài toán có thể không tồn tại nghiệm hoặc nếu tồn tại duy nhất nghiệm thì nghiệm có thể không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện được cho. Trong những năm gần đây, một số tác giả đã có những nghiên cứu về các bài toán này. Chẳng hạn xem xét về sự duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán nhiệt trong [12], [14], [15], [16]; sự chỉnh hóa trong trường hợp nghiệm không ổn định cho bài toán nhiệt trong [5], [6], [9]; tính duy nhất nghiệm cho bài toán Elastic trong [8], [11] và đưa ra sự chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic hai chiều trong [8]. Bởi vì các bài toán trên là những bài toán ngược không chỉnh nên sự chỉnh hóa nghiệm là cần thiết. Trong [7], các tác giả Trong, Dinh, Nam đã đưa ra một sự chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt bằng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier và sử dụng một vài kỹ thuật, chẳng hạn phương pháp nội suy để xấp xỉ các hệ số của chuỗi cắt ngắn từ các dữ kiện nhiễu. Ưu điểm của phương pháp này là có thể loại bỏ những giả thiết trên nghiệm về điều kiện cuối của thời gian. Chú ý rằng trong [6], [8], [9] các tác giả cần sử dụng thông tin về điều kiện cuối của thời gian u (x, T ) trong việc chỉnh hóa nghiệm bởi vì nó giúp đưa ra công thức biến đổi Fourier của f và từ đó khôi phục được f . Dựa vào nhận xét phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier cũng có thể áp dụng để chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic và giúp ta loại bỏ các giả thiết trên nghiệm về điều kiện cuối của thời gian (điều mà trong [8] khi chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic hai chiều các tác giả cần sử dụng đến) nên trong luận văn này sẽ đưa ra một sự trình bày chi tiết cho phương pháp này để chỉnh hóa nghiệm của bài toán Elastic, nhưng so với [8] luận văn có hai điểm mới sau: • Mở rộng xem xét bài toán Elastic trên không gian 3 chiều. • Bỏ đi các ràng buộc trên nghiệm về điều kiện cuối của thời gian.
3 Luận văn bao gồm ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số định nghĩa, các kết quả và một số kiến thức bổ trợ sẽ được dùng đến trong các chương sau. Chương 2. Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt Trong chương này trình bày về sự duy nhất nghiệm và chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt. Đây là sự trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [7] và qua đó cho thấy phương pháp mà các tác giả đã sử dụng để chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt hai chiều. Chương 3. Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic Trong chương này trình bày về sự duy nhất nghiệm và đưa ra một sự chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic ba chiều. Trong chương 2 và 3 đều có phần giải số để minh họa cho các kết quả thu được.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính không chỉnh và sự chỉnh hóa Tính không chỉnh. Một bài toán ngược gọi là không chỉnh nếu nó thỏa mãn ít nhất một trong ba điều sau: • Bài toán không tồn tại nghiệm. • Bài toán không duy nhất nghiệm. • Nghiệm bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán, tức là với một thay đổi nhỏ trên dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến thay đổi lớn trên nghiệm của bài toán. Sự chỉnh hóa. Trong trường hợp bài toán ngược tồn tại và duy nhất nghiệm tuy nhiên nghiệm bài toán không ổn định với dữ kiện được cho, tức là sai số nhỏ trên dữ kiện (điều này đúng trong thực tế vì các dữ kiện chỉ là dữ kiện đo đạc khá gần với dữ kiện chính xác) có thể dẫn đến sai số lớn trên nghiệm, khi đó sự chỉnh hóa nghiệm là cần thiết. Chỉnh hóa nghiệm tức là từ các dữ kiện đo đạc (có thể có sai số so với dữ kiện chính xác) ta xây dựng một nghiệm mới, gọi là nghiệm chỉnh hóa. Nghiệm chỉnh hóa có thể không phải là nghiệm chính xác của bài toán (ứng với dữ kiện chính xác) nhưng ta có thể kiểm soát được sai số của nghiệm chỉnh hóa so với nghiệm chính xác nhỏ như mong muốn. 4
5 1.2 Hệ Lamé Hệ Lamé được thiết lập từ các dữ kiện vật lý (xem, ví dụ trong [11]) và có liên quan chặt chẽ đến bài toán Elastic. Trong không gian ba chiều với Ω = (0, 1) × (0, 1) × (0, 1) như là vật thể đàn hồi, hệ Lamé được xác định bởi ∂ 2u + µ∆u + (λ + µ) ∇ (div (u)) = F, x ∈ Ω, t ∈ (0, T ) , ∂t2 ở đây u (x, t) = (u1 (x, t) , u2 (x, t) , u3 (x, t)) thỏa mãn hệ Lamé, trong đó uj biểu thị cho độ dịch chuyển theo hướng j của vật thể đàn hồi và F (x, t) = (F1 (x, t) , F2 (x, t) , F3 (x, t)) biểu thị lực tác động lên vật thể. Các hằng số λ và µ gọi là các hằng số Lamé. Bài toán thuận là bài toán xác định u từ các dữ kiện đầu u (0, x), ut (0, x) và F . Trong luận văn này ta quan tâm đến bài toán ngược là bài toán xác định F từ các dữ kiện ban đầu. Bài toán này đã được nghiên cứu trên một số dạng của F , chẳng hạn trong [11] các tác giả đã xem xét với F (x, t) = ϕ (t) f (x) và giả sử rằng ϕ ∈ C 1 ([0, T ]), ϕ (0) 6= 0, kết hợp với thời gian quan sát T đủ lớn. Mặc dù với các giả sử này bài toán ngược là duy nhất nghiệm tuy nhiên nó vẫn là bài toán không chỉnh vì với một sai số nhỏ trên dữ kiện nhiễu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm, do đó sự chỉnh hóa nghiệm là cần thiết. 1.3 Một số kết quả của giải tích thực và giải tích hàm 1 2 ∂u 2 Ký hiệu H (Ω) = u ∈ L (Ω) : ∈ L (Ω) , i ∈ 1, n . ∂xi 1 2 ! 2 n ∂u 2 P Với chuẩn: kukH 1 (Ω) = kukL2 + . i=1 ∂xi L2 Định lý 1.3.1 (Công thức Green) Cho Ω là tập mở, bị chận trong Rn có biên Γ là C 1 từng khúc. Khi đó nếu u và
6 v thuộc H 1 (Ω), ta có Z Z Z ∂u ∂v v dx = − u dx + u v ni dσ, ∂xi ∂xi Ω Ω Γ đúng với mọi i ∈ 1, n. Trong đó ni là thành phần thứ i của vectơ pháp tuyến n trên biên Γ của Ω, tích phân cuối được hiểu theo nghĩa vết của u và v. Định lý này có trong [10]. Mệnh đề 1.3.2 Cho E là không gian Hilbert. Giả sử E có cơ sở trực chuẩn đếm được {en }. Khi đó ta có ∞ P 1. x = (x, ei ) ei , ∀x ∈ E. (chuỗi Fourier) i=1 ∞ 2 P 2 2. kxk = |(x, ei )| , ∀x ∈ E. (đẳng thức Parseval) i=1 Kết quả này có trong [1]. Mệnh đề 1.3.3 Cho Ω = (0, 1) × (0, 1). Khi đó các hệ: {cos (mπx) cos (nπy)}m, n ∈ N , {sin (mπx) cos (nπy)}m ∈ N ∗ , n ∈ N là cơ sở trực giao của L2 (Ω). Chứng minh. Ta chứng minh hệ {sin (mπx) cos (nπy)}m ∈ N ∗ , n ∈ N là cơ sở trực giao trong L2 (Ω), hệ còn lại chứng minh tương tự. 2 Z tiếp thấy các hệ trên là hệ trực giao trong L (Ω). Bây giờ giả sử Kiểm tra trực f ∈ L2 (Ω) và f (x, y) sin (mπx) cos (nπy) dx dy = 0, với mọi m ∈ N ∗ , n ∈ N . Ω Ta chứng minh f = 0 trong L2 (Ω). Z1 Với mỗi n ∈ N , đặt hn (x) = f (x, y) cos (nπy) dy. Ta có 0 Z1 hn (x) sin (mπx) dx = 0, ∀m ∈ N ∗ , 0
7 và hn ∈ L2 (0, 1) bởi vì  1  1  Z Z 2 2 |hn (x)| ≤  |f (x, y)| dy   cos2 (nπy) dy  . 0 0 | {z } thuộc L(0,1) Từ hệ {sin (mπx)}m ∈ N ∗ là cơ sở trực giao của L2 (0, 1) ta có hn = 0 trong L2 (0, 1). Gọi An là tập có độ đo không để hn (x) = 0 với mọi x ∈ [0, 1] \An . Đặt S∞ B= An thì B có độ đo không và hn (x) = 0 với mọi x ∈ [0, 1] \B và n ∈ N . n= 0 Từ hệ {cos (nπx)}n ∈ N là cơ sở trực giao trong L2 (0, 1) suy ra f (x, ·) = 0 trong L2 (0, 1), với mọi x ∈ [0, 1] \B. Vậy f = 0 trong L2 (Ω). 1.4 Một số kết quả của giải tích phức Cho C là trường số phức và hàm số φ : C → C. Ta nói φ là hàm nguyên nếu φ giải tích trên C. Mệnh đề 1.4.1 Cho φ là hàm nguyên và khác hằng, khi đó tồn tại r0 > 0 sao cho Max |φ (z)| > 1, |z|= r đúng với mọi r ≥ r0 . Chứng minh. Đặt ψ (r) = Max |φ (z)|. Theo nguyên lý môđun cực đại ta có |z|= r Max |φ (z)| = Max |φ (z)| , |z| ≤ r |z|= r vậy ψ không giảm. Vì φ là hàm nguyên và khác hằng nên không bị chận, từ đó tồn tại z0 ∈ C, z0 6= 0 sao cho |φ (z0 )| > 1. Đặt r0 = |z0 |, ta được r0 là giá trị cần tìm. Mệnh đề 1.4.2 Với mọi z ∈ C và mọi x ∈ (0, 1), ta có bất đẳng thức |cosh (zx)| ≤ e|z| .
8 Chứng minh. Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R). Ta có −(a+bi)x
(a+bi)x
e + e
= 1 e2ax + e−2ax + 2 cos (2bx) p |cosh (zx)| =
2
2 1 p 2ax 1 ax e + e−ax ≤ e + e−2ax + 2 = 2 2 |a|x |a| |z| ≤e ≤e ≤e , đúng với mọi z ∈ C, mọi x ∈ (0, 1). Z1 Mệnh đề 1.4.3 Cho f ∈ L1 (0, 1), đặt F (λ) = f (x) cos (λx) dx, λ ∈ C. 0 Z1 Khi đó F là hàm nguyên và F 0 (λ) = −x f (x) sin (λx) dx. 0 Chứng minh. Với mỗi λ ∈ C cố định. Ta có h (x) = f (x) cos (λx) khả tích Lebesgue trên (0, 1). Thật vậy
!
∞ 2n