Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện trong hình học nhiệt đới bằng quan điểm Grobner trong đại số giao hoán. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— ĐÀO THỊ HOÀI THƯƠNG ¨ CƠ SỞ GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— ĐÀO THỊ HOÀI THƯƠNG ¨ CƠ SỞ GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. HOÀNG LÊ TRƯỜNG Thái Nguyên – 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Lê Trường, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Cơ sở Gr¨ obner trong Hình học Nhiệt đới 13 2.1 Định giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Phức Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iii
Mở đầu Một lí do cho sự thành công gần đây của hình học nhiệt đới là nó khá dễ hình dung. Điều này phần lớn là bởi vì chúng rời rạc, các đối tượng có cấu trúc tổ hợp của một phức đa diện. Mục đích của luận văn này là để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện trong hình học nhiệt đới bằng quan điểm Gr¨obner trong đại số giao hoán. Trong luận văn này, chúng ta làm việc trên trường K cố định với định giá không âm val : K ∗ → R, trong đó K ∗ = K − {0}. Kí hiệu R = {a ∈ K : val(a) ≥ 0} là vành định giá của K . Vành R là vành địa phương với iđêan cực đại mval = {a ∈ K | val(a) > 0} và trường thặng dư k = R/m. Với a ∈ R ta kí hiệu a ¯ là ảnh của a trong k. Đặt Γval ⊆ R là ảnh của định giá val. Nếu Γval 6= {0} thì giả sử 1 ∈ Γval ; điều này có thể được đảm bảo bằng cách thay thế val bởi một bội dương. Giả sử rằng K là đầy đủ và trong nhiều trường hợp K đóng đại số. Khi đó chúng ta có định nghĩa sau X Định nghĩa 0.0.1. Cho f = cu xu ∈ K[x±1 ±1 1 , ..., xn ], tập Trop(V (f )) u∈Zn là quỹ tích phi tuyến của hàm tuyến tính từng phần Trop(f ) cho bởi Trop(f )(w) = minn (val(cu ) + w · u), tức là hàm Trop(f )(w) đạt cực tiểu tại u∈Z hai điểm u khác nhau. Cho đa tạp xuyến X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n . Đa tạp nhiệt 1
đới của X là \ Trop(X) = Trop(V (f )), f ∈I(X) trong đó K[x±1 ±1 1 , ..., xn ] ⊇ I(X) = {f | f (x) = 0 với mọi x ∈ X}. Định lý cơ bản của hình học nhiệt đới như sau Định lý 0.0.2. Cho X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n , trong đó K = K , tập Trop(X) bằng bao đóng trong tôpô Euclid trên Rn của tập val(X) = {(val(x1 ), ..., val(xn )) ∈ Rn | x = (x1 , ..., xn ) ∈ X}. Giả sử tồn tại một chẻ ra của định giá. Đó là đồng cấu nhóm Γval → K ∗ từ w ∈ Γval đến tw ∈ K ∗ với val(tw ) = w. Nếu K là trường của chuỗi Puiseux C{{t}} với các hệ số trong C thì chẻ ra để w ∈ Q đến tw ∈ C{{t}}. Nếu K = Qp thì chẻ ra để w ∈ Z đến pw . Nếu K là đóng đại số thì sự chẻ ra luôn tồn tại; xem [9, Bổ đề 2.1.13]. Với trường K cùng với định giá chẻ ra val, quỹ tích phi tuyến của hàm Trop(f ), với f ∈ K[x±1 ±1 1 , ..., xn ] là quỹ tích của w đạt được nhỏ nhất ít nhất hai lần, và do đó bao đóng của tập các w mà inw (f ) không là một đơn thức. Trong trường hợp đa tạp X , nếu định giá trên K không tầm thường thì Trop(X) được mô tả là bao đóng của w ∈ Γnval mà inw (I(X)) 6= h1i. Hơn nữa, đa tạp nhiệt đới còn có cấu trúc là phức đa diện. Để mô tả cấu trúc của quỹ tích phi tuyến Trop(X), chúng ta cần sử dụng lí thuyết cơ sở Gr¨obner đối với các iđêan thuần nhất trong vành đa thức. Mục đích của luận văn này là mô tả ứng dụng của lí thuyết cơ sở Gr¨obner trong định nghĩa đa tạp nhiệt đới. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành phân bậc, các định 2
lý về đa diện lồi, phức đa diện. Chương 2 trình bày cụ thể về khái niệm định giá, nhiệt đới hóa từ đó xây dựng cơ sở Gr¨obner và phức Gr¨obner. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về vành phân bậc; định nghĩa và các định lý về đa diện lồi là cần thiết cho việc trình bày các nội dung ở chương 2. 1.1 Vành phân bậc Định nghĩa 1.1.1. i) Một vành phân bậc R là một vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn các tính chất ∞ M 1) R = Rn là tổng trực tiếp các nhóm con Abel Rn đối với phép cộng; n=0 2) Rn Rm ⊆ Rm+n , với mọi m, n ≥ 0. M ii) Cho R = Rn là vành phân bậc. Một R−môđun M được gọi là môđun n≥0 phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện sau M 1) M = Mn là tổng trực tiếp của các nhóm con Abel Mn đối với phép n≥0 cộng; 2) Rn Mm ⊆ Mn+m , với mọi m, n ≥ 0. 4
Ví dụ 1.1.2. i) Cho R là một vành. Khi đó R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường ∞ M R= Rn , R0 = R, Ri = 0 với mọi n ≥ 1. n=0 Tương tự, cho M là R−môđun. Khi đó M là R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường ∞ M M= Mn , M0 = M, M1 = 0 với mọi n ≥ 1 n=0 ii) Cho A = R[x1 , ..., xk ] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R. ∞ M Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A = An , n=0 trong đó A0 = R, với mọi n ≥ 1, An = {f (x1 , ..., xk ) ∈ A | f (x) là đa thức thuần nhất bậc n}. aα xα . P Lưu ý đa thức thuần nhất bậc d là đa thức có đạng f (x) = kαk=d Định nghĩa 1.1.3. Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R thì gọi phần tử x của Ri (hoặc Mi ) là phần tử thuần nhất bậc i. Kí hiệu deg(x) = i. Định nghĩa 1.1.4. Iđêan I ⊂ K[x0 , ..., xn ] là thuần nhất nếu nó có tập sinh là các đa thức thuần nhất. Ví dụ 1.1.5. Cho trường K và vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc. Khi đó i) I1 = hxn + y n − z n i là iđêan thuần nhất của R. ii) I2 = hx + y 2 i không là iđêan thuần nhất của R. 5
1.2 Tập lồi Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi. Định nghĩa 1.2.1. Với các số thực a0 , a1 , ..., an và a = (a0 , ..., an ) 6= 0 xét siêu phẳng affine H = {x ∈ Rn : a0 + a1 x1 + ... + an xn = 0}. Phần bù Rn \ H có hai phần rời nhau H◦+ = {x ∈ Rn : a0 + a1 x1 + ... + an xn > 0} và H◦− = {x ∈ Rn : a0 + a1 x1 + ... + an xn < 0}. Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi H , và được kí hiệu lần lượt là H◦+ và H◦− tương ứng với dấu dương và âm. Nửa không gian dương (đóng) là H + = {x ∈ Rn : a0 + a1 x1 + ... + an xn ≥ 0}. Định nghĩa 1.2.2. Một tập hợp P ⊆ Rn được gọi là một đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng. Định nghĩa 1.2.3. Một tập lồi S trong Rn là một tập trong Rn sao cho với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1], ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S. Ví dụ 1.2.4. i) Trong R2 , các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi. Trong R3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} là tập lồi. Thật vậy, với mọi 6
x, y ∈ B và λ ∈ [0, 1], ta có k(1 − λ)x + λyk ≤ k(1 − λ)xk + kλyk = (1 − λ)kxk + λkyk ≤ (1 − λ) + λ = 1. Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B . iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ Rn và r ≥ 0). Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0, 1] ta có kλx + (1 − λ)y − ak = kλ(x − a) + (1 − λ)(y − a)k ≤ λkx − ak + (1 − λ)ky − ak ≤ λr + (1 − λ)r = r. Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B(a, r). Định nghĩa 1.2.5. Với một tập hữu hạn X = {u1 , ..., us } ⊆ Rn , ta gọi Xs s X conv(X) = { ri ui | 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1} i=1 i=1 là bao lồi của X . Ví dụ 1.2.6. Bao lồi của hai điểm x1 và x2 là đoạn thẳng. Bao lồi của ba điểm x1 , x2 , x3 không thẳng hàng là hình tam giác. Định nghĩa 1.2.7. Một tập con khác rỗng P của Rn được gọi là đa diện lồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂ Rn sao cho conv(X) = P . Định nghĩa 1.2.8. Một nón đa diện trong Rn là bao dương của tập con hữu hạn X = {v1 , ..., vs } trong Rn : ( s ) X C(X) = pos(v1 , ..., vs ) := λi vi : λi ≥ 0 . i=1 Nón đa diện còn được biểu diễn là một tập có dạng C(X) = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}, 7
trong đó A là ma trận cỡ d × n. Định nghĩa 1.2.9. Một quạt đa diện là tập hữu hạn tất cả các nón đa diện sao cho giao của hai nón đa diện bất kỳ là một mặt của hai đa diện. Hình 1.1: Quạt đa diện Hình 1.2: Không là quạt đa diện Định nghĩa 1.2.10. Cố định một đa diện P ⊆ Rn . Cho một véc tơ w ∈ Rn . Đặt facew (P ) = {x ∈ P | x · w ≤ y · w, với mọi y ∈ P }. Tập facew (P ) được gọi là một mặt của P . Bổ đề 1.2.11. Với mỗi tập hợp X = {u1 , ..., us } ⊆ Rn và w ∈ Rn , đặt λ = min{w · ui | 1 ≤ i ≤ s}, Xw = {ui ∈ X | w · ui = λ}. Khi đó facew (P ) = conv(Xw ), trong đó P = conv(X). Chứng minh. Đầu tiên, ta chỉ ra λ = min{w · u | u ∈ P }. Khi đó ta có s X s X u= ri ui , với 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1. i=1 i=1 8
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì Xs s X w·u= ri (w · ui ) ≥ ri λ = λ. i=1 i=1 Do đó min{w·u | u ∈ P } ≥ λ. Mặt khác, ta có λ = min{w·ui | 1 ≤ i ≤ s}. Do đó tồn tại uj ∈ X sao cho λ = w · uj . Do X ⊂ P nên λ ≥ min{w · u | u ∈ P }. Vậy λ = min{w · u | u ∈ P }. Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng Xw = {u1 , ..., ur }. Cho u ∈ conv(Xw ). Khi đó, Xr s X u= si ui , với 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1. i=1 i=1 Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì Xr r X w·u= si (w · ui ) = si λ = λ. i=1 i=1 Mặt khác, u ∈ conv(Xw ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P . Do đó u ∈ P và w · u = λ = min{w · v | v ∈ P }. Vì vậy w · u ≤ w · v với mọi v ∈ P . Khi đó u ∈ facew (P ). Do đó ta có conv(Xw ) ⊆ facew (P ). Ngược lại, cho u ∈ facew (P ). Khi đó ta có w · u = λ. Do u ∈ P , ta có Xs Xs u= ri ui , với 0 ≤ ri ∈ R, ri = 1. i=1 i=1 Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì Xs λ=w·u= ri (w · ui ) i=1 Vì r X ri (w · ui ) = λ. i=1 s P s P s P nên ri (w · ui ) = λ − λ = 0. Do đó ri λ = 0. Vì thế ri = 0. i=r+1 i=r+1 i=r+1 r P Do đó ri = 0 với mọi i = r + 1, . . . , s. Do đó ta có u = ri ui ∈ conv(Xw ). i=1 Vì vậy facew (P ) = conv(Xw ). 9
Nhận xét 1.2.12. Từ Bổ đề 1.2.11, facew (P ) là một đa diện. Ngoài ra, facew (P ) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng x · w = min{x · w | x ∈ P }. Bổ đề 1.2.13. Cho F = facew (P ) là một mặt của đa diện lồi P và cho F 0 = facev (F ) là một mặt của đa diện lồi F . Khi đó F 0 là một mặt của P . Hơn nữa, với một > 0 đủ nhỏ, ta có F 0 = facew+v (P ). Chứng minh. Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X). Cho λ = min{w · u | u ∈ X}, Xw = {u ∈ X | u · w = λ}, λ0 = min{v · u | u ∈ Xw } và Xw,v = {u ∈ Xw | v · u = λ0 }. Cho là một số thực thỏa mãn điều kiện min{|λ − w · a| | a ∈ X − Xw } 0
Trường hợp 3. a 6∈ Xw và v · (u − a) < 0, ta có (w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a) 1 ≤ w · (u − a) + Av · (u − a) < w · (u − a) < 0 2 Do đó ta có (w + v) · (u − a) < 0 với mọi u ∈ Xw,v và a ∈ X − Xw,v . Do đó F 0 = facew+v (P ). Định nghĩa 1.2.14. Phức đa diện là tập hữu hạn Σ của đa diện thỏa mãn hai điều kiện sau i) Nếu P ∈ Σ thì mặt bất kỳ của P nằm trong Σ. ii) Nếu P và Q nằm trong Σ thì P ∩ Q hoặc là rỗng hoặc là một mặt của cả P và Q. Hình 1.3: Phức đa diện Định nghĩa 1.2.15. Cho Γ là một nhóm con của (R, +). Một đa diện Γ-hữu tỷ là P = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} trong đó A là ma trận cỡ d × n với các mục trong Q và b ∈ Γd . Một phức đa diện Σ là Γ-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ là Γ-hữu tỷ. Ngoài ra, Γ = Γval là nhóm giá trị của trường K . X Định nghĩa 1.2.16. Cho f = cu xu ∈ K[x1 , ..., xn ]. Đa diện Newton u∈Zn 11
của f là đa diện Newt(f ) = conv(u : cu 6= 0) ⊂ Rn . 12
Chương 2 Cơ sở Gr¨ obner trong Hình học Nhiệt đới 2.1 Định giá Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một trường. Kí hiệu K ∗ các phần tử khác không của K . Một định giá trên K là một hàm val : K → R ∪ {∞} thỏa mãn ba tiên đề i) val(a) = ∞ nếu và chỉ nếu a = 0; ii) val(ab) = val(a) + val(b); iii) val(a + b) ≥ min{val(a), val(b)} với mọi a, b ∈ K ∗ . Ảnh của ánh xạ hàm được kí hiệu là Γval . Ta thường giả sử nhóm Γval chứa 1. Xét tập tất cả trường các phần tử với định giá không âm: Rval = {c ∈ K | val(c) ≥ 0}. Khi đó, Rval là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó bằng mval = {c ∈ K | val(c) > 0}. 13
Định nghĩa 2.1.2. Vành thương k = Rval /mval là một trường, được gọi là trường thặng dư của (K, val). Ví dụ 2.1.3. Xét định giá p-adic trên trường K = Q các số hữu tỷ. Giả sử p là số nguyên tố, ánh xạ val : Q → R được xác định bởi valp (q) = k với q = pk a/b, trong đó a, b ∈ Z và p không chia hết a và b là một định giá. Thật vậy, từ các giả thiết đã cho ta thấy + q = 0 nếu và chỉ nếu valp (q) = ∞. + Với mọi q1 , q2 ∈ Q, ta có q1 = pk1 a1 /b1 với a1 , b1 ∈ Z và p - a1 hoặc p - b1 , q2 = pk2 a2 /b2 với a2 , b2 ∈ Z và p - a2 hoặc p - b2 . Vì p - a1 và p - a2 nên p - (a1 a2 ), p - b1 và p - b2 nên p - (b1 b2 ). Do đó q1 q2 = pk1 +k2 (a1 a2 )/(b1 b2 ) với a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z, p - (a1 a2 ) hoặc p - (b1 b2 ). Vì vậy. valp (q1 q2 ) = k1 + k2 = valp (q1 ) + valp (q2 ) + Với a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z, p - (a1 a2 ) hoặc p - (b1 b2 ) ta có q1 + q2 = (pk1 a1 b2 + pk2 a2 b1 )/(b1 b2 ) Đặt = min{k1 , k2 }. Ta có q1 + q2 = p (pk1 − a1 b2 + pk2 − a2 b1 )/(b1 b2 ) Với a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z, p - (b1 b2 ) hoặc p - (pk1 − a1 b2 + pk2 − a2 b1 ) ta có valp (q1 + q2 ) ≥ = min{k1 , k2 } = min{valp (q1 ), valp (q2 )} Ví dụ, val2 (120) = val2 (12) + val2 (10) = 3. Nhận xét 2.1.4. Vành địa phương Rvalp là vành địa phương hóa của các số nguyên Z tại (p) nguyên tố. Các phần tử của nó là các số hữu tỷ a/b trong 14
đó p không chia hết cho b. Iđêan tối đại mvalp bao gồm các số hữu tỷ a/b trong đó p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b. Trường thặng dư k là trường hữu hạn với p phần tử được kí hiệu là Z/Zp . Ví dụ 2.1.5. Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường số phức C. Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức ∞ X a(t) = ai tqi , i=1 trong đó ai là các số phức khác không với mọi i, và q1 < q2 < q3 < ... là các số hữu tỷ mà có mẫu số chung. Ta sử dụng kí hiệu C{{t}} cho trường của chuỗi Puiseux trên C. Ta có thể viết lại như sau X∞ C{{t}} = { ai tqi : ai ∈ C, q1 < q2 < ... ∈ Q, mẫu số chung}. i=1 Khi đó val(a) = q1 và lc(a) = a1 . Trường C{{t}} có một định giá tự nhiên val : C{{t}} → R được xác định bằng cách lấy một phần tử khác không a(t) ∈ C{{t}}∗ với số mũ thấp nhất q1 mà xuất hiện trong chuỗi khai triển của a(t). Thật vậy, + a1 (t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a1 ) = ∞. + Với mọi a1 (t), a2 (t) ∈ C{{t}}, ta có ∞ X a1 (t)a2 (t) = ci tbi i=1 P trong đó ci = a1k a2j , a1k + a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung. Do k=1,∞,j=1,∞ đó val(a1 a2 ) = b1 = a11 + a21 = val(a1 ) + val(a2 ) + Với mọi a1 (t), a2 (t) ∈ C{{t}}, ta có ∞ X a1 (t) + a2 (t) = ci tbi i=1 15