Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đạo hàm liên tiếp và các dãy số nguyên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu gần đây về phép tính đạo hàm liên tiếp của các hàm số dạng 1/f và hàm h/f và vận dụng những kiến thức này vào nghiên cứu các dãy số nguyên. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đạo hàm liên tiếp và các dãy số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ................***............... NGUYỄN ĐÌNH CỨ ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP VÀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ..............***............. NGUYỄN ĐÌNH CỨ ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP VÀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
1 Mục lục Mở đầu 2 1 CÁC ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP CỦA HÀM f (x) 1 VÀ HÀM fh(x) (x) 4 1.1 Phân hoạch nguyên và các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1.2 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 h(x) 1.3 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ DÃY SỐ NGUYÊN An 18 2.1 Kết quả tiệm cận về dãy An . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Một số công thức gần đúng về dãy An . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Mở đầu Các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích Toán học. Đây là một mảng kiến thức khó trong Toán học sơ cấp. Đối với các học sinh và những ai yêu thích mảng toán học về dãy số và số học thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại toán khó liên quan đến vấn đề này. Vì vậy, để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về Số học, Đại số, Giải tích. Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng nghiên cứu thuần túy mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lí thuyết phương trình, lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn. Dãy số nguyên là một phần quan trọng trong lí thuyết của dãy số. Các bài toán về dãy số nguyên thường rất đa dạng và phức tạp. Trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất của bài toán lại là bài toán số học. Do vậy, để giải quyết được những bài toán khó về dãy số nguyên ta cần có những phương pháp hữu hiệu. Một trong những phương pháp đó là sử dụng công cụ đạo hàm. Đạo hàm không chỉ là một khái niệm và là công cụ mạnh để giải các bài toán của giải tích mà nó còn được sử dụng để nghiên cứu các bài toán về dãy số. Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu gần đây 1 h về phép tính đạo hàm liên tiếp của các hàm số dạng và hàm và vận f f dụng những kiến thức này vào nghiên cứu các dãy số nguyên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày gồm hai chương. 1 h Chương I: Đạo liên tiếp của các hàm và hàm . Chương này trình bày f f một số kiến thức chuẩn bị như: Sự phân hoạch của một số nguyên và các kí
3 hiệu. Nhắc lại công thức Faá di Bruno về sự khả vi của hàm g ◦ f , xây dựng 1 h công thức tính đạo hàm liên tiếp của hàm và hàm . Trình bày các tính f f chất của đa thức hệ số nguyên Pn và Qn . Chương II: Một số kết quả về dãy số nguyên An . Chương này trình bày kết quả tiệm cận về dãy số nguyên An và đưa ra một số công thức gần đúng về dãy số nguyên An . Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái - Trường Đại học Thăng Long. Thầy là người đã dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin gửi tới các Thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học Toán 2013 - 2015 lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục và đào tạo của nhà trường. Cuối cùng, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán lớp Q khóa 6/2013 - 6/2015 của trường Đại học Khoa học đã giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Tác giả Nguyễn Đình Cứ
4 Chương 1 CÁC ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP CỦA 1 VÀ HÀM h(x) HÀM f (x) f (x) Nội dung chính của chương là xây dựng công thức tính đạo hàm liên tiếp 1 h(x) của hàm và hàm . f (x) f (x) Để xây dựng được các công thức trên, tôi giới thiệu công thức Faá di Bruno và dùng công thức này trong nghiên cứu các đạo hàm liên tiếp của 1 hàm . Để thiết lập công thức Faá di Bruno ta cần một số ký hiệu về f (x) phân hoạch và hệ số đa thức. Các ký hiệu này là do Vella [5] đưa ra. 1.1 Phân hoạch nguyên và các kí hiệu Trong phần này giới thiệu một số kí hiệu về các phân hoạch và hệ số đa thức. Bây giờ ta giải thích các kí hiệu này. Phân hoạch π của số nguyên dương n là phép biểu diễn n thành tổng của các số nguyên dương. Chẳng hạn như, ta có các phân hoạch π của 4 là 4 = 1 + 1 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 3, 4 = 2 + 2.
5 Trong phân hoạch π của n, n = p1 + p2 + ... + pm , mỗi pi i = 1, 2, ..., m gọi là các số hạng hay là các bộ phận của phân hoạch. Ta không phân biệt về thứ tự của các số hạng trong phân hoạch. Chẳng hạn như, trong phân hoạch π của 4 thì 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 2 + 1 và 4 = 2 + 1 + 1 được xem là như nhau. Số phân hoạch π của n kí hiệu là p(n). Số các số hạng của của phân hoạch π kí hiệu là l(π). Vì vậy, với n = p1 + p2 + ... + pm thì l(π) = m. Xét phân hoạch π của 55 như sau 55 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 10. Ta có l(π) = 15. Hơn nữa, phân hoạch π của n có thể được viết ở dạng π = {p1 , p2 , ..., pm }. Ví dụ như phân hoạch π của 55 ta viết là π = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 6, 6, 7, 7, 7, 10} . Với mỗi i (1 ≤ i ≤ n) số lần i xuất hiện như một phần phân hoạch π của n kí hiệu là πi và gọi là tính bội của phần i trong π . Chẳng hạn như, trong phân hoạch π của 55 ta có π1 = 6, π2 = 3 và π3 = 0. Như vậy n X l(π) = πi . i=1 Kí hiệu tiêu chuẩn cho phân hoạch là π = [1π1 , 2π2 , ..., nπn ] với các số hạng có tính bội bằng 0 thì bỏ qua không lấy. Chẳng hạn như, trong kí hiệu tiêu chuẩn thì phân hoạch π của 55 xét ở trên là π = 16 , 23 , 62 , 73 , 101 . Để ý rằng {π1 , π2 , ..., πn } là phân hoạch của l(π) = 15. Ta gọi phân hoạch này là phân hoạch dẫn xuất của π , kí hiệu là δ(π).
6 Chẳng hạn như, phân hoạch dẫn xuất δ(π) của phân hoạch π của 55 là phân hoạch của l(π) = 15 sau δ (π) = {1, 2, 3, 3, 6} = 11 , 21 , 32 , 61 . Xét phân hoạch π = {p1 , p2 , ..., pm } của n. Chúng ta dùng kí hiệu m (pi !) và dùng kí hiệu (nπ ) cho hệ số đa thức Q π! = i=1 n n! = Q n . p1 , p2 , . . . , pm (pi !) i=1 Đó là n n! = (nπ ) = . p1 , p2 , . . . , pm π! Trong các phần tiếp theo sử dụng các ký hiệu đã giới thiệu ở trên chúng tôi trình bày công thức Faá di Bruno và dùng công thức này trong nghiên 1 cứu các đạo hàm liên tiếp của hàm và giới thiệu một số dãy số nguyên f (x) liên kết với các đạo hàm liên tiếp này. 1 1.2 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x) Trong định lí sau thiết lập một cách rất ngắn gọn và có ích công thức Faá di Bruno. Phương pháp thiết lập này là của Vella [5]. Định lí 1.2.1. Giả sử y = g(u) và u = f (x) khả vi đến cấp n. Khi đó hàm hợp y = (g ◦ f ) (x) cũng khả vi đến cấp n và X (n ) n (n) π (l(π)) Y πi (g ◦ f ) (x) = .g ◦ f (x) [f (i) (x)] (1.1) π∈Ω δ(π)! i=1 n trong đó Ωn là tập tất cả các phân hoạch của n. Nếu f = f (x) thì ta quy ước f = f (0) . Bây giờ, xét hàm (0) 1 1 1 = = . (1.2) f (x) f f
7 Ta có định lí tổng quát sau. Định lí 1.2.2. Các đạo hàm liên tiếp của hàm (1.2) thỏa mãn công thức sau (n) 1 Pn = n+1 ,(n ≥ 0) (1.3) f f trong đó Pn là đa thức hệ số nguyên của các biến số f, f (1) , ..., f (n) . Nếu n = 0 thì P0 = 1, (1.4) và nếu n ≥ 1 thì n X l(π) Y πi Pn = (−1)l(π) (nπ )(δ(π) ).f (x)n−l(π) . [f (i) (x)] π∈Ωn i=1 n X l(π) Y πi = (−1)l(π) (nπ )(δ(π) ).f n−l(π) . [f (i) ] . (1.5) π∈Ωn i=1 1 Chứng minh. Đặt g (u) = = u−1 . Lưu ý rằng u (n) (−1)n n! g (u) = . (1.6) un+1 Thế phương trình (1.6) vào phương trình (1.1) ta nhận được (n) X (n ) (−1)l(π) l (π)! Y n h 1 (n) π (i) iπi = (g ◦ f ) (x) = . l(π)+1 . f (x) f π∈Ω δ (π)! f (x) i=1 n
8 n h X (nπ ) (−1)l(π) l(π) n−l(π) Y (i) i πi = . .f (x) . f (x) δ(π)! f (x)n+1 i=1 π∈Ω(n) (−1)l(π) n h i πi l(π) X n−l(π) Y = (nπ ) δ(π) . .f (x) . (i) f (x) π∈Ωn f (x)n+1 i=1 n πi l(π) (−1)l(π) (nπ ) .f (x)n−l(π) . f (i) (x) P Q δ(π) π∈Ωn i=1 = n+1 (1.7) f (x) Pn = . f n+1 Sử dụng (1.5) ta được những đa thức Pn đầu tiên. P1 = −f (1) (x) = −f (1) (1.8) P2 = −f (x)f (2) (x) + 2f (1) (x)f (1) (x) = −f f (2) + 2f (1) f (1) , (1.9) P3 = −f f f (3) + 6f f (1) f (2) − 6f (1) f (1) f (1) , (1.10) P4 = −f f f f (4) + 8f f f (1) f (3) + 6f f f (2) f (2) − 36f f (1) f (1) f (2) (1.11) +24f (1) f (1) f (1) f (1) , P5 = −f f f f f (5) + 10f f f f (1) f (4) − 60f f f (1) f (1) f (3) + 20f f f f (2) f (3) (1.12) (1) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (1) (1) −90f f f f f + 240f f f f f − 120f f f f f . Định lí sau nêu ra một số tính chất chung của đa thức Pn . Định lí 1.2.3. Đa thức Pn (n ≥ 1) có các tính chất sau: (i) Mỗi số hạng (hay đơn thức) trong đa thức Pn có n nhân tử và có tổng chỉ số trên là n. Nghĩa là, mỗi đơn thức có dạng f (i1 ) f (i2 ) ...f (in ) trong đó i1 + i2 + ... + in = n , (f = f (0) ). Vì vậy, ta có thể thiết lập phép tương ứng
9 giữa mỗi một đơn thức với một phân hoạch của n. Số các số hạng (đơn thức) trong đa thức Pn là p(n), như vậy, đó cũng là số phân hoạch của n. (ii) Đa thức Pn có tổng hệ số là 1 nếu n chẵn và có tổng hệ số là −1 nếu n lẻ. Như vậy, tổng các hệ số của đa thức Pn là (−1)n . (iii) Nếu n chẵn thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số dương và đơn thức với số lẻ của f có hệ số âm. Nếu n lẻ thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số âm và đơn thức với số lẻ của f có hệ số dương. (iv) Nếu An là tổng giá trị tuyệt đối của hệ số trong đa thức Pn thì ta luôn có công thức sau (A0 = 1): ∞ 1 X Ak q(x) = x = xk (1.13) 2−e k=0 k! 1 trong đó, Ak (k ≥ 0) là đạo hàm cấp k của hàm q(x) = x tại x = 0 2 − e Ak = q (k) (0) . Bán kính hội tụ của (1.13) là R = log 2. Ngoài ra, l(π) X An = (nπ ) δ(π) , (n ≥ 1) (1.14) π∈Ωn (v) Hệ số của đơn thức f...f f (n) là −1. Hệ số của đơn thức f (1) ...f (n) là (−1)n n!. Vì vậy An ≥ n! (xem phần (iv)). Chứng minh. (i) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (i). (ii) Ta áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = ex . Để ý rằng f (i) (0) = 1 với mọi i ≥ 0. Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành (n) dn −x
1 x (0) = n e
= (−1)n . e dx x=0
10 Mặt khác, vế phải của (1.7) tại x = 0 trở thành n πi l(π) (−1)l(π) (nπ ) δ(π) .f (0)n−l(π) . f (i) (0) P Q π∈Ωn i=1 n+1 f (0) n l(π) (−1)l(π) (nπ ) n−l(π) (1)πi P Q δ(π) .1 . π∈Ωn i=1 = 1n+1 l(π) X = (−1)l(π) (nπ ) δ(π) , π∈Ωn là tổng hệ số của đa thức Pn . (iii) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (iii). (iv) Áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = 2 − ex . Chú ý là f (0) = 1 và f (i) (0) = −1 với mọi i ≥ 0. Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành n πi l(π) (−1)l(π) (nπ ) .f (0)n−l(π) . f (i) (0) P Q δ(π) π∈Ωn i=1 n+1 f (0) n l(π) (−1)l(π) (nπ ) n−l(π) (−1)πi P Q δ(π) .1 . π∈Ωn i=1 = 1n+1 n P X l(π) πi = (−1)l(π) (nπ ) δ(π) .(−1)i=1 π∈Ωn l(π) X = (−1)l(π) (nπ ) δ(π) .(−1)l(π) π∈Ωn l(π) X = (nπ ) δ(π) . (1.15) π∈Ωn Để ý rằng (1.15) (xem tử số của (1.7)) là tổng An trong số các giá trị tuyệt đối của hệ số trong đa thức Pn . Mặt khác, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở
11 thành (g ◦ f )(n) (0) = q (n) (0). Do đó ∞ 1 X Ak q(x) = (g ◦ f )(x) = x = xk . 2−e k=0 k! 1 Lưu ý là hàm biến phức q(z) = là hàm giải tích trong hình tròn 2 − ex |z| < log 2 và vì vậy bán kính hội tụ của (1.13) là R = log 2. Cũng theo định 1 nghĩa hàm sinh (xem tham khảo [6]) ta chứng minh được q (x) = là 2 − ex hàm sinh mũ của dãy An . Phần d) được chứng minh. (v) Đây là một hệ quả trực tiếp của phương trình (1.5). Phần e) được chứng minh. Để ý rằng các giá trị đầu tiên của dãy số nguyên An là ( xem (1.4), (1.8), (1.9), (1.10), (1.11) và (1.12) hoặc sử dụng trực tiếp phương trình (1.14)): A0 = 1, A1 = 1, A2 = 3, A3 = 13, A4 = 75, A5 = 541. Trong phần tiếp theo chúng ta chứng minh công thức truy hồi tổ hợp sau: A0 = 1, n−1 X An = (nk )Ak (n ≥ 1). (1.16) k=0 Một hệ quả đơn giản của công thức này là bất đẳng thức An+1 > An (n ≥ 1).
12 h(x) 1.3 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x) h(x) Để xây dựng công thức tính đạo hàm liên tiếp của hàm , chúng ta f (x) cần biết đến công thức khai triển nhị thức nổi tiếng sau n X n (a + b) = (nk )an−k bk , (1.17) k=0 n! trong đó (nk ) = và 0! = 1. (n − k)!k! Chúng ta cũng cần đến kết quả nổi tiếng sau của Leibnitz về các đạo hàm liên tiếp của hàm f g = f (x)g(x). Bổ đề 1.3.1. Xét hàm f g , ta luôn có công thức sau n X (n) (f g) = (nk ) f (n−k) g (k) (n ≥ 0), (1.18) k=0 trong đó f (0) = f và g (0) = g . Chứng minh. Ta chứng minh công thức này bằng quy nạp, với n = 0 và n = 1, ta có (f g)(0) = f.g = f (0) g (0) , 1 1 (f g)(1) = f (1) g (0) + f (0) g (1) , 0 1 là những kết quả ta đã biết. Giả sử ! n−1 X n − 1 (k) (n−1−k) (f g)(n−1) = f g k k=0 với mọi n ≥ 1.
13 Ta có " n−1 #(1) X n−1 (f g)(n) = f (k) g (n−1−k) k k=0 n−1 X n − 1 h (k) (n−k) (k+1) (n−1−k) i = f g +f g k k=0 n−1 ! n−2 ! X n − 1 (k) (n−k) X n − 1 (k+1) (n−1−k) = f g (n) + f g + f g + f (n) g k k=1 k k=0 n−1 ! n−1 ! X n − 1 X n − 1 = f g (n) + f (k) g (n−k) + f (k) g (n−k) + f (n) g k k=1 k−1 k=1 n−1 X n − 1 n − 1 = f g (n) + + f (k) g (n−k) + f (n) g. k k−1 k=1 Trong đó (n − 1)! (n − 1)! n−1 n−1 + = + k k−1 k!(n − 1 − k)! (k − 1)!(n − k)! (n − 1)! n = [(n − k) + k] = . k!(n − k)! k Do đó n−1 n (n) (n) X n (k) (n−k) (n) X n (f g) = fg + f g +f g = f (k) g (n−k) . k k k=1 k=0 Vậy (1.18) đúng theo nguyên lí quy nạp.
14 Định lí 1.3.2. Xét hàm h(x) h = f (x) f ta luôn có công thức sau n (nk ) h(n−k) f n−k Pk P (n) h Qn k=0 = n+1 = (n ≥ 0). (1.19) f f f n+1 Chứng minh. Ta có h 1 =h . f f Theo Bổ đề 1.3.1 và phương trình (1.3) ta có kết quả (n) Xn (k) h n (n−k) 1 = (k ) h f k=0 f n X Pk = (nk ) h(n−k) k=0 f n+1 n (nk ) h(n−k) f n−k Pk P k=0 = . f n+1 Đó là phương trình (1.19). Sử dụng (1.19), (1.4), (1.8), (1.9) và (1.10) ta có được các đa thức Qn đầu tiên là Q0 = h, Q1 = h(1) f − hf (1) ,