Luận văn Thạc sĩ Toán học: Diện tích của đa giác định hướng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu một khái niệm mới trong hình học phẳng: Đa giác định hướng và diện tích của chúng, áp dụng để giải các bài toán Hình học phổ thông. Đề tài luận văn sẽ cho ta thêm một phương pháp giải toán hình học hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Diện tích của đa giác định hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hằng DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC ĐỊNH HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hằng DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC ĐỊNH HƯỚNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2017
i Danh mục hình 1.1 Đa giác lồi và đa giác lõm. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đa giác đơn và đa giác phức . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tam giác định hướng ABC . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Hình bình hành định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Từ các hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Từ các tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Năm điểm A,B,C,D,E tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Quỹ tích điểm O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9 Điểm I cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10 Định lý Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1 Tọa độ diên tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Dấu của tọa độ barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Trực tâm H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Tam giác pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 USAMO-2001 #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 USAMO-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 MOP-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 IMO-2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.9 IMO-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Đa giác định hướng và các tính chất 3 1.1 Đa giác định hướng và diện tích . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Diện tích của đa giác định hướng . . . . . . . . . 6 1.1.2 Diện tích hình bình hành định hướng . . . . . . 8 1.2 Công thức cơ bản và một số phương pháp chứng minh . 10 1.2.1 Chứng minh công thức cơ bản từ các hình thang 13 1.2.2 Chứng minh công thức cơ bản từ các tam giác . 15 1.2.3 Chứng minh công thức cơ bản theo sơ đồ 5 bước 17 1.3 Diện tích đa giác định hướng và phương trình bậc hai . 19 1.4 Ứng dụng diện tích đa giác định hướng vào giải toán . . 21 2 Diện tích tam giác định hướng và tọa độ Barycentric 29 2.1 Diện tích của tam giác định hướng . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Tọa độ barycentric trong hình học tam giác . . . . . . . 33 2.2.1 Tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Ký hiệu Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . 40 2.2.6 Đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.7 Điểm vô tận và các đường thẳng song song . . . 42
i 2.2.8 Tam giác pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.9 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Ứng dụng của tọa độ barycentric . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1 Chứng minh một số hệ thức hình học . . . . . . 46 2.3.2 Một số bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic 51 Tài liệu tham khảo 62
ii Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 9 năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Hằng
1 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn - Nghiên cứu một khái niệm mới trong hình học phẳng: Đa giác định hướng và diện tích của chúng, áp dụng để giải các bài toán Hình học phổ thông. - Giống như định hướng các đoạn thẳng dẫn đến công cụ "độ dài đại số", ở đây ta tiến hành định hướng đa giác để đi tính toán và giải các bài toán liên quan. Đề tài cho ta thêm một phương pháp giải toán hình học hiệu quả, có thể đặt tên là "Phương pháp diện tích định hướng". Cách làm này khi áp dụng cho tam giác còn dẫn tới "tọa độ barycentric" là một công cụ giải toán hết sức lý thú. - Nghiên cứu sâu thêm về các loại đa giác, không những chỉ có đa giác lồi mà còn có cả đa giác lõm. Các kiến thức về đa giác định hướng và các kỹ thuật giải toán bằng "Phương pháp diện tích định hướng" được hệ thống và nâng cao qua các bài toán chứng minh, tính toán, bất đẳng thức, tìm quỹ tích,... hay và khó. - Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi về các vấn đề khó của Hình học. 2. Nội dung Trình bày chi tiết và hệ thống khái niệm diện tích đa giác hướng xuất phát điểm là định hướng mặt phẳng. Phát biểu và chứng minh các tính chất của diện tích đa giác định hướng gắn với mặt phẳng định
2 hướng. Nội dung của luận văn nêu các tính chất và ứng dụng của diện tích đa giác định hướng, đặc biệt là tam giác định hướng vào các chủ đề của Hình học phẳng: chứng minh tính song song, tính đồng quy của đường thẳng, chứng minh các hệ thức hình học, chứng minh các bất đẳng thức, tìm quỹ tích của điểm, các vấn đề liên quan đến tam giác, tứ giác, đường tròn,.... Các ví dụ được lựa chọn điển hình để chứng tỏ khái niệm đưa ra là thực sự hiệu quả. Nội dung chia làm 2 chương: Chương 1. Đa giác định hướng và các tính chất Trình bày khái niệm diện tích đa giác định hướng và các tính chất. Nội dung bao gồm các mục sau. 1.1. Đa giác định hướng và diện tích 1.2. Công thức cơ bản và một số phương pháp chứng minh 1.3. Diện tích đa giác định hướng và phương trình bậc hai 1.4. Ứng dụng diện tích đa giác định hướng vào giải toán Chương 2. Diện tích tam giác định hướng và tọa độ Barycentric 2.1. Diện tích tam giác định hướng 2.2. Tọa độ Barycentric trong hình học tam giác 2.3. Ứng dụng của tọa độ barycentric Tác giả
3 Chương 1 Đa giác định hướng và các tính chất Đã có nhiều bài viết chuyên khảo về đa giác phẳng, tuy nhiên tất cả đều nói về đa giác lồi cùng các ứng dụng của đa giác lồi. Có hai vấn đề đặt ra một cách tự nhiên: Thứ nhất, giống như hướng của đoạn thẳng, hướng của góc ta xem hướng của một đa giác là gì? Thứ hai, ngoài đa giác lồi ta còn có đa giác lõm (không lồi) hay đa giác đơn và đa giác phức, tại sao những loại đa giác này rất ít được đề cập đến? Chương I sẽ đề cập đến vấn đề đó và đưa ra các ứng dụng của đa giác định hướng, diện tích của đa giác định hướng. Chương I được kham khảo trong tài liệu [1], [4], [5]. 1.1 Đa giác định hướng và diện tích Giả sử E2 là mặt phẳng định hướng với chiều dương mặc định là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Khái niệm "đa giác" nói đến ở đây là tất cả các đa giác tạo thành từ một đường gấp khúc khép kín (Đa giác lồi, đa giác lõm, đa giác tự cắt). Ta nhắc lại một số khái niệm sau: Trong hình học phẳng, đa giác là một đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu
4 Hình 1.1: Đa giác lồi và đa giác lõm. mút của vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một mặt phẳng và khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối). Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường đa giác được gọi là hình đa giác. Những đoạn thẳng trên đường gấp khúc này được gọi là các cạnh của đa giác, còn điểm nối tiếp giữa hai cạnh được gọi là đỉnh của đa giác. Hai cạnh có chung đỉnh cũng được gọi là hai cạnh kề nhau. Có thể phân loại đa giác thành đa giác lồi và đa giác không lồi (đa giác lõm), hình vẽ 1.1: • Đa giác lồi (Convex polygon) là đa giác mà toàn bộ nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh bất kỳ của đa giác. Khi đó, đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nào của đa giác đều nằm hoàn toàn trong đa giác. Mọi đường thẳng không chứa cạnh đa giác đều chỉ có thể cắt đường đa giác tại nhiều nhất hai điểm. Mọi góc trong đa giác lồi đều không vượt quá 180◦ . Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh bằng (n − 2)180◦ . Tam giác là đa giác lồi. • Đa giác không lồi (đa giác lõm) (Concave polygon) là đa giác nằm về hai phía của ít nhất một đường thẳng chứa cạnh nào đó của đa giác. Khi đó,có thể có những đoạn thẳng nối hai điểm của đa giác không hoàn toàn nằm trong đa giác, và đường thẳng chứa đoạn thẳng đó cắt đường đa giác tại nhiều hơn hai điểm. Đa giác lõm phải có số cạnh lớn hơn hoặc bằng bốn. Cũng có thể phân loại đa giác thành đa giác đơn và đa giác không đơn (đa giác phức) như sau:
5 Hình 1.2: Đa giác đơn và đa giác phức • Đa giác đơn (Simple polygon): đa giác mà các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đầu mút (đỉnh đa giác). Không có hai cạnh không kề cắt nhau. Đa giác đơn có thể là đa giác lồi hoặc đa giác lõm. • Đa giác không đơn hay đa giác phức (Complex polygon) hay là đa giác có hai cạnh không kề nhau cắt nhau, điểm cắt nhau đó không phải là đỉnh của đa giác. Chú ý rằng đa giác lõm hoặc đa giác lồi đều là đa giác đơn. Ký hiệu −−−−−−→ A1 A2 ...An theo thứ tự đó là chỉ điểm A2 đứng sau điểm A1 , điểm A3 đứng sau điểm A2 ,..., điểm An đứng sau điểm An−1 và cuối cùng (rất quan trọng) điểm A1 đứng sau điểm An . Thứ tự như thế được gọi là thứ −−−−−−→ tự tròn. Từ cách xác định như vậy ta rút ra: ký hiệu A1 A2 ...An cũng là −−−−−−−−→ ký hiệu A2 A3 ...An A1 . Có thể định nghĩa khái niệm hướng của đa giác tùy ý như sau: Định nghĩa 1.1. Cho đa giác A1 A2 ...An . Ta thấy các hướng A1 → A2 → ...An ; A2 → A3 → ...An → A1 ; ...; An → A1 → ...An−2 → An−1 trùng nhau. Các hướng trùng nhau đó được gọi là hướng của đa giác. −−−−−−→ Nếu đa giác A1 A2 ...An có hướng trùng với hướng của mặt phẳng thì ta nói đa giác có hướng dương (hay hướng thuận), trái lại ta có hướng của đa giác có hướng âm (hay hướng nghịch).
6 1.1.1 Diện tích của đa giác định hướng Ký hiệu S là tập hợp các đa giác định hướng trên mặt phẳng định hướng (quy ước hướng dương là hướng quay ngược chiều quay của kim → − đồng hồ). Xét ánh xạ S → − −−−−−−→ → − −−−−−−→ S : S −→ R, A1 A2 ...An 7→ S (A1 A2 ...An ) = A1 A2 ...An (1.1) thỏa mãn các tiên đề sau: −−−→ T1 . ABC = −BAC với mọi tam giác ABC. T2 . A1 A2 ...An = A1 A2 A3 + A1 A3 A4 ...An . T3 . Nếu điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB thì với mọi điểm P trong mặt phẳng ta có PAI = −PBI = PIB. Từ định nghĩa diện tích đa giác thông thường ta suy ra định nghĩa diện tích đa giác định hướng tương đương như sau: −−−−−−→ Định nghĩa 1.2. Diện tích của đa giác định hướng A1 A2 ...An là một số thực, ký hiệu là A1 A2 ...An , và được xác định theo diện tích thông thường SA1 A2 ...An như sau: ( A1 A2 ...An = SA1 A2 ...An nếu A1 A2 ...An có hướng dương A1 A2 ...An = −SA1 A2 ...An nếu A1 A2 ...An có hướng âm. Ta suy ra được các tính chất của diện tích đa giác định hướng: −−−→ Tính chất 1.1. Trên mặt phẳng định hướng, với mọi tam giác ABC và mọi điểm P ta có: ABC = PAB + PBC + PCA. Chứng minh. Cách 1. Theo tiên đề T2 : với A,B,C,P thì PABC = PAB + PBC; PABC = ABCP = ABC + ACP. Do đó: PAB + PBC = ABC + ACP. Tức là: ABC = PAB + PBC − ACP. Theo tiên đề T1 : ACP = −PCA nên ta có điều phải chứng minh.
7 Hình 1.3: Tam giác định hướng ABC Cách 2. Xét hai vị trí của P đối với tam giác ABC: - Khi P ở trong tam giác ABC (kể cả P ở trên cạnh tam giác): Dễ thấy: SABC = SPAB + SPBC + SPCA . Mặt khác, hướng của ba tam giác PAB, PBC, PCA trùng với hướng của ABC nên đẳng thức được chứng minh. - Khi P ở ngoài tam giác ABC: ABC = SABC = SPAB + SPBC − SPAC = PAB + PBC + PCA. −−−−−−→ Tính chất 1.2. Với mọi điểm P và mọi đa giác A1 A2 ...An ta có: A1 A2 ...An = PA1 A2 + PA2 A3 + ... + PAn A1 (1.2) Chứng minh. Quy nạp theo n. −−−−−−→ Tính chất 1.3. Với mọi đa giác A1 A2 ...An ta có: A1 A2 ...An = A1 A2 ...Ak + Ak Ak+1 ...A1 (1.3) Chứng minh. Hệ quả của tính chất trên. −−−−−−→ −−−−−−→ Tính chất 1.4. Nếu đa giác B1 B2 ...Bn nhận được từ đa giác A1 A2 ...An −−−→ −−−→ −−−→ qua phép tịnh tiến theo ~a, tức là A1 B1 = A2 B2 = ... = An Bn = ~a thì ta có đẳng thức diện tích đa giác định hướng: A1 A2 ...An = B1 B2 ...Bn .
8 Chứng minh. Ta chia thành ba bước sau: (a) Các điểm B1 , B2 thứ tự đối xứng với các điểm A1 , A2 qua một điểm P tùy ý. Khi đó PA1 A2 = PB1 B2 . (b) Các điểm B1 , B2 , ..., Bn thứ tự đối xứng với các điểm A1 , A2 , ..., An qua một điểm P tùy ý. Khi đó A1 A2 ...An = B1 B2 ...Bn . −−−−−→ −−−−−→ (c) Tam giác B1 B2 B3 là ảnh của tam giác A1 A2 A3 qua một phép tịnh tiến theo → − a . Khi đó A1 A2 A3 = B1 B2 B3 . Với các tiên đề T1 , T2 , T3 ở trên, lý thuyết đo diện tích của đa giác định hướng được xây dựng bằng suy luận lôgic chặt chẽ. Tam giác −−−−−→ A1 A2 A3 ứng với một số thực xác định được gọi là tam giác tỷ lệ xích. 1.1.2 Diện tích hình bình hành định hướng Hình 1.4: Hình bình hành định hướng Tổng diện tích các hình bình hành ABCC0 và C0 CDD0 bằng diện tích hình bình hành ABDD0 . Kết quả đó đúng một cách hiển nhiên trên hình vẽ 1.4a. Thật vậy, tam giác BCD nhận được từ tam giác AC0 D0 qua phép −→ tịnh tiến theo véc tơ AB và bởi vậy có cùng diện tích với tam giác AC0 D0 (mệnh đề (1.4)). Nếu cắt tam giác BCD ra khỏi đa giác ABCDD0 C0 và thay nó bằng tam giác AC0 D0 thì nhận được hình hành mà diện tích bằng tổng diện tích các hình bình hành ABCC0 và C0 CDD0 .
9 Tuy nhiên kết quả trên không đúng trên hình vẽ 1.4b.Trên hình vẽ 1.4b ta có: SA1 B1 C1 C01 − SC01 C1 D1 D01 = SA1 B1 D1 D01 . Thực ra ở đây cũng giống như tính chất 1.1 ta cần chọn diện tích định hướng và kết quả là Mệnh đề 1.1. Tổng diện tích các hình bình hành định hướng ABCC0 và C0 CDD0 bằng diện tích hình bình hành định hướng ABDD0 ABCC0 + C0 CDD0 = ABDD0 . (1.4) Chứng minh. Ta có: ABCC0 + C0 CDD0 = ABCDD0 C0 = BCDD0 C0 A = BCD + BDD0 C0 A = BCD + D0 C0 ABD = BCD + (D0 C0 A + D0 ABD) = BCD + (−AC0 D0 + ABDD0 ) = (BCD − AC0 D0 ) + ABDD0 = ABDD0 Đẳng thức được chứng minh. Ký hiệu diện tích hình bình hành định hướng PQRS dựng trên các −→ −→ véc tơ AB và CD, tức là hình bình hành với P là điểm chọn tùy ý, −→ −→ −→ −→ PQ = AB và QR = CD là S(− → −→ . Với ký hiệu này, đẳng thức (1.4) AB,CD) thành: S(−→ −−→ + S −→ −→ = S −→ −−→ −→ . AB,MN) (AB,PQ) (AB,MN+PQ) (1.5) −→ −−→ −→ −→ Thật vậy, bằng cách dựng các véc tơ BC = MN; CD = PQ ta viết (??) thành: S(−→ −→ + S −→ −→ = S −→ −→ −→ = S −→ −→ . AB,BC) (AB,CD) (AB,BC+CD) (AB,BD) (1.6) Đó chính là (??). Mệnh đề 1.2. Ta có các đẳng thức sau (a) S(−→ −→ = −S −→ −→ ; S −→ −→ = −S −→ −→ ; AB,CD) (CD,AB) (−AB,CD) (AB,CD) (b) S(− −→ −→ −→ = S −−→ −→ + S −→ −→ ; MN+PQ,AB) (MN,AB) (PQ,AB) (c) S(−→ −−→ = λ.S −→ −−→ Với mọi λ ∈ R; AB,λ.MN) (AB,MN) (c’) S(λ.−→ −−→ = λ.S −→ −−→ Với mọi λ ∈ R; AB,MN) (AB,MN)
10 (d) S(−→ −→ = 0 Với mọi λ ∈ R. AB,λAB) Chú ý rằng S(− → −→ = −S −→ −→ chính là tích ngoài (hay tích lệch, AB,CD) (CD,AB) −→ −→ tích phản vô hướng) của hai véc tơ. Có thể ký hiệu ngắn gọn là [AB, CD] −→ −→ hay AB ∧ CD, tức là S(~a,~b) = ~a ∧ ~b. Với ký hiệu như vậy, các công thức trên lần lượt được viết là: • ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a; ~a ∧ (~b + ~c) = ~a ∧ ~b + ~a ∧ ~c; • ~a ∧(λ.~b) = (~a ∧~b).λ; ~a ∧(λ~a) = 0; ~a ∧(λ~c +µd) ~ = λ(~a ∧~c)+µ(~a ∧ d) ~; • (α~a +β~b)∧(λ~c +µd) ~ = αλ(~a ∧~c)+αµ(~a ∧ d)+βλ( ~ ~b∧~c)+βµ(~b∧ d) ~. Từ đó ta có công thức tính tích ngoài của 2 véc tơ
thông qua
tọa độ: → − → − → − →−
x1 y1