Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều khiển h∞ trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều khiển h∞ trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN PHƯƠNG HẬU ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN TS. NGUYỄN HỮU SÁU Thái Nguyên, 11/2020
1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20 2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [10, 11]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [11, 21]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [7] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [7, 21]. Do đó hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây. Như chúng ta đã biết, do nhiều lý do như lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính, sự không chính xác của việc mô hình hóa, nhiễu loạn thường không thể tránh khỏi trong các hệ thống mạng thần kinh được mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc nguyên và bậc không nguyên. Do đó nghiên cứu hiệu suất suy giảm nhiễu thông qua phương pháp kiểm soát H∞ là một bài toán quan trọng nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần đây, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong nước cũng như quốc tế [2, 4, 6, 22, 24]. Sử dụng phương pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cùng các cộng sự [24] nghiên
3 cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch trung tính. Sau đó kết quả của Xiang cùng các cộng sự [24] được cải tiến bởi Wang cùng các cộng sự [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính trong đó các hệ con không ổn định hữu hạn thời gian. Ali và Saravanan [4] đưa ra vài tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh trung tính Markovian được nghiên cứu bởi Baskar cùng các cộng sự [6]. Chú ý rằng các kết quả nói trên áp dụng cho các lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên. Gần đây, M.V. Thuan cùng các cộng sự [20] nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và một số tính chất của đạo hàm, tích phân phân thứ. Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính sau đây: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Ngoài ra, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên cũng được chúng tôi trình bày trong chương này. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [13, 14, 15, 17, 18]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [20]. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
4 Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS. Nguyễn Hữu Sáu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn.
5 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} p kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = λmax (A> A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t 0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α
6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [13, 14, 15]. 1.1. Giải tích phân thứ 1.1.1. Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t α 1 t0 It x(t) := (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], Γ(α) t0 +∞ tα−1 e−t dt, α > 0. R trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = 0 α Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau. Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
7 α α đó, tích phân t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α Γ(β + 1) t0 It x(t) = (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có +∞ α −α X (λt)α+j t0 It x(t) =λ , t > 0. j=0 Γ(α + j + 1) 1.1.2. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi t dn n−α dn Z RL α 1 (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 Dt x(t) := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn t0 dn trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)   1, nếu t ≥ 0  f (t) =  0, nếu t < 0.  Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α t−α 0 Dt f (t) = . Γ(1 − α)
8 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau: d AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= . dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 X α f (t) = t0 It ϕ(t) + ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t α 1 t0 It ϕ(t) = (t − s)n−1 ϕ(s)ds. (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có (n) f (k) (t0 ) ϕ(s) = f (s), ck = (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo RL α hàm phân thứ t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau n−1 t f (k) (t0 ) f (n) (s)ds Z RL α X 1 t0 Dt f (t) = (t − t0 )k−α + . Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
9 Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì Z t 0 RL α 1 f (t 0 ) f (s)ds t0 Dt f (t) = + . Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn t Z 1 = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 dn t dn t Z Z λ n−α−1 µ = n (t − s) f (s)ds + n (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α n−α n t0 Dt x(t) := t0 It D x(t), dn trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α C α C α C α T t0 Dt x(t) := t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α.
10 Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có (i) Nếu α 6∈ N thì C α t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t C α 1 f (n) (s)ds D t0 t f (t) = . Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 C α 1 f (s)ds t0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) t0 (t − s)α (ii) Nếu α = n ∈ N thì C n t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ C α C α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t).
11 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây. Định lý 1.5. ([15]) Cho α > 0, n = dαe.. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì n−1 (k) α C α X f (t0 ) (t − t0 )k . t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − k! k=0 Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − f (t0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: ! n−1 C α RL α X (t − t0 )j t0 Dt x(t) = t0 Dt x(t) − x(j) (t0 ) , j=0 j! với hầu hết t ∈ [a, b]. Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây α β β α α+β t0 It t0 It f (t) = t0 It ( t0 It f (t)) = t0 It f (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα (z) = , Γ(αk + 1) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có +∞ +∞ X zk X zk E1 (z) = = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
12 Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα,β (z) = , Γ(αk + β) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là +∞ X Ak Eα,β (A) = , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) k=0 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15]. 1.2. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [8]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [8]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z   < 0. Z −Y Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov. Bổ đề 1.3. ([13]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây: 1C α T T C α t0 Dt x (t)P x(t) ≤ x (t)P t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. 2 Bổ đề 1.4. [17] Giả sử x(t) và a(t) là các hàm không âm và khả tích trên đoạn [0, T ], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm trên đoạn [0, T ], g(t) ≤ M ,
13 trong đó M là một hằng số và α > 0 sao cho Z t x(t) ≤ a(t) + g(t) (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ [0, T ]. 0 Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T ] thì x(t) ≤ a(t)Eα (g(t)Γ(α)tα ), t ∈ [0, T ]. 1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ được nghiên cứu đầu tiên bởi M.P. Lazarevi´c và A.M. Spasi´c [16]. Sau đó bài toán này được mở rộng sang cho mạng nơ ron thần kinh phân thứ [23, 26]. Các điều kiện đưa ra trong các kết quả này rất phức tạp và khó để tính toán. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính kết hợp với phép biến đổi Laplace, Y.J. Ma cùng các cộng sự [17] đã đưa ra một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bị chặn trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Một số bài toán ổn định hóa liên quan cũng được nghiên cứu trong công trình này. Trong mục này, chúng tôi trình bày lại kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng sự [17]. Xét hệ tuyến tính phân thứ   C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0,  0 t (1.1)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là ma trận hằng số cho trước. Định nghĩa 1.6. Cho c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T là các số dương, R là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.1).
14 Định lý 1.8. [17] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n và một số dương γ sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn P A + AT P − γP < 0, (1.2a) λmax (Q) c2 Eα (γT α ) < , (1.2b) λmin (Q) c1 Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng sau đây C α 0 Dt V (x(t)) ≤ 2xT (t)P C α T T 0 Dt x(t) = x (t)[P A + A P ]x(t). Từ điều kiện (1.2a), ta có C α 0 Dt V (x(t)) < γV (x(t)). (1.3) Vì γ > 0 nên tồn tại một hàm không âm M (t) sao cho C α 0 Dt V (x(t)) + M (t) = γV (x(t)). (1.4) Áp dụng biến đổi Laplace vào hai vế của đẳng thức trên, ta thu được sα V (x(s)) − V (x(0))sα−1 + M (s) = γV (x(s)). Đẳng thức bên trên tương đương với V (x(s)) = (sα − γ)−1 V (x(0))sα−1 − M (s) . (1.5) Áp dụng biến đổi Laplace ngược vào đẳng thức (1.5), ta thu được Z t α V (x(t)) = V (x(0))Eα (γt ) − M (τ )[(t − τ )α−1 Eα,α (γ(t − τ )α )]dτ. 0 Vì hàm dưới dấu tích phân là dương nên từ đẳng thức trên ta thu được V (x(t)) < Eα (γtα )V (x(0)). Bất đẳng thức trên tương đương với xT (t)P x(t) < Eα (γtα )xT (0)P x(0). Vì 1 1 P = R 2 QR 2 nên bất đẳng thức bên trên tương đương với 1 1 1 1 xT (t)R 2 QR 2 x(t) < Eα (γtα )xT (0)R 2 QR 2 x(0). (1.6)
15 Từ đó suy ra λmin (Q)xT (t)Rx(t) < λmax (Q)Eα (γtα )xT (0)Rx(0). Kết hợp bất đẳng thức trên với xT (0)Rx(0) ≤ c1 và điều kiện (1.2b), ta có xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý được chứng minh hoàn toàn. Khi có tác động của nhiễu hệ (1.1) trở thành hệ sau đây.   C Dα x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,  0 t (1.7)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n , D ∈ Rn×m là các ma trận hằng số cho trước. Nhiễu ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều kiện tồn tại số d > 0 sao cho sup ω T (t)ω(t) ≤ d. (1.8) t≥0 Định nghĩa 1.7. Cho c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d là các số dương, R là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) được gọi là bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.8). Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.7). Định lý 1.9. [17] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu tồn tại một số dương γ, các ma trận đối xứng xác định dương P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn   T AP + P A − γP DP2   < 0, (1.9a) T P2 D −γP2 γdT α α c1 c2 Eα (γT ) + < , (1.9b) λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 ) λmax (P1 ) 1 1 trong đó P = R− 2 P1 R− 2 .
16 Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng sau đây C α 0 Dt V (x(t)) ≤ 2xT (t)P C α 0 Dt x(t) T xT (t)P −1 (Ax(t) + Dω(t)) + (Ax(t) + Dω(t)) P −1 x(t)    (1.10) h i P −1 A + AT P −1 P −1 D x(t) = xT (t) ω T (t)   . T −1 D P 0 ω(t) Nhân  bên trái  và bên phải của (1.9a) với ma trận đối xứng xác định dương P −1 0  . Khi đó điều kiện (1.9a) tương đương với điều kiện dưới đây −1 0 P2   −1 T −1 −1 −1 P A + A P − γP P D   < 0. (1.11) DT P −1 −γP2−1 Kết hợp hai điều kiện (1.10) và (1.11), ta thu được    h i γP −1 0 x(t) C α T T 0 Dt V (x(t)) < x (t) ω (t)    0 γP2−1 ω(t) (1.12) = γV (x(t)) + γω T (t)P2−1 ω(t). Kết hợp điều này với các đánh giá ω T (t)P2−1 ω(t) ≤ λmax (P2−1 )ω T (t)ω(t) ≤ d λmin (P2 ) , ta thu được C α γd 0 Dt V (x(t)) < γV (x(t)) + , t ∈ [0, T ]. (1.13) λmin (P2 ) Lấy tích phân cấp α từ 0 tới t, (t ≤ T ), hai vế của (1.13) và áp dụng Định lý 1.5, ta thu được đánh giá sau đây t γdtα Z γ V (x(t)) < V (x(0)) + + (t − τ )α−1 V (x(τ ))dτ. λmin (P2 )γ(α + 1) Γ(α) 0 Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được γdtα γ α V (x(t)) < V (x(0)) + Eα Γ(α)t λmin (P2 )Γ(α + 1) Γ(α) (1.14) γdT α ≤ V (x(0)) + Eα (γT α ) . λmin (P2 )Γ(α + 1)
17 Mặt khác, ta có các đánh giá sau đây 1 1 V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) = xT (t)R 2 P1−1 R 2 x(t) xT (t)Rx(t) (1.15) ≥ λmin (P1−1 )xT (t)Rx(t) = , λmax (P1 ) 1 1 V (x(0)) = xT (0)P −1 x(0) = xT (0)R 2 P1−1 R 2 x(0) c1 (1.16) ≤ λmax (P1−1 )xT (0)Rx(0) ≤ . λmin (P1 ) Từ các điều kiện (1.14) tới (1.16), ta có xT (t)Rx(t) α γdT c 1 < Eα (γT α ) + . (1.17) λmax (P1 ) λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 ) Từ điều kiện (1.9b) và (1.17), ta có xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý được chứng minh hoàn toàn. Nhận xét 1.2. Khi α = 1, các kết quả trong [5] là các trường hợp đặc biệt của Định lý 1.8, Định lý 1.9. 1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [6, 18, 22, 24]. Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tiêu chuẩn cơ bản và quan trọng cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với bậc nguyên [18]. Các định nghĩa về tính ổn định trong thời gian hữu hạn, tính bị chặn trong thời gian hữu hạn được định nghĩa tương tự Mục 1.3. Xét hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên      x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t) + Bu(t), t ≥ 0,  z(t) = Cx(t) + D1 u(t) + D2 w(t), t ≥ 0, (1.18)      x(0) = x , 0
18 trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, w(t) ∈ Rl là nhiễu thỏa mãn điều kiện dưới đây Z +∞ wT (t)w(t)dt < d. (1.19) 0 với d là một số dương, z(t) ∈ Rq là véc tơ đầu ra (output vector), u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×l , B ∈ Rn×m , C ∈ Rq×n , D1 ∈ Rq×m , D2 ∈ Rq×l là các ma trận hằng số. Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), ta thu được hệ đóng sau đây      x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t), t ≥ 0,  z(t) = Cx(t) + D2 w(t), t ≥ 0, (1.20)      x(0) = x , 0 trong đó A = A + BK, C = C + D1 K. Định nghĩa 1.8. Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: (1) Hệ đóng (1.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d), (2) Với điều kiện ban đầu bằng 0, tức là x0 ≡ 0, bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn Z t Z t T 2 z (s)z(s)ds < γ wT (s)w(s)ds, (1.21) 0 0 trong đó nhiễu w(t) ∈ Rl thỏa mãn điều kiện (1.19) và γ là một hằng số dương. Bằng cách sử kỹ thuật biến đổi trên ma trận, Q. Meng và Y. Shen [18] đưa ra một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên (1.18). Định lý 1.10. [18] Cho trước các số dương c1 , c2 (c1 ≤ c2 ), T, d và R ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại hai số β ≥ 0, γ > 0, một ma trận đối xứng xác định dương Q1 và một ma trận L sao cho các điều kiện
19 dưới đây được thỏa mãn   ˜ ˜ T ˜ T T ˜ T T T AQ1 + Q1 A − αQ1 + BL + L B G Q1 C + L D 1  GT −γI D2  < 0, (1.22a)      ˜ C Q1 + D1 L D2T −I c2 e−αT dγ < , (1.22b) λmax (Q1 ) ˜ 1 = R− 21 Q1 R− 21 . trong đó Q Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được nhiều tác giả nghiên cứu cho một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên [6, 22, 24]. Gần đây, M.V. Thuan và các cộng sự nghiên cứu bài toán trên cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tôi trình bày bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ này.