Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm Parabolic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các bài toán cực trị. Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm được nghiệm tối ưu trong trong tập các điểm dừng. Nhiều kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đơn và đa mục tiêu đã được thiết lập. Mời các bạn cùng tìm hiểu nội dung của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm Parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên – 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm theo phương cấp hai 3 1.1 Tập tiếp tuyến cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai . . . . . . . . . . . 6 2 Điều kiện cần tối ưu 14 2.1 Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích . . . . . . 14 2.2 Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange . . . . . . . . 18 2.3 Các hệ quả và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Điều kiện đủ tối ưu 28 3.1 Điều kiện cấp hai dạng nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . 28 iii
3.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 41 iv
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các bài toán cực trị. Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm được nghiệm tối ưu trong trong tập các điểm dừng. Nhiều kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đơn và đa mục tiêu đã được thiết lập. C. Gutiérrez, B. Jiménez, V. Novo ([10], 2010) đã chứng minh các điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định. Lớp hàm này chứa trong lớp hàm C 1,1 . Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic”. 2. Nội dung đề tài Luận văn trình bày các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet và đạo hàm Fréchet của chúng là liên tục hoặc ổn định. Luận văn được viết dựa trên bài báo của C. Gutiérrez, B. Jiménez và V. Novo, đăng trong tạp 1
chí Math. Programming 123 (2010), 199-223. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: "Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm theo phương cấp hai" Trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.1) được xét trong luận văn; các khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai của một tập; các tính chất và mối quan hệ của các tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; các đạo hàm theo phương parabolic và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai và mối quan hệ giữa chúng. Các khái niệm và kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez– Novo [10]. Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu" Trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho bài toán (1.1) đã phát biểu trong chương 1 với các hàm có đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tử Lagrange cùng với một số ví dụ minh họa. Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu" Trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu (3.1) cùng với các hệ quả cho bài toán với các hàm khả vi Fréchet hai lần, bài toán với các hàm C 1,1 và các ví dụ. 2
Chương 1 Tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm theo phương cấp hai Chương 1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu được nghiên cứu trong luận văn, các khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai cùng với các tính chất và mối quan hệ giữa chúng, hàm ổn định, các đạo hàm theo phương parabolic và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng). Các kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10]. 1.1 Tập tiếp tuyến cấp hai Cho f , g và h lần lượt là các hàm từ Rn vào Rp , Rm và Rr . Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau: D − Minf (x), (1.1) x ∈ M := g −1 (K) ∩ h−1 (0), trong đó D là nón lồi đóng và nhọn (D ∩ −D = {0}) với phần trong khác rỗng và K ⊂ Rm là tập lồi với phần trong khác rỗng. Thứ tự bộ phận trong 3
Rp được xác định bởi quan hệ y ≤D y 0 ⇐⇒ y 0 − y ∈ D. Rõ ràng bài toán (1.1) bao gồm như một trường hợp đặc biệt bài toán quy hoạch thông thường với ràng buộc bất đẳng thức gj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m, khi chọn K là góc phần tư (orthant) không dương Rm −. Cho M là tập con của Rn . Ta kí hiệu B(¯ x, δ) là hình cầu mở tâm x¯ bán kính δ > 0, int M là phần trong của tập M , cl M là bao đóng của tập M , co M là bao lồi của tập M và cone M là nón sinh bởi tập M . ¯ ∈ M được gọi là cực tiểu địa phương (cực tiểu Nhắc lại rằng điểm x ¯ ∈ LMin(f, M ) (tương ứng yếu địa phương) của bài toán (1.1), kí hiệu là x x¯ ∈ LWMin(f, M ) đối với điểm cực tiểu yếu địa phương), nếu tồn tại lân cận U của x ¯ sao cho (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−D) = {0} (tương ứng (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−intD) = ∅ đối với điểm cực tiểu yếu địa phương). Đặc biệt khi p = 1 và D = R+ , chúng ta trở về khái niệm cực tiểu địa phương đã biết. Nón cực dương của tập M ∈ Rn được định nghĩa bởi M + = (ξ ∈ Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ M ). ¯ ∈ Rn là Nón tiếp tuyến của M tại x T (M, x¯) = {v ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃vn → v sao cho x¯ + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N}. Sau đây là khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sẽ sử dụng trong luận văn. 4
Định nghĩa 1.1.1. Cho M ⊂ Rn và x ¯ , v ∈ Rn . (a) Tập tiếp liên cấp hai của M tại (¯ x, v) là T 2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃wn → w sao cho 1 x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n ∈ N}. 2 (b) Tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại (¯ x, v) là IT 2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∀tn → 0+ , ∀wn → w ta có 1 x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n đủ lớn}. 2 (c) Tập liền kề cấp hai của M tại (¯ x, v) là A2 (M, x¯, v) = {w ∈ Rn : ∀tn → 0+ , ∃wn → w sao cho 1 x¯ + tn v + t2n wn ∈ M, ∀n ∈ N}. 2 T 2 (M, x¯, v) và A2 (M, x¯, v) là các tập đóng, IT 2 (M, x¯, v) là tập mở và nếu M là lồi thì A2 (M, x ¯, v) và IT 2 (M, x¯, v) là các tập lồi. Hơn nữa, khi M được xác định bởi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức khả vi liên tục hai lần với điều kiện chính quy Mangasarian–Fromovitz, ta có A2 (M, x¯, v) = T 2 (M, x¯, v) (xem [5]). Kết quả sau đây bao gồm những tính chất cơ bản của tập tiếp tuyến cấp hai được định nghĩa ở trên (xem [19]). Mệnh đề 1.1.2. Cho M là tập con của Rn , x ¯ ∈ M và v ∈ Rn . (i) IT 2 (M, x ¯, v) ⊂ A2 (M, x¯, v) ⊂ T 2 (M, x¯, v) ⊂ cl cone[cone(M − x¯) − v]; (ii) IT 2 (M, x ¯, v) = IT 2 (int M, x¯, v); 5
¯), thì T 2 (M, x¯, v) = ∅; (iii) Nếu v 6∈ T (M, x (iv) Nếu N ⊂ Rk , y¯ ∈ N , và u ∈ Rk thì IT 2 (M × N, (¯ x, y¯), (v, u)) = IT 2 (M, x¯, v) × IT 2 (N, y¯, u). Hơn nữa, nếu M lồi, int M 6= ∅ và v ∈ T (M, x ¯) thì (v) IT 2 (M, x ¯, v) ⊂ int A2 (M, x¯, v) ⊂ int cone[cone(M − x¯) − v]; (vi) Nếu A2 (M, x ¯, v) 6= ∅ thì IT 2 (M, x¯, v) = int A2 (M, x¯, v) và cl IT 2 (M, x ¯, v) = A2 (M, x¯, v); (vii) Nếu v ∈ cone(M − x ¯), thì (a) IT 2 (M, x ¯, v) = int cone[cone(M − x¯) − v] và (b) A2 (M, x ¯, v) = cl cone[cone(M − x¯) − v]. Các tính chất trên được trình bày trong [2], [19]. 1.2 Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai Nếu f là khả vi Fréchet tại x ¯, khi đó đạo hàm Fréchet được kí hiệu bởi f 0 (¯ x). Nếu f là khả vi Fréchet hai lần tại x¯, khi đó đạo hàm cấp hai Fréchet được kí hiệu bởi f 00 (¯ x) là ánh xạ song tuyến tính liên tục từ Rn × Rn vào Rp . Định nghĩa 1.2.1. Ta nói f : Rn → Rp là ổn định tại x ¯ ∈ Rn nếu tồn tại lân cận U của x ¯ và hằng số k > 0 sao cho kf (x) − f (¯ x)k ≤ kkx − x¯k, ∀x ∈ U . 6
Ta nói f là Lipschitz trên U nếu tồn tại số k > 0 sao cho kf (x) − f (x0 )k ≤ kkx − x0 k, với mọi x, x0 ∈ U. Ta nói f là Lipschitz trong một lân cận của x ¯ nếu f là Lipschitz trên U với lân cận U nào đó của x ¯. ¯ ∈ U, Rõ ràng f là Lipschitz trên U kéo theo f ổn định tại mỗi điểm x nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ: f (x) = x sin x1 ổn định tại mỗi điểm thuộc lân cận U của x nhưng không Lipschitz trên U. Ta nói f là C 1,1 trong một lân cận của x ¯ nếu tồn tại lân cận U của x¯ sao cho f là C 1 trên U và đạo hàm f 0 của nó là Lipschitz trên U . Ở đây chúng ta sẽ xét hàm f khả vi Fréchet trên lân cận của x ¯ và đạo hàm f 0 của nó là ổn định tại x ¯, tức là kf 0 (x) − f 0 (¯ x)k ≤ kkx − x¯k ¯ và k > 0 nào đó. Khi ta nói f 0 là liên tục hoặc ổn định tại với mọi x gần x x¯, thì ta giả sử f 0 (x) tồn tại với mọi x gần x¯. Ta có các kết quả sau đây: ¯ ⇒ f 0 ổn định tại x¯ ⇒ f 0 liên tục tại x¯. (a) f C 1,1 trong một lân cận của x (b) f 0 liên tục tại x ¯ ⇒ f Lipschitz trong một lân cận của x¯. ¯ ⇒ f ổn định tại x¯. (Đặc biệt, nếu f khả vi Fréchet (c) f khả vi Fréchet tại x ¯, khi đó f 0 là ổn định tại x¯). hai lần tại x Ta cũng sẽ sử dụng các đạo hàm theo phương, là các ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại giới hạn trên theo nghĩa Painlevé–Kuratowski của ánh xạ đa trị 7
Φ : R ⇒ Rp được định nghĩa bởi Limsupu→¯u Φ(u) = {y ∈ Rp : ∃un → u ¯, ∃yn ∈ Φ(un ) sao cho yn → y}. Định nghĩa 1.2.2. Cho f : Rn → Rp là hàm khả vi Fréchet tại x ¯ và u, w ∈ Rn . (a) Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai đa trị của f tại x ¯ theo phương (v, w) là tập f (¯ x) − tf 0 (¯ x + tv + 21 t2 u) − f (¯ x)v Dp2 f (¯ x, v, w) = Limsup(t,u)→(0+ ,w) 1 2 . 2 t (b) Đạo hàm theo phương radial cấp hai đa trị của f tại x ¯ theo phương v là tập x + tv) − f (¯ f (¯ x) − tf 0 (¯ x)v Dr2 f (¯ x, v) = Limsupt→0+ 1 2 . 2 t x, v, w) và Dr2 f (¯ Từ định nghĩa, rõ ràng Dp2 f (¯ x, v) là các tập đóng. Hơn nữa, ở Định nghĩa 1.2.2 ta thay giới hạn trên "Limsup" bởi giới hạn "lim" ta nhận được đạo hàm theo phương parabolic cấp hai của f và đạo hàm theo phương radial cấp hai của f . Ta kí hiệu các đạo hàm theo phương x, v, w) và d2r f (¯ cấp hai đơn trị đó lần lượt là d2p f (¯ x, v), và ta nói rằng f là ¯ nếu d2p f (¯ khả vi parabolic (viết gọn là d2p −khả vi) tại x x, v, w) tồn tại với mọi v, w ∈ Rn . Tương tự, ta nói rằng f là d2r −khả vi tại x ¯ nếu d2r f (¯ x, v) tồn tại với mọi v ∈ Rn . Các đạo hàm theo phương cấp hai đơn trị được sử dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu (xem chẳng hạn [4], [5], [8], [14]). Tất nhiên, nếu d2p f (¯ x, v, w) tồn tại khi đó Dp2 f (¯ x, v, w) = {d2p f (¯ x, v, w)}, tương tự nếu d2r f (¯ x, v) tồn tại khi đó Dr2 f (¯ x, v) = {d2r f (¯ x, v)}. Đạo hàm Dr2 f (¯ x, v) được sử dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu 8
cấp hai (xem chẳng hạn [7], [16]). Cũng chú ý rằng Dp2 f (¯ x, v) được gọi là đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị x 7→ {f (x)} tại (¯ x, f (¯ x)) theo phương (v, f 0 (¯ x)v) trong Định nghĩa 2.2 [12]. Khi f Lipschitz trong một lân cận của x ¯, dễ dàng kiểm tra được f (¯ x) − tf 0 (¯ x + tv + 21 t2 w) − f (¯ x)v Dp2 f (¯ x, v, w) = Limsupt→0+ 1 2 . 2 t và tương tự cho d2p f (¯ x, v, w). Các tính chất và các mối liên hệ giữa các đạo hàm này được cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : Rn → Rp có đạo hàm Fréchet f 0 ổn định tại x ¯ thì Dp2 f (¯ x, v, w) là tập compact khác rỗng với mọi v, w ∈ Rn . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng Dp2 f (¯ x, v, w) 6= ∅. Xét các dãy tùy ý tn → 0+ và wn → w. Định lý giá trị trung bình chỉ ra rằng với mọi a, b gần x¯ ta có kf (b) − f (a) − f 0 (¯ x)(b − a)k ≤ kb − ak sup kf 0 (x) − f 0 (¯ x)k. (1.2) x∈[a,b] ¯ và b = x¯ + tn v + 21 t2n wn , chú ý rằng Áp dụng bất đẳng thức này cho a = x f 0 là ổn định tại x¯ với hằng số k , ta có 1 1 kf (¯ x) − tn f 0 (¯ x + tn v + t2n wn ) − f (¯ x)(v + tn wn )k 2 2 1 ≤ tn kv + tn wn ksupx∈[¯x,¯x+tn v+ 21 t2n wn ] kf 0 (x) − f 0 (¯ x)k 2 1 ≤ kt2n θkv + tn wn k2 , 2 ¯ + θtn (v + 21 tn wn ) với θ ∈ [0, 1]. Chia ở đây ta đã đặt x = a + θ(b − a) = x cả hai vế cho 21 t2n và đặt f (¯ x) − tn f 0 (¯ x + tn v + 12 t2n wn ) − f (¯ x)v yn := 1 2 , (1.3) 2 tn 9
ta thấy rằng 1 kyn − f 0 (¯ x)wn k ≤ 2kkv + tn wn k2 . (1.4) 2 Vì vậy, (yn ) là bị chặn. Do đó tồn tại một dãy con hội tụ tới y ∈ Dp2 f (¯ x, v, w). x, v, w) là bị chặn và do đó Dp2 f (¯ Tiếp theo, ta chứng minh Dp2 f (¯ x, v, w) là tập compact vì nó là tập đóng. Lấy y ∈ Dp2 f (¯ x, v, w) khi đó yn → y , với yn được cho bởi (1.3) với mỗi dãy (tn , wn ) → (0+ , w). Lập luận tương tự ta nhận được (1.4). Do đó ky − f 0 (¯ x)wk ≤ 2kkvk2 . Vì vậy, Dp2 f (¯ x, v, w) là một tập đóng bị chặn. Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu f là hàm khả vi Fréchet hai lần tại x ¯, khi đó x, v) = f 00 (¯ d2r f (¯ x)(v, v), ∀v ∈ Rn . (ii) Nếu f 0 liên tục tại x ¯, và d2r f (¯ x, v) tồn tại thì x, v, w) = f 0 (¯ d2p f (¯ x)w + d2r f (¯ x, v), ∀w ∈ Rn , và x, v, w) = f 0 (¯ Dp2 f (¯ x)w + Dr2 f (¯ x, v), ∀v, w ∈ Rn . Chứng minh. (i) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 2.4 (ii) [14]. (ii) Phần đầu là Mệnh đề 3.1 trong [17], chú ý rằng d2p f (¯ x, v, 0) = d2r f (¯ x, v). Ở phần thứ hai ta xét y ∈ Dp2 f (¯ x, v, w). Khi đó tồn tại dãy (tn , wn ) → (0+ , w) sao cho f (¯ x) − tn f 0 (¯ x + tn v + 21 t2n wn ) − f (¯ x)v yn := 1 2 → y. 2 tn 10
Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với a = an = x ¯ + tn v và b = bn = x¯ + tn v + 1 2 2 t n wn , ta được 1 1 x + tn v + t2n wn ) − f (¯ kf (¯ x + tn v) − f 0 (¯ x)( t2n wn )k 2 2 1 2 ≤ tn kwn ksupx∈[an ,bn ] kf 0 (x) − f 0 (¯ x)k. 2 Với f 0 liên tục tại x ¯, ta có limn→∞ supx∈[an ,bn ] kf 0 (x) − f 0 (¯ x)k = 0. Chia cả hai vế cho 21 t2n ta nhận được 0 x + tn v + 21 t2n wn ) − f (¯ f (¯ x + tn v) y n := 1 2 − f 0 (¯ x)wn → 0. 2 tn Nếu ta đặt x + tn v) − f (¯ f (¯ x) − tn f 0 (¯ x)v y n := 1 2 , (1.5) 2 t n ta có yn0 = yn − y n − f 0 (¯ x)wn → 0, và vì vậy y n → y − f 0 (¯ x)w. Từ đó suy ra y − f 0 (¯ x)w ∈ Dr2 f (¯ x, v). x, v), khi đó tồn tại tn → 0+ Để có bao hàm thức ngược lại, lấy y0 ∈ Dr2 f (¯ sao cho y n → y0 , với yn được cho bởi (1.5). Nếu chọn dãy hằng wn = w, ∀n, theo chứng minh trên ta có yn = yn0 + f 0 (¯ x)wn + y n → f 0 (¯ x)w + y0 , và do đó f 0 (¯ x)w + y0 ∈ Dp2 f (¯ x, v, w). Hệ quả 1.2.5. Giả sử f : Rn → Rp có đạo hàm f 0 liên tục tại x ¯ và v ∈ Rn . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (a) d2r f (¯ x, v) tồn tại; 11
(b) d2p f (¯ x, v, w) tồn tại với mọi w ∈ Rn ; x, v, w0 ) tồn tại với mỗi w0 ∈ Rn . (c) d2p f (¯ Do đó, f là d2r −khả vi tại x ¯ nếu và chỉ nếu f là d2p −khả vi tại x¯. Chứng minh. (a) ⇒ (b) theo Mệnh đề 1.2.4 (ii), và (b) ⇒ (c) là hiển nhiên. Ta chứng minh (c) ⇒ (a). Ta chỉ cần chứng minh với mọi dãy tn → 0+ , x, v, w0 ) − f 0 (¯ ta có y n → d2p f (¯ x)w0 , trong đó y n cho bởi công thức (1.5). Thật vậy, do d2p f (¯ x, v, w0 ) tồn tại, ta có f (¯ x) − tn f 0 (¯ x + tn v + 21 t2n w0 ) − f (¯ x)v yn := 1 2 → d2p f (¯ x, v, w0 ). t 2 n Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2.4 (ii) (với wn = w0 với mọi n và x, v, w0 )) ta có y n → y − f 0 (¯ y = d2p f (¯ x)w0 . Cho f : Rn → Rp và g : Rn → Rm , hàm (f, g) : Rn → Rp × Rm xác định bởi (f, g)(x) = (f (x), g(x)). Rõ ràng là với mỗi v ∈ Rn , Dr2 (f, g)(¯ x, v) ⊂ Dr2 f (¯ x, v) × Dr2 g(¯ x, v), và nếu f (hoặc g ) là d2r −khả vi tại x ¯ thì ta có dấu bằng. Bây giờ ta so sánh đạo hàm parabolic đơn trị với dưới vi phân cấp hai Clarke (Mệnh đề 1.2.6). Lấy f : Rn → Rp là C 1,1 trong một lân cận của x ¯. Khi đó Jacobian suy rộng Clarke của f 0 tại x ¯ được gọi là dưới vi phân cấp hai Clarke của f 0 tại x ¯, là tập hợp x) = cl co{limf 00 (xn ) : xn → x, f 00 (xn ) tồn tại}. ∂ 2 f (¯ (xem [9]). Khi p = 1, tập ∂ 2 f (¯ x) được gọi là ma trận Hessian suy rộng. Ta xét phần tử của ∂ 2 f (¯ x) là hàm song tuyến tính từ Rn × Rn vào Rp . 12
Mệnh đề 1.2.6. Nếu f : Rn → Rp là C 1,1 trong lân cận của x ¯, khi đó x, v, w) ⊂ f 0 (¯ Dp2 f (¯ x)w + ∂ 2 f (¯ x)(v, v), ∀u, v ∈ Rn . Đặc biệt, ∅ = x, v) ⊂ ∂ 2 f (¯ 6 Dr2 f (¯ x)(v, v), với mọi v ∈ Rn . Chứng minh. Chọn y ∈ Dp2 f (¯ x, v, w), khi đó x) − tn f 0 (¯ f (xn ) − f (¯ x)v yn := 1 2 →y t 2 n ¯ + tn v + 12 t2n wn . Sử dụng khai cho mỗi dãy (tn , wn ) → (0+ , w) với xn := x triển Taylor [9] ta có 1 1 1 1 x) + tn f 0 (¯ f (xn ) = f (¯ x)(v + tn wn ) + t2n An (v + tn wn , v + tn wn ) 2 2 2 2 với An ∈ cl co{∂ 2 f (x) : x ∈ [¯ x, xn ]}. Vì vậy, 1 1 x) − tn f 0 (¯ f (xn ) − f (¯ x)v = t2n f 0 (¯ x)wn + t2n An (v, v) + o(t2n ). (1.6) 2 2 Bởi vì ánh xạ đa trị x 7→ ∂ 2 f (x) là nửa liên tục trên lồi và có giá trị compact (xem [19]), ta có thể coi dãy An hội tụ đến mỗi A ∈ ∂ 2 f (¯ x). Từ (1.6), suy ra yn → f 0 (¯ x)w + A(v, v), và do yn → y ta suy ra y = f 0 (¯ x)w + A(v, v). Phần hai là hệ quả của Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 (ii). Dễ thấy bao hàm thức trong Mệnh đề 1.2.6 nói chung là chặt chẽ. Chẳng hạn, cho f : R → R xác định bởi f (x) = sign(x)x2 , x ¯ = 0 và v = w = 1, ta có ∂ 2 f (¯ x)(v, v) = [−2, 2] và Dr2 f (¯ x, v) = Dp2 f (¯ x, v, w) = {2}. 13
Chương 2 Điều kiện cần tối ưu Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez– Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.1) với các hàm khả vi Fréchet và đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tử Lagrange cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp hai cho bài toán (1.1) với các hàm khả vi hai lần, bài toán (1.1) với các hàm C 1,1 , và một số ví dụ minh họa. 2.1 Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích Trong phần này chúng ta xét bài toán (1.1). Giả sử f , g là các hàm khả ¯ ∈ M , đặt H = h−1 (0), G = g −1 (K) và vi Fréchet trong một lân cận của x G0 = g −1 (int K). Như vậy, M = G ∩ H . Ta kí hiệu: Nón pháp tuyến của K tại z0 là N (K, z0 ) = −T (K, z0 )+ . ¯ ∈ M là Nón tuyến tính hóa của M tại x C(M, x¯) = {v ∈ Rn : g 0 (¯ x)), h0 (¯ x)v ∈ cl cone(K − g(¯ x)v = 0}. 14