Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định giá quyền chọn trong Toán học tài chính

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định giá quyền chọn trong Toán học tài chính trình bày một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên, mô hình tài chính cơ bản. Tài liệu hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định giá quyền chọn trong Toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH FFF Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH FFF Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19, chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011 Học viên Đặng Thị Kiêm Hồng
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2
2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu 52 2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3
LỜI NÓI ĐẦU Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây ở Việt Nam. Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền đầu tư vào chính các cổ phiếu đó. Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia thành 2 chương: Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục. Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường tổng quát hơn. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! 4
Chương 1 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên 1.1. Không gian xác suất 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một tập cho trước, một σ -đại số F trên Ω là một họ các tập con của Ω có những tính chất sau (i) 0/ ∈ F , Ω ∈ F . (ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F . ∞ (iii) A1 , A2 , ... ∈ F ⇒ Ai ∈ F . S i=1 Bộ (Ω, F ) được gọi là một không gian đo được. Một độ đo xác suất P trên một không gian đo được (Ω, F ) là một hàm P : F → [0, 1] sao cho / = 0, P(Ω) = 1. (a) P(0) (b) Nếu A1 , A2 , ... ∈ F và {Ai }∞ i=1 rời nhau (Ai ∩ A j = 0, / nếu i 6= j) thì ∞ [ ∞ P( Ai ) = ∑ P(Ai ) i=1 i=1 Bộ ba (Ω, F , P) được gọi là một không gian xác suất. 5
Định nghĩa 1.2. Nếu (Ω, F , P) là một không gian xác suất thì hàm X : Ω → Rn được gọi là F -đo được nếu X −1 (U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F . Một biến ngẫu nhiên X là một hàm F -đo được, X : Ω → Rn . 1.1.2. Các khái niệm hội tụ Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất cơ bản, P là độ đo đủ. Định nghĩa 1.3. Hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω, F , P). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn } được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất h.c.c 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −−→ X, nếu P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1. n→∞ Định nghĩa 1.4. Hội tụ theo xác suất Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu P Xn − → X, nếu lim P {ω : |Xn (ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với mọi ε > 0. n→∞ h.c.c P • Xn −−→ X ⇒ Xn − → X. P h.c.c • Xn − → X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn } : Xnk −−→ X. Định nghĩa 1.5. Hội tụ trung bình Giả sử {Xn } ⊂ L p , p ∈ (0, +∞). Lp Dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn −→ X, nếu lim E |Xn − X| p = 0. n→∞ Lp P • Xn −→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn − → X. 1.2. Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên Ta muốn diễn tả một quá trình mà sự tiến triển theo thời gian là ngẫu nhiên. Một đối tượng như vậy là một quá trình ngẫu nhiên. 6
Định nghĩa 1.6. Xét không gian xác suất (Ω, F , P) và một tập hợp chỉ số I (vô hạn đếm được hay không đếm được). Ta xem I như một tập hợp các chỉ số thời gian; I có thể là tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P) và lấy chỉ số trong I. - Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. - Họ đếm được {X(t)}t∈I (I đếm được) các biến ngẫu nhiên được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.
Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo được (Ω, F ), (E, ξ ) và I là tập hợp chỉ số. Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là một ánh xạ: X : I × Ω → E đo được đối với độ đo tích trên I × Ω.
Quá trình ngẫu nhiên X, đôi khi được viết là X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I. Định nghĩa 1.7. Nếu cố định ω ∈ Ω, thì {X(t, ω)}t∈I được gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω). Định nghĩa 1.8. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn (n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều. 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc Định nghĩa 1.9. Một họ các σ - đại số con (Ft ,t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: • Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t, • Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ Ft+ε , ε>0 • Với A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft ). Định nghĩa 1.10. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0). Xét σ - đại số FtX sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ (Xs , s ≤ t), σ - đại số này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X. Định nghĩa 1.11. Cho một bộ lọc bất kì (Ft ,t ≥ 0) trên (Ω, F ). Một quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với 7
σ -đại số Ft . Mọi quá trình X = (Xt ,t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (FtX ,t ≥ 0). Định nghĩa 1.12. Một không gian xác suất (Ω, F , P) trên đó có một bộ lọc (Ft )t≥0 được gọi là một không gian xác suất được lọc, kí hiệu là (Ω, F , (Ft ), P). 1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số Định nghĩa 1.13. Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, X : Ω → Rn là biến ngẫu nhiên sao cho E(X) < ∞ và G là một σ - đại số con của F , G ⊂ F . Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ - đại số G , nếu: • Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G . • Với mọi tập A ∈ G thì ta có Z Z ZdP = XdP. A A Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E (X|G ). Nếu ta chọn σ - đại số G là σ - đại số σ (Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ (Y ) cũng được ký hiệu là E (X|Y ). Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện Giả sử X,Y : Ω → Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞. Tất cả các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn: 1. Nếu G là σ - đại số tầm thường {0, / Ω} thì E (X|G ) = EX. 2. E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ). 3. Nếu X đo được đối với G thì E (XY |G ) = XE (Y |G ). Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E (cY |G ) = cE (Y |G ). 4. Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) . Nói riêng, E (E (X|G )) = EX. 5. Nếu X độc lập với G thì E (X|G ) = EX. 8
6. Nếu G và H là hai σ - đại số con của F và độc lập với nhau, và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì E (X|σ (G , H )) = E (X|H ) , trong đó σ (G , H ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa cả G lẫn H . 7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì g (E (X|G )) ≤ E (g(X)|G ) . Nói riêng, (i) Với g(x) = |x| thì |E (X|G )| ≤ E (|X| |G ) . (ii) Với g(x) = x2 thì (E(X|G ))2 ≤ E((X)2 |G ). 8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞ thì E (Xn |G ) ↑ E (X|G ) . 9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu Xn ≥ 0 thì E lim inf Xn |G ≤ lim inf E (Xn |G ) . n n 10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu lim Xn = X hầu chắc chắn và |Xn | ≤ Y với EY < ∞ thì n→∞ lim E (Xn |G ) = E (X |G ) . n→∞ 11. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ (x, y) là một hàm hai biến sao cho E |φ (X,Y )| < ∞. Khi đó thì E (φ (X,Y ) |Y ) = E (φ (X,Y )) . 1.2.4. Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.14. Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈ F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi P(A|F ) = E(IA |F ), 9
trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là 1 nếu ω ∈ A, IA (ω) = 0 nếu ω ∈ / A. Tính chất (1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c). (2) ∀A ∈ F : P(A|F ) = 1 − P(A|F ) (h.c.c). (3) ∀A1 , A2 , ... ∈ F rời nhau từng đôi một thì ! ∞ [ ∞ P An |F = ∑ P (An |F ). n=1 n=1 1.2.5. Mac-tin-gan Định nghĩa 1.15. Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft ), P). Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) được gọi là một mac-tin-gan đối với bộ lọc (Ft ,t ≥ 0) nếu (i) Xt khả tích với mọi t ≥ 0, tức là E |Xt | < ∞, ∀t ≥ 0. (ii) X thích nghi với bộ lọc (Ft ). (iii) Với mọi s,t ≥ 0 và s ≤ t, hầu chắc chắn có Xs = E(Xt |Fs ), hay có thể viết dưới dạng tích phân Z Z Xs dP = Xt dP A A với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs . • Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan dưới đối với bộ lọc (Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (iv) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có Xs ≤ E(Xt |Fs ), hay có thể viết dưới dạng tích phân Z Z Xs dP ≤ Xt dP A A với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs . 10
• Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan trên đối với bộ lọc (Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (v) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có Xs ≥ E(Xt |Fs ), hay có thể viết dưới dạng tích phân Z Z Xs dP ≥ Xt dP A A với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs . Ví dụ 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho EX < ∞ và cho (Ft ) là một bộ lọc bất kỳ trên (Ω, F , P). Đặt Mt = E[X|Ft ]. Khi đó quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 là một mac-tin-gan đối với (Ft ). Thật vậy, - Theo định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft ) . - Với mỗi t ta có E|Mt | ≤ E [E [|X||Ft ]] = E|X| < ∞ nên Mt khả tích. - Với mọi s < t ta có E[Mt |Fs ] = E [E [X|Ft ]|Fs ] = E[X|Fs ] = Ms , (vì (Ft ) là bộ lọc nên Fs ⊂ Ft ). Vậy Mt là một mac-tin-gan đối với lọc (Ft ) . Ví dụ 1.2. Quá trình ngẫu nhiên (Wt ,t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft ) và thỏa mãn: Với mọi s,t ≥ 0 sao cho s < t thì Wt −Ws độc lập đối với Fs . Tính chất này được gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ. Khi đó (Wt ,t ≥ 0) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên FtW của nó, ở đây ta viết FtW = σ {Xs , s ≤ t} (để cho gọn, ta viết Ft = FtW ). Thật vậy, hiển nhiên nó thích nghi với Ft và với 0 ≤ s ≤ t, hầu chắc chắn có E (Wt |Ft ) = E (Ws +Wt −Ws |Fs ) = E (Ws |Fs ) + E (Wt −Ws |Fs ) = Ws + E(Wt −Ws ) = Ws , vì đại lượng ngẫu nhiên Wt − Ws độc lập với tất cả các biến cố của σ -đại số FtW . Điều này có được là do Wt − Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn bất kì các đại lượng ngẫu nhiên Wt1 , ...,Wtn ( 0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ s) sinh ra σ -đại số này. 11
Ví dụ 1.3. Giả sử Xt , 0 ≤ t < ∞, X0 = 0, EX = 0 là quá trình có gia số độc lập, E(Xt − Xs )2 = F(t) − F(s), với 0 ≤ s ≤ t. Khi đó, Xt2 − F(t) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên Ft . Thật vậy, E(Xt2 − F(t)|Fs ) = E[Xs2 + 2Xs (Xt − Xs ) + (Xt − Xs )2 − F(t)|Fs ] = Xs2 + 2Xs E(Xt − Xs |Fs ) + E[(Xt − Xs )2 |Fs ] − F(t) = Xs2 + E(Xt − Xs )2 − F(t) = Xs2 − F(s) hầu chắc chắn với 0 ≤ s ≤ t. Đặc biệt, đối với quá trình Wiener Wt , 0 ≤ t ≤ ∞,W0 = 0 thì Wt2 − t,t ≥ 0 là mac- tin-gan đối với FsW , s ≤ t (vì rằng E(Wt −Ws )2 = t − s). Định lí 1.4. (Phân tích Doob-Meyer) Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞,t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt + At , trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với (Ft ). Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính Ý tưởng chính là như sau: Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét. Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung Xt không phải là một mac-tin-gan. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt thành một quá trình Zt = φ (Xt ) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT . Khi đó, vì E(ZT |Ft ) = Zt (t < T ) nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T. Đặc biệt, X0 = φ −1 [E (ZT |F0 )] . Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của tài sản đó tại thời điểm đáo hạn. 12
Có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên: (a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer: Giả sử Xt là một mac-tin-gan dưới. Ta có phân tích Xt = mac-tin-gan Mt + quá trình tăng At . Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một mac-tin- gan cụ thể Mt = Xt − At . Nếu Xt là một mac-tin-gan trên thì −Xt là một mac-tin-gan dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự. (b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất: Khi ta nói Xt nói chung không phải là một mac-tin-gan, ấy là ta xét dưới độ đo xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới là Q tương đương với độ đo xác suất P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá trình Xˆt sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan. Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT . Khi đó do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt , ∀t < T. Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ −1 (Xˆt ) và ta định giá được tài sản Xt tại thời điểm t bởi công thức Xt = φ −1 EQ XˆT |Ft . Ta lưu ý hai điều quan trọng: • Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro, sao cho XˆT = e−r(T −t) XT ,t < T với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt = e0 .Xt nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là Xt = e−r(T −t) EQ (XT ) • Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo mac-tin-gan. 13
1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.16. Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) là quá trình Wiener hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) W0 = 0 hầu chắc chắn. (b) Hiệu Wt −Ws là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t). (c) Với mỗi n ≥ 1 và với mọi phân hoạch hữu hạn 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn , các biến ngẫu nhiên Wtr −Wtr−1 , r = 0, n là các biến ngẫu nhiên độc lập. (d) W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của W là liên tục. • Trường hợp tổng quát, trong điều kiện (b), phương sai của Xt − Xs là σ 2 (t − s). Khi đó W là một chuyển động Brown. Vài tính chất quan trọng (a) Wt là một mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên FtW của nó. (b) Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t. (c) Hầu chắc chắn là Wt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t. (d) W tuân theo luật lôgarit - lặp như sau: Wt lim sup √ = 1. t→∞ 2t ln lnt (e) E(Wt ) = 0, E(Wt2 ) = t, ∀t ≥ 0. Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ W Mệnh đề 1.1. Cho (Wt ) là một chuyển động Brown và Ft = FtW . Khi đó, ta có 3 mac-tin-gan quen biết là: (a) Bản thân Wt là một mac-tin-gan đối với (Ft ), (b) Wt2 − t là một mac-tin-gan đối với (Ft ), u2 (c) Với mọi u ∈ R thì euWt − 2 t là một mac-tin-gan đối với (Ft ). Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown Định lí 1.5. Cho W = (Wt ,t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện cần và đủ để cho (Wt ) là một quá trình Wiener là ( Wt là một martingale đối với (Ft ) với Ft = FtW (∗) Wt2 − t là một martingale đối với Ft = FtW Điều kiện (*) được gọi là đặc trưng Levy của quá trình Wiener. 14
1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích a. Hàm với biến phân giới nội • Một hàm thực f được gọi là có biến phân giới nội trên [a, b] nếu tồn tại hằng số C sao cho với mọi phân hoạch của đoạn ấy D : a = x0 < x1 < ... < xn = b thì ta có bất đẳng thức n ∑ | f (xk ) − f (xk−1 )| ≤ C. k=1 Ví dụ: Mọi hàm đơn điệu bị chặn đều có biến phân giới nội. • Một số kết quả quan trọng – Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành hiệu của hai hàm đơn điệu không giảm.