Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí Choquet

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí Choquet trình bày về định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict, định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw, định lí Rainwater và định lí Haydon, biên Choquet, áp dụng biên Choquet vào giải thức, biên Choquet của các đại số đều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí Choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------- HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------ HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET Ngành : Toán. Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
LỜI CẢM ƠN  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đậu Thế Cấp, TS.Lê Thị Thiên Hương đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em xin cám ơn các quý thầy, cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. Hà Hữu Nam
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................................................. 3 0T T 0 MỤC LỤC .................................................................................................................................................... 4 0T T 0 MỘT SỐ KÍ HIỆU ....................................................................................................................................... 5 0T 0T MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................... 6 0T T 0 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................................. 7 0T T 0 1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên................................................................................... 7 0T T 0 1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu. ................................................................................................................. 13 0T 0T 1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn........................................................................................ 17 0T T 0 1.3.1. Định lí (Hahn – Banach) ............................................................................................................ 17 0T 0T 1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass) ..................................................................................................... 17 0T 0T 1.3.3. Bổ đề (Zorn).............................................................................................................................. 17 0T 0T 1.3.4. Định lí (Riesz) ........................................................................................................................... 17 0T 0T 1.3.5. Bổ đề (Fatou) ............................................................................................................................ 18 0T 0T Chương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET ............................................................................................................... 19 0T 0T 2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict ..................................................................................... 19 0T T 0 2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw .................................................................................. 22 0T T 0 Chương 3. ỨNG DỤNG ............................................................................................................................. 29 0T 0T 3.1. Định lí Rainwater và định lí Haydon ................................................................................................ 29 0T 0T 3.2. Biên Choquet ................................................................................................................................... 30 0T 0T 3.3. Áp dụng biên Choquet vào giải thức................................................................................................. 36 0T 0T 3.4. Biên Choquet của các đại số đều ...................................................................................................... 39 0T 0T KẾT LUẬN ................................................................................................................................................ 46 0T T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................................... 48 0T 0T
MỘT SỐ KÍ HIỆU exX là tập hợp các điểm cực biên của X. A là tập hợp các hàm affine liên tục, xác định trên X. C là tập hợp các hàm lồi liên tục, xác định trên X. C C(Y) là không gian các hàm nhận giá trị phức và liên tục trên Y theo chuẩn sup. R R K(M) là không gian trạng thái của tập hợp M. B(M) là biên Choquet của tập hợp M
MỞ ĐẦU Vào đầu thế kỷ XX, nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có giải tích, đã phát triển mạnh mẽ. Có rất nhiều khái niệm và kết quả mới đã ra đời trong thời kì này. Một trong những kết quả đó là lý thuyết Choquet, do giáo sư Gustave Choquet, người Pháp xây dựng nên. Lý thuyết này chủ yếu nghiên cứu hai lĩnh vực của toán học là giải tích hàm và giải tích lồi. Từ khi ra đời tới nay, lý thuyết Choquet đã được nhiều nhà toán học và nhiều nhà sư phạm quan tâm, nghiên cứu. Từ đó, Lý thuyết Choquet ngày càng được bổ sung hoàn chỉnh hơn cả về nội dung và ứng dụng của nó. Trong lý thuyết Choquet, nhiều kết quả cho thấy mối liên hệ giữa độ đo với tập hợp các điểm cực biên của một tập lồi X. Cùng với khái niệm “điểm biểu diễn bởi một độ đo”, Choquet đưa ra những kết quả quan trọng, có nhiều ứng dụng trong toán học. Trong luận văn này chúng tôi xét định lí Choquet trong trường hợp khả metric và nghiên cứu định lí tồn tại độ đo của Choquet–Bishop–De Leeuw. Ngoài ra luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet cùng một số ứng dụng của nó trong giải tích hàm (định lí Rainwater và định lí Haydon), trong giải thức, đại số đều . Cụ thể luận văn gồm những chương sau. Chương một giới thiệu khái niệm độ đo biểu diễn điểm, độ đo tựa trên một tập con Borel và một số tính chất đơn giản liên quan đến điểm cực biên của một tập lồi. Ngoài ra, chương một cũng nêu khái niệm hàm hoàn toàn đơn điệu và định lí Bernstein về hàm hoàn toàn đơn điệu. Chương hai của luận văn dành cho việc chứng minh định lí Choquet trong trường hợp khả metric và định lí tồn tại độ đo của Bishop-De-Leeuw. Chương ba nêu các ứng dụng của định lí Choquet trong giải tích hàm qua hai định lí Rainwater và Haydon. Trong chương này, luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet và ứng dụng của nó vào giải thức và đại số đều.
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên Xét kết quả cổ điển sau đây của Minkowski: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian hữu hạn chiều E, và x là một phần tử của X, thì x là một tổ hợp lồi của hữu hạn những điểm cực biên trong X ”. Tức là khi đó, tồn tại những điểm cực biên x1 ;x 2 ;...;x k i=k i=k và các số dương µ1 ; µ 2 ;...; µ k với ∑µ i =1 i =1 sao cho x= ∑µ x i =1 i i . Bây giờ ta trình bày lại sự biểu diễn này của x như sau. Với điểm y bất kì thuộc X, cho ε y là “điểm lượng” tại y, nghĩa là ε y là một độ đo Borel, ε y =1 tại bất kì các tập con Borel có chứa y của X, và ε y =0 tại các tập con Borel còn lại. Kể từ đây ta viết tắt εi thay cho ε x . i Cho µ= ∑µ ε i i thì µ là một độ đo Borel chính quy trên X, µ ≥ 0 và µ ( X ) = 1 . Ngoài ra, với mọi hàm số f là tuyến tính, liên tục trên E, ta có ( ∑ µi f ( x i ) = f (x) = ) ∫ fdµ . X Khi đó ta nói rằng độ đo µ biểu diễn điểm x. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập compact khác rỗng của một không gian lồi địa phương E và µ là một độ đo xác suất trên X ( tức là độ đo µ chính quy và không âm trên X, với µ ( X ) = 1 ). Một điểm x trong E được gọi là biểu diễn bởi độ đo µ nếu f ( x= ) ∫ fdµ với X mọi hàm số f tuyến tính liên tục trên E . Ta còn viết µ ( f ) thay cho ∫ fdµ . Khi đó ta nói: “ x là trọng tâm của µ ” hay “ x là X tích chập của µ ”. Sự hạn chế E là một không gian lồi địa phương nhằm đảm bảo sự tồn tại của nhiều hàm trong E* tách những điểm; điều này bảo đảm rằng có nhiều nhất một điểm biểu diễn bởi P P độ đo µ , và sau nữa là chúng ta chú ý đến những độ đo trên vành σ , sao cho có mặt các độ đo Borel.
Một điểm x tùy ý trong X được biểu diễn bình thường bởi ε x ; ở đây ta quan tâm đến vấn đề đã làm rõ bằng ví dụ trên, đó là: Với một tập con lồi compact X của một không gian hữu hạn chiều, với mọi x thuộc X, ta có thể biểu diễn nó bởi một độ đo xác suất, mà độ đo xác suất này được tựa trên các điểm cực biên của X. Định nghĩa 1.1.2. Nếu f là một độ đo chính quy không âm trên không gian compact Hausdoff X và S là một tập con Borel của X, ta nói rằng µ được tựa trên S nếu µ ( X \ S) = 0. Ta thấy nảy sinh vấn đề sau: “X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x một phần tử của X. Khi đó có tồn tại một độ đo xác suất µ trên X, được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x hay không ? Nếu µ tồn tại thì nó có duy nhất hay không ? ” Choquet đã chỉ ra rằng, nếu ta bổ sung giả thiết X khả mêtric thì khi đó sẽ tồn tại một độ đo xác suất µ trên X sao cho µ được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x. Việc độ đo xác suất µ trên X có duy nhất hay không tùy thuộc vào tính chất hình học của X. Cho Y là một không gian Hausdorff compact, C ( Y ) là một không gian Banach các hàm thực liên tục trên Y (theo chuẩn sup) và X là tập hợp tất cả các hàm L tuyến tính liên tục trên C ( Y ) thỏa mãn L (1)= 1= L . Khi đó X là một tập con lồi compact của không gian lồi địa phương E = C ( Y ) (trong tôpô yếu của nó) và định lí Riesz khẳng định rằng, với mỗi * L ∈ X sẽ tương ứng với duy nhất một độ đo xác suất µ trên Y, sao cho L ( f= ) ∫ fdµ, ∀f ∈ C ( Y ) và Y là một đồng phôi (theo phép nhúng tự nhiên) với tập các điểm Y cực biên của X. Vậy ta có thể xem µ là một độ đo xác suất trên các tập con Borel của X, µ =0 trên tập mở X\Y. Khi đó µ được tựa bởi các điểm cực biên của X. Cần nhắc lại rằng E* là không gian của các hàm tuyến tính và liên tục yếu trên C(Y)*, bao gồm những hàm có P P P P dạng biến L thành L(f), với f∈ C(Y), để thấy rằng đây là một dạng biểu diễn mà chúng ta đang quan tâm. Có hai điểm ở phần trên nên nhấn mạnh: Thứ nhất, các điểm cực biên của X tạo nên một tập con compact. Thứ hai, sự biểu diễn trên là duy nhất. Dễ thấy rằng, một độ đo xác suất bất kì µ trên Y xác định một hàm tuyến tính liên tục trên C(Y), mà nó thuộc X. Việc này là hoàn toàn đúng như kết quả sẽ trình bày sau đây.
Trước tiên ta nhắc lại rằng một hàm φ từ một không gian tuyến tính vào một không gian tuyến tính khác là hàm affine nếu nó thỏa mãn φ ( λx + (1 − λ ) y ) = λφ ( x ) + (1 − λ ) φ ( y ) với mọi x, y và mọi số thực λ . Mệnh đề 1.1.3. Cho Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E, và bao lồi đóng X của Y là một tập compact. Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y thì tồn tại duy nhất một điểm x ∈ X được biểu diễn bởi µ và hàm µ là một ánh xạ affine liên tục yếu từ C ( Y ) vào trong X. * Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng tập lồi compact X chứa điểm x thỏa mãn f ( x= ) ∫ fdµ, ∀f ∈ E * . Y Với mỗi f ∈ E* , ta đặt H f = { y : f ( y ) = µ ( f )} ; thì H f là những siêu phẳng đóng, và chúng ta cần chứng minh ∩{H f : f ∈ E*} ∩ X ≠ ∅ n Vì X là tập compact, nên với mọi tập hữu hạn f1 ,…,fn trong E*, ∩ H f ∩ X là khác R R R R P P i =1 i rỗng. Xét ánh xạ T : E → R n thỏa mãn Ty = ( f1 ( y ) ,f 2 ( y ) ,...,f n ( y ) ) Khi đó T là ánh xạ tuyến tính, liên tục Do đó TX là tập lồi, compact, điều đó chứng tỏ rằng p ∈ TX , với ( µ ( f1 ) , µ ( f 2 ) ,..., µ ( f n ) ) . Thật vậy, nếu p ∉ TX thì tồn tại một hàm tuyến tính trên Rn tách p= P P chặt p và TX. Biểu diễn hàm này là a = ( a1 ;a 2 ;...;a n ) , ta có ( a;p ) > sup {( a;Ty ) : y ∈ X} . Nếu kí hiệu g ∈ E* là g = ∑ a i f i thì khẳng định cuối trở thành ∫ gdµ > supg ( X ) . Y Từ bao hàm Y ⊂ X và µ ( Y ) = 1 suy ra mẫu thuẫn. Vậy phần thứ nhất của chứng minh được hoàn thành. Tiếp theo, giả sử lưới µ α của độ đo xác suất trên Y hội tụ yếu trong C(X)* về một độ P P đo xác suất µ , cho x α và x là tích chập tương ứng của chúng. Vì X là tập compact nên ta cần chứng minh rằng x α → x , điều đó đủ để chứng tỏ rằng mọi lưới con hội tụ x β của x α hội tụ về x. Nhưng nếu ta chọn x β → y thì lưới con tương ứng µβ hội tụ yếu về µ và do đó f ( x β ) = µβ ( f ) → µ ( f ) = f ( x ) , ∀f ∈ E* , từ điều cuối cùng tách các điểm của X, và x = y.
Giả thiết rằng X là tập compact có thể nằm trong không gian E, mà trong đó bao lồi đóng của một tập compact luôn luôn là tập compact. Ví dụ như, nếu không gian E là đầy đủ hoặc E là một không gian lồi địa phương thu được bằng cách lấy một không gian Banach trong tôpô yếu của nó. Một điều đơn giản nhưng hữu ích, là đặc điểm của bao lồi đóng của một tập compact có thể được cho bằng những số hạng của những độ đo và các trọng tâm của nó. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E. Một điểm x của E thuộc bao lồi đóng X của Y nếu và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất µ trên Y biểu diễn điểm x. Chứng minh Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y biểu diễn điểm X thì với mỗi f ∈ E* f (x) = µ ( f ) ≤ supf ( Y ) ≤ supf ( X ) . Vì X là tập lồi và đóng nên dẫn đến x thuộc X. Ngược lại, nếu x thuộc X thì sẽ tồn tại một lưới trong bao lồi của Y hội tụ về x, tương đương với việc tồn tại điểm y α có dạng nα y= α ∑λ i =1 α i x iα ( λ iα > 0, ∑ λ iα =1, x iα thuộc vào Y, α thuộc vào một vài tập định hướng) hội tụ về x. Ta có thể biểu diễn điểm y α bởi độ đo xác suất µ α = ∑λ α i x iα . Theo định lí Riesz, tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên Y có thể đồng nhất với một tập con lồi, compact yếu của C(Y)*, từ P P đó tồn tại một lưới con µβ của µ α , hội tụ ( trong tôpô yếu của C(Y)* ) về một độ đo xác suất P P µ trên Y. Trong trường hợp đặc biệt, mỗi hàm f ∈ E* ( khi thu hẹp trên Y) thuộc vào C(Y), vì vậy lim ∫ fdµβ= ∫ fdµ . Vì y α hội tụ về x, nên lưới con yβ cũng hội tụ về x, và do đó f ( x= ) ∫ fdµ với mỗi Y f ∈ E* . Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Từ mệnh đề trên, chúng ta dễ dàng trình bày lại định lí Krein – Milman. Ta nhắc lại phát biểu sau: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương, khi đó X là một bao lồi đóng của các điểm cực biên của nó”.
Chúng ta trình bày lại như sau: “ Mỗi điểm của một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương là trọng tâm của một độ đo xác suất trên X, mà độ đo xác suất này được tựa trên bao đóng của các điểm cực biên của X ”. Để chứng minh sự tương đương của hai khẳng định này, ta giả sử rằng giả thiết trên thỏa mãn và x thuộc X. Cho Y là bao đóng của các điểm cực biên của X; vậy thì x thuộc bao lồi đóng của Y. Theo mệnh đề 1.1.4 thì x là trọng tâm của một độ đo xác suất µ trên Y. Nếu chúng ta thác triển độ đo µ trên X, thì chúng ta sẽ đạt được kết quả mong muốn. Ngược lại, giả sử rằng khẳng định thứ hai là đúng và x là một phần tử trong X. Khi đó theo mệnh đề 1.1.4, x thuộc bao lồi đóng của Y (ở đây ta định nghĩa Y như trên), vậy x thuộc bao lồi đóng những điểm cực biên của X. Rõ ràng rằng, bất kì định lí biểu diễn nào, mà sử dụng độ đo được tựa trên các điểm cực biên của X, đều là một sự gọt giũa của định lí Krein – Milman. Thực ra Klee đã chứng minh được rằng, hầu như mỗi tập con lồi compact của một không gian Banach hữu hạn chiều là một bao đóng những điểm cực biên của nó. Với những tập như thế thì phép biểu diễn Krein – Milman không cho nhiều thông tin hơn phép biểu diễn điểm lượng. Việc tìm thấy độ đo tựa trên các điểm cực biên của X, xuất phát từ điều kiện tập hợp các điểm cực biên không được là tập Borel. Điều khó khăn này được ẩn chứa trong trường hợp X là khả mêtrict. Ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.1.5. Nếu X là một tập con lồi, compact và khả mêtric của một không gian vectơ tôpô thì những điểm cực biên của X tạo nên một tập hợp G δ . Chứng minh. Giả sử tôpô trên X là tôpô được sinh bởi mêtrict d, và với mỗi số tự nhiên n ≥ 1 cho Fn = {x : x = 2−1 ( x + y ) , y ∈ X,z ∈ X,d ( y,z ) ≥ n −1} . Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng các tập Fn là những tập đóng, và một điểm x thuộc R R X, không phải là điểm cực biên của X, khi và chỉ khi nó thuộc vào các tập Fn . Khi đó phần R R các điểm cực biên là một Fσ . Để ý rằng với mỗi điểm x của X, ta luôn có sự biểu diễn x qua độ đo ε x . Nếu x không phải là một điểm cực biên của X thì x còn có sự biểu diễn theo độ đo khác nữa. Thực vậy, các điểm cực biên của X được mô tả bằng việc nó không biểu diễn những độ đo khác.
Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x ∈ X . Điểm x là điểm cực biên của X nếu và chỉ nếu khối lượng điểm ε x chỉ là độ đo xác suất trên X biểu diễn điểm x. Chứng minh. Giả sử x là một điểm cực biên của X và độ đo µ biểu diễn điểm x. Ta cần chứng minh rằng µ được tựa trên tập hợp {x} . Muốn vậy, ta chứng minh µ ( D ) = 0 với mỗi tập compact D, D ∈ X\ {x} . Giả sử µ ( D ) > 0 với những tập D như trên. Từ tính compact của D, suy ra có một vài điểm y của D mà µ ( U ∩ X ) > 0 với mỗi lân cận U của y. Chọn U là một lân cận lồi đóng của y sao cho K = U ∩ X ⊂ X \ {x} . Tập K là tập compact, lồi và 0 < r =µ ( K ) < 1 . (Nếu µ ( K ) = 1 thì tích chập x của µ thuộc vào K). Do đó ta có thể định nghĩa độ đo Borel µ 1 và µ 2 trên X, thỏa mãn R R R R µ1 ( B ) =r −1µ ( B ∩ K ) và µ 2 ( B ) =(1 − r ) µ ( B ∩ ( X \ K ) ) với mọi tập Borel B trong X. −1 Cho xi là tích chập của µ i ; vì µ1 ( K ) = R R R R 1 nên x1 ∈ K , khi đó x1 ≠ x . Ngoài ra, µ = rµ1 + (1 − r ) µ 2 , suy ra x = rx1 + (1 − r ) x 2 , dẫn đến điều mâu thuẫn. Thật thú vị khi ta để ý rằng, định lí cổ điển Milman “hội tụ” đến định lí Krein-Milman, đó là một hệ quả dễ thấy của mệnh đề 1.1.4 và 1.1.6; từ đó dẫn đến bao đóng của exX là tập con đóng nhỏ nhất sinh ra X. Mệnh đề 1.1.7 (Milman) Cho X là một tập con compact của một không gian lồi địa phương, trong đó Z ⊂ X và X là bao lồi đóng của Z. Khi đó các điểm cực biên của X được chứa trong bao đóng của Z. Chứng minh. Thật vậy, gọi Y = cl Z và giả sử rằng x ∈ exX . Theo hệ quả 1.1.4, tồn tại một độ đo µ trên Y biểu diễn điểm x; theo mệnh đề 1.1.6 thì µ = ε x . Từ trên ta có x ∈ Y , suy ra điều cần phải chứng minh.
1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu. Định nghĩa 1.2.1. Một hàm số thực f xác định trên ( 0;+∞ ) được gọi là hàm hoàn toàn đơn điệu nếu f có đạo hàm đến mọi cấp và ( −1) f n ≥ 0 , với mọi n = 0, 1, 2, … n Nhận xét Ta luôn có f và các hàm số ( −1) f n là những hàm số không âm và không tăng. n Ví dụ : x −α và e −αx ( α ≥ 0 ) . Trong phần này chúng ta chỉ xét các hàm bị chặn. Ta kí hiệu một điểm compact hóa của ( 0;+∞ ] là ( 0;+∞ ] . Định lí 1.2.2 (Bernstein). Nếu f là hàm bị chặn và hoàn toàn đơn điệu trên ( 0;+∞ ) thì tồn tại một độ đo Borel đơn trị và không âm µ xác định trên [ 0;+∞ ] sao cho µ ([ 0; +∞ ]) = f ( 0+ ) . ∞ Với x > 0 thì (x) f= ∫e −αx dµ ( α ) . 0 Chứng minh. ( Chú ý rằng điều ngược lại là đúng, nghĩa là nếu một hàm f xác định trên ( 0;+∞ ) mà biểu diễn được như trên thì đạo hàm dưới dấu tích phân là tồn tại và f là hàm α − hoàn toàn đơn điệu. Ngoài ra, áp dụng định lí hội tụ mạnh Lebesgue cho hàm f : α → e n , ta ∞ thấy rằng f ( 0 + ) = ∫ dµ = µ ([0; ∞]) , vậy f là hàm bị chặn). 0 Choquet đã chứng minh điều này trong một trường hợp tổng quát hơn rất nhiều. Chúng ta bắt đầu bằng việc phác họa một cách khái quát các bước chứng minh định lí. Kí hiệu nón lồi của tất cả các hàm hoàn toàn đơn điệu f là CM, khi đó f ( 0+ ) < ∞ . (Vì một hàm hoàn toàn đơn điệu f là không tăng nên giới hạn bên phải tại điểm 0, luôn luôn tồn tại, mặc dù kết quả của giới hạn này có thể là vô cực.). Cho K là tập lồi chứa trong CM, khi đó f ( 0+ ) ≤ 1 . Nếu f ∈ CM,f ≠ 0 thì f / f ( 0 + ) ∈ K , như vậy định lí đúng với những phần tử của K. Bây giờ, xét K là tập con của không gian E tất cả các hàm số thực khả vi vô hạn trên ( 0;+∞ ) và E là không gian lồi địa phương trong tôpô hội tụ đều ( của các hàm và tất cả các đạo hàm của chúng) trên những tập con compact của ( 0;+∞ ) .
Ta sẽ chứng minh rằng, K là tập compact trong tôpô này, khi đó định lí Krein – Milman áp dụng được cho K. Ngoài ra, những điểm cực biên của K cũng hoàn toàn đúng với các hàm x → e- αx , 0 ≤ α ≤ ∞ . ( Ta định nghĩa e −∞x là hàm bằng không trên ( 0;+∞ ) ). Theo đó ta dễ thấy rằng exK là đồng phôi với [ 0;+∞ ] và vì vậy exK là tập compact. Theo định lí Krein – Milman, với mỗi hàm f trong K sẽ tồn tại một độ đo xác suất Borel m trên exK biểu diễn f. Ta có thể xem độ đo m là độ đo µ trên [ 0;+∞ ] và các phiếm hàm ước lượng f → f ( x )( x > 0 ) là liên tục trên E. Từ đó ta có biểu diễn cần tìm. Tính duy nhất có được nhờ ứng dụng định lí Stone – Weierstrass vào đại số con của C ([ 0;∞ ]) được sinh ra bởi những hàm số mũ. Trước hết ta là chứng tỏ K là tập con compact của E. Tôpô trên E là tôpô được cho bởi họ các giả chuẩn đếm được { p m,n ( f ) sup f ( k ) ( x ) : m −1 ≤ x ≤ m,0 = = } ≤ k ≤ n ( m,n 1,2,3,...) . Khi đó không gian E khả mêtrict và mọi tập con đóng và bị chặn của E đều là tập compact (Điều này có thể chứng minh bằng định lí Ascoli, cùng với việc lặp lại cách sử dụng phương pháp đường chéo). Ta thấy K là tập đóng, để chứng minh K bị chặn, ta phải chứng minh rằng với mọi giá trị m và n, sup {Pm,n ( f ) : f ∈ K} là hữu hạn, { } sup f ( n ) ( x ) : m −1 ≤ x ≤ m,f ∈ K là hữu hạn với mỗi n ≥ 0 và m ≥ 1 . Bổ đề sau đây sẽ thiết lập việc này. { ( −1) f n : f ∈ K n = 0, 1, 2, . . .. Bổ đề 1.2.3. Cho K n = n } Khi đó với mỗi số a > 0 và n ≥ 0 , các hàm số trong tập hợp Kn bị chặn trên, tập hợp R R ( n +1) n ( 0;+∞ )  bởi giá trị a .2 −n 2 . Chứng minh. Sử dụng phương pháp quy nạp ta nhận thấy những hàm trong K0 bị chặn bởi R R giá trị 1. Giả sử khẳng định trên là đúng với K n . R R Các hàm trong K n+1 là không tăng, điều đó đủ để thiết lập một cái cận, tại điểm a. R R a  a Theo định lí giá trị trung bình cho f(n) trên đoạn  ;a  , tồn tại số c, với < c < a sao cho 2  P P 2
 a  ( n +1) ( c ) f ( n ) ( a ) − f ( n )   . Điều này cùng với giả thiết quy nạp ( áp dụng tại ), chứng a a  f = 2 2 2 tỏ rằng −n n  a  ( n +1) 2  n (n)  a    2 ≥ ( −1 ) f   2 2 n +1  a  ≥ ( −1)   f ( n +1) ( c ) 2 a ≥   ( −1) f ( n +1) ( a ) , n +1 2 và đó là điều cần chứng minh. Bước tiếp theo của chứng minh định lí là ta xác định các điểm cực biên của K. Bổ đề 1.2.4. Những điểm cực biên của K là những hàm số có dạng f ( x ) = e −αx , trong đó x > 0,0 ≤ α ≤ +∞ . Chứng minh Giả sử rằng f ∈ exK và x 0 > 0 . Với x > 0 , cho u ( x ) = f ( x + x 0 ) − f ( x ) f ( x 0 ) . Giả sử ta đã chứng minh được f ± u ∈ K . Vì f là điểm cực biên nên u = 0 , suy ra f ( x + x 0 ) = f ( x ) f ( x 0 ) với mọi x, x 0 > 0 . Do f là hàm liên tục trên ( 0;+∞ ) , dẫn đến f = 0 ( trường hợp α = ∞ ) hoặc f ( x ) = e −αx (trường hợp α ≠ ∞ ). Vì 0 ≤ −f / ( x ) = αe −αx , nên phải có α ≥ 0 . Ta còn phải chứng minh f ± u ∈ K . Cho b = f ( x 0 ) ( thì 0 ≤ b ≤ 1 ), để ý rằng ( f + u ) ( 0 ) = (1 − b ) f ( 0 ) + b ≤ 1 và ( f − u ) ( 0 )= + + + f ( 0+ ) − b 1 − f ( 0+ )  ≤ f ( 0+ ) ≤ 1 . Ngoài ra ( −1) ( f + u )( ) ( x ) = (1 − b )( −1) f ( n ) ( x ) + ( −1) f ( n ) ( x + x 0 ) ≥ 0 và n n n n ( −1) ( f − u )( ) ( x ) = ( −1) f ( n ) ( x ) − ( −1) f ( n ) ( x + x 0 )  + b ( −1) f ( n ) ( x ) . n n n n n Vì ( −1) f ( n ) là hàm không tăng nên hàm ( −1) ( f − u ) (x) n n (n) là không âm. Để chứng minh chiều ngược lại, ta xét phép biến đổi T r (r > 0) từ K vào chính nó, R R được định nghĩa bởi ( Tr f )( x ) = f ( rx ) .
Vì Tr có dạng một đối một vào chính nó và bảo toàn tổ hợp lồi, nên nó biến những R R điểm cực biên của K thành những điểm cực biên của K. Vì K là tập compact, nó là bao lồi đóng của chính những điểm cực biên của nó, cho nên trong K có ít nhất một hàm số không phải là hàm hằng. Theo những gì ta vừa chứng minh, những điểm cực biên này có dạng e −αx , với α > 0 , và do đó ảnh e −αrx của hàm số này qua phép biến đổi T r là điểm cực biên. Vì điều R R này luôn đúng với mọi r > 0 nên tất cả các hàm mũ là điểm cực biên của K ( và các hàm hằng rõ ràng là các điểm cực biên). Vậy mệnh đề được chứng minh. Bây giờ ta hoàn tất việc chứng minh định lí Bernstein đối với các hàm bị chặn. Không khó để chứng tỏ rằng ánh xạ T : α → e −α(.) đi từ [ 0;+∞ ] vào trong K là liên tục; vì [ 0;+∞ ] là tập compact nên ảnh các điểm cực biên của nó cũng là tập compact. Theo định lí biểu diễn của Krein – Milman thì với mỗi hàm f trong K sẽ tương ứng với một độ đo xác suất chính quy Borel m trên các điểm cực biên của K, sao cho L ( f ) = ∫ L dmx với mỗi hàm L tuyến exK tính, liên tục trên E. Bây giờ, nếu x > 0 thì hàm ước lượng L x ( f ) = f ( x ) liên tục trên E. Vậy thì f ( x ) = ∫ L dm x với mọi x > 0 . exK Ta định nghĩa độ đo µ trên mỗi tập con Borel B của đoạn [ 0;+∞ ] là µ ( B ) = m ( TB ) ( nghĩa là µ =m oT ). Do L x ( Tα ) =e −αx , ta có f (x) = ∫= L dm x ∫ L x oTd ( m oT ) exK T -1 ( exK ) ∞ = ∫e −αx dµ ( α ) 0 với mọi giá trị x > 0 . Ta còn phải chứng minh độ đo µ là duy nhất. Giả sử tồn tại một độ đo thứ hai ν trên [ 0;+∞ ] sao cho ∞ (x) f= ∫e −αx dν ( α )( x > 0 ) và ν [ 0; +∞ ] = f ( 0+ ) . 0 Với mỗi giá trị x ≥ 0 thì hàm số α → e −αx là liên tục trên [ 0;+∞ ] . Cho A là một đại số con của C ([ 0;+∞ ]) được sinh ra bởi các hàm này; A bao gồm những tổ hợp tuyến tính hữu hạn của những hàm đó và cả những hàm tuyến tính trên C ([ 0;+∞ ]) , µ và ν bằng nhau trên A.
Từ việc A tách những điểm của đoạn [ 0;+∞ ] nên từ định lí Stone-Weierstrass suy ra A trù mật trong C ([ 0;+∞ ]) , vậy µ = ν . Định lí được chứng minh. 1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn. 1.3.1. Định lí (Hahn – Banach) Cho M là một không gian véctơ con của một không gian véctơ tôpô lồi địa phương ( E;τ ) và f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ M vào K ( K là trường số thực hoặc phức). Lúc đó có một ánh xạ tuyến tính liên tục g từ E vào K sao cho g ( x ) = f ( x ) với mọi x trong M. 1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass) Cho ( X;ν ) là một không gian mêtric compact và A là một tập con của C ( X;R ) . Giả sử i) Với mọi f và g trong A và với mọi số thực α thì các hàm số sau đây thuộc vào A: f + g; αg và fg; ii) A chứa các hàm hằng; iii) A tách điểm trong X, nghĩa là với mọi x và y khác nhau trong X có f ∈ A sao cho f ( x ) ≠ f ( y ) . Lúc đó A = C ( X;R ) . 1.3.3. Bổ đề (Zorn) Cho p là một quan hệ thứ tự trên một tập E. Giả sử với mọi tập con X được sắp toàn phần trong ( E;p ) ( Nghĩa là x p y hoặc y p x với mọi x và y trong X) ta có một a trong E sao cho z p a với mọi z trong X. Lúc đó có một c trong E sao cho x = c nếu x trong E và cp x. 1.3.4. Định lí (Riesz) a) Nếu ϕ là một phiếm hàm tuyến tính dương, liên tục trên C(X) thì tồn tại duy nhất một độ đo Borel dương, chính quy có giá compact µ sao cho
ϕ ( f ) = ∫ fdµ (f ∈ C ( X )) (1) X b) Ngược lại nếu µ là một đọ đo Borel dương, chính quy, có giá compact thì phiếm hàm ϕ định bởi (1) là liên tục trên C(X). 1.3.5. Bổ đề (Fatou) Nếu f n ≥ 0 trên A thì ∫ liminf f n dµ ≤ liminf ∫ f n dµ A A
Chương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET 2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict Trong phần này ta sẽ chứng minh định lí Choquet trong trường hợp X là khả mêtrict. Đây là trường hợp đặc biệt của định lí Choquet-Bishop-De Leeuw tổng quát, nhưng việc chứng minh nó cho chúng ta những điều cần thiết trong kết quả chính. Giả sử rằng h là một hàm số thực xác định trên một tập lồi C. Hàm số h là hàm affine nếu h λx + (1 − λ ) y  = λh ( x ) + (1 − λ ) h ( y ) với mọi x,y ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1. Hàm số h là hàm lồi nếu h λx + (1 − λ ) y  ≤ λh ( x ) + (1 − λ ) h ( y ) với mọi x,y ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1. Chúng ta nói hàm h là lõm nếu −h là hàm lồi, và h được gọi là lồi ngặt nếu hàm h là lồi và bất đẳng thức trong định nghĩa là ngặt với mọi x ≠ y và 0 < λ < 1. Nhắc lại, một hàm số thực f được gọi là nửa liên tục trên, nếu với mọi số thực λ , tập hợp {x : f ( x ) < λ} là tập mở, f được gọi là nửa liên tục dưới nếu −f là nửa liên tục trên. Kí hiệu, tập hợp tất cả những hàm affine liên tục trên X là A. Chú ý rằng A là một không gian con của không gian Banach C(X) và A có chứa những hàm hằng. Ngoài ra A cũng chứa tất cả những hàm số có dạng x → f ( x ) + r , với f ∈ E* , r là số thực và x ∈ X , vậy thì A chứa đủ nhiều những hàm số tách những điểm của X. Định nghĩa 2.1.1. Với f là một hàm bị chặn trên X và x ∈ X , đặt x ) inf {h ( x ) : h ∈ A và h ≥ f } . f (= Hàm số f được gọi là bao hình trên của f . Tính chất a) f là hàm lõm, bị chặn và nửa liên tục trên. b) f ≤ f và nếu f là hàm lõm và nửa liên tục trên thì f = f . c) Nếu f, g là các hàm bị chặn trên tập X thì f + g ≤ f + g và f + g ≤ f + g . Khi đó f + g ≤ f + g nếu g ∈ A . Nếu r > 0 thì rf = rf . Chứng minh. Các tính chất trên hầu hết được suy ra từ định nghĩa như sau:
+ Khẳng định a) được suy ra từ việc những hàm không đổi là hàm affine. + Khẳng định b) được chứng minh như sau: Nếu f là hàm lõm và nửa liên tục trên, thì trong không gian lồi địa phương E × R= tập hợp K {( x;r ) : f ( x ) ≥ r} ( tức là những điểm nằm dưới đồ thị của f) là đóng và lồi. Nếu f ( x1 ) < f ( x1 ) tại một số điểm x1 , thì định lí tách R R khẳng định sự tồn tại của một hàm tuyến tính liên tục L xác định trên E × R , tách chặt điểm ( x ; f ( x ) ) từ tập K, tức là tồn tại số λ sao cho sup L ( K ) < λ < L ( x ; f ( x ) ) . Từ đó ta có 1 1 1 1 L ( x1 ;f ( x1 ) ) < L ( x1 ; f ( x1 ) ) , nên L ( 0;1) > 0 khi đó hàm h xác định trên X với h ( x ) = r , nếu L ( x;r ) = λ tồn tại và thuộc A. Ngoài ra f < h và h ( x ) < f ( x ) nên ta gặp mâu thuẫn. + Để chứng minh khẳng định c) ta lại sử dụng nhận xét hàm không đổi là hàm affine. Vì f ≤ f , nên f ≤ f . Ngoài ra f = ( f − g ) + g ≤ ( f − g ) + g, Suy ra f − g ≤ f − g , do đó f − g ≤ f − g . Đổi vai trò f và g, ta được điều cần chứng minh. Định lí 2.2.2. ( Choquet) Giả sử X là một tập con lồi compact và khả mêtrict của một không gian lồi địa phương E và x 0 ∈ X . Khi đó tồn tại một độ đo xác suất µ xác định trên X biểu diễn điểm x 0 và được R R tựa trên các điểm cực biên của X. Chứng minh. Vì X là không gian mêtrict nên C(X) là không gian tách được. Do đó ta cần chọn một dãy các hàm {h n } trong A sao cho h n = 1 , và tập hợp {h n }n =1 là trù mật trong quả ∞ cầu đơn vị của A; trong trường hợp đặc biệt, nó tách các điểm của X. Cho f = ∑ 2− n h 2n ; dãy số này tồn tại giới hạn nên f ∈ C ( X ) , và nó là một hàm lồi ngặt của C(X). ( Thực vậy, nếu x ≠ y thì h n ( x ) ≠ h n ( y ) với mỗi n, vậy hàm affine hn không phải là hàm hằng trên đoạn R R [ x; y] . Do đó h 2 n là hàm lồi ngặt trên đoạn [ x; y ] , suy ra f là hàm lồi ngặt trên đoạn [ x; y ] ). Kí hiệu B là không gian con A + Rf của không gian C(X) được sinh ra bởi A và f. Theo tính chất c) của định nghĩa hàm hoàn toàn đơn điệu, hàm p được xác định trên C(X) với = p ( g ) g ( x 0 ) ( g ∈ C ( X ) ) là cộng tính dưới, và thỏa mãn p ( rg ) = rp ( g ) , với r >0.