Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí điểm bất động trong không gian b-metric với wt-khoảng cách

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) đã được Banach chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều người tổng quát hóa kết quả này theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1989, Bakhtin [2] đã giới thiệu khái niệm không gian b metric và chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b metric, là tổng quát hóa của nguyên lí co Banach trong không gian metric.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí điểm bất động trong không gian b-metric với wt-khoảng cách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM SENGDAO SOULIYAVONG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Sengdao SOULIYAVONG i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 4 năm 2019 Tác giả Sengdao SOULIYAVONG ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC .......................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chƣơng 1 KHÔNG GIAN b METRIC ........................................................ 3 1.1. Không gian b metric .............................................................................. 3 1.2 Định lí Banach trong không gian b- metric………...……..……………..5 Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH ........................................................... 8 2.1. khoảng cách và t khoảng cách trong không gian b metric ...... 8 2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b metric với t khoảng cách ................................................................................................... 10 2.3. Các lớp m hàm ................................................................................... 21 2.4. Một số định lí điểm bất động đối với m hàm trong không gian b metric với t khoảng cách ......................................................................... 23 KẾT LUẬN....................................................................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 32 iii
MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) đã được Banach chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều người tổng quát hóa kết quả này theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1989, Bakhtin [2] đã giới thiệu khái niệm không gian b metric và chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b metric, là tổng quát hóa của nguyên lí co Banach trong không gian metric. Năm 1996, Kada [6] đã giới thiệu khoảng cách và chứng minh Định lí điểm bất động Caristi. Năm 2014, Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm t khoảng cách trong không gian b metric tổng quát, là tổng quát của khoảng cách và chứng minh định lí điểm bất động trong không gian b metric được sắp thứ tự bộ phận bằng cách sử dụng t khoảng cách. Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng để tổng quát hóa nguyên lí co Banach. Mục đích của luận văn là giới thiệu về không gian b metric, một trong các mở rộng của không gian metric và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian b metric với t khoảng cách. Với mục đích đó, chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động trong không gian b metric với t khoảng cách”. Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8] và [9], gồm 32 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b metric và một số định lí điểm bất động trên không gian b metric. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của S.K Mohanta về điểm bất động trong không gian b 1
metric với t khoảng cách và kết quả của C. Mongkolkehaa, Y.J. Chob và P. Kumam về điểm bất động trong không gian b metric đối với m hàm với t khoảng cách. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2
Chƣơng 1 KHÔNG GIAN b METRIC 1.1. Không gian b metric Định nghĩa 1.1.1. Cho E là tập không rỗng và k 1 là số thực. Hàm :E E [0, ) được gọi là b metric trên E nếu i) (s, t ) 0 s t ii) (s, t ) (t, s) với mọi s, t E iii) (s, t ) k( (s, r ) (r, t )) với mọi s, t, r E Cặp (E, ) được gọi là không gian b metric với hệ số k . Ví dụ 1.1.2. Cho E {-1,0,1} , :E E [0, ) xác định bởi (s, t ) (t, s ) với s, t E (s, s ) 0, s E và ( 1, 0) 3, 3 ( 1,1) (0,1) 1 . Khi đó (E, ) là không gian b metric với k , 2 nhưng không là không gian metric vì ( 1,1) (1, 0) 1 1 2 3 ( 1, 0) . Ví dụ 1.1.3. Cho E và :E E thỏa mãn (s, t ) | s t |2 với s, t E. Khi đó (E, ) là không gian b metric với k 2 nhưng không là không gian metric. Định nghĩa 1.1.4. Cho (E, ) là không gian b metric, s E và {sn } là một dãy trong E . Khi đó (i ) {sn } hội tụ đến s lim (sn , s) 0. n Kí hiệu lim sn s hoặc sn s khi n . n 3
(ii ) {sn } là dãy Cauchy lim (sn , sm ) 0. n ,m (iii ) (E, ) là đầy đủ mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.5. Cho (E, ) là không gian b metric và ánh xạ f : E E. Ta nói rằng f liên tục tại s0 E nếu với mọi dãy {sn } trong E , sn s0 khi n thì f (sn ) f (s0 ) khi n . Nếu f liên tục tại mỗi điểm s0 E thì ta nói f liên tục trên E . Định lí 1.1.6 ([1]). Cho (E, ) là không gian b metric, giả sử {sn } và {tn } hội tụ đến s, t E , tương ứng. Khi đó 1 (s, t ) lim inf (sn , tn ) lim sup (sn, tn ) k 2 (s, t) . k2 n n Đặc biệt, nếu s t thì lim (sn, tn) 0 . Ngoài ra, với mỗi r E , ta có n 1 (s, r ) lim inf (sn , r ) lim sup (sn, r) k (s, r) . k n n Bổ đề 1.1.7. Cho (E, ) là không gian b metric với hệ số k và {sn } E sao cho sn s và sn t . Khi đó s t. Bổ đề 1.1.8. Cho (E, ) là không gian b metric với hệ số k và {sk }kn 0 E. Khi đó: (sn , s0 ) k (s0, s1) kn 1 (sn 2, sn 1) kn 1 (sn 1, sn ) . Chứng minh. Ta có (sn , s0 ) k[ (s0, s1) (s1, s2 )] k (s0, s1) k (s1, sn ) k (s0, s1) k 2[ (s1, s2 ) (s2, sn )] k (s0, s1) k 2 (s1, s2 ) k 2 (s2, sn ) … k (s0, s1) kn 1 (sn 2, sn 1) kn 1 (sn 1, sn ) . 4
Bổ đề 1.1.9. Cho {tn } là dãy trong không gian b metric (E, ) với hệ số k sao cho (tn , tn 1 ) (tn 1, tn ) 1 với 0 và mỗi n . Khi đó {tn } là dãy Cauchy trong E . k 1.2. Định lí Banach trong không gian b -metric Định lí 1.2.1. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hệ số k , và 1 f :E E là ánh xạ sao cho với 0 , k (fs, ft ) (s, t ) với mọi s, t E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất r , và với mỗi s0 E, dãy {f ns0 } hội tụ đến r . Chứng minh. Lấy s0 E bất kì và kí hiệu tn f ns0 . Khi đó (tn , tn 1) (ftn 1, ftn ) (tn 1, tn ) Với mỗi n 1,2.... Bổ đề 1.1.9 kéo theo {tn } là dãy Cauchy, và vì (E, ) đầy đủ, nên r E sao cho tn r khi n . Khi đó (fr, r ) k( (fr, ftn ) (tn 1, r )) k( (r, tn ) (tn 1, r )) 0 khi n . Do đó, (fr, r ) 0 và fr r. Nếu fr1 r1 , thì ta có (r, r1) (fr, fr1) (r, r1) r r1 . Định lí 1.2.2. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hệ số k . Cho f :E E là ánh xạ sao cho với mỗi n tồn tại n (0,1) sao cho lim n 0 và (f ns, f nt ) n (s, t ) với mọi s, t E . Khi đó f có điểm bất n động duy nhất . 5
1 Chứng minh. Lấy sao cho 0 . Vì n 0 khi n , nên k tồn tại n0 : n , n n0 . Khi đó (f ns, f nt ) (s, t ), s, t E khi n n0 . Nói cách khác, với m n0 tùy ý, g f m thỏa mãn (gs, gt ) (s, t ), s, t E. Theo Định lí 1.2.2 ! r : gr r . Khi đó f mr r , kéo theo f m 1r f m (fr ) fr và fr là điểm bất động của g f m . Vì điểm bất động của g là duy nhất, nên fr r. Định lí 1.2.3. Cho (E, ) là không gian b -metric đầy đủ với hằng số k 1 , và giả sử f : E E thỏa mãn (f (s), f (t )) ( (s, t )), s, t E , trong đó n : là hàm tăng và thỏa mãn lim (t ) 0 với mỗi t 0 . Khi đó n !s E : f (s ) s và lim f n (s ) s, s E. n Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về suy ra lim (t ) 0, t 0 do đó f liên tục. Bây giờ, cho s E và 0 tùy ý. Chọn n sao cho n ( ) . Đặt g f n và sm g m (s ) với mỗi m . Khi đó 2k (sm 1, sm ) (g m (gs), g m (s)) nm ( (g(s), s) . Do đó, lim (sm 1, sm ) 0. m Bây giờ chọn m sao cho (sm 1, sm ) và lấy u B (s m; ). Khi đó 2k n n (g(u), g(sm )) ( (u, sm )) ( ) và 2k 6
(g(sm ), sm ) (sm 1, sm ) . 2k Do đó ta có (g(u), sm ) k[ (g(u), g(sm )) (g(sm ), sm )] . Vì vậy g : B(sm ; ) B(sm; ) . Từ đó suy ra rằng nếu i, j m , thì (si , s j ) k[ (si , sm ), (sm , s j )] 2k . Do đó {sm } là dãy Cauchy, vì vậy s E : lim sm s . Vì f liên tục m nên g liên tục, do đó s lim sm lim sm 1 lim g(sm ) g(s ) . m m m Vì n (g(s ), g(t ) ( (s , t )) (s , t ) nếu s t , suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì (s , g m (s)) (g m (s ), g m (s)) nm ( (s , s)) 0 khi m , nên g m (s) s, s E . Mặt khác, vì f liên tục, nên f (s ) lim f (sm ) lim f (g m (s)) lim g m (f (s)) s . m m m Cuối cùng, với s E bất kỳ và p {0,1,..., n 1}, f m p (s) g m (f p (s)) s khi m , suy ra lim f m (s ) s. m 7
Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH 2.1. khoảng cách và t khoảng cách trong không gian b metric Định nghĩa 2.1.1. Cho (E, ) là không gian metric. Hàm d : E E được gọi là khoảng cách trên E nếu: (1) d(s, t ) d(s, r ) d(r, t ) với mọi r, s, t E; (2) với s E bất kì, (s, ) : E là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu s E và tn t E , thì d(s, t ) lim inf d(s, tn ) ); n (3) với 0, 0 : d(r, s ) và d(r, t ) kéo theo (s, t ) . Ví dụ 2.1.2. Cho (E, ) là không gian metric. Hàm d : E E xác định bởi d(s, t ) c với mọi s, t E là khoảng cách trên E , trong đó c là số thực dương. Nhưng d không là metric vì d(s, s) c 0 với mọi s E. Ví dụ 2.1.3. Cho E là tập số thực và phiếm hàm d : xác định bởi d(s, t ) |s t |2 với mọi s, t . (E, d ) là không gian b metric với hệ số k 2. Tuy nhiên, ta biết rằng d không là metric trên E vì bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn. Thật vậy, d(3,5) d(3, 4) d(4,5). Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực f xác định trên không gian b metric E gọi là k nửa liên tục dưới tại điểm s0 E nếu lim inf f (sn ) hoặc xn x0 f (s0 ) lim inf kf (sn) , với mọi {sn } E và sn s0 . xn x0 Năm 2014 , Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm t khoảng cách như sau: 8
Định nghĩa 2.1.5. Cho (E, ) là không gian b metric với hằng số k 1. Một hàm số d : E E được gọi là t khoảng cách trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i ) d(s, r ) k(d(s, t ) d(t, r )) với mọi r, s, t E; (ii ) với mỗi s E, d(s,.) : E là hàm k nửa liên tục dưới. (iii ) với 0, 0 : d(r, s ) và d(r, t ) kéo theo (s, t ) . Ví dụ 2.1.6. Cho (E, ) là không gian b metric. Khi đó là một t khoảng cách trên E . Ví dụ 2.1.7. Cho E và (s, t ) (s t )2 . Khi đó hàm d : E E xác định bởi d(s, t ) | s |2 | t |2 với mọi s, t E là t khoảng cách trên E . Bổ đề 2.1.8. ([4]). Cho (E, ) là không gian b metric với hằng số k 1 và d là t khoảng cách trên E . (sn ) và (tn ) là các dãy trong E , ( n ) và ( n ) là các dãy trong [0, ) hội tụ đến 0 và r, s, t E . Khi đó: (i ) nếu d(sn , t ) n và d(sn , r ) n với n bất kỳ, thì t r. Đặc biệt, nếu d(s, t ) 0 và d(s, r ) 0 thì t r; (ii ) nếu d(sn , tn ) n và d(sn , r ) n với n , thì (tn ) hội tụ đến r ; (iii ) nếu d(sn , sm ) n với n, m bất kỳ, m n , thì (sn ) là dãy Cauchy. (iv ) nếu d(t, sn ) n với n bất kỳ, thì (sn ) là dãy Cauchy. Định nghĩa 2.1.9. Cho (E, ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử s, t E gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự nếu s t hoặc t s. Ta kí hiệu E là tập con của E E được xác định bởi E {(s, t ) E E :s t hoặc y x}. 9
Định nghĩa 2.1.10. Cho (E, ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ f :E E . Ta nói rằng (1) f là tăng ngược, nếu với mọi s, t E , f (s ) f (t ) kéo theo s t. (2) f là không giảm, nếu với mọi s, t E, s t kéo theo f (s ) f (t ) . 2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b metric với t khoảng cách Định lí 2.2.1. Cho d là t khoảng cách trên không gian b metric đầy đủ (E, ) với hằng số k 1 và S1 , S2 : E E . Giả sử r [0,1 / k ) sao cho d (S1(s ), S 2S1(s )), max r min d(s, S1(s)), d(s, S2(s )) (2.1) d (S 2 (s ), S1S 2(s )) với mỗi s E và inf d(s, t ) min d(s, S1(s)), d(s, S2(s)) : s E 0 (2.2) với mỗi t E với t không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó S1 và S 2 có điểm bất động chung trong E . Ngoài ra, nếu s S1(s ) S2(s ) thì d(s , s ) 0. Chứng minh. Cho s0 E tùy ý và định nghĩa dãy (sn ) bởi sn S1(sn 1) nếu n lẻ và sn S2(sn 1) nếu n chẵn. Nếu n lẻ thì theo (2.1) ta có d(sn , sn 1) d(S1(sn 1), S2(sn )) d(S1(sn 1), S2S1(sn 1)) max d(S1(sn 1), S2S1(sn 1)), d(S2(sn 1), S1S2(sn 1)) r min (d(sn 1, S1(sn 1)), d(sn 1, S2(sn 1)) 10
rd(sn 1, S1(sn 1)) rd(sn 1, sn ) . Nếu n chẵn thì theo (2.1), ta có d(sn , sn 1) d(S2(sn 1), S1(sn )) d(S2(sn 1), S1S2(sn 1)) max d(S2(sn 1), S1S2(sn 1)), d(S1(sn 1), S2S1(sn 1)) r min d(sn 1, S2(sn 1)), d(sn 1, S1(sn 1)) rd(sn 1, S2(sn 1)) rd(sn 1, sn ) . Do đó d(sn , sn 1) rd(sn 1, sn ) (2.3) Áp dụng (2.3) liên tiếp ta được d(sn , sn 1) r nd(s0, s1) (2.4) Với m, n ,m n từ (2.4) suy ra d(sn , sm ) k[d(sn , sn 1) d(sn 1, sm )] kd(sn , sn 1) k 2d(sn 1, sn 2 ) ... km n 1 [d(sm 2, sm 1) d(sm 1, sm )] [kr n k 2r n 1 ... km n 1 m 2 r km n 1 m 1 r ]d(s0, s1) kr n [1 kr (kr )2 ... (kr )m n 2 (kr )m n 1 ]d(s0, s1) kr n d(s0, s1 ) . 1 kr Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {sn } là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên {sn } hội tụ đến z E . Cố định n . Khi đó vì {sn } hội tụ đến z và d(sn ,.) là k nửa liên tục dưới, nên ta có k 2r n d(sn , z ) lim inf kd(sn , sm ) d(s 0, s1) . m 1 kr 11
Giả sử z không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó theo giả thiết ta có 0 inf d(s, z ) min d(s, S1(s)), d(s, S2(s)) : s E inf d(sn , z ) min d(sn , S1(sn )), d(sn , S2(sn )) : n k 2r n inf d(s0, s1) d(sn , sn 1) : n 1 kr k 2r n inf d(s 0, s1) r nd(s0, s1) : n 0 1 kr Điều này mâu thuẫn. Do đó, z S1(z ) S2(z ) . Nếu s S1(s ) S2(s ) với s E thì d(s , s ) max p(S1(s ), S 2S1(s )), p(S 2(s ), S1S 2(s )) r min d(s , S1(s )), d(s , S2(s )) r min d(s , s ), d(s , s ) rd(s , s ) Từ đó suy ra d(s , s ) 0. Hệ quả 2.2.2. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hằng số k 1, d là t khoảng cách trên E và S : E E . Giả sử tồn tại r [0,1 / k) sao cho d(S (s), S 2(s)) rd(s, S (s)) với mỗi s E và inf d(s, t ) d(s, S (s)) : s E 0 với mỗi t E với t S (t ) . Khi đó s E : S (s ) s. Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy S1 S2 S. 12
Định lí 2.2.3. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hằng số k 1, d là t khoảng cách trên E và S : E E là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại r [0,1 / k) sao cho d(S (s), S 2(s)) rd(s, S (s)) với mỗi s E . Khi đó s0 E : S (s0 ) s0 . Chứng minh. Giả sử t E :t S (t ) và inf d(s, t ) d(s, S (s)) : s E 0. Khi đó {sn } E : lim d(sn , t ) d(sn , S (sn )) 0. n Suy ra d(sn , t ) 0 và d(sn , S (sn )) 0 . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra S (sn ) t . Ta có d(sn , S 2(sn )) k[d(sn , S (sn )) d(S (sn ), S 2(sn ))] k(1 r )d(sn , S(sn )) 0. Do đó, (S 2(sn )) hội tụ đến t . Nhưng S : E E liên tục, nên S (t ) S (lim S (sn )) lim S 2(sn ) t n n Điều này mâu thuẫn với t S (t ) . Do đó, nếu t S (t ) , thì inf d(s, t ) d(s, S (s)) : s E 0. Theo Hệ quả 2.2.2, s0 E : S (s0 ) s0 . Định lí 2.2.4. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hằng số k 1, và ánh xạ S : E E sao cho (S (s), S (t )) c1 (s, t ) c2 (s, S(s)) c3 (t, S(t )) (2.5) 1 với mỗi s, t E , trong đó c1, c2, c3 0 với c1 c2 c3 . k 13
Khi đó ! s0 E : S (s0 ) s0 . Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.5), ta có (S (s), S 2(s)) c1 (s, S (s)) c2 (s, S (s)) c3 (S (s), S 2(s )) . Suy ra c1 c2 (S (s ), S 2(s )) (s, S (s )) (2.6) 1 c3 c1 c2 1 Đặt r khi đó r [0, ) vì k(c1 c2 ) c3 k (c1 c2 c3 ) 1. 1 c3 k Do đó, (2.6) trở thành (S (s), S 2(s)) r (s, S (s)) với mỗi s E. Giả sử t E :t S (t ) và inf (s, t ) (s, S (s)) : s E 0. Khi đó {sn } E: lim{ (sn , t) (sn, S(sn ))} 0. n Từ đó (sn , t ) 0 và (sn , S (sn )) 0 . Theo Bổ đề 2.1.8, S (sn ) t. Ta có (t, S (t )) k[ (t, S(sn )) (S(sn ), S(t))] k[ (t, S (sn )) c1 (sn , t ) c2 (sn, S (sn )) c3 (t, S (t ))] với mỗi n và từ đó (t, S (t )) kc3 (t, S (t )) . Do đó, (t, S (t ) 0 , tức là t S (t ) là mâu thuẫn. Như vậy, nếu t S (t ) thì inf (s, t ) (s, S (s)) : s E 0. Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta có điều phải chứng minh 14
Định lí 2.2.5. Giả sử (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hằng số k 1 và ánh xạ S : E E thỏa mãn (S (s), S (t )) c1 (s, S (t )) c2 (t, S (s)) (2.7) 1 1 với mọi s, t E trong đó c1, c2 0 với c1k hoặc c2k . Khi 1 k 1 k đó S có một điểm bất động trong E . Hơn nữa, nếu c1 c2 1 , thì S có điểm bất động duy nhất trong E . Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.7), ta có (S (s), S 2(s)) c1 (s, S 2(s)) c2 (S (s), S (sx )) c1k[ (s, S (s)) (S (s), S 2(s))] . Suy ra c1k (S (s), S 2(s)) (s, S (s)) (2.8). 1 c1k c1k 1 Đặt r . Khi đó r [0, ) . Do đó, (2.8) trở thành 1 c1k k (S (s), S 2(s)) r (s, S (s)) với mọi s E . Giả sử t E với t S (t ) và inf (s, t ) (s, S (s)) : s E 0. Khi đó {sn } E: lim{ (sn , t) (sn, S(sn ))} 0. n Từ đó (sn , t ) 0 và d(sn , S (sn )) 0 . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra S (sn ) t. Ta cũng có (t, S (t )) k[ (t, S(sn )) (S(sn ), S(t))] 15
k[ (t, S (sn )) c1 (sn , S (t )) c2 (t, S (sn ))] k[ (t, S (sn )) c1k (sn , t ) c1k (t, S (t )) c2 (t, S (s n ))] c1k 2 (t, S (t )) k[ (t, S (sn )) c1k (sn, t ) c2 (t, S (s n ))] với n . Cho n ta được (t, S (t )) k 2c1 (t, S (t )) . Suy ra (t, S (t )) 0 , tức là t S (t ) . Điều này là mâu thuẫn. Do đó, nếu t S (t ) thì inf (s, t ) (s, S (s)) : s E 0. Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta nhận được điểm bất động của S trong E . Bây giờ giả sử c1 c2 1 và u, v X : S (u) u và S (v) v . Khi đó (u, v) (S (u), S (v)) c1 (u, v) c2 (v, u) (c1 c2) (u, v) . Điều này kéo theo (u, v) 0 , suy ra u v . Do đó S có điểm bất động duy nhất trong E . Định lí 2.2.6. Cho (E, ) là không gian b metric đầy đủ với hằng số k 1 và S : E E . Giả sử tồn tại r [0,1 / k ) sao cho (S (s), S (t )) r max{ (s, t ), (s, S (s)), (t, S(t )), (t, S(s))} (2.9) với mọi s, t E . Khi đó ! s0 E : S (s0 ) s0 . Chứng minh. Ta xét b metric là t khoảng cách trên E . Từ (2.9), ta có (s, S (s )), (s, S (s)), (S (s ), S 2(s )) r max (2.10) (S (s ), S 2(s )), (S (s), S (s)) r max{ (s, S (s)), (S(s), S 2(s))} . Nếu S (s) S 2 (s) thì rõ ràng T có điểm bất động. Giả sử S (s ) S 2(s) . Vì 1 r , nên từ (2.10) ta nhận được k 16