Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí điểm bất động trong không gian G-metric đầy đủ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài "Định lí điểm bất động trong không gian G-metric đầy đủ" là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian G-metric đầy đủ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí điểm bất động trong không gian G-metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang ii
MỤC LỤC Lời cam đoan ........................................................................................................ i Lời cảmơn ............................................................................................................ ii Mục lục ............................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 1 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC ..... 3 1.1. Không gian G Metric................................................................................ 3 1.2. Một số tính chất cơ bản ................................................................................ 4 1.3. Tôpô của không gian G Metric ................................................................ 7 1.4. Sự hội tụ trong không gian G metric ....................................................... 9 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ .................................................................................. 13 2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian G metric ....................... 13 2.2. Định lý điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ .................... 14 KẾT LUẬN....................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 33 iii
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Như đã biết, nguyên lí điểm bất động đã được Banach phát biểu và chứng minh từ năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển. Nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động đóng một vai trò rất quan trọng bởi vì nó tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng như phương trình vi phân, vận trù học, toán kinh tế.... Trong các nghiên cứu về sau, các tổng quát khác nhau về không gian metric đã được đưa ra bởi một số nhà toán học như Gahler [3] (không gian 2 – metric) và Dhage [2] (không gian D – metric). Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đã chỉ ra rằng hầu hết các kết quả liên quan đến các tính chất tôpô của D metric là không chính xác. Để sửa chữa những hạn chế này, họ đã đưa ra một khái niệm mới, thích hợp hơn, được gọi là G metric. Đồng thời, Mustafa và các cộng sự ([7-8]) đã nghiên cứu một số định lí điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trên không gian G metric. Việc tổng quát hóa một số kết quả của Mustafa, đã được thực hiện bởi S.K. Mohanta [4]. Trong đó tác giả đã chứng minh một số định lí điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ”. Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian G metric đầy đủ. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm. 1
4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4] và [9], gồm 40trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài tính chấtcủaG metric,tôpô của không gian G metric, sự hội tụ trong không gian G metric và ánh xạ liên tục trong không gian G metric. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết các kết quả nghiên cứu của S.K. Mohantavề điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2
CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về G metric trên một tập E và một số tính chất cơ bản của nó. 1.1. Không gian G Metric Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đưa ra một khái niệm mới là không gian G metric, đồng thời chomột số ví dụ về không gian G metric và một số tính chất của nó. Tác giả đã chỉ ra rằng các không gian G metric được trang bị tôpô Hausdorff, cho phép chúng ta xem xét một số khái niệm tôpô như dãy hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ... Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G metric là cặp (E,G ) , trong đó E là một tập khác rỗng và G : E 3 là một hàm sao cho với mọi r, s, t, a E, các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (G1) G(r, s, t ) 0 nếu r s t; (G2 ) G(r, r, s) 0 với r s; (G3 ) G(r, r, s) G(r, s, t ) với t s; (G4 ) G(r, s, t ) G(r, t, s) G(s, t, r ) ... (đối xứng với cả 3 biến); (G5 ) G(r, s, t ) G(r, a, a ) G(a, s, t ) (bất đẳng thức hình chữ nhật). Hàm G như trên được gọi là một G metric trên E . Các tính chất trên có thể được giải thích dễ dàng theo nghĩa của không gian metric. Cho (E, d ) là một không gian metric và G : E 3 là hàm số được xác định bởi G(r, s, t ) d(r, s) d(r, t ) d(s, t ) với mọi r, s, t E. Khi đó (E,G ) là một không gian G metric. Trong trường hợp này, G(r, s, t ) có thể được hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh r, s và t . Ví dụ, (G1 ) có 3
nghĩa là với một điểm ta không thể có chu vi dương, và (G2 ) tương đương với khoảng cách giữa hai điểm khác nhau không thể bằng 0. Hơn nữa, vì chu vi của một tam giác không phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nó, nên ta có (G4 ) .Cuối cùng, (G5 ) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một đỉnh thứ tư. Ví dụ 1.1.2. Mỗi tập E khác rỗng có thể được trang bị mộtG metric rời rạc, được xác định với mọi r, s, t E , bởi 0, neáu r s t G(r , s, t ) 1, trong caùc tröôøng hôïp khaùc Ví dụ 1.1.3. Nếu G là G metric trên E thì G : E 3 [0, ) xác định bởi G(r, s, t ) G (r, s, t ) với mọi r, s, t E 1 G(r, s, t ) cũng là một G metric trên E . 1.2.Một số tính chất cơ bản Một trong những tính chất hữu ích nhất của G metric là bổ đề sau. Bổ đề 1.2.1.Nếu (E,G ) là không gian G metric thì G(r, s, s) 2G(s, r, r ) với mọi r, s E. Hệ quả 1.2.2.Cho {rn } và {sn } là hai dãy trong không gian G metric (E,G ). Khi đó lim G(rn , rn , sn ) 0 lim G(rn , sn , sn ) 0. n n Bổ đề 1.2.3.Cho (E,G ) là không gian G metric. Khi đó, với bất kì r, s, t,a E , ta có các tính chất sau đây 1)G(r, s, t ) G(r, r, s) G(r, r, t ). 2)G(r, s, t ) G(r, a, a) G(s, a, a) G(t, a, a). 3) G(r, s, t ) G(r, s, a ) max{G(a, t, t ),G (t,a,a )}. 4) Nếu n 2 và r1, r2,..., rn E thì 4
n 1 G(r1, rn , rn ) i 1 G(ri , ri 1,ri 1) và (1.1) n 1 G(r1, r1, rn ) i 1 G(ri , ri , ri 1) . 5) Nếu G(r, s, t ) 0 thì r s t. 6)G(r, s, t ) G(r, a, t ) G(a, s, t ). 2 7)G(r, s, t ) [G(r, s, a ) G(r, a, t ) G(a, s, t )]. 3 8)Nếu r E \ {t, a} thì G(r, s, t ) G(s, t, a) G(a, r, t ). 9)G(r, s, s) 2G(r, s, t ) . Chứng minh.1) Áp dụng (G4 ) và (G5 ) với a r , ta có G(r, s, t ) G(s, r, t ) G(s, r, r ) G(r, r, t ) G(r, r, s) G(r, r, t ).  2) Bằng cách áp dụng (G5 ) hai lần và sử dụng (G4 ) , ta có G(r, s, t ) G(r, a, a ) G(a, s, t ) G(r, a, a ) G(s, a, t ) G(r, a, a ) G(s, a, a ) G(a, a, t ).  3) Theo (G4 ) và (G5 ) , ta có G(r, s, t ) G(t, s, r ) G(t, a, a) G(a, s, t ), G(a, s, r ) G(a, t, t ) G(t, s, r ). Vì thế, G(r, s, t ) G(a, s, r ) G(t, a, a ) và G(a, s, r ) G(r, s, t ) G(a, t, t ). Do đó, G(r, s, t ) G(r, s, a ) max{G(a, t, t ),G(t, a, a )}.  4) Nếu n 2 , điều đó là hiển nhiên, và nếu n 3 thì (1.1) là tính chất (G5 ) khi cho r r1 , a r2 và s t r3 . Bằng cách quy nạp, nếu (1.1) xảy ra với 5
n 3 thì nó cũng xảy ra với n 1 bởi vì, cũng theo (G5 ) và giả thiết quy nạp, ta có G(r1, rn 1, rn 1) G(r1, rn , rn ) G(rn , rn 1, rn 1) n 1 i 1 G(ri , ri 1, ri 1) G(rn , rn 1, rn 1) n i 1 G(ri , ri 1, ri 1).  5)Giả sử G(r, s, t ) 0 . Ta chỉ ra nếu s t thì r s . Thật vậy, từ (G5 ) , ta có 0 G(r, r, s) G(r, s, t ) 0 G(r, r, s ) 0. Theo (G2 ) nếu r s thì G(r, r, s) 0 , do đó G(r, r, s) 0 kéo theo r s. Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên ta cũng chứng minh được rằng nếu t s thì r t . Do đó, s r t , điều này mâu thuẫn với giả thiết s t. Khi đó r s t.  6)Nếu a s hoặc a r thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử rằng a r và a s. Nếu a t thì theo (G5 ) , ta có G(r, s, t ) G(r, s, a) G(r, a, a) G(a, s, a) G(r, a, t ) G(a, s, t ). Tiếp theo, giả sử a t . Khi đó, theo (G5 ) và (G3 ) , ta có G(r, s, t ) G(r,a,a) G(a, s, t ) G(r,a, t ) G(a, s, t ).  7)Theo (6) và (G4 ) , ta có G (r, s, t ) G (r, a, t ) G (a, s, t ), G (r, s, t ) G (s, t, r ) G (s, a, r ) G(a, t, r ), G (r, s, t ) G (t, r, s ) G(t, a, s ) G(a, r, s ). Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng (G4 ) , ta được 3G(r, s, t ) 2[G(r, s, a) G(r, a, t ) G(a, s, t )]. Suy ra 2 G(r, s, t ) [G(s, t, a ) G(r, a, t ) G(a, s, t )].  3 6
8)Theo (3), G(r, s, t ) G(r, s, a ) max{G(a, t, t ),G(t, a, a)}. Khi đó, theo (G3 ), ta có r a G(t, a, a ) G(t, a, r ); r t G(a, t, t ) G(a, t, r ). Khi đó, theo (G4 ) , ta kết luận rằng: max{G(a, t, t ),G(t, a, a)} G(r, a, t ).  9)Xét hai trường hợp. Nếu s t thì G(r, s, s) G(r, s, t ) 2G(r, s, t ). Nếu s t thì sử dụng Bổ đề 1.2.1 và tiên đề (G3 ) , ta có G(r, s, s) 2G(r, r, s) 2G(r, s, t ).  1.3. Tôpô của không gian G Metric Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tôpô Hausdorff của một không gian G metric.Đối với tập hợp E bất kì, ta thấy rằng từ metric tùy ý trên E , ta có thể xây dựng nên mộtG metric.Ngược lại, đối với bất kỳ G metric G trên E , hàm số dG (r, s ) G(r, s, s ) G(r, r, s ) , xác định một metric trên E , metric dG được gọi là liên kết vớiG , thỏa mãn G(r, s, t ) Gs (dG )(r, s, t ) 2G(r, s, t ) . Tương tự, 1 G(r, s, t ) Gm (dG )(r, s, t ) 2G(r, s, t ) . 2 Định nghĩa 1.3.1.Hình cầu mở tâm a E , bán kính 0 trong không gian G metric (E,G ) là tập hợp BG (a, ) {s E : G(a, s, s ) }. Hình cầu đóng tâm a E , bán kính 0 là tập hợp BG (a, ) {s E : G(a, s, s ) }. 7
Ví dụ 1.3.2. Cho E là một tập khác rỗng và Gdis là G metric rời rạc trên E . Với a 0 E tùy ý và mọi 0 , ta có các tính chất sau: a)nếu 1 thì BG (a0, ) BG (a0, ) {a0 } ; dis dis b)nếu 1 thì BG (a0, ) {a0 } và BG (a0, ) E; dis dis c)nếu 1 thì B(a0, ) B(a0, ) E. Định lí1.3.3.Tồn tại một tôpô duy nhất G trên không gian G metric (E,G ) sao cho, với mọi a E , họ a tất cả các hình cầu mở tâm tại a họ các lân cận tại a . Hơn nữa, G là metric hóa được và có tính chất tách Hausdorff . Mệnh đề 1.3.4.Cho (E,G ) là một không gian G metric, với bất kỳ a E và 0 , ta có (1) nếu G(a, r, s) thì r, s BG (a, ) , (2) nếu s BG (a, ) thì tồn tại 0 sao cho BG (s, ) B(a, ) Từ (2) của Bổ đề 1.3.4 suy ra họtất cả các G hình cầu {BG (a, ) : a E, 0} là cơ sở của một tôpô (G ) trên E , tôpô G metric. Mệnh đề 1.3.5.Cho (E,G ) là một không gian G metric, với mọi a E và 0 , ta có BG a, 13 Bd (a, ) BG (a, ) . G Do đó, tôpôG metric (G ) trùng với metric tôpô sinh bởi dG . Vì vậy, mọi không gian G metric đều tương đương tôpô với không gian metric. Điều này cho phép chúng ta chuyển nhiềucác khái niệm và kết quả từ không gian metric vào không gianG metric. Chẳng hạn, các khái niệm sau trên một không gian tôpô, có thể chuyển chúng cho trường hợp của tôpô G như sau: 8
Một tập hợp con U E là một G lân cận của một điểma E nếu tồn tại 0 sao cho BG (a, ) U. Một tập hợp con U E là G mởnếu nó là tập rỗng hoặc nó là G lân cận của tất cả các điểm của nó. Một tập hợp con U E là G đóng nếu phần bù của nó E \U là G mở. 1.4. Sự hội tụ trong không gian G metric Định nghĩa 1.4.1.Cho (E,G ) là không gian G metric, r E và {sn } E. G Dãy {sn } gọi làG hội tụ đến s , và viết {sn } s hoặc sn s , nếu lim G(sn , sm ,s ) 0 , tức là với 0 , n0 sao cho G(sn , sm , s ) , với n ,m mọi n, m : n, m n0 (khi đó, s gọi là G giới hạn của {sn } ). Định nghĩa 1.4.2. Cho (E,G ) là không gian G metric, dãy {sn } E được gọi là G Cauchy nếu với mỗi 0 , tồn tại N sao cho G(sn , sm , sl ) với mọi n, m, l N. Mệnh đề 1.4.3.Giới hạn của dãy G hội tụ trong không gian G metric là duy nhất. Mệnh đề 1.4.4.Mỗi dãy hội tụ trong không gian G metric là một dãy Cauchy. Chứng minh.Cho (E,G ) là không gian G metric và {sn } E là dãy hội tụ đến s E . Khi đó với 0 tùy ý,theo định nghĩa, tồn tại n0 sao cho G(sn , sm , s ) với mọi n, m n0 . 3 Theo (G4 ) , (G5 ) và Bổ đề 1.2.1, với mọi n, m, k n0 , ta có, G(sn , sm , sk ) G(sn , s, s ) G (s, sm , sk ) 2G(sn , sn , s ) 2G(sm , sk , s ) 2 . 3 3 Do đó, {sn } là một dãy Cauchy trong (E,G ) .  9
Mệnh đề 1.4.5.Cho (E,G ) là không gian G metric và {sn } E là một dãy hội tụ, s E . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương. (a ) {sn } là G hội tụ đến s . (b) lim G(sn , sn , s) 0 , tức là 0 , n0 : sn BG (s, ) với n n0 . n (c) lim G(sn , s, s ) 0. n (d ) lim G(sn , sm , s ) 0. n ,m ,m n (e) lim G(sn , sn , s) 0 và lim G(sn , sn 1, s ) 0. n n ( f ) lim G(sn , s, s ) 0 và lim G(sn , sn 1, s ) 0. n n (g ) lim G(sn , sn 1, sn 1) 0 và lim G(sn , sn 1, s ) 0. n n (h ) lim G(sn , sn 1, sn 1) 0 và lim G(sn , sm , s ) 0. n n ,m ,m n (i ) lim G(sn , sm , s ) 0. n ,m ,m n Chứng minh. (a ) (b) Hiển nhiên với m n. (b) (c) . Suy ra từ Bổ đề 1.2.1 vì G(sn , s, s) 2G(sn , sn , s) với mọi n (c) (a ) . Theo (G5 ) và (G4 ) , với mọi n, m , ta có G(sn , sm , s ) G(sn , s, s ) G(s, sm , s ) G(sn , s, s) G(sm , s, s) 0 khi n, m . Từ đó suy ra G(sn , sm , s ) 0 khi n, m . (a) (d ) (b) , (a) (e) (b) và (a) (f ) (c) là tầm thường. (a ) (h ) . Theo Mệnh đề 1.4.4, {sn } là dãy Cauchy. Do đó, trong định nghĩa dãy Cauchy lấy m k n 1 , ta được lim G(sn , sn 1, sn 1) 0 . Hơn nữa, từ n (a ) dễ dàng suy ra 10
lim G(sn , sm , s ) 0. n ,m ,m n (h ) (g ) . Hiển nhiên với m n 1. (g ) (b) . Theo (G5 ) và (G4 ) , với mọi n , ta có G(sn , sn , s ) G(sn , sn 1, sn 1 ) G(sn 1, sn , s ) G(sn , sn 1, sn 1 ) G(sn , sn 1, s ) , khi n, m . Hơn nữa, (a ) (i) cũng hiển nhiên. (i) (b) . Suy ra từ Bổ đề 1.2.3 (9),vì G(sn , sn , s) 2G(sn , s, sn 1) 2G(sn , sn 1, s) với mọi n .  Bổ đề 1.4.6.Nếu (E,G ) là không gian G metric và {sn } E là một dãy thì các điều kiện sau đây là tương đương (a ) {sn } là dãy G Cauchy. (b) lim G(sn , sm , sm ) 0. n ,m (c) lim G(sn , sn , sm ) 0. n ,m Định nghĩa 1.4.7. Một không gian G metric (E,G ) được gọi là G đầy đủ (hay không gian G metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G Cauchy trong (E,G ) đều G hội tụ trong (E,G ) . Định nghĩa 1.4.8. Cho (E,G ) và (E ,G ) là các không gian G metric và ánh xạ f : E E .Khi đó f được gọi là G liên tục tại một điểm a E nếu với 0 tùy ý, tồn tại 0 sao cho s, t E ; G(a, s, t ) kéo theo G (f (a), f (s), f (t )) . Hàm f là G liên tục trên E khi và chỉ khi nó là G liên tục tại mọi a E. 11
Định nghĩa 1.4.9. Cho (E,G ) là không gian G metric. Ánh xạ R : E E được gọi là G liên tục tại a E nếu {R(sn )} G R(s ) với mọi dãy G {sn } E sao cho {snm } s. Mệnh đề 1.4.10. Cho (E,G ) và (E ,G ) là các không gian G metric. Khi đó hàm f : E E là G liên tục tại một điểm a E khi và chỉ khi nó là G liên tục theo dãy tại a ; nghĩa là, khi {sn } là G hội tụ đến s thì {f (sn )} là G hội tụ đến f (s ) . 12
CHƢƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ 2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gianG metric Định lý 2.1.1 ([1]).Cho (E,G ) là không gian G metric đầy đủ và R:E E là một ánh xạ sao cho tồn tại k [0,1) thỏa mãn G(Rs, Rt, Ru) kG(s, t, u) với mọi s, t, u E. (2.1) Khi đó R có một điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Giả sử s0 E là một điểm tùy ý và {sn }n 0 là dãy sao cho sn 1 Rsn với mọi n 0 . Khi đó nếu tồn tại một số n 0 sao cho sn 1 sn thì 0 0 Rsn sn và sn là một điểm bất động của R . Giả sử rằng 0 0 0 sn 1 sn với mọi n 0 Lấy s sn và t u sn 1 trong điều kiện co (2.1). Khi đó với mọi n 0 ta có G(sn 1, sn 2, sn 2 ) G(Rsn , Rsn 1, Rsn 1 ) kG(sn , sn 1, sn 1 ). Theo Hệ quả 4.1.1 trong [1], {sn } là dãy Cauchy trong (E,G ) . Vì (E,G ) là đầy đủ, nên dãy {sn } hội tụ, do đó tồn tại u E sao cho {sn } u . Ta sẽ chỉ ra u là một điểm bất động của R . Bằng cách sử dụng (2.1), với mọi n 0 ta có, G(sn 1, Ru, Ru) G(Rsn , Ru, Ru) kG(sn , u, u). Cho n và do metric G liên tục,nên ta có G(u, Ru, Ru) kG(u, u, u) 0. Do đó,theo Bổ đề 1.2.3, u Ru . Ta sẽ chứng minh u là điểm bất động duy nhất của R . Giả sử ngược lại, tồn tại một điểm bất động khác v E . Nếu v s thì G(v, v, u) 0 . Từ (2.1) và k 1 ta có 13
G(v, v, u) G(Rv, Rv, Ru) kG(v, v, u) G(v, v, u), điều này là mâu thuẫn. Do đó u là điểm bất động duy nhất của R .  Định lý 2.1.2.Cho (E,G ) là không gian G metric đầy đủ và R : E E là một ánh xạ sao cho tồn tại k [0,1) thỏa mãn G(Rs, Rt, Rt ) kG(s, t, t ) với mọi s, t E. Khi đó R có một điểm bất động duy nhất. Chứng minh Định lý 2.1.2 tương tự như cách chứng minh Định lý 2.1.1. 2.2. Định lý điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ Trong phần này chúng tôi trình bày một số định lí điểm bất động đối với các tự ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trong không gian G metric đầy đủ. Z.Mustafa, H. Obiedat và F. Awawdeh [9] đã chứng minh kết quả sau: Định lí 2.2.1. Cho (E,G ) là một không gian G metric đầy đủ, và R:E E là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau G(Rs, Rt, Ru) k1G(s, t, u) k2G(s, Rs, Rs) k3G(t, Rt, Rt ) k4G(u, Ru, Ru) với mọi s, t, u E , trong đó với 0 k1 k2 k3 k4 1. Khi đó R có duy nhất điểm bất động (gọi là z , tức là Rz z ) trong E và R là G liên tục tại z . Mở rộng kết quả này, ta có kết quả sau Định lý 2.2.2. ([4])Cho (X ,G ) là không gian G metric đầy đủ và R : E E là ánh xạ thỏa mãn G(Rs, Rt, Ru) k1G(s, t, u) k2G(s, Rs, Rs) k3G(t, Rt, Rt ) k4G(u, Ru, Ru) G (s, Rt, Rt ),G (t, Rs, Rs ), + k5 max G (t, Ru, Ru ),G (u, Rt, Rt ), (2.2) G (u, Rs, Rs ),G (s, Ru, Ru ) 14
với mọi s, t, u E , trong đó k1, k2, k3, k4, k5 0 với k1 k2 k3 k4 2k5 1 Khi đó R có duy nhất một điểm bất động z E và R là G liên tục tại z . Chứng minh. Lấy s0 E tùy ý và xác định dãy {sn } bởi sn Rn (s0 ) . Giả sử sn sn 1 với mọi n . Khi đó sn 1 Rn 1s0 Rn (Rs0 ) Rns1 ... Rsn , sn Rnsn 1 . Theo (2.2), ta có G(sn , sn 1, sn 1) k1G(sn 1, sn , sn ) k2G(sn 1, sn , sn ) k3G(sn , sn 1, sn 1) k4G(sn , sn 1, sn 1) G (sn 1, sn 1, sn 1 ),G(sn , sn , sn ), k5 max G (sn , sn 1, sn 1 ),G(sn , sn 1, sn 1), . G (sn , sn , sn ),G (sn 1, sn 1, sn 1 ) Do đó, ta có k1G (sn 1, sn , sn ) k2G (sn 1, sn , sn ) G (sn , sn 1, sn 1 ) k3G (sn , sn 1, sn 1 ) k 4G (sn , sn 1, sn 1 ) . (2.3) k5 max{G (sn 1, sn 1, sn 1 ),G (sn , sn 1, sn 1 )} Theo (G5 ) , ta có G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1). Do đó, (2.3) trở thành G(sn , sn 1, sn 1) k1G(sn 1, sn , sn ) k2G(sn 1, sn , sn ) k3G(sn , sn 1, sn 1) k4G(sn , sn 1, sn 1) k5 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} , suy ra k1 k2 k5 G(sn , sn 1, sn 1 ) G(sn 1, sn , sn ). (2.4) 1 k3 k 4 k5 15