Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric sau đây để nắm bắt được những nội dung về định lý điểm bất động Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn, định lý Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed, định lý Krasnoselskii trong E – không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động trong không gian nón Metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn và cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập. Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn. Học viên thực hiện Dương Thùy Vân
MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN .......................................................................3 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ...............................................................................3 1.2 Không gian nón định chuẩn...............................................................................4 1.3 Định lí Krasnoselskii .........................................................................................7 Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED ........................................................................ 10 2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự ............................................................. 10 2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed .................................................... 13 2.3 Các định lí điểm bất động............................................................................... 14 2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers ........................................................... 18 2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm ................................................................... 20 Chương 3. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN ......... 24 3.1 E – không gian ............................................................................................... 24 3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian ............................................. 26 3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach ........................................ 28 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 33
1 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên cũng như cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội. Lý thuyết điểm bất động hình thành từ đầu thế kỷ 20, phát triển mạnh mẽ và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động. Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợp hai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánh xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâu sắc trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,…Do sự quan trọng của định lý Krasnoselskii mà nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng. Hướng thứ nhất tìm cách giảm nhẹ điều kiện co và điều kiện compact hoặc điều kiện bất biến của miền xác định. Hướng mở rộng thứ hai là mở rộng về không gian như thay không gian định chuẩn bằng không gian lồi địa phương hoặc không gian nón - định chuẩn Không gian nón – mêtric và nón – định chuẩn được đưa vào nghiên cứu trong những năm 1950 khi thay miền giá trị của mêtric và chuẩn thông thường là [0,∞) bởi nón dương của một không gian có thứ tự. Các không gian này tìm được các ứng dụng quan trọng trong Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểm bất động. Các kết quả về điểm bất động trong không gian nón – mêtric chủ yếu liên quan đến ánh xạ dạng co. Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho không gian nón - định chuẩn và ứng dụng của nó là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Đó là lí do tôi chọn đề tài này. Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống hướng nghiên cứu định lý Krasnoselskii trong không gian nón - định chuẩn, không gian nón – định chuẩn phi Archimed, và trong E – không gian; các ứng dụng của nó trong phương trình tích phân, phương trình hàm.
2 Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ hơn mối liên hệ giữa chúng; biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề mới và làm quen với nghiên cứu khoa học. Luận văn có thể là tài liệu tham khảo “ Định lý Krasnoselskii trong không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học chuyên ngành Toán Giải Tích. Luận văn có ba chương. Chương 1 trình bày định lý Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn. Chương 2 trình bày định Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed. Chương 3 trình bày định Krasnoselskii trong E - không gian.
3 Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN 1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón 1.1.1. Các định nghĩa 1) Tập K trong không gian Banach thực E = (E, . ) được gọi là nón nếu i) K là tập đóng ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ 0 iii) K ∩ (−K) = {∅} Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi x ≤ y ⇔ y − x∈K Khi đó, cặp (E, K) được gọi là không gian Banach có thứ tự 2) Nón chuẩn Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y 3) Ánh xạ tăng Ánh xạ A : M ⊂ E → E được gọi là dương nếu A(x) ≥ θ ∀x ∈ M, x ≥ θ Ánh xạ A tăng nếu x, y ∈ M và x ≤ y thì A(x) ≤ A(y) Ta dễ thấy nếu A : E → E là ánh xạ tuyến tính và dương thì A là ánh xạ tăng 4) Nón liên hợp Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là K *= {f ∈E * : f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ K } 1.1.2. Bổ đề 1) xo ∈ K ⇔ f ( xo ) ≥ 0, ∀f ∈ K * 2) Nếu x ∈ K {θ } thì tồn tại f ∈ K * sao cho f (x)>0 1.1.3. Bổ đề Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón K và . * là phiếm hàm Minkowskii của tập [ B(θ ,1) − K ] ∩ [ B(θ ,1) + K ] . Khi đó 1. . * là một chuẩn trong E thỏa u * ≤ u ∀u ∈ E và u * ≤ v * nếu θ ≤ u ≤ v
4 2. u *  . nếu K là nón chuẩn 1.2. Không gian nón định chuẩn 1.2.1. Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự và X là không gian tuyến tính thực Ánh xạ p : X → E được gọi là một chuẩn nón( hay K-chuẩn) nếu i) p( x ) ≥ θ E ∀x ∈ X p( x ) = θ E ⇔ x = θ X ( θ E , θ X laàn löôït laø phaàn töû khoâng cuûa E vaø X töông öùng) ii) p= (λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ , ∀x ∈ X iii) p( x + y ) ≤ p( x ) + p( y ) ∀x , y ∈ X Nếu p là một chuẩn nón trên X thì cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn ( hay K – không gian định chuẩn) Không gian nón định chuẩn (X, p) với tôpô τ được kí hiệu là ( X , p,τ ) 1.2.2 Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự; (X, p) là không gian nón định chuẩn. Ta định nghĩa 1) lim x n= x ⇔ lim p(x n - x)=θ trong E n→∞ 2) A ⊂ X ñoùng neáu ∀ { xn } ⊂ A, lim x n= x thì x ∈ A n→∞ Trong (X, p) ta sẽ xét hai tôpô sau τ= 1 {G ⊂ X X G laø taäp ñoùng } τ 2 là tôpô trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn f  p : f ∈ K * { } (X, τ 2 ) là không gian vectơ tôpô lồi địa phương. Họ các tập {x ∈ X : max f  p(x) < ε } , f ∈ K , n ∈ N , ε >0 là cơ sở lân cận của θ 1≤i ≤ n i i * * Lưới { xα } ⊂ X hội tụ về x trong τ 2 nếu lim f ( p( xα − x )) = 0 ∀f ∈ K * 1.2.3. Định nghĩa Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự; (X, p) là không gian nón định chuẩn, τ là một tôpô trên X. Ta nói
5 1) ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mỗi dãy { xn } ⊂ X mà ∞ ∑ p( x n =1 n +1 − xn ) hội tụ trong E thì { xn } hội tụ trong ( X , p,τ ) 2) ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu với mỗi dãy { xn } thỏa p( xk − xl ) ≤ an ∀k,l ≥ n, với {an } ⊂ K , lim an = θ E thì { xn } hội tụ trong ( X , p,τ ) n→∞ 1.2.4. Bổ đề Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón chuẩn K với N=1: θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y và (X, p) là không gian nón định chuẩn. Khi đó ánh xạ q : X → , q(x)= p( x ) là một chuẩn trên X có những tính chất sau: 1)Tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q) 2) Nếu ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass thì (X, q) đầy đủ Chứng minh 1) Dễ thấy q là một chuẩn trên X và lim xn = x trong ( X , p,τ 1 ) ⇔ lim xn = x trong (X, q). n→∞ n→∞ Do đó A⊂ X là tập đóng trong ( X , p,τ 1 ) ⇔ A đóng trong (X, q) Vậy tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q) ∞ 2) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho ∑ q( x ) < ∞ n =1 n ∞ Chúng ta chứng minh sự hội tụ của chuỗi ∑x n =1 n trong (X, q) Thật vậy, đặt sn = x1 + x2 + ... + xn , n ∈ N * , ta có ∞ ∞ =n 1=n 1 ∑ p(sn = − sn−1 ) ∑ q( x ) < ∞ n ∞ ⇒ ∑ p(s n =1 n − sn−1 ) hôi tụ trong ( E , . )
6 Vì ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass nên { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) và trong (X, q). 1.2.5. Bổ đề Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X,p) là không gian nón định chuẩn , τ là tôpô trên X 1) Nếu ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Kantorovich thì ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass 2) Nếu K là nón chuẩn và ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass thì ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh ∞ 1) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho ∑ p( x n =1 n +1 − xn ) hội tụ trong E ∞ Đặt s = ∑x n =1 n sn = x1 + x2 + ... + xn là tổng riêng thứ n của chuỗi Cho l > k ≥ n , ta có p( xl − xk ) ≤ sl −1 − sk −1 ≤ s − sn với lim (s − sn ) = θ trong E n→∞ Vì ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Kantorovich nên { xn } hội tụ trong ( X , p,τ ) hay ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass 2) Lấy dãy { xn } thỏa p( xl − xk ) ≤ an ∀k , l ≥ n, {an } ⊂ K , lim an = θE n→∞ Do K là nón chuẩn nên p( xl − xk ) ≤ N an Do đó { xn } là dãy Cauchy trong (X, q) nên { xn } hội tụ trong (X, q) Suy ra { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) theo bổ đề 1.2.4 Vậy ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich.
7 1.3. Định lí Krasnoselskii Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X, p)là không gian nón định chuẩn và τ= τ= 1 {G ⊂ X X G laø taäp ñoùng } hoaëc τ =τ với τ là tô pô trên X được xác 2 2 { định bởi họ nửa chuẩn f  p : f ∈ K * } Giả sử C là tập lồi đóng trong ( X , p,τ ) và S, T: C→X là hai toán tử thỏa (i) T(x) + S(y) ∈ C ∀ x,y ∈ C (ii) S liên tục và S(C ) là compact đối với tôpô τ (iii) Tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục dương Q: E→E với bán kính phổ r (Q) k ≥ n ta có
8 l −1 l −1 p( xl − xk ) ≤ i +1 − xi ) ≤ =i k =i k ∑ p( x ∑ Q (u) ≤ (I − Q) i −1 n→∞ (u) − sn  →θ Trường hợp 1: K là nón chuẩn, ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass Khi đó theo bổ đề 1.2.5, ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich. Do đó tồn tại x* = lim xn n→∞ Ta có: p [Ty ( x* ) − x* ] ≤ p [Ty ( x* ) − Ty ( xn )] + p ( xn+1 − x* ) ≤ Q  p( x* − xn ) + p ( xn+1 − x* ) (1) ( ( f p Ty ( x* ) − x* )) ≤ f  Q  p( x * − xn ) + f  p( xn+1 − x* ) ∀f ∈ K * (2) Cho n → ∞ trong (1) ta có Ty ( x* ) = x* Trường hợp 2: (X , p,τ 2 ) là đầy đủ theo Kantorovich Với f ∈ K * ta có f  Q ∈ K * . Cho n → ∞ trong (2) ta có Ty ( x* ) = x* Chứng minh điểm bất động của Ty là duy nhất Giả sử có điểm a thỏa Ty (a) = a . Khi đó p(a − x= *) p[Ty (a) − Ty ( x* )] ≤ Q  p(a − x* ) Vì (I − Q)−1 là ánh xạ tuyến tính dương nên p(a − x* ) = θE Vậy a = x* ( x ) T ( x ) + y có một điểm bất động duy nhất ∀y ∈ S(C ) Vì toán tử Ty= Nên tồn tại toán tử (I − T )−1 : S(C ) → C Ta chứng minh (I − T )−1 liên tục Thật vậy, lấy lưới {yα } ⊂ S(C ) sao cho lim yα = y , y ∈ S(C ) trong tôpô τ Đặt xα = ( I − T )−1 ( yα ), x = ( I − T )−1 ( y ) , ta có p( xα − x ) ≤ p[T ( xα ) − T ( x )] + p( yα − y ) ≤ Q[p( xα − x )]+p( yα − y ) Suy ra p( xα − x ) ≤ (I − Q)−1 p[( yα − y )] (3)
9 f  p ( xα − x ) ≤ f  ( I − Q)−1 p [( yα − y )]∀f ∈ K * (4) Từ (3) và K là nón chuẩn ta có lim xα = x trong τ 1 Từ (4) và f  (I − Q)−1 ∈ K * ta có lim xα = x trong τ 2 Toán tử (I − T )−1  S : C → C là liên tục Vì (I − T )−1 là đẳng cấu nên (I − T )−1  S(C ) = ( I − T )−1 S (C ) Do đó, do tính liên tục của ánh xạ (I − T )−1 và giả thiết ii) ta suy ra ( I − T )−1  S (C ) là tập compact Theo định lý Schauder-Tychonoff, tồn tại x ∈ C sao cho x= (I − T )−1  S( x ) Hay x = T(x)+ S(x).
10 Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED 2.1. Không gian lồi địa phương có thứ tự Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn { pi }i∈I . Khi đó họ các tập có dạng như dưới đây là cơ sở lân cận của θ     VJ ,ε u ∈ E : max pi (u) < ε  , với ε > 0, J ⊂ I , J hữu hạn = i∈J   Lưới {uα } hội tụ về u ∈ E nếu { pi (uα − u)} hội tụ về 0 trong  ∀i ∈ I Nếu K là nón thì thứ tự của E sinh bởi nón K được định nghĩa như sau u ≤ v ⇔ v −u∈K Ta gọi cặp (E,K) là không gian lồi địa phương có thứ tự Nón K được gọi là nón minihedral nếu với mỗi cặp u, v ∈ E tồn tại cận trên đúng sup{u,v}. Ta kí hiệu sup{u,v} là u ∨ v Ta kí hiệu u+ thay cho sup {u,θ } , u- thay cho sup {−u,θ } 2.1.1. Định nghĩa Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) có tính chất (E) nếu nón K là nón minihedral và (i) ∀i ∈ I , nửa chuẩn pi là bán đơn điệu , nghĩa là: ∃Ni > 0 : θ ≤ u ≤ v ⇒ pi (u) ≤ Ni . pi (v) (ii) ∀i ∈ I ∃mi > 0 : pi (u + ) ≤ mi pi (u) ∀u ∈ E Từ (i) ta có nếu un ≤ vn ≤ wn và lim un = u , lim wn = u thì lim vn = u Thật vậy, ta có θ ≤ vn − un ≤ wn − un nên pi ( vn − un ) ≤ Ni pi ( wn − un ) → 0, ∀i ∈ I Do đó vn − un → θ hay vn → u
11 2.1.2. Bổ đề Nếu không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) có tính chất (E) và lim un = u , lim vn = v thì lim un ∨ vn =u ∨ v Chứng minh: Nếu lim un = θ thì từ điều kiện (ii) của (E) ta có lim un + = θ Giả sử lim un = u , ta chứng minh lim un + = u + . Thật vậy, ( ) + un + = ((un − u) + u)+ ≤ un + − u + u+ u + ≤ (u − un )+ + un + Suy ra −(u − un )+ ≤ un + − u + ≤ (un − u)+ và do đó lim(un + − u + ) = θ . Cuối cùng, ta có lim un ∨ ν n = lim (un −ν n ) ∨ θ + ν n  = (u −ν ) ∨ θ + ν = u ∨ ν . 2.1.3. Định nghĩa Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) và toán tử Q : K → K 1. Ta nói toán tử Q có tính chất (Q) nếu Q( θ ) = θ , Q liên tục tại θ và Q tăng ( u ≤ ν ⇒ Q(u) ≤ Q(ν )) . { } 2. Đặt Sn (u) = sup u, Q(u),..., Q n−1 (u) , S(u)= lim Sn (u) n→∞ D = { u ∈ K: S( u ) xác định} Do = { u ∈ K: lim Q n (u) = θ } n→∞ Kí hiệu D1 là tập tất cả các phần tử u ∈ K sao cho lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * (1) n→∞   u ∈ E : max pi (u) < ε  là cơ sở lân cận của θ nên Vì họ các tập VJ ,ε = i∈J   (1) tương đương với điều kiện sau: ∀i ∈ I , ∀ε > 0, ∃no : ∀n ≥ no , ∀k ∈ * ⇒ pi (Sk (Q n (u))) < ε (2)
12 2.1.4. Bổ đề Giả sử không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất (E), toán tử Q có tính chất (Q) và u ∈ D1 . Khi đó 1)Q m (u) ∈ D1 ∀m ∈ * và nếu θ ≤ v ≤ u thì v ∈ D1 2)Q n (u) ∈ D ∀n ∈  và lim S(Q n (u)) = θ n→∞ Chứng minh: 1) Theo định nghĩa D1 , ta có Q m (u) ∈ D1 Q đơn điệu tăng (θ ≤ v ≤ u ⇒ Q(v) ≤ Q(u) ) nên ( ) ( Sk Q n (v) ≤ Sk Q n (u) ) ∀k, n ∈ * u ∈ D1 neân ∀i ∈ I,∀ε >0,∃n o : ∀n ≥ no , ∀k ∈ * ⇒ pi (Sk (Q n (u))) < ε mà pi là bán đơn điệu nên ta có v ∈ D1 2) Trước tiên ta chứng minh u ∈ D Giả sử A ⊂ K là hữu hạn và A = A1 ∪ A2 , khi đó sup A sup{sup A1 ,sup A2} ≤ sup A1 + sup A2 = Từ đó ta có θ ≤ Sn+ k (u) − Sn (u) ≤ Sk (Q n (u)) ∀n, k ∈ * Do u ∈ D1 nên lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * n→∞ Do đó {Sn (u)}n là dãy cauchy trong E nên {Sn (u)}n hội tụ hay u ∈ D Do Q n (u) ∈ D1 nên Q n (u) ∈ D và do đó S(Q n (u)) xác định Cho k → ∞ trong (2), ta có lim pi (S(Q n (u)))= 0 ∀i ∈ I n→∞ Vậy lim S(Q n (u)) = θ . n→∞ Nhận xét 1) Nếu lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * , và đối với u ∈ C ⊂ K n→∞ thì lim S(Q n (u)) = θ đều đối với u ∈ C n→∞
13 2) Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và Q : E → E là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)
14 (i) p( x ) = θ E ⇔ x = θ X với θ E ,θ X lần lượt là phần tử không trong E và X (λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ ,∀x ∈ X (ii) p= (iii) p( x + y ) ≤ sup { p( x ), p( y )} ∀x,y ∈ X Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn phi Archimed với tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn (pi  p)i∈I 2.3. Các định lí điểm bất động 2.3.1. Định lí Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự, (E, K) đầy đủ, có tính chất (E) và không gian nón_metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich. Cho F : X → X là toán tử thỏa p( F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x,y ∈ X Trong đó Q : K → K có tính chất (Q) và tồn tại một phần tử xo ∈ X thỏa (i) Q n  p ( xo , F ( xo ) )  ∈ D ∀n ∈  ( ) (ii) lim S Q n  p ( xo , F ( xo ) )  = θ n→∞ Khi đó, dãy xn = F ( xn−1 ) là hội tụ và phần tử x* = lim xn là điểm bất động của n→∞ F. Hơn nữa x* có những tính chất sau: ( 1) p( xn , x* ) ≤ S Q n  p ( xo , F ( xo ) )  ) 2) x* là điểm bất động duy nhất của F trong tập { x ∈ X : p( x , xo ) ∈ Do } Chứng minh Đặt u = p( xo , F ( xo )) ta có p( xn , xn+1 ) p( F ( xn−1 ), F ( xn )) ≤ Q  p( xn−1 , xn ) ≤ ... ≤ Q n (u) = vaø p( xn , xn+ k ) ≤ sup{p ( xn , xn+1 ) ,...,p ( xn+ k −1 , xn+ k )} ≤ sup{Q n (u),..., Q n+ k −1 (u)} = Sk (Q n (u)) ≤ S(Q n (u)) { } Bất đẳng thức cuối đúng vì dãy Sk (Q n (u)) là dãy tăng và hội tụ về S(Qn(u)). k
15 Do đó với k = n + q, l = n + r , ta có { } p( xk , xl ) ≤ sup p( xn+ q , xn ), p( xn , xn+r ) ≤ S(Q n (u)) Do lim S(Q n (u)) = θ và (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich nên tồn tại x* = lim xn n→∞ n→∞ cho k → ∞ trong p( xn , x* ) ≤ sup { p( xn , xn+ k ), p( xn+ k , x* )} { } ≤ sup S(Q n (u)), p( xn+ k , x* ) và áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có p( xn , x* ) ≤ S(Q n (u)) Ta chứng minh x* là điểm bất động của F. Ta có p( x* , F ( x* )) ≤ sup { p( x* , F ( xn )), p( F ( xn ), F ( x* ))} { ≤ sup p( x* , xn+1 ), Q  p( xn , x* ) } Cho n → ∞ , do Q liên tục và áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có x* = F ( x* ) Chứng minh sự duy nhất: giả sử có x ' sao cho x ' = F ( x ') , p( x ', xo ) ∈ Do . Ta có p( xn , x ') p( F ( xn−1 ), F ( x ')) ≤ Q[p( xn−1 , x ')] ≤ ... ≤ Q n ( p( xo , x ')) = Do đó x ' = lim xn n→∞ Vậy x ' = x* 2.3.2. Hệ quả Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất (E), không gian metric_nón phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich. Giả sử toán tử F : X → X thỏa p( F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x,y ∈ X Với toán tử Q:K → K có tính chất (Q) và tồn tại phần tử xo ∈ X sao cho p(x o , F ( xo ) ∈ D1 Khi đó, dãy xn = F ( xn−1 ) là hội tụ và x* = lim xn là điểm bất động của F có n→∞ những tính chất sau: 1) p( xn , x* ) ≤ S(Q n [p(xo ,F(xo ))])
16 { 2) x* là điểm bất động duy nhất của F trong tập x ∈ X p( x , xo ) ∈ Do } Chứng minh Do p ( xo , F ( xo ) ) ∈ D1 nên do bổ đề 2.1.4 các điều kiện i), ii) của định lí 2.3.1 được thỏa mãn. 2.3.3. Định lý điểm bất động Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E), (X,p) là không gian nón định chuẩn phi Archimed đầy đủ theo Kantorovich. Cho C ⊂ X là tập lồi, đóng và hai toán tử F , G : C → X thỏa (i) F (C ) + G(C ) ⊂ C (ii) G liên tục và G(C ) là tập compact (iii) p(F ( x ) − F ( y )) ≤ Q  p( x − y ) ∀x,y ∈ C Trong đó toán tử Q:K → K có tính chất (Q) và thỏa một trong những giả thuyết sau: a) Tồn tại một toán tử R:K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục tại θ và nếu u ≤ sup {v, Q(u)} thì u ≤ R(v) b) lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * và đối với u nằm trong mỗi tập con n→∞ compact của K (iv) Tồn tại phần tử xo ∈ C sao cho p(C − xo ) ⊂ D1 Khi đó, F + G có điểm bất động trong C Chứng minh Từ F (C ) + G(C ) ⊂ C và C là tập đóng ta có F (C ) + G(C ) ⊂ C Với mỗi y ∈ G(C ) ta xét ánh xạ Fy : C → C , Fy ( x ) = F( x) + y Vì p(Fy ( xo ) = − xo ) p( F ( xo ) + y − xo ) ∈ p(C − xo ) ⊂ D1 nên áp dụng hệ quả 2.3.2, ta có Fy có điểm bất động duy nhất trong tập { x ∈ C : p( x − xo ) ∈ Do } = C Do đó, tồn tại toán tử (I − F )−1 : G(C ) → C Ta chứng minh (I − F )−1 liên tục