Luận văn Thạc sĩ Toán học: Độ sâu Stanley của Iđêan đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Richard P. Stanley nổi tiếng bởi những đóng góp quan trọng cho Tổ hợp và liên hệ nó với Đại số và Hình học, đặc biệt là những đóng góp trong lý thuyết phức đơn hình. Hai dạng phức đơn hình có vai trò trung tâm trong Tổ hợp là phức chia được và phức Cohen-Macaulay. Stanley đặt ra giả thuyết mọi phức Cohen-Macaulay là chia được. Mời các bạn cùng tìm hiểu nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Độ sâu Stanley của Iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MẠC THỊ HUYỀN ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MẠC THỊ HUYỀN ĐỘ SÂU STANLEY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, ngày 23 tháng 6 năm 2015 Người viết Luận văn Mạc Thị Huyền i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái nguyên, ngày 23 tháng 6 năm 2015 Người viết Luận văn Mạc Thị Huyền ii
Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Môđun phân bậc trên vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Iđêan đơn thức.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 2. Phân tích Stanley và độ sâu Stanley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Phân tích Stanley của môđun đa phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Độ sâu Stanley khi chia cho một phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Độ sâu Stanley và phần tử chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Độ sâu Stanley và dãy khớp ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Phân tích Stanley của iđêan đơn thức không chứa bình phương và áp dụng 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 iii
Mở đầu Richard P. Stanley nổi tiếng bởi những đóng góp quan trọng cho Tổ hợp và liên hệ nó với Đại số và Hình học, đặc biệt là những đóng góp trong lý thuyết phức đơn hình. Hai dạng phức đơn hình có vai trò trung tâm trong Tổ hợp là phức chia được và phức Cohen-Macaulay. Stanley đặt ra giả thuyết mọi phức Cohen-Macaulay là chia được. Năm 1982 trong một bài báo đăng trên tạp chí Inventiones Mathematicae [8], Stanley đã đưa ra khái niệm mà nay được gọi là độ sâu Stanley (sdepth) của một môđun phân bậc trên một vành phân bậc giao hoán. Độ sâu Stanley là một bất biến hình học của môđun và có liên hệ mật thiết độ sâu thông thường (depth). Stanley cũng đưa ra giả thuyết sdepth(M) ≥ depth(M). J Herzog, A. S. Jahan và S. Yassemi đã chỉ ra rằng giả thuyết Stanley về độ sâu kéo theo giả thuyết Stanley về phức đơn hình. Cho đến nay cả hai giả thuyết này vẫn là những câu hỏi mở cần được giải quyết. Luận văn này trình bày một số vấn đề mở đầu về độ sâu Stanley như là: phân tích Stanley; một số tính chất cơ bản; tìm hiểu một chặn dưới của độ sâu Stanley. Các nội dung trong luận văn được trình bày dựa theo tài liệu [5], [9], [11]. Khi trình bày luận văn, tác giả đã cũng đã cố gắng trình bày lại chi tiết các chứng minh, bổ sung thêm một số ví dụ và kết quả trong các tài liệu tham khảo khác. Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1, chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về môđun phân bậc trên vành phân bậc, lọc nguyên tố của một môđun. Phần cuối chương trình bày định nghĩa và các tính chất về iđêan đơn thức trên một vành đa thức. Đây là những công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa và chứng minh ở chương sau. Chương 2 trình bày về độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc trên vành đa phân bậc. Phần đầu chương trình bày về phân tích Stanley của môđun đa phân bậc và của iđêan đơn thức. Phần tiếp theo chỉ ra các tính chất của độ sâu Stanley với phần tử chính quy hay không chính quy và dãy khớp. Cuối cùng chúng tôi trình bày về phân tích Stanley của iđêan đơn thức không chứa bình phương và áp dụng. 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Môđun phân bậc trên vành phân bậc Trong mục này ta kí hiệu S là vành giao hoán có đơn vị. Trước hết ta trình bày một số định nghĩa và kết quả về vành và môđun phân bậc. Định nghĩa 1.1.1. Cho (G, +) là một vị nhóm Abel. Một vành phân bậc hoặc G-vành L phân bậc là một vành S nếu tồn tại một phân tích tổng trực tiếp S = i∈G Si như các Z-môđun thỏa mãn Si S j ⊆ Si+ j với mọi i, j ∈ G. Nếu S là G-phân bậc và M là một S-môđun, thì M được gọi là G-phân bậc nếu tồn như một Z-môđun thỏa mãn Si M j ⊆ Si+ j L tại một phân tích tổng trực tiếp M = i∈G Mi với mọi i, j ∈ G. Một phần tử u ∈ M là thuần nhất, nếu tồn tại i ∈ G sao cho u ∈ Mi và khi đó i được gọi là bậc của u, ta viết deg(u) = i. Mỗi Mi được gọi là một thành phần thuần nhất của M có bậc i, với i ∈ G. Do đó mọi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn được duy nhất dưới dạng m = ∑i∈G mi , trong đó mi ∈ Mi , chỉ hữu hạn mi 6= 0 và được gọi là thành phần thuần nhất của m. Một môđun con N ⊆ M được gọi là thuần nhất, hay G-môđun con phân bậc nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất ứng với G-phân bậc. Điều kiện này tương đương với một trong hai điều kiện sau: (i) Với m ∈ M, nếu m ∈ N thì mỗi thành phần thuần nhất của m đều thuộc N; (ii) N = ∑i∈G (N ∩ Mi ). 2
Nếu N ⊆ M là một môđun con thuần nhất của M và ta có tập Ni = Mi ∩ N thì L L N= i∈G Ni và môđun thương M/N = i∈G Mi /Ni lại là một S-môđun G-phân bậc. Và từ đó ta cũng có khái niệm iđêan phân bậc. Cho I là iđêan bất kì của S. Ta kí hiệu I ∗ là iđêan sinh bởi các phần tử thuần nhất u ∈ I. Nếu I phân bậc thì I ∗ = I. Định nghĩa 1.1.2. Cho S là một G-vành phân bậc và M, N là các S-môđun G-phân bậc. Một S-đồng cấu ϕ : M → N là phân bậc có bậc d với d ∈ G, nếu ϕ(Mi ) ⊆ Ni+d với mọi i ∈ G. Ta gọi ϕ phân bậc, nếu nó là thuần nhất bậc 0. Hạt nhân Ker ϕ và ảnh Im ϕ của ánh xạ phân bậc ϕ cũng là các môđun G-phân bậc. Nếu G là Z hoặc Zn , ta nói rằng S lần lượt là một vành phân bậc hoặc đa phân bậc, và S-môđun M được gọi là S-môđun phân bậc hoặc đa phân bậc. Trong cả 2 trường hợp L với G-vành phân bậc bất kì S = i∈G Si , thì ta có thể xác định một G-vành phân bậc khác với cố định t ∈ G thỏa mãn S(t) = L i∈G S(t)i , trong đó S(t)i := St+i . Ví dụ 1.1.3. Cho vành đa thức S = K[x1 , x2 , x3 ]. (i) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = deg x3 = 1. Khi đó ta có vành phân bậc thông thường. Ta có S(1) = Kx1 ⊕ Kx2 ⊕ Kx3 . Do đó dimK S(1) = 3. Một cách tổng quát S(a) là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc a (đối với 3 biến x1 , x2 và x3 ). (ii) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = (1, 0); deg x3 = (0, 1). Khi đó ta có vành 2- phân bậc hay còn gọi là vành song phân bậc. Ta có S(1,0) = Kx1 ⊕ Kx2 ; S(0,1) = Kx3 ; và S(1,1) = Kx1 x3 ⊕ Kx2 x3 . Do đó dimK S(1,0) = 2; dimK S(0,1) = 1 và dimK S(1,1) = 2. Một cách tổng quát S(a,b) là K-không gian véctơ sinh bởi các đơn thức có bậc đối với x1 , x2 là a và bậc của x3 là b. Do đó S(a,b) = { f (x1 , x2 ).x3b | f (x1 , x2 ) thuần nhất bậc a theo x1 , x2 }. (iii) Xét phân bậc deg x1 = (1, 0, 0); deg x2 = (0, 1, 0); deg x3 = (0, 0, 1). 3
Khi đó S là vành 3-phân bậc và ta có S(1,0,0) = Kx1 ; S(0,1,0) = Kx2 ; S(0,0,1) = Kx3 . Vì thế dimK S(1,0,0) = dimK S(0,1,0) = dimK S(0,0,1) = 1. Tổng quát, S(a,b,c) là không gian véctơ chiều 1 sinh bởi x1a x2b x3c . Đối với vành đa thức S, ngoài cách phân bậc như đã xét ở trên, còn nhiều cách phân bậc khác. Ví dụ như sau: (iv) Xét phân bậc deg x1 = deg x2 = (2, 0); deg x3 = (0, 1). Khi đó S(1,b) = 0 với mọi b và S(2,0) = Kx1 ⊕ Kx2 ; S(4,2) = Kx12 x32 ⊕ Kx1 x2 x32 ⊕ Kx22 x32 . Vì thế dimK S(2,0) = 2; dimK S(4,2) = 3. Tổng quát, S(a,b) xác định như sau: nếu a lẻ thì S(a,b) = 0 với mọi b. Nếu a chẵn thì S(a,b) = { f (x1 , x2 ).x3b | f (x1 , x2 ) thuần nhất bậc a/2 theo x1 , x2 }. Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét phân bậc là thuần nhất như Ví dụ (iii). Phần tiếp theo trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan đến một iđêan nguyên tố liên kết. Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một S-môđun. Một iđêan nguyên tố P của S được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M, nếu tồn tại một phần tử x ∈ M để P = 0 : x = Ann(x). Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssS M, hoặc Ass M nếu như không cần thiết phải nhắc đến S. Như vậy Ass M = {P ∈ Spec S | ∃x ∈ M, P = Ann(x)}. Nhận xét. Phần tử x làm cho 0 : x là một iđêan nguyên tố, thì x 6= 0. Bổ đề 1.1.5. P là một iđêan nguyên tố liên kết của S-môđun M khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu S-môđun từ S/P tới M, hay tồn tại môđun con của M đẳng cấu với S/P. 4
Bổ đề 1.1.6. Nếu N là một môđun con của của S-môđun M thì Ass N ⊆ Ass M. Chú ý. Khi S là vành Noether, I là iđêan của S. Khi đó I có phân tích nguyên sơ I = Q1 ∩ · · · ∩ Qr , với Qi là Pi -nguyên sơ và Ass(S/I) = {P1 , . . . , Pr }. Từ hai bổ đề trên ta chỉ ra sự tồn tại một lọc các môđun con có tính chất đặc biệt. Trước hết ta nhắc lại kết quả đối với môđun hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành Noether S. Khi đó tồn tại một dãy các môđun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M và một họ các iđêan nguyên tố P1 , . . . , Pn sao cho Mi /Mi−1 ∼ = S/Pi với mọi i = 1, 2, . . . , n, đồng thời Ass(M) ⊆ {P1 , P2 , . . . , Pn }. Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy các môđun con như sau: M0 = 0. Lấy x1 ∈ M sao cho Ann(x1 ) = P1 ∈ Ass(M) và chọn M1 = Sx1 ∼ = S/P1 . Nếu M 6= M1 , lấy x2 + M1 ∈ M/M1 sao cho Ann(x2 + M1 ) = P2 ∈ Ass(M/M1 ) và lấy M2 = M1 + Sx2 , ta có M2 /M1 ∼ = S/P2 . Quá trình trên sẽ dừng do M là một môđun Noether, và do đó ta xây dựng được dãy các môđun con của M: 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼ = S/Pi với Pi ∈ Spec S. Ta có với mỗi j = 1, . . . , n Ass(M j ) ⊆ Ass(M j−1 ) ∪ Ass(S/Pj ) = Ass(M j−1 ) ∪ {Pj }. Do đó Ass(M) ⊆ {P1 , P2 , . . . , Pn }. Mệnh đề được chứng minh. Bổ đề 1.1.8. Cho S là vành phân bậc, M là S-môđun phân bậc. Khi đó (i) Với mọi iđêan nguyên tố P, ta có P∗ là iđêan nguyên tố, (ii) Nếu P ∈ Supp(M) thì P∗ ∈ Supp(M), 5
(iii) Nếu P ∈ Ass(M) thì P là phân bậc, hơn nữa P là linh hóa tử của một phần tử thuần nhất. Tương tự ta có kết quả cho môđun phân bậc. Ta có thể đưa ra một cách chứng minh khác như sau: Mệnh đề 1.1.9. Cho M là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậc Noether S. Khi đó tồn tại lọc (0) = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M các môđun con phân bậc thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼ = (S/Pi )(li ) với mỗi i = 1, . . . , n, iđêan thuần nhất Pi của S và li ∈ G. Lọc trên được gọi là lọc nguyên tố của M. Chứng minh. Đặt Σ = {N | N là môđun con của M có lọc nguyên tố}. Gọi N là phần tử tối đại của Σ (N tồn tại vì S là Noether và M là hữu hạn sinh). Giả sử M 6= N. Đặt N 0 = M/N. Vì N 0 6= 0 nên tồn tại Q ∈ AssS N 0 . Do đó N 0 có môđun con phân bậc đẳng cấu với (S/Q)(l), l ∈ G. Gọi M 0 là nghịch ảnh của N trong M. Khi đó N M 0 và M 0 ∈ Σ, vô lý. Vậy M = N có lọc nguyên tố. 1.2. Iđêan đơn thức. Trong mục này ta xét một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến S = K[x1 , . . . , xn ] với hệ số trên trường K là lớp iđêan đơn thức. Ta đặt (a1 , . . . , an ) ∈ Nn và x1a1 . . . xnan là một đơn thức. Định nghĩa 1.2.1. Iđêan I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức. Tức là nếu có tập con A ⊆ Nn (có thể vô hạn) sao cho iđêan I bao gồm tất cả các đa thức có dạng ∑ ha1 ,...,an x1a1 . . . xnan , a1 ,...,an ∈A 6
trong đó ha1 ,...,an ∈ K[x1 , . . . , xn ], (a1 , . . . , an ) ∈ A. Trong trường hợp này ta viết I = (x1a1 . . . xnan ; a1 , . . . , an ∈ A). Ví dụ: I = (xy3 , x3 y2 , x4 y) là iđêan đơn thức. Nhận xét. (i) Tập các đơn thức trong S kí hiệu là Mon(S) và tạo thành một K-cơ sở của S. (ii) Tập các đơn thức thuộc I tạo thành một K-cơ sở của I. Lớp các đơn thức còn lại không thuộc I tạo nên một K-cơ sở của vành S/I. Ta kí hiệu I c ⊂ S là không gian con tuyến tính của S được sinh bởi tất cả các đơn thức không thuộc I. Khi đó S = I ⊕ I c và S/I ∼ = I c là các không gian tuyến tính. Bổ đề 1.2.2. Cho I = (x1a1 . . . xnan ; a1 , . . . , an ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức x1b1 . . . xnbn ∈ I khi và chỉ khi x1b1 . . . xnbn chia hết cho một đơn thức x1a1 . . . xnan với (a1 , . . . , an ) ∈ A nào đó. Chứng minh. Nếu x1b1 . . . xnbn chia hết cho một đơn thức x1a1 . . . xnan với (a1 , . . . , an ) ∈ A thì x1b1 . . . xnbn ∈ I theo định nghĩa của iđêan. Ngược lại nếu x1b1 . . . xnbn ∈ I thì x1b1 . . . xnbn = a (i) a (i) ∑si=1 hi .x11 . . . xnn , trong đó hi ∈ K[x1 , . . . , xn ], (a1 (i), . . . , an (i)) ∈ A. Xem hi như tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy mỗi từ của nó phải a (i) a (i) chia hết cho x11 . . . xnn nào đó. Sau khi giản ước, sẽ còn lại một từ trong số đó và từ a (i) a (i) đó phải bằng x1b1 . . . xnbn . Vậy x1b1 . . . xnbn phải chia hết cho x11 . . . xnn nào đó. Chú ý rằng x1b1 . . . xnbn chia hết cho x1a1 . . . xnan khi x1b1 . . . xnbn = x1a1 . . . xnan .x1c1 . . . xncn với (c1 , . . . , cn ) ∈ Nn kéo theo (b1 , . . . , bn ) = (a1 , . . . , an ) + (c1 , . . . , cn ). Do đó tập (a1 , . . . , an ) + Nn = {(a1 , . . . , an ) + (c1 , . . . , cn ) | (c1 , . . . , cn ) ∈ Nn } bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho x1a1 . . . xnan . Từ chú ý này và Bổ đề 1.2.2 cho ta hình ảnh mô tả các đơn thức trong một iđêan đơn thức cho trước. Chẳng hạn, nếu I = (xy3 , x3 y2 , x4 y), khi đó số mũ của các đơn thức 7
trong I là tập: ((1, 3) + Nn ) ∪ ((3, 2) + Nn ) ∪ ((4, 1) + Nn ). Ta có thể hình dung tập này như hợp các điểm nguyên trong các khối vuông có đỉnh là (1, 3), (3, 2), và (4, 1) trong mặt phẳng như Hình 1.1. Bổ đề 1.2.3. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Các điều kiện sau là tương đương: (i) f ∈ I; (ii) Mọi từ của f thuộc I; (iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I. Chứng minh. Rõ ràng có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Để chứng minh (i) ⇒ (iii) ta có nhận xét như bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho x1a1 . . . xnan ∈ I, với (a1 , . . . , an ) ∈ A nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho x1a1 . . . xnan lại thuộc I. Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử của K, tức f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I. Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của nó. Hệ quả 1.2.4. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức. 8
Bổ đề 1.2.5. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều thuộc I. Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.2.3. Từ giả thiết suy ra tập tất cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I. Do đó điều kiện đủ được chứng minh. Kết quả sau đây chỉ ra với mọi iđêan đơn thức hữu hạn sinh, một trường hợp đặc biệt của Định lý cơ sở Hilber. Kí hiệu x = {x1 , . . . , xn }, a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn và xa = x1a1 . . . xnan là một đơn thức. Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (xa , a ∈ A) bao giờ cũng viết được dưới dạng I = (xa(1) , . . . , xa(s) , trong đó a(1), . . . , a(s) ∈ A). Nói riêng I là hữu hạn sinh. Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo số biến n. Khi n = 1 ta có I = (xa ; a ∈ A ⊆ N). Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất. Khi đó xb chia hết mọi đơn thức xa với a ∈ A. Vậy ta có ngay I = (xb ). Giả sử n > 1 và bổ đề đúng với không quá n − 1 biến. Đặt x0 = {x1 , . . . , xn−1 }. Như vậy mỗi đơn thức trong K[x] đều có thể viết dưới dạng x0α xnq , trong đó α ∈ Nn−1 và q ∈ N. Gọi J là iđêan của vành K[x0 ] sinh bởi các đơn thức x0α sao cho tồn tại xnm để x0α xnm ∈ I. Theo giả thiết quy nạp thì J sinh bởi hữu hạn các đơn thức, tức là J = (x0α(1) , . . . , x0α(s) ). Theo định nghĩa, với mỗi i = 1, . . . , s tồn tại mi ∈ N sao cho x0α(i) xnmi ∈ I. Giả sử m = max{m1 , . . . , ms }. Với mỗi k < m, xét iđêan Jk = (x0β |x0β xnk ∈ I) ⊆ K[x0 ]. Lại theo giả thiết quy nạp ta có Jk = (x0αk (1) , . . . , x0αk (sk ) ), với k = 0, . . . , m − 1. Ta sẽ chứng tỏ I sinh bởi các đơn thức từ J: x0α(1) xnm , . . . , x0α(s) xnm , từ J0 : x0α0 (1) , . . . , x0α0 (s0 ) , từ J1 : x0α1 (1) xn , . . . , x0α1 (s1 ) xn , 9
... từ Jm−1 : x0αm−1 (1) xnm−1 , . . . , x0αm−1 (sm−1 ) xnm−1 . Thật vậy, ta giả sử đơn thức x0α xnq ∈ I. Khi đó có hai trường hợp: Nếu q ≥ m thì theo cách xây dựng J, x0α phải chia hết cho x0α(i) nào đó, và do đó ta có x0α(i) xnm chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu q ≤ m − 1 thì x0α xnq sẽ chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ q + 2 ở trên. Theo Bổ đề 1.2.2 và Hệ quả 1.2.4 thì I được sinh bởi các đơn thức liệt kê ở trên. Như vậy I được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức β (1) β (1) β (r) β (r) x1 , . . . , xn , . . . , x1 , . . . , xn . β ( j) β ( j) γ( j) γ( j) Sử dụng Bổ đề 1.2.2 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức x1 , . . . , xn chia hết cho x1 , . . . , xn γ(1) γ(1) γ(r) γ(r) nào đó với γ( j) ∈ A. Từ đó có ngay kết quả J = (x1 , . . . , xn , . . . , x1 , . . . , xn ). Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.6 suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức. Đặt G(I) = J được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I. Mỗi đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I. Sử dụng Bổ đề 1.2.5 ta có tổng, tích và giao của các iđêan đơn thức cũng là các iđêan đơn thức. Ngoài ra nếu ta có I và J là các iđêan đơn thức, thì G(I + J) ⊆ G(I) ∪ G(J), G(IJ) ⊆ G(I)G(J). Hơn nữa ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.2.7. Cho I, J là hai iđêan đơn thức. Khi đó I ∩ J và I : J là các iđêan đơn thức. Nếu I = (m1 , . . . , mr ) và J = (n1 , . . . , ns ), mi , n j là các đơn thức, thì (i) I ∩ J = (BCNN(mi , n j ) | 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s). (ii) I : n j = (mi / UCLN(mi , n j ) | 1 ≤ i ≤ r). Do đó I : J có thể tính được theo công thức I : J = ∩sj=1 (I : n j ) và (i). Chứng minh. Ta đã biết I : J = ∩sj=1 (I : n j ). Do đó chỉ cần chứng minh I ∩ J là đơn thức, và các công thức tính ở (i) và (ii) đúng. Giả sử f ∈ I ∩ J và m là một từ của f . Vì 10
I, J là các iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 1.2.5 ta có m ∈ I và m ∈ J. Do đó m ∈ I ∩ J. Lại theo Bổ đề 1.2.5, I ∩ J là iđêan đơn thức. Để chứng minh (i), nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức m ∈ I ∩ J. Theo Bổ đề 1.2.2, m chia hết cho mi và n j nào đó. Do đó m chia hết cho BCNN(mi , n j ). Suy ra m ∈ (BCNN(mi , n j )|1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s), và ta có (i). Chứng minh (ii) tương tự với chú ý rằng UCLN(mi , n j ) BCNN(mi , n j ) = mi n j . Ta được điều cần chứng minh. Ví dụ 1.2.8. Cho I = (x12 , x1 x22 , x2 x32 ) và J = (x13 x2 , x2 x3 ) là các iđêan đơn thức trong vành đa thức S = R[x1 , x2 , x3 ] trên trường K. Khi đó I + J = (x12 , x1 x22 , x2 x3 ), I ∩ J = (x13 x2 , x12 x2 x3 , x1 x22 x3 , x2 x32 ), IJ = (x15 x2 , x12 x2 x3 , x14 x23 , x1 x23 x3 , x13 x22 x32 , x22 x33 ), I : J = (x12 , x1 x2 , x3 ). Bổ đề sau tuy đơn giản nhưng hay được sử dụng. Bổ đề 1.2.9. Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và m1 , . . . , mr là các đơn thức. Khi đó (m1 , . . . , mr , mn) = (m1 , . . . , mr , m) ∩ (m1 , . . . , mr , n). Chứng minh. Chỉ cần chứng minh ⊇. Nếu đơn thức u ∈ (m1 , . . . , mr , m)∩(m1 , . . . , mr , n) chia hết cho mi nào đó, i ≤ r, thì u ∈ (m1 , . . . , mr , mn). Trong trường hợp ngược lại, vì u ∈ (m1 , . . . , mr , m), nên theo Bổ đề 1.2.2 phải có m|u. Tương tự n|u. Vì m, n không chứa biến chung nên mn|u. Do đó u ∈ (m1 , . . . , mr , mn). Kết quả này giúp ta tìm được phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức I và từ đó tìm được tập iđêan nguyên tố liên kết của vành S/I. 11
Chương 2 Phân tích Stanley và độ sâu Stanley Cho K là một trường và S = K[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức n biến trên trường K. Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức, và u ∈ S là một đơn thức thỏa mãn u là chính quy trên S/I. Trong chương này, ta tìm hiểu phân tích Stanley của Zn -môđun phân bậc dạng S/I. Sau đó tìm hiểu độ sâu Stanley khi chuyển từ S/I sang S/(I, u) và ngược lại. 2.1. Phân tích Stanley của môđun đa phân bậc Trước tiên ta định nghĩa độ sâu Stanley của một môđun đa phân bậc. Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một trường và S = K[x1 , ..., xn ] là một vành đa thức n biến trên trường K. Cho M là một S-môđun đa phân bậc hữu hạn sinh (Zn -phân bậc). Cho m ∈ M là một phần tử thuần nhất trong M và Z ⊆ {x1 , ..., xn }. Ta kí hiệu mK[Z] là K- không gian con của M sinh bởi tất cả các phần tử mv trong đó v là một đơn thức trong K[Z]. (i) Một K-không gian con đa phân bậc mK[Z] ⊂ M được gọi là không gian Stanley chiều |Z|, nếu mK[Z] là một K[Z]-môđun tự do. (ii) Một phân tích Stanley của M là một biểu diễn của K-không gian vectơ M như một tổng trực tiếp hữu hạn của các không gian Stanley r D :M= M mi K[Zi ]. i=1 Đặt sdepth(D) = min{|Zi | : i = 1, . . . , r}. 12
(iii) Số sdepth(M) := max{sdepth(D) : D là một phân tích Stanley của M} được gọi là độ sâu Stanley của M. Ví dụ 2.1.2. (i) Xét iđêan I = (x12 x2 ) ⊂ S = K[x1 , x2 ]. Hình 2.1 biểu diễn một phân tích Stanley của I và I c . Miền màu xám biểu diễn iđêan I. Một phân tích Stanley của iđêan I là I = x12 x2 K[x1 , x2 ]. Vì S là vành đa thức 2 biến và I ⊂ S là một iđêan chính, do đó sdepth(I) = 2 . Trong Hình 2.1 đường kẻ màu xanh biểu diễn các không gian Stanley chiều 1. Một phân tích Stanley của môđun S/I là I c = K[x1 ] ⊕ x2 K[x2 ] ⊕ x1 x2 K[x2 ]. Điều này kéo theo 1 ≤ sdepth(S/I) ≤ 2. Nếu sdepth(S/I) = 2, thì I ∩ I c 6= {0}, mâu thuẫn. Vậy sdepth(S/I) = 1. Hình 2.1: (ii) Cho iđêan đơn thức I = (x1 x22 , x12 x2 ) của S = K[x1 , x2 ], thì x12 x2 K, x13 x2 K[x1 ], x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ] là các không gian Stanley với số chiều lần lượt là 0, 1, 1 và 2. Trong Hình 2.3, điểm màu đỏ, cam và xanh gồm có các số mũ của các đơn thức lần lượt trong x13 x2 K[x1 ], x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ]. Do đó x12 x2 K chỉ gồm 1 đơn thức là x12 x2 . Số mũ của đơn thức này là một điểm màu tím trong Hình 2.3. Luôn tồn tại ít nhất một phân tích Stanley của I. Ví dụ D1 : I = x12 x2 K ⊕ x13 x2 K[x1 ] ⊕ x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x22 K[x1 , x2 ] 13
D2 : I = x12 x2 K ⊕ x13 x2 K ⊕ x14 x2 K[x1 ] ⊕ x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x22 K[x1 , x2 ], D3 : I = x1 x22 K[x2 ] ⊕ x12 x2 K[x1 , x2 ] là các phân tích Stanley của I. Hình 2.2: Các điểm màu xanh kí hiệu số mũ của các đơn thức thuộc iđêan I = (x1 x22 , x12 x2 ) của S = K[x1 , x2 ]. Hình 2.3: Các điểm màu tím, đỏ, cam và xanh gồm số mũ của các đơn thức lần lượt thuộc x12 x2 K, x13 x2 K[x1 ], x1 x22 K[x2 ] và x12 x22 K[x1 , x2 ]. Hình 2.4: Hình a biểu diễn phân tích Stanley D2 , Hình b biểu diễn D3 . Do đó, ta có sdepth(D1 ) = 0, sdepth(D2 ) = 0, sdepth(D3 ) = 1. Từ sự phân tích D3 ta có 1 ≤ sdepth(I) ≤ 2. Nếu sdepth(I) = 2 thì I là iđêan chính, vô lý. Vậy sdepth(I) = 1. Ta có thể xác định một phân tích Stanley cũng như độ sâu Stanley của I c . Độ sâu 14
Stanley của I c được kí hiệu là sdepth(S/I), thay cho sdepth(I c ). Ta có D : I c = x1 x2 K ⊕ K[x1 ] ⊕ x2 K[x2 ] là một phân tích Stanley của I c . Do đó ta có sdepth(D) = 0. Nhân bất kì đơn thức nào với x1 x2 đều là phần tử của I nên x1 x2 K luôn là không gian Stanley của I c . Từ đó sdepth(S/I) = 0. (iii) Cho I = (x1 x2 , x1 x3 ) là một iđêan đơn thức trong vành đa thức S = K[x1 , x2 , x3 ]. Khi đó một phân tích Stanley của S/I là I c = K[x2 , x3 ]⊕x1 K[x1 ]. Ta có 1 ≤ sdepth(S/I) ≤ 3. Ta được sdepth(S/I) = 1, thật vậy ta có một không gian Stanley x1 K[x1 ] có chiều 1 và vì x1 nhân x2 hoặc x3 thuộc I, nên không gian Stanley này không thể chứa một không gian Stanley có chiều lớn hơn 1. Một phân tích Stanley của I là I = x1 x2 K[x1 , x2 , x3 ] ⊕ x1 x3 K[x1 , x3 ]. Do vậy sdepth(I) = 2. Vì nếu sdepth(I) = 3 thì I là iđêan chính, vô lý. Phần tiếp theo ta trình bày một số tính chất liên quan đến lọc nguyên tố. Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức. Đặt F: I = I0 ⊂ I1 ⊂ · · · ⊂ Ir = S là một Nn -lọc nguyên tố phân bậc của S/I với Ii /Ii−1 ∼ = S/PFi (−ai ) trong đó Fi ⊂ {1, . . . , r} và (PFi ) = (x j : j ∈ Fi ). Theo [1] lọc nguyên tố F này của S/I cảm sinh một phân tích Stanley r M S/I = ui K[ZFic ] i=1 / Fi }, và ui = xai . Soleyman-Jahan [2] đã mở rộng kết của S/I, trong đó ZFic = {x j : j ∈ quả trên cho bất kì S-môđun Zn - phân bậc hữu hạn sinh. Định lý 2.1.3. Cho M là một S-môđun Zn - phân bậc hữu hạn sinh. Nếu (0) = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M là một lọc nguyên tố của M thỏa mãn Mi /Mi−1 ∼ = S/PFi (−ai ), thì r M∼ M = mi K[ZFic ] i=1 15