Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đối đồng điều của đại số Lie toàn phương thấp chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài ngiên cứu một bài toán cụ thể là tính toán đối đồng điều nhưng là cho một lớp đại số Lie khá đặc biệt,lớp các đại số Lie toàn phương. Đây là lớp các đại số Lie được trang bị thêm một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, không suy biến và chúng được coi là lớp đại số Lie tổng quát của các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đối đồng điều của đại số Lie toàn phương thấp chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hà Thị Ngọc Phượng ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. DƯƠNG MINH THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu cầu của đề tài cần nghiên cứu. Học viên Hà Thị Ngọc Phượng
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Dương Minh Thành. Thầy đã luôn quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi nhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lý thuyết số Khóa 27 cũng như bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2019 Hà Thị Ngọc Phượng
BẢNG KÍ HIỆU Trường số phức End V  Không gian các đồng cấu trên không gian vector V gl  n  Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường sl  n  Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường C k  g,V  Không gian các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g  ...  g vào V span X ,Y  Không gian sinh bởi cơ sở  X ,Y  dim  g Số chiều của không gian vector g g* Không gian đối ngẫu của đại số Lie g  Tổng trực tiếp   Tổng trực tiếp trực giao 3  g*  Không gian các 3 - dạng phản xứng trên g*
MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số Lie và đại số Lie toàn phương ........................................................................ 4 1.1 Đại số Lie ..................................................................................................... 4 1.2 Đại số Lie toàn phương .............................................................................. 7 1.3 Đối đồng điều đại số Lie .......................................................................... 12 Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều ........................................... 15 2.1. Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều ................................ 15 2.2. Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều ............................................................................................................ 17 Chương 3. Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie ................................. 24 3.1. Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie ................... 24 3.2. Tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ .................................................... 40 KẾT LUẬN .................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 50
1 MỞ ĐẦU Các không gian vectơ được xét trên trường số phức và hữu hạn chiều. Trong Lý thuyết đại số Lie, bài toán nghiên cứu đối đồng điều của các đại số Lie là một bài toán lý thú nhưng mức độ giải quyết cho đến nay vẫn còn khá hạn chế. Cụ thể, một bài toán đơn giản trong lĩnh vực này là mô tả các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước cũng mới chỉ giải quyết được trên một số ít các họ đại số Lie hoặc chỉ mới dừng lại ở việc mô tả số chiều của các nhóm đối đồng điều trong một số trường hợp đơn lẻ nào đó. Đối với trường hợp đơn giản nhất là các nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ) với 𝔤 là một đại số Lie cho trước và số chiều của các nhóm này hiện vẫn tồn tại nhiều câu hỏi. Một trong những kết quả đầu tiên được nhiều người nhắc đến là công thức số Betti, tức số chiều của nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ), của đại số đại số Lie Heisenberg 2n+1 chiều h2 n1 được L. J. Santharoubane tìm ra năm 1983:  2n   2n  bk       [1]. Gần đây, H. Pouseele [2] đã chứng minh được kết    k k  2  quả sau: giả sử g là một mở rộng của đại số Lie 1 chiều Z bởi đại số Lie Heisenberg h2 n1 bởi dãy khớp 1  h2 n1   g   Z  0 sao cho g tác động tầm thường trên tâm z  W của h2 n1 . Đặt f  g / z . Khi đó:
2 bk (f ), k  0, k  1, b (f )  b (f ), 2  k  n,  k k 2 bk (g)  2bn1 (f )  2bn1 (f ), k  n  1, b (f )  b (f ), n  2  k  2n,  k 1 k 1 bk 1 (f ), k  2n  1, k  2n  2. và đã dùng kết quả này để tìm ra công thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie:  g sinh bởi cơ sở xi , yi , w, z , 1  i  n ,  z, xi   yi ,  xi , yi   w .  g sinh bởi cơ sở xi , w, z , 1  i  2n ,  z, xi   xi1 với 1  i  2n  1,  z, x2n   w ,  xi , x2ni1   (1)i w với 1  i  n . Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến một bài toán cụ thể là tính toán đối đồng điều nhưng là cho một lớp đại số Lie khá đặc biệt, lớp các đại số Lie toàn phương. Đây là lớp các đại số Lie được trang bị thêm một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, không suy biến và chúng được coi là lớp đại số Lie tổng quát của các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing. Lớp các đại số Lie toàn phương được đề cập trong cuốn sách chuyên khảo của V. Kac (1985) [3] và sau đó được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn công trình của Medina, Bordemann, Benayadi]. Một trong những bài toán được đưa là phân loại các đại số Lie toàn phương ở chiều thấp. Công trình đầu tiên phải kể đến là kết quả phân loại trường hợp lũy linh đến 7 chiều của G. Favre và L. J. Santharoubane [4], sau đó là những công trình khác như [5] đối với các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều trên trường số thực, [6] đối với trường hợp lũy linh đến 10 chiều. Điều này dẫn tới câu hỏi: liệu có thể mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương thấp chiều hay không? Và câu hỏi này đưa chúng tôi đến việc thực hiện đề tài luận văn. Một trong lý do chúng tôi quan tâm đến việc tính toán đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương là trong trường hợp 𝔤 là một đại số Lie toàn
3 phương, thì việc tính toán 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số chiều của nó sẽ trở nên đơn giản hơn và có nhiều cách hơn nhờ các kết quả được đưa ra trong [7] “New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology” của tác giả G. Pinczon và R. Ushirobira năm 2007 (J. of Lie Theory). Cụ thể hơn, ta sẽ thu được nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số chiều của nó thông qua hai cách: mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của 𝔤 hoặc tính toán trực tiếp nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) nhờ toán tử đối bờ  bây giờ chỉ đơn giản là   I ,. với I là 3- dạng liên kết với 𝔤 và .,. là tích Super – Poisson được định nghĩa trên không gian Λ(𝔤∗ ) chứa các dạng đa tuyến tính phản xứng trên 𝔤. Việc mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều giúp cung cấp thêm các thông tin về các đại số Lie toàn phương, từ đó giúp hiểu biết thêm về lớp đại số này. Phần nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương đầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ bản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Chương hai chủ yếu dành để khảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và phân loại đại số Lie toàn phương đến 7 chiều dựa trên kết quả của bài báo khoa học [8]. Chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học [9] của tác giả Dương Minh Thành. Trong đó tập trung tính toán về họ đối đồng điều của đại số Lie, mô tả nhóm đối đồng điều 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số chiều của nó bằng hai phương pháp chính. Đối với đại số Lie thông thường ta sẽ mô tả không gian các đạo hàm phản xứng từ đó tính số chiều của 𝐻2 (𝔤, ℂ). Đối với đại số Lie toàn phương cơ bản ta tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ. Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn còn có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.
4 Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số Lie và đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho g là một không gian vector trên trường . Khi đó, g được gọi là một đại số Lie nếu trên g được trang bị một phép toán (gọi là tích Lie hay móc Lie). .,. : g  g  g  X ,Y   X ,Y  thỏa mãn tính chất sau: i. Phép toán .,. là một ánh xạ song tuyến tính; ii. Phép toán .,. là phản xứng, tức là  X , X   0 , với mọi X g ; iii.  X , Y , Z   Y ,  Z , X    Z ,  X , Y   0, X , Y , Z  g . (Đồng nhất thức Jacobi). Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g . Ví dụ: Cho V là một không gian vector trên trường F . Kí hiệu gl V  là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f : V  V . Khi đó gl V  cũng là một không gian vector trên trường F . Ta xác định tích Lie trên gl V  như sau:  x, y  x y  y x với x, y  gl V  trong đó kí hiệu cho tích hai ánh xạ. Định nghĩa 1.1.2 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con A của g được gọi là một đại số Lie con của g nếu  X ,Y   A với mọi X ,Y g . Định nghĩa 1.1.3 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con I của g được gọi là ideal của g nếu  X ,Y   I với mọi X  g,Y  I (tính hút).
5 Ví dụ: Cho đại số Lie g ta kí hiệu  g, g   X ,Y  X ,Y  g thì  g, g là một ideal của g và được gọi là ideal dẫn xuất của đại số Lie g . Định nghĩa 1.1.4 Cho g là một đại số Lie. Một ideal con I của g được gọi là ideal thuộc tâm của 𝔤 nếu  I , g  0 . Kí hiệu Z  g   X  g  X , Y   0, Y  g là một ideal của g và được gọi là ideal tâm của g . Định nghĩa 1.1.5 Cho g là một đại số Lie và a là ideal của g . Khi đó không gian thương g / a là một đại số Lie thương. Trong đó tích Lie trong ideal thương được cho bởi  X  a,Y  a    X ,Y   a với X ,Y g . Định nghĩa 1.1.6 Cho một đại số Lie g trên trường . Ta kí hiệu: g    g, g, g   g  , g   ,..., g   g  , g   . Khi đó đại số Lie g được 1 2 1 1 n n 1 n 1 \ 0 sao cho g   0 . m gọi là giải được nếu tồn tại m Ta kí hiệu Rad  g là ideal giải được lớn nhất của g . Định nghĩa 1.1.7 Cho một đại số Lie g trên trường . Ta kí hiệu: g1   g, g, g2  g, g1  ,..., gn  g, gn1  . Khi đó đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại m \ 0 sao cho gm  0 . Từ đây có thể nhận xét được rằng nếu g là một đại số Lie lũy linh thì hiển nhiên g giải được. Định nghĩa 1.1.8 Cho g1 , g2 là hai đại số Lie trên trường . Khi đó ánh xạ tuyến tính  : g1  g2 được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu nó bảo toàn tích Lie, tức là   X , Y     X  , Y   , X , Y  g1 . Nếu  là đẳng cấu thì ta nói  là đẳng cấu đại số Lie, đồng thời g1 và g2 là hai đại số Lie đẳng cấu. Trong bài toán phân loại các đại số Lie, người ta chú ý đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Cụ thể hơn, người ta không phân biệt
6 hai đại số Lie đẳng cấu với nhau mà coi chúng là một (sai khác nhau bởi một đẳng cấu đại số Lie). Định nghĩa 1.1.9 Một đại số Lie g  0 gọi là nửa đơn nếu nó không có một ideal giải được nào khác 0 (hay Rad  g  0 ). Định nghĩa 1.1.10 Một đại số Lie không giao hoán g là đơn nếu nó không có một ideal nào ngoài 0 và g . Định nghĩa 1.1.11 Cho g là một đại số Lie và V là không gian vector. Kí hiệu End V  là không gian các đồng cấu đi từ V vào V . Khi đó End V  cũng là một đại số Lie với tích Lie [ f , g ]  f g  g f với mọi f , g V . Ta nói  là một biểu diễn của g trong V nếu  là đồng cấu đại số Lie đi từ g vào End V  , tức là:   X , Y      X  ,  Y   , X ,Y  g . Trong trường hợp này, V được gọi là một g  module . Với mỗi số nguyên k  0 , kí hiệu C k  g,V  là không gian các ánh xạ k  tuyến tính phản xứng từ g  g  ...  g vào V nếu k  1 và C 0  g,V   V . Ví dụ: Đối với một đại số Lie g và một X g . Kí hiệu ánh xạ tuyến tính: ad X : g  g Y ad X (Y )   X ,Y  Khi đó biểu diễn phụ hợp (adjoint representation) của g trong g được định nghĩa bởi: ad : g  gl  g  X ad X Để hiểu rõ hơn về biểu diễn phụ hợp của một đại số Lie, ta xét một trường hợp cụ thể g  span X ,Y  với  X ,Y   Y (xem như X tác động vào Y được Y ).
7 Khi đó ánh xạ ad được tính toán như sau: ad X  X    X , X   0 , ad X Y    X ,Y   Y , adY  X   Y , X   Y và adY Y   Y ,Y   0 . 0 0  0 0 Từ đó ta suy ra: ad X     gl  2, , adY     gl  2, . 0 1   1 0 Xét tích Lie:  ad X , adY   ad X adY  adY ad X  0 0  0 0   0 0     0 0   1 0  adY  ad X ,Y   1 0      Thật ra ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát rằng ad X ,Y    ad X , adY , X ,Y g đúng với mọi đại số Lie. Do đó ánh xạ ad thỏa mãn tính chất ad  X , Y    ad  X  , ad Y   của một đồng cấu đại số Lie. Định nghĩa 1.1.12 Cho g là một đại số Lie và g*   X i* : g   là không gian đối ngẫu g . Khi đó, ánh xạ: ad * : g  End  g*  X ad *  X  : g*  g* trong đó ad *  X  f    f ad X  g* với f g* được gọi là biểu diễn đối phụ hợp (coadjoint representation) của g trong g* . 1.2 Đại số Lie toàn phương Định nghĩa 1.2.1 Cho một không gian vector phức g . Một dạng song tuyến tính B : g  , được gọi là: i. Đối xứng nếu B  X ,Y   B Y , X  với mọi X ,Y g . ii. Không suy biến nếu B  X ,Y   0 với mọi Y g thì X  0 . iii. Bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu: B  X , Y  , Z   B  X , Y , Z  , X ,Y , Z  g .
8 Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số Lie toàn phương thường được kí hiệu là  g, B  . Ta có một số ví dụ về đại số Lie toàn phương: Ví dụ 1.2.2 Trong 3 với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là tích vô hướng. Ví dụ 1.2.3 Cho g  span X ,Y  trong đó tích Lie cho bởi  X ,Y   0 . Dạng song tuyến tính đối xứng B cho bởi B  X ,Y   1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Ví dụ 1.2.4 Cho g  span X , P, Q, Z  trong đó tích Lie cho bởi  X , P  P ,  X , Q  Q ,  P, Q  Z , các trường hợp còn lại bằng 0. Khi đó g được gọi là đại số Lie kim cương. Đại số này cũng là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính được cho bởi: B  X , Z   B  P, Q   1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Định nghĩa 1.2.5 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương và V là một không gian vector con của g . Khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của V là V    X  g B  X , Y   0, Y V  . Cho V ,W là các không gian vector con của g . Khi đó ta có các tính chất sau: a) g  0 ; b) Nếu V  W thì V   W  ; V  W   V   W  và V  W   V   W  ;   c) d) V    V và dim V   dim V    dim  g . Một phần tử X g được gọi là tự đẳng hướng nếu B  X , X   0 . Một không gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu
9 B  X ,Y   0 với mọi X ,Y V . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V V . Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau: Mệnh đề 1.2.6 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh xạ  : g  g* ,   X Y   B  X ,Y  với g* là không gian đối ngẫu của g . Khi đó  là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của g tương đương với nhau bởi  . Chứng minh. Giả sử g là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến và không suy biến B . Nhắc lại ở đây các biểu diễn phụ hợp ad và đối phụ hợp ad * được định nghĩa như sau: ad : g  End  g với ad  X Y    X ,Y  ad * : g  End  g*  với ad *  X  f    f ad  X  Cho  : g  g* là ánh xạ được xác định bởi   X   B  X ,. . Do B không suy biến nên  là đẳng cấu. Hơn nữa ta có  ad  X Y   Z  B  X ,Y  , Z    B Y ,  X , Z  , X  g , nghĩa là ad và ad * tương đương. Nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau: Mệnh đề 1.2.7 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương. a) Nếu I là một ideal của g . Khi đó I  cũng là một ideal của g . Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I  I không suy biến thì thu hẹp của B trên I   I  cũng không suy biến,  I , I    0 và I  I   0 , g  I  I  . Z  g Z  g   g, g  b) Nếu là tâm của g thì và dim Z  g  dim g, g  dim g .
10 Chứng minh. a) Nếu I là ideal của g . Lấy A  I  , X  g ta có: B  A, X , Y   B  A,  X ,Y   0 với mọi Y  I (do I là ideal của g ). Do đó:  A, X   I  . Suy ra I  là ideal của g . Giả sử B I I không suy biến. Lấy X  I  thỏa mãn B  X , I    0 thì X  I và B  X , I   0 . Do B I I không suy biến nên X  0 . Suy ra B I  I  không suy biến.     Nếu I , I  là các ideal của g thì B  I , I   , X  B I ,  I  , X   0 với mọi X g và do B không suy biến trên g nên  I , I    0 . Nếu X  I  I  thì B  X , I   0 . Do B không suy biến trên I nên X  0 . Do đó I  I   0 . Ta có: 0  I  I    I    I    I   I  .     Suy ra 0  I  I       I   I hay g  I   I . b) Nếu X  Z  g    X , g  0  B  X , g, g   0 .  B  X , g, g  0  X  g, g .  Nên Z  g   g, g và dim Z  g  dim g, g  dim g .  Nếu thu hẹp của B trên I  I không suy biến thì ta gọi I là một ideal không suy biến của g và g  I  I  . Vì tổng trực tiếp này là tổng trực  tiếp trực giao nên ta dùng kí hiệu sau: g  I  I  . Định nghĩa 1.2.8 Một đại số Lie toàn phương g là bất khả phân nếu g phân  tích thành hai ideal g  g1  g2 thì g1  0 hoặc g2  0 .
11 Định nghĩa 1.2.9 Cho  g, B  và  g ', B ' là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói  g, B  và  g ', B ' đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie A : g  g ' thỏa mãn: B '  A  X  , A Y    B  X ,Y  , X ,Y  g . Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy, A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự. Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương đương nhau. Mệnh đề 1.2.10 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó tồn tại một ideal tâm z và một ideal l  0 sao cho:    i. g  z  l , ở đây z, B zz và l, B ll  là các đại số Lie toàn phương. Hơn nữa, l không giao hoán. ii. Tâm Z l  của l tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z l   l,l  , và dim  Z l    dim l   dim l,l  . 1 2 iii. Cho g ' là một đại số Lie toàn phương và A : g  g ' là một đẳng cấu đại số Lie. Khi đó:  g  z'  l' . ở đây z '  A  z thuộc tâm, l '  A z , Z l ' tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l'  đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì l và l' đẳng cấu đẳng cự. Định nghĩa 1.2.11 Một đại số Lie toàn phương g khác 0 được gọi là một đại số Lie rút gọn nếu nó có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.
12 Theo như Mệnh đề 1.2.7, từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác định trên g , ta dễ dàng chứng minh được g, g  Z  g . Do đó, Z  g  tự đẳng hướng hoàn toàn khi và chỉ khi  Z  g   g, g . 1.3 Đối đồng điều đại số Lie Cho g là một đại số Lie, V là một không gian vector và  : g  End V  là một biểu diễn của g trong V , tức là   X , Y      X  ,  Y   , X ,Y  g . Nói một cách khác,  là một đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số End V  chứa các tự đồng cấu trên V . Trong trường hợp này, V là một g  module . Với mỗi số nguyên k  0 , kí hiệu C k  g,V  là không gian các ánh xạ k  tuyến tính phản xứng từ g  g  ...  g vào V nếu k  1 và C 0  g,V   V . Định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa toán tử đối bờ  k : C k  g,V   C k 1  g,V  như sau:    k  k f  X 0 ,.., X t     1   X i  f X 0 ,.., X i ,..., X k i i 0   k    1 i j f  X i , X j  , X 0 ,..., X i ,..., X j ,..., X k i j với mọi f  C k  g,V  , X 0 ,..., X k  g , ở đây kí hiệu X i để chỉ X i không có trong công thức. Ta có thể kiểm tra được rằng  k  k 1  0 . Thông thường ta kí hiệu    k nếu không quan tâm đến chỉ số. Khi đó  thỏa mãn tính chất  2  0 .
13 Định nghĩa 1.3.2 Ta nói rằng f  C k  g,V  là một k  đối chu trình nếu  f  0 và f là một k  đối bờ nếu có g  C k 1  g,V  sao cho f   g . Kí hiệu Z k  g,V  là tập hợp các k  đối chu trình và B k  g,V  là tập hợp các k  đối bờ, tức là Z k  g,V   Ker k và B k  g,V   Im  k 1 . Công thức  2  0 chứng tỏ B k  g,V   Z k  g,V  và do đó ta có không gian thương Z k  g,V  / B k  g,V  . Không gian thương này được kí hiệu là H k  g,V  và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của g trong V . Mỗi phần tử thuộc H k  g,V  cũng được gọi là một k  đối chu trình. Hiện nay sự hiểu biết về nhóm đối đồng điều của các đại số Lie vẫn chưa nhiều. Bài toán chúng tôi đặt ra ở đây là tìm cách mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie g cho trước hoặc ít nhất tính được chiều của H k  g,V  . Một công thức thường được sử dụng để tính số chiều dim H k  g,V  như sau:  n  dim H k  g,V   dim  Ker k 1   dim  Ker k   m  ,  k  1   n  n  n  1... n  k  2  ở đây n  dim  g , m  dim V  và   .  k  1   k  1 k  2  ...1 Định nghĩa 1.3.3 bk  g   dim H k  g,  được gọi là số Betti thứ k của g . Ví dụ 1.3.4 Với mỗi n , kí hiệu hn là đại số Lie Heisenberg 2n  1 chiều, khi đó, J. Santharoubane đã chứng minh được trong [1] rằng:  2n   2n  bk hn        , với mọi 0  k  n .    k k  2  Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian vector phức V hữu hạn chiều được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng B (ta còn gọi V , B  là một không gian
14 vector toàn phương). Năm 2007, G. Pinczon và R. Ushirobira đã giới thiệu khái niệm tích super-Poisson trên không gian  V *  chứa các dạng song tuyến tính phản xứng trên V như sau: ,  '   1  X      X   ',    k V *  và  '  V *  , n k 1 j j j 1 ở đây  X j  j 1 là một cơ sở trực chuẩn của V . n Với một đại số Lie toàn phương  g, B  ta định nghĩa 3 - dạng liên kết với g xác định bởi: I  X ,Y , Z   B  X ,Y , Z  , X ,Y , Z  g . Khi đó ta có đẳng thức I , I   0 , hơn nữa   I ,  (xem [7]).