Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đường tròn Lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu các tính chất của đường tròn Lucas bằng phương pháp hình học truyền thống và bằng phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối liên quan giữa đường tròn Lucas với các tâm tam giác được xác định trong danh sách của C. Kimberling. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đường tròn Lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN THÁI NGUYÊN 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN 2020
i Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A7; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12A7 đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Nguyễn Thị Tiến Hưng
ii Danh mục các hình 1.1 Hình vuông nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Ba tam giác Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas . . . . . . . . . .6 1.4 Khoảng cách giữa hai tâm Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.5 Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) . . . . . . . . 10 . 1.6 Đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius . . . . . . . . . . 11 . 1.7 O1 là tâm đường tròn A−Apollonius . . . . . . . . . . . . . . 12 . 1.8 4ABC và 4A0 B 0 C 0 trực giao với nhau . . . . . . . . . . . . . 14 . 1.9 4OA OB OC vị tự với 4ABC , trực giao với 4TA TB TC . . . . . 15 . 1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 0 . . . . . . . . . . . 17 . 1.11 Các đường tròn tiếp xúc trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . 1.12 Hình vuông nội tiếp với hai đỉnh trên BC . . . . . . . . . . . . 19 . 1.13 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . . . . 20 . 2.1 Ba điểm X , Y , Z thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . 2.2 Tâm vị tự của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . 2.3 Trục vị tự của ba đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . 2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . 2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge và N . . . . . . . . . . . . . . 30 . 2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . . . . . . . . . 33 . 2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . . . . . . . . . 34 . 2.8 Tam giác Kiepert và tâm phối cảnh Kiepert theo θ . . . . . . . 36 . 2.9 Đường tròn trực giao với các đường tròn bàng tiếp . . . . . . . 40 . 2.10 Hai đường tròn vị tự từ hai hình vuông vị tự . . . . . . . . . . 42 . 2.11 Tam giác Ta Tb Tc vị tự với tam giác ABC . . . . . . . . . . . . 43 . 2.12 Đường tròn đẳng phương của ba đường tròn Lucas . . . . . . . 45 . 3.1 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . . . . 51 .
iii 3.2 Các đường tròn C1a , C1b , C1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . a b c 3.3 Đường tròn đẳng phương của C1 , C1 , C1 . . . . . . . . . . . . . 54 . 3.4 Các đường cô níc sinh từ các hình vuông nội tiếp . . . . . . . . 60 .
iv Mục lục Chương 1. Đường tròn Lucas của tam giác 4 1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2. Đường tròn Lucas và công thức Descartes . . . . . . . . . . . . 16 . Chương 2. Đường tròn Lucas trong tọa độ barycentric 22 2.1. Tọa độ barycentric thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . 2.1.1. Các định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . 2.1.2. Công thức Conway và tâm phối cảnh Kiepert . . . . . . 34 . 2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . 41 . 2.2.1. Đường tròn đẳng phương Lucas . . . . . . . . . . . . . . 44 . 2.2.2. Họ đường tròn đồng trục Schoute . . . . . . . . . . . . . 47 . Chương 3. Một số vấn đề liên quan 50 3.1. Đường tròn Lucas và đường tròn Soddy . . . . . . . . . . . . . 50 . 3.1.1. Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . 50 . 3.1.2. Điều kiện tồn tại các đường tròn Soddy . . . . . . . . . 51 . 3.2. Ba họ vô hạn các đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . 3.2.1. Các tâm vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . 3.2.2. Hai đường cô níc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . Tài liệu tham khảo 64
1 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang 1 A−Lucas, Ca Đường tròn Lucas đi qua A 6 2 B−Lucas, Cb Đường tròn Lucas đi qua B 6 3 C−Lucas, Cc Đường tròn Lucas đi qua C 6 4 (OA , RA ) Đường tròn Lucas tâm OA , bán kính RA 6 5 A−Apollonius Đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A 11 6 Ta Tb Tc Tam giác tiếp xúc 13 R−RA 7 CA (RA ) Đường tròn tâm R .A. bán kính RA 16 8 Ge Điểm Gergonne 29 9 N Điểm Nagel 29 10 L, LA , LB , LC Điểm đối trung và điểm đối trung mở rộng 32 11 σ Ký hiệu Conway, σ = 2SABC 33 12 σθ Ký hiệu Conway, σθ = σ. cot θ 33 1 1 1 13 K(θ) Tâm Kiepert : : 35 σA + σθ σB + σθ σC + σθ 14 X(...) Tâm tam giác, [4] 35 15 OL Trục Brocard 40 16 Ca , Cb , Cc Các đường tròn Lucas 40 17 Cna , Cnb , Cnc Ba họ đường tròn tiếp xúc 53
2 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn Đề tài “Đường tròn Lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan” bao gồm cách xác định ba đường tròn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas, đường tròn đẳng phương Lucas và mối liên hệ giữa đường tròn Lucas và các tâm tam giác. Các khái niệm này gắn liền với tên tuổi của Edouard Lucas (1842-1891), nhà toán học người Pháp, người phát hiện ra những tính chất thú vị của dãy số Lucas, một dãy sinh đôi với dãy số Fibonacci. Mục đích của đề tài là: - Nghiên cứu các tính chất của đường tròn Lucas bằng phương pháp hình học truyền thống và bằng phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối liên quan giữa đường tròn Lucas với các tâm tam giác được xác định trong danh sách của C. Kimberling, [4]. - Trình bày các tính chất liên quan giữa đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius, đường tròn Soddy. - Dùng phương pháp tọa độ tìm ra các cặp tam giác phối cảnh, tam giác vị tự. Các tâm phối cảnh, tâm vị tự tìm được chính là các tâm tam giác có trong [4] và những điểm chưa có trong danh sách này. 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Dựa vào các tài liệu chính [1], [2] và [3] luận văn trình bày các tính chất của đường tròn Lucas trong tam giác và mối quan hệ với các đường tròn khác, các điểm đặc biệt khác trong tam giác; một số ứng dụng quan
3 trọng của các kết quả tìm được như đường tròn đẳng phương Lucas, công thức Descartes, họ đường tròn đồng trục Schoute,... Nội dung luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1. Đường tròn Lucas của tam giác Xuất phát từ ba hình vuông nội tiếp tam giác xây dựng ba đường tròn Lucas của tam giác. Bằng phương pháp hình học truyền thống giới thiệu các tính chất của các đường tròn Lucas thông qua các hệ thức hình học. Chương này bao gồm (nội dung tham khảo trong [2], [5]): 1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất. 1.2. Đường tròn Lucas và công thức Descartes. Chương 2. Đường tròn Lucas trong tọa độ barycentric Các tính toán ở đây chủ yếu sử dụng các kết quả của tọa độ barycen- tric. Từ phương trình các đường tròn tìm được các cặp tam giác phối cảnh và tam giác vị tự, từ đó có mối liên hệ giữa đường tròn Lucas và các tâm tam giác (tổng hợp các mệnh đề trong [3]). Chương này bao gồm các mục: 2.1. Tọa độ barycentric thuần nhất. 2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác. Chương 3. Một số vấn đề liên quan Bằng cách tính tương tự có thể rút ra điều kiện tồn tại đường tròn Soddy của tam giác. Giới thiệu ba họ đường tròn như là một ứng dụng của kết quả vào việc xây dựng chuỗi các đường tròn, từ đó thu được một loạt các cặp tam giác phối cảnh và vị tự. Nội dung của chương bao gồm: 3.1. Đường tròn Lucas và đường tròn Soddy. 3.2. Ba họ vô hạn các đường tròn.
4 Chương 1 Đường tròn Lucas của tam giác 1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất Ta bắt đầu bằng khái niệm quen thuộc: hình vuông X1 X2 X3 X4 nội tiếp ∆ABC . Vì hình vuông có 4 đỉnh còn tam giác chỉ có 3 cạnh nên một cạnh nào đó của tam giác phải chứa 2 đỉnh hình vuông. Dựng hình vuông nội tiếp tam giác như thế nào là bài toán đã biết ở phổ thông (Hình 1.1). Dựng hình vuông Hình 1.1: Hình vuông nội tiếp tam giác bất kỳ DEF G như trên Hình 1.1a. Nếu đường thẳng LM qua G, song song với AC thì ∆LBM với hình vuông DEF G nội tiếp trong nó hoàn toàn thỏa mãn điều kiện đặt ra nhưng kích thước nhỏ hơn. Nhắc lại rằng các góc tương ứng của hai hình đồng dạng thì bằng nhau, kéo theo BG chia góc B b thành 2 phần x, y như BS chia góc ABC [ . Kéo dài BG gặp AC ở X3 , sau đó ta dựng được hình
5 vuông X1 X2 X3 X4 nội tiếp tam giác, có 2 đỉnh trên BC , Hình 1.1b. Tương tự sẽ có hình vuông nội tiếp Y1 Y2 Y3 Y4 , Z1 Z2 Z3 Z4 , hai đỉnh lần lượt trên CA và AB . Có thể dựng các hình vuông nội tiếp đơn giản hơn bằng cách dựng 3 hình vuông cạnh tam giác, ra phía ngoài tam giác, Hình 1.2. Ta biết rằng mỗi hình Hình 1.2: Ba tam giác Lucas vuông trong 3 hình vuông trên phải có một cạnh nằm trên cạnh (hoặc phần kéo dài) của tam giác. Định nghĩa 1.1. Cho ∆ABC , ta gọi tam giác có một đỉnh là đỉnh tam giác ABC , hai đỉnh kia là hai đỉnh hình vuông nội tiếp thuộc 2 cạnh bên, là tam giác Lucas. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Lucas được gọi là đường tròn Lucas.
6 Mỗi tam giác ABC cho trước có 3 tam giác Lucas và tương ứng có ba đường tròn Lucas. Đường tròn Lucas đi qua A ký hiệu là (OA , RA ), còn gọi là đường tròn A−Lucas. Tương tự như vậy với ký hiệu (OB , RB ), (OC , RC ) và cách gọi các đường tròn B−Lucas và C−Lucas. Các điểm OA , OB , OC gọi là các tâm Lucas, RA , RB , RC được gọi là các bán kính Lucas. Tam giác OA OB OC được gọi là tam giác tâm Lucas. Ta có các hệ thức liên quan đến các bán kính đường tròn Lucas. Hình 1.3: Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas Mệnh đề 1.1. Khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến tâm Lucas OOA = R − RA ; OOB = R − RB ; OOC = R − RC . (1.1) Chứng minh. Xét đường tròn Lucas đi qua A (Hình 1.1b). Vì X4 X3 k BC nên 4AX4 X3 v 4ABC và do đó bán kính OA của đường tròn (ABC) chia góc BAC [
7 thành hai phần u, v hoàn toàn giống như bán kính OA A chia góc X\ [. 4 AX3 = BAC Điều đó kéo theo A, OA , O thẳng hàng và từ đó OOA = R − RA . Tương tự ta có hai đẳng thức còn lại. Mệnh đề 1.2. Bán kính các đường tròn Lucas bcR acR abR RA = ; RB = ; RC = . (1.2) bc + 2aR ac + 2bR ab + 2cR Chứng minh. Xét đường tròn Lucas đi qua A. Giả sử hình vuông nội tiếp X1 X2 X3 X4 có cạnh là x, Hình 1.5. Từ các tam giác ABC và AX4 X3 ta có a x R= và RA = . Gọi AY , AZ là các đường cao hạ từ A của 4AX4 X3 2 sin A 2 sin A và 4ABC . Khi đó Y Z = x và AZ = b sin C (do 4AZC vuông tại Z ). Tỉ số hai đường cao bằng AY AZ − x x = =1− . AZ AZ b sin C AY X4 X3 x Vì 4AY Z và 4AZC đồng dạng nên = = (do 4AX4 X3 v 4ABC ). AZ X4 C a x x Từ đó, = 1 − và thay x bởi 2RA sin A ta thu được a b sin C 2RA sin A 2RA sin A =1− . a b sin C sin A a Theo Định lý sin : = , đẳng thức trên tương đương với sin C c 2RA sin A 2RA a + = 1. a bc Nhân cả hai vế với abc, rút gọn thì được: abc RA = . 2bc sin A + 2a2 a Bây giờ từ R = ta có: 2 sin A abc abc R= và 2bc sin A = . 2bc sin A R Do đó, abc abc bcR RA = 2 = = . 2bc sin A + 2a abc 2 bc + 2aR + 2a R
8 Tương tự, acR abR RB = ; RC = . ac + 2bR ab + 2cR Hệ thức (1.2) và các hệ thức tương tự đã được chứng minh bởi Eduard Lucas (1842 − 1891) vào năm 1879 và chúng tiếp tục là “giấy khai sinh” của các đường tròn Lucas. Hệ quả 1.1. Ta có đồng nhất thức 1 1 1 3 2 a2 + b 2 + c 2 + + = + . RA RB RC R abc Chứng minh. Từ (1.2) ta suy ra 1 1 1 bc + 2aR ac + 2bR ab + 2cR + + = + + RA RB RC bcR acR abR 3 2a 2b 2c = + + + R bc ca ab 3 2a2 2b2 2c2 = + + + R bca cab abc 3 2 a2 + b 2 + c 2 = + . R abc Đồng nhất thức được chứng minh. Mệnh đề 1.3. Biểu diễn khác của các công thức (1.1) 2aRRA 2bRRB 2cRRC OOA = ; OOB = ; OOC = . (1.3) bc ac ab Chứng minh. Từ hai tính chất trên ta có 2aR2 bcR bc OOA = R − =R 1− = . bc + 2aR bc + 2aR bc + 2aR bcR bcR Từ (1.2), RA = kéo theo bc + 2aR = , và vì vậy: bc + 2aR RA 2aR2 2aR2 2aRRA OOA = R − RA = = = . bc + 2aR bcR bc RA 2bRRB 2cRRC Tương tự, OOB = ; OOC = . ac ab
9 Hình 1.4: Khoảng cách giữa hai tâm Lucas Mệnh đề 1.4. Khoảng cách giữa hai tâm Lucas OA OB = RA + RB ; OB OC = RB + RC ; OC OA = RC + RA . (1.4) Chứng minh. Khoảng cách này được tính dựa vào Định lý sin và lưu ý rằng A OOB = 2C . Ta có O\ b |OA OB |2 = (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) cos 2C = (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) 1 − 2 sin2 C = (RA − RB )2 + 4(R − RA )(R − RB ) sin2 C 4R2 sin2 C = (RA − RB )2 + 4RA RB · c2 c = (RA − RB )2 + 4RA RB (vì R = ) sin C = (RA + RB )2 . Kéo theo OA OB = RA + RB . Tương tự với hai đẳng thức còn lại. Ta suy ra các tính chất:
10 Tính chất 1.1. Ba đường tròn Lucas tiếp xúc với đường tròn (ABC) tại các đỉnh A, B , C và đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Hình 1.5: Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) Chứng minh. Theo chứng minh Mệnh đề 1.1, ba điểm A, O, OA thẳng hàng nên (OA , RA ) tiếp xúc trong với (O, R) tại A. Ba đường tròn Lucas đôi một tiếp xúc ngoài nhau do (1.4). Từ đó ta thu được kết quả sau: Ba đường tròn Lucas của tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo thành bộ 4 đường tròn mà mỗi đường tròn tiếp xúc với cả ba đường tròn kia. Định nghĩa 1.2. Đường tròn quỹ tích những điểm mà tỷ số các khoảng cách từ đó đến hai điểm cố định là một hằng số k được gọi là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng đó ứng với tỷ số k , người ta còn gọi đây là đường tròn Apollonius kiểu 1 của đoạn thẳng. Chú ý rằng khi k = 1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung trực của đoạn thẳng.
11 Hình 1.6: Đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius Từ định nghĩa và tính chất đường tròn Apollonius của đoạn thẳng chúng ta có thể xác định ba đường tròn Apollonius của một tam giác: Đường tròn Apollonius của 4ABC ứng với đỉnh A là đường tròn đi qua A và hai chân đường phân giác trong và ngoài của Ab. Như vậy trong một tam giác, có ba đường tròn Apollonius kiểu 1 ứng với ba đỉnh của tam giác. Ta gọi các đường tròn này là A−Apollonius, B−Apollonius và C−Apollonius, tương ứng. Sau đây là một số tính chất liên quan giữa đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius của tam giác tùy ý cho trước. Tính chất 1.2. Giả sử (OA , RA ), (OB , RB ), (OC , RC ) là ba đường tròn Lucas của 4ABC . Khi đó O1 = OB OC ∩ BC , O2 = OC OA ∩ CA, O3 = OA OB ∩ AB lần lượt là tâm đường tròn A, B , C−Apollonius của 4ABC . Chứng minh. Áp dụng Định lý Menelaus vào tam giác OBC : O1 B OC C OB O · · = 1. O1 C OC O OB B O1 B RC R − RB Do đó · · = 1. O1 C R − RC RB
12 Hình 1.7: O1 là tâm đường tròn A−Apollonius acR abR Theo hệ thức (1.2), RB = ; RC = ta có ac + 2bR ab + 2cR O1 B RB (R − RC ) 2ac2 R3 c2 = = = 2. O1 C RC (R − RB ) 2ab2 R3 b Đẳng thức này chứng tỏ O1 là chân của đường đối trung ngoài đi qua A của 4ABC , nghĩa là O1 là tâm của đường tròn A−Apollonius. Tương tự như vậy cho các điểm O2 , O3 . Tính chất 1.3. Ký hiệu N1 là tiếp điểm của B−Lucas và C−Lucas. Khi đó, N1 thuộc đường tròn A−Apollonius. Tương tự đối với N2 , N3 . Chứng minh. Tâm đẳng phương của ba đường tròn B−Lucas, C−Lucas và (ABC) là điểm TA giao của hai tiếp tuyến tại B , C của (ABC), Hình 1.7. Ta suy ra BTA = CTA = N1 TA nên N1 thuộc đường tròn CA có tâm là TA , trực giao với (ABC) tại B và C . Mặt khác trục đẳng phương của hai đường tròn B−Lucas và C−Lucas là đường thẳng TA N1 và OA N1 tiếp xúc với CA tại N1 . Xét phương tích của OA đối với CA , ta có OA N12 = OA B · OA C.
13 Cũng như vậy, OA A2 = OA B · OA C . Ta suy ra OA A = OA N1 , nghĩa là N1 thuộc đường tròn A−Apollonius. Chú ý. Ta có ngay kết quả: N1 là tâm đẳng phương của ba đường tròn A−Apollonius, B−Lucas, C−Lucas. Tương tự cho N2 , N3 . Tính chất 1.4. Hai đường tròn A−Lucas và A−Apollonius trực giao. Chứng minh. Thật vậy, bán kính của đường tròn A−Apollonius luôn vuông góc với bán kính đường tròn ngoại tiếp (ABC) là OA nên bán kính A−Apollonius luôn vuông góc với bán kính đường tròn A−Lucas. Do đó, hai đường tròn A−Lucas và A−Apollonius trực giao. Tương tự ta có đường tròn B−Lucas trực giao với đường tròn B−Apollonius và đường tròn C−Lucas trực giao với đường tròn C−Apollonius. Nhắc lại rằng tam giác TA TB TC xác định bởi các tiếp tuyến tại A, B , C của đường tròn (ABC) là tam giác tiếp xúc của 4ABC . Ta có khái niệm hai tam giác trực giao như sau: Định nghĩa 1.3. Ta gọi 4ABC và 4A0 B 0 C 0 là hai tam giác trực giao với nhau nếu các đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B 0 C 0 , C 0 A0 , A0 B 0 đồng quy tại một điểm. Mệnh đề 1.5. Cho hai tam giác 4ABC và 4A0 B 0 C 0 . Khi đó các đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B 0 C 0 , C 0 A0 , A0 B 0 đồng quy khi và chỉ khi các đường thẳng vuông góc kẻ từ A0 , B 0 , C 0 tương ứng tới BC , CA, AB đồng quy. Chứng minh. Gọi AA1 ⊥ B 0 C 0 , BB1 ⊥ C 0 A0 , CC1 ⊥ A0 B 0 , A0 A01 ⊥ BC , B 0 B10 ⊥ CA, C 0 C10 ⊥ AB . Theo Định lý Carnot (phát biểu trong [2]), các đường AA1 , BB1 ,
14 Hình 1.8: 4ABC và 4A0 B 0 C 0 trực giao với nhau CC1 đồng quy tại P khi và chỉ khi (AB 02 − AC 02 ) + (BC 02 − BA02 ) + (C 0 B 2 − CB 02 ) = 0 ⇔ (B 0 A2 − B 0 C 2 ) + (A0 C 2 − A0 B 2 ) + (C 0 B 2 − C 0 A2 ) = 0, khi và chỉ khi các đường thẳng A0 A01 , B 0 B1 , C 0 C10 đồng quy, Hình 1.8 Ta gọi P là tâm trực giao của 4A0 B 0 C 0 ứng với bộ ba điểm A, B , C ; Q là tâm trực giao của 4ABC ứng với bộ ba điểm A0 , B 0 , C 0 . Trong Hình học, một hệ thống trực giao là một tập hợp bốn điểm trong mặt phẳng mà mỗi điểm trong chúng là trực tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại. Nếu bốn điểm A, B , C , D lập thành một hệ thống trực giao thì bốn tam giác ABC , BCD, CDA, DAB có cùng đường tròn chín điểm (đường tròn này cũng được coi là đường tròn chín điểm của hệ thống trực giao). Hệ quả là các đường