Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đường tròn soddy và các vấn đề liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn trình bày khái niệm, cách xác định đường tròn Soddy, tính được các bán kính, tìm được cách tính chất mới của đường tròn Soddy nội và Soddy ngoại. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đường tròn soddy và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGÔ TRỌNG THÀNH ĐƯỜNG TRÒN SODDY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019
i Möc löc Danh möc h¼nh iii Líi c£m ìn iv Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc bê sung 3 1.1 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c . . . . . 6 1.2 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric . . . . . . . 11 2 C¡c ÷íng trán Soddy 20 2.1 ành ngh¾a v c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . 20 2.2 B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy nëi . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy ngo¤i . . . . . . . . . . 24 2.3 ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric . . . . . . . . . 25 2.3.1 C¡c iºm Soddy v ÷íng th¯ng Soddy . . . . . . . 25 2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . . . 28 2.4 Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy . . . . 29 3 Mët sè v§n · li¶n quan 35 3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ii 3.1.1 Mët sè h» thùc h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Tam gi¡c kiºu Soddy v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . 39 3.1.3 Tam gi¡c kiºu Soddy c¤nh nguy¶n . . . . . . . . . . 43 3.1.4 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh . . . . . . 45 3.2 C¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 2 . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 4 . . . . . . . . . . . . 48 3.3 C¡c tam gi¡c lîp ~ = tb + tc . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 1 . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 2 . . . . . . . . . . . . 54 K¸t luªn 57 T i li»u tham kh£o 58
iii Danh möc h¼nh 1.1 nh nghàch £o cõa iºm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 a) nh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) nh ÷íng trán câ t¥m l cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 nh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o . . . . . . . 5 2 R · AB 1.4 Kho£ng c¡ch A0 B 0 = . . . . . . . . . . . . . . . . 7 OA.OB 1.5 T½nh ch§t b£o gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 V½ dö v· cæng thùc Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 ÷íng trán Soddy nëi v ÷íng trán Soddy ngo¤i . . . . . 21 2.2 C¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Tåa ë barycentric cõa c¡c iºm Soddy v ÷íng th¯ng Soddy 26 2.4 T¥m Soddy nëi, ngo¤i v iºm Eppstein E = X481 . . . . . 30 2.5 C¡c ÷íng th¯ng Euler v Gergonne . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy vuæng t¤i Fl = `G ∩ `S . . 32 2.7 Mët sè iºm tr¶n c¤nh tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy . . 33 3.1 AD-cevian ti¸p tuy¸n ¿nh A . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 C¡c t½nh ch§t cõa cevian ti¸p tuy¸n ¿nh A . . . . . . . . . 37 3.3 C¡c h» thùc li¶n quan ¸n θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 P Q ⊥ AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Tam gi¡c kiºu Soddy ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 ÷íng th¯ng Gergonne song song vîi AD . . . . . . . . . . 42 3.7 Quÿ t½ch iºm C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh . . . . . . . . . . 46 3.9 Tam gi¡c Heron lîp ~=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.10 Tam gi¡c Heron lîp ~=2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iv Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng 12 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Ngæ Trång Th nh
1 Mð ¦u 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n C¡c ÷íng trán Soddy cõa tam gi¡c ABC câ nhúng t½nh ch§t °c bi»t, b i to¡n düng c¡c ÷íng trán Soddy l tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n Apolilonius. Cha ´ cõa ÷íng trán Soddy, iºm Soddy, ÷íng th¯ng Soddy, tam gi¡c Soddy,.. l Frederick Soddy, ng÷íi ¢ d nh ÷ñc gi£i th÷ðng Nobel v· Hâa håc. Ph¡t triºn c¡c kh¡i ni»m n y trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u t¡c gi£ (N. Dergiades n«m 2007, M. Jackson n«m 2013, M. Jackson v Takhaev n«m 2015, 2016 ) ¢ cæng bè c¡c ph¡t hi»n h¼nh håc s¥u sc sinh ra tø ÷íng trán Soddy. B i to¡n °t ra l l m th¸ n o düng ÷ñc c¡c ÷íng trán Soddy, x¡c ành c¡c b¡n k½nh cõa chóng theo c¡c y¸u tè cõa tam gi¡c cho tr÷îc? c¡c ÷íng trán Soddy, c¡c ÷íng th¯ng Soddy câ li¶n quan g¼ vîi c¡c ÷íng trán v ÷íng th¯ng ¢ bi¸t kh¡c? Tr¼nh b y c¡ch gi£i quy¸t c¡c b i to¡n tr¶n l lþ do º tæi chån · t i "÷íng trán Soddy v c¡c v§n · li¶n quan". Möc ½ch cõa · t i l : - Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, c¡ch x¡c ành ÷íng trán Soddy, t½nh ÷ñc c¡c b¡n k½nh, t¼m ÷ñc c¡c t½nh ch§t mîi cõa ÷íng trán Soddy nëi v ÷íng trán Soddy ngo¤i. Tø â ÷a ra c¡ch düng v ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán, ÷íng th¯ng Soddy trong tåa ë barycentric. - X¡c ành mèi quan h» cõa tam gi¡c Soddy vîi c¡c iºm v ÷íng th¯ng °c bi»t kh¡c. - Ph¥n lo¤i ÷ñc c¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc v lîp ~ = tb + tc , kh£o s¡t c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa 2 lîp â.
2 2. Nëi dung · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Nëi dung luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc bê sung Nhc l¤i v bê sung hai chõ · cì b£n ÷ñc sû döng l m cæng cö gi£i quy¸t b i to¡n °t ra: Ph²p nghàch £o v tåa ë barycentric, ch÷ìng n y gçm c¡c möc: 1.1. Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng 1.2. Tåa ë barycentric thu¦n nh§t Ch÷ìng 2. C¡c ÷íng trán Soddy Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n sü x¡c ành c¡c ÷íng trán Soddy còng c¡c bë phªn cõa nâ b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc sì c§p v ph÷ìng ph¡p tåa ë. ¥y l mët trong nhúng trång t¥m cõa luªn v«n. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau (têng hñp, bê sung tø c¡c b i b¡o [1], [3], [7]): 2.1. ành ngh¾a v c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy 2.2. B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy 2.3. ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric 2.4. Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy Ch÷ìng 3. Mët sè v§n · li¶n quan Ch÷ìng 3 x²t c¡c v§n · li¶n quan ¸n ÷íng trán Soddy, tam gi¡c Soddy, thüc ch§t l c¡c tr÷íng hñp ri¶ng quan trång li¶n quan ¸n c¡c kh¡i ni»m kh¡c trong h¼nh håc, ch¯ng h¤n tam gi¡c Heron. Ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o v têng hñp theo c¡c b i b¡o [4], [5]. Nëi dung gçm: 3.1. Tam gi¡c kiºu Soddy 3.2. C¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc 3.3. C¡c tam gi¡c lîp ~ = tb + tc .
3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc bê sung Ta nhc l¤i v bê sung hai nëi dung c¦n cho c¡c ch÷ìng sau: Thù nh§t, iºm qua v· ph²p nghàch £o ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong Gi¡o tr¼nh h¼nh håc sì c§p; Thù hai, bê sung th¶m tåa ë barycentric (d¤ng h¼nh håc gi£i t½ch), ph¡t triºn tø kh¡i ni»m t¥m t cü quen thuëc. 1.1 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng Ta nhc l¤i mët sè ành ngh¾a, t½nh ch§t quan trång cõa ph²p nghàch £o qua ÷íng trán hay cán gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng trán tr¶n m°t ph¯ng Euclide. C¡c chùng minh chi ti¸t câ thº t¼m th§y trong c¡c gi¡o tr¼nh H¼nh håc sì c§p hi»n h nh. 1.1.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t ành ngh¾a 1.1. Tr¶n m°t ph¯ng cho ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R. Ph²p nghàch £o cüc O, ph÷ìng t½ch k = R2 l ph²p bi¸n êi tr¶n m°t ph¯ng, bi¸n P 7→ P 0 sao cho n¸u P 6= O th¼ OP.OP 0 = R2 ; n¸u P ≡ O th¼ P 0 ←→ ∞. Ta kþ hi»u ph²p nghàch £o â l fRO2 , ÷íng trán (O, R) ÷ñc gåi l ÷íng trán nghàch £o. Ph²p nghàch £o n y công gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng trán. 2 D¹ th§y ph²p nghàch £o câ t½nh ch§t èi hñp, tùc l fRO2 = Id. Tø
4 H¼nh 1.1: nh nghàch £o cõa iºm ành ngh¾a ta suy ra c¡c t½nh ch§t sau cõa ph²p nghàch £o: H¼nh 1.2: a) nh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) nh ÷íng trán câ t¥m l cüc a) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , ÷íng trán nghàch £o (O, R) bi¸n th nh ch½nh nâ, nâi c¡ch kh¡c, ÷íng trán nghàch £o l h¼nh k²p tuy»t èi (t÷ìng tü tröc èi xùng trong ph²p èi xùng). Måi iºm ð trong (O, R) bi¸n th nh iºm ð ngo i v ng÷ñc l¤i.
5 H¼nh 1.3: nh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o b) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , måi ÷íng th¯ng i qua O bi¸n th nh ch½nh nâ (h¼nh k²p t÷ìng èi). c) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , måi ÷íng th¯ng khæng i qua O bi¸n th nh ÷íng trán i qua O. d) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , måi ÷íng trán i qua O bi¸n th nh ÷íng th¯ng khæng i qua O. e) Qua ph²p nghàch £o fRO2 , måi ÷íng trán khæng i qua O bi¸n th nh ÷íng trán khæng i qua O; måi ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh r bi¸n 2 th nh ÷íng trán çng t¥m O , b¡n k½nh R /r . f) ÷íng trán (I, r) bi¸n th nh ch½nh nâ qua ph²p nghàch £o f cüc O, ph÷ìng t½ch p, vîi p = PO/(I,r) . Chùng minh. a), b) hiºn nhi¶n. c) H¤ OH ⊥ ∆, gåi H 0 l £nh nghàch £o cõa H th¼ H 0 cè ành. Vîi måi M ∈ ∆, M 0 l £nh cõa M th¼ OM.OM 0 = OH.OH 0 n¶n 4 iºm H , H 0 , M , M 0 thuëc mët ÷íng trán. Ta l¤i câ M \ HH 0 = 90◦ , suy ra M\ M 0 H 0 = 90◦ , 0 0 0 tùc l M thuëc ÷íng trán ÷íng k½nh OH . £o l¤i, vîi måi N tr¶n
6 ÷íng trán ÷íng k½nh OH 0 . V¼ ∆ ⊥ OH 0 ON 0 luæn ct ∆ t¤i mët n¶n 0 0 0 iºm N (n¸u N ≡ O th¼ ta l§y iºm væ tªn tr¶n ∆). Tù gi¡c N HH N ◦ 0 0 2 nëi ti¸p v¼ câ 2 gâc èi di»n b¬ng 90 . Suy ra ON.ON = OH.OH = R 0 0 theo c¡ch x¡c ành H, H . nh cõa måi M ∈ ∆ l M ∈ δ -÷íng trán 0 ÷íng k½nh OH . Vªy £nh cõa ÷íng th¯ng ∆ khæng qua O l ÷íng trán δ i qua O. d) Do t½nh èi hñp ta câ ngay £nh cõa ÷íng trán i qua O l ÷íng th¯ng khæng i qua O , h¼nh 1.2a). e) Tø c¡ch düng £nh nghàch £o cõa mët iºm ta suy ra ngay måi ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh r bi¸n th nh ÷íng trán çng t¥m O, h¼nh 1.2 b). Gåi C l ÷íng trán t¥m C khæng qua cüc nghàch £o O. Gåi p l ph÷ìng t½ch cõa cüc O èi vîi C, ta câ ngay ph²p nghàch £o cüc O, ph÷ìng t½ch p s³ bi¸n C th nh ch½nh C (h¼nh k²p t÷ìng èi). V¼ t½ch hai ph²p nghàch £o còng cüc O l ph²p và tü t¥m O, t sè và tü b¬ng R2 /p n¶n ta câ (Kþ hi»u ph²p và tü t¥m O l H O ): fRO2 (C) = fRO2 ◦ fpO (C) = HhO (C), vîi h = R2 /p. Ta ¢ bi¸t HhO (C) l ÷íng trán C0 (d¹ th§y C0 khæng i qua O). f) Hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a cõa ph÷ìng t½ch. 1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c Ta i t¼m kho£ng c¡ch giúa hai £nh nghàch £o cõa hai iºm cho tr÷îc: M»nh · 1.1. N¸u (O, R) l ÷íng trán nghàch £o, A0, B0 l £nh nghàch £o cõa A, B th¼ 0R2 AB 0 AB = (1.1) OA.OB Chùng minh. Ta câ ∆OAB ∼ ∆OB 0 A0 n¶n A0 B 0 OA0 OA · OA0 R2 0 0 R2 · AB = = = =⇒ A B = . AB OB OA · OB OA · OB OA.OB Minh håa tr¶n h¼nh 1.4.
7 2 · AB H¼nh 1.4: Kho£ng c¡ch A0B 0 = ROA.OB H» qu£ 1.1.1. Ph²p nghàch £o b£o to n t sè k²p cõa 4 iºm C 0 A0 D0 A0 Chùng minh. T sè k²p cõa 4 iºm (A0 , B 0 , C 0 , D0 ) = : . Thay C 0B 0 D0B 0 R2 CA R2 CB R2 DA R2 DB C 0 A0 = 0 0 ;C B = 0 0 ;DA = 0 0 ;DB = , OC · OA OC · OB OD · OA OD.OB C 0 A0 D0 A0 ta câ : = (A, B, C, D). C 0B 0 D0B 0 0 0 0 0 Vªy (A , B , C , D ) = (A, B, C, D). Ph²p nghàch £o trð n¶n °c sc nhí c¡c °c tr÷ng câ thº bi¸n ÷íng trán th nh ÷íng th¯ng v ÷íng th¯ng th nh ÷íng trán. Nh÷ng nâ thüc sü hi»u qu£ trong ùng döng nhí t½nh ch§t b£o gi¡c, tùc khæng thay êi gâc giúa 2 ÷íng cong (th¯ng, trán) qua ph²p bi¸n êi. Cö thº M»nh · 1.2. Gi£ sû γ1, γ2 l hai ÷íng cong (÷íng th¯ng , ÷íng trán ho°c ÷íng tòy þ) tr¶n m°t ph¯ng, ph²p nghich £o fRO2 : γ1 7→ γ10 , γ2 7→ γ20 . Khi â ∠ (γ10 , γ20 ) = ∠ (γ1 , γ2 ). Chùng minh. Ta ch¿ x²t c¡c ÷íng cong γ1 , γ2 l ÷íng th¯ng ho°c ÷íng trán. Do t½nh ch§t £nh cõa ph²p nghàch £o ta ph£i chia th nh nhi·u tr÷íng hñp v· và tr½ t÷ìng èi cõa γ1 , γ2 èi vîi cüc nghàch £o: (i.) Hai ÷íng th¯ng khæng qua O;
8 (ii.) Mët ÷íng th¯ng qua O v mët ÷íng th¯ng khæng qua O; (iii.) Hai ÷íng th¯ng ct nhau t¤i O v c¡c tr÷íng hñp t÷ìng tü khi γ1 , γ2 còng l ÷íng trán ho°c mët ÷íng th¯ng, mët ÷íng trán. Ch¯ng h¤n ta chùng minh tr÷íng hñp γ1 ∩ γ2 = P 6= O, h¼nh 1.5. H¼nh 1.5: T½nh ch§t b£o gi¡c Ta th§y ÷íng th¯ng γ1 ≡ a bi¸n th nh ÷íng trán qua O, ti¸p tuy¸n cõa nâ t¤i O song song vîi a, t÷ìng tü, ÷íng th¯ng γ2 ≡ b bi¸n th nh ÷íng trán qua O , ti¸p tuy¸n cõa nâ t¤i O song song vîi b. V¼ θ l 1 trong 0 0 c¡c gâc giúa 2 ti¸p tuy¸n t¤i O n¶n nâ l mët trong hai gâc cõa γ1 v γ2 . Nh÷ng c¡c ÷íng trán n y khæng ch¿ ct nhau t¤i O m cán ct nhau t¤i P 0 . Do â, gâc θ công l gâc giúa 2 ÷íng trán t¤i P 0 . Do t½nh èi hñp n¶n m»nh · hiºn nhi¶n trong tr÷íng hñp γ1 , γ2 l hai ÷íng trán qua O . Chó þ r¬ng vîi 2 ÷íng trán ct nhau t¤i P ta chuyºn v· x²t 2 ti¸p tuy¸n t¤i P . M»nh · ÷ñc sû döng th÷íng xuy¶n khi γ1 , γ2 ti¸p xóc ho°c trüc giao vîi nhau.
9 1.2 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t 1.2.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t Ta cè ành tam gi¡c ABC , gåi nâ l tam gi¡c cì sð (khæng suy bi¸n). Kþ hi»u XY Z l di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c XY Z . Ta câ ành ngh¾a ành ngh¾a 1.2. Gi£ sû ABC l tam gi¡c cì sð. Tåa ë barycentric cõa iºm M èi vîi tam gi¡c ABC l bë ba sè (x : y : z) sao cho x : y : z = M BC : M CA : M AB M = (x : y : z) th¼ công câ Tø ành ngh¾a ta suy ra: n¸u 6 0. Cho ∆ABC gåi G, I, O, H, Oa M = (kx : ky : kz), k = l¦n l÷ñt l trång t¥m, t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, trüc t¥m, t¥m ÷íng trán b ng ti¸p trong gâc A trong tam gi¡c â. Khi â ta câ: V½ dö 1.2.1. Ta câ tåa ë barycentric cõa G, I, O, H, Oa : a. G = (1 : 1 : 1) v¼ SGBC = SGCA = SGAB . b. I = (a : b : c) v¼ SIBC = 21 ra, SICA = 12 rb, SIAB = 21 rc. c. O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) = = a2 b2 + c2 − a2 : b2 c2 + a2 − b2 : c2 a2 + b2 − c2 . â l v¼ SOBC : SOCA : SOAB =: 1 1 1 = R2 sin 2A : R2 sin 2B : R2 sin 2C 2 2 2 = sin A cos A : sin B cos B : sin C cos C b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 b2 + a2 − c2 =a :b :c 2bc 2ac 2ba = a b + c − a : b c + a − b : c2 a2 + b2 − c2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 d. Oa = (−a : b : c) −S(Oa BC) : S(Oa CA) : S(Oa AB) = −a : b : c. v¼ 1 e. H = (tan A : tan B : tan C) = 2 : ... : ... . b + c 2 − a2
10 f. C¡c iºm tr¶n BC câ tåa ë d¤ng (0 : y : z). T÷ìng tü c¡c iºm tr¶n CA, AB l¦n l÷ñt câ tåa ë (x : 0 : z), (x : y : 0). Khi M = (x : y : z) m x + y + z 6= 0 ta thu ÷ñc tåa ë barycentric x y z tuy»t èi cõa M : : : , n¸u x + y + z = 1 x+y+z x+y+z x+y+z th¼ (x : y : z) ÷ñc gåi l tåa ë barycentric chu©n cõa M . N¸u P (u : v : w), Q(u0 : v 0 : w0 ) thäa m¢n u + v + w = u0 + v 0 + w0 th¼ iºm X chia P Q theo t sè P X : XQ = p : q câ tåa ë l (qu + pu0 : qv + pv 0 : qw + pw0 ) . V½ dö 1.2.2. T¼m tåa ë c¡c iºm T, T 0, t¥m và tü trong v ngo i cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p v ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC . Líi gi£i. T, T 0 chia i·u háa o¤n th¯ng OI , v d¹ th§y t sè Ta câ R abc S abcs = : = . (S l di»n t½ch, s l nûa chu vi tam gi¡c ABC) r 4S s 4S 2 2 b2 + c2 − a2 : . . . : . . . = (s.a2 (b2 + c2 − a2 ) : · · · : · · · ) V¼ O = a 2 2 2 2 vîi têng c¡c tåa ë b¬ng 4S v I = (a : b : c) = 8S a : 8S b : 8S c . p OT R döng c¡ch t½nh tr¶n vîi = ta câ tåa ë cõa T l TI r 4S 2 · sa2 b2 + c2 − a2 + abcs.8S 2 a : . . . : . . . 2 2 b2 + c2 − a2 + abcs.8S 2 a = Rót gån biºu thùc: 4S · sa = 4sS 2 a2 b2 + c2 − a2 + 2bc = 4sS 2 a2 (b + c)2 − a2 = 4sS 2 a2 (b + c + a)(b + c − a) T = a2 (b + c − a) : b2 (a + c − b) : c2 (a + b − c) . Vªy t¥m và tü trong T÷ìng tü t¥m và tü ngo i: T 0 = (a2 (a + b − c)(c + a − b) : b2 (b + c − a)(a + b − c) : c2 (c + a − b)(b + c − a). 2 2 2 a b c Công câ thº vi¸t T0 = : : . b+c−a c+a−b a+b−c
11 Trong [6], T ≡ X55 , T 0 ≡ X56 . V½ dö 1.2.3. Tåa ë barycentric cõa t¥m Euler O9 = a cos(B − C) : b cos(C − A) : c cos(A − B) . Chùng minh. â l do ta câ t sè OO9 : O9 G = 3 : −1. Trong [5], O9 l iºm X5 . 1.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric Chóng tæi tâm tt c¡c k¸t qu£ cì b£n ¢ ÷ñc Paul Yiu n¶u trong [7]. (a) C¡c cevian v v¸t Ba ÷íng th¯ng nèi tø iºm P ¸n 3 ¿nh tam gi¡c gåi l c¡c cevian cõa P. Giao iºm AP , BP , CP cõa c¡c cevian n y vîi c¡c c¤nh tam gi¡c gåi l v¸t cõa P. Tåa ë c¡c v¸t câ d¤ng AP = (0 : y : z) BP = (x : 0 : z) CP = (x : y : 0) ành lþ 1.1 (ành lþ Ce'va) . Ba iºm X ∈ BC, Y ∈ CA, Z ∈ AB l v¸t cõa mët iºm khi v ch¿ khi chóng câ tåa ë d¤ng X = (0 : y : z), Y = (x : 0 : z), Z = (x : y : 0), (b) iºm Gergonne v iºm Nagel Ba ti¸p iºm X, Y, Z cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi c¡c c¤nh tam gi¡c câ tåa ë 1 1 X = 0 : : , X = (0 : s − c : s − b), s − b s − c 1 1 Y = (s − c : 0 : s − a), hay Y = :0 : , s − a s − c Z = (s − b : s − a : 0). 1 1 Z = : :0 . s−a s−b
12 Nh÷ vªy, AX, BY, CZ ct nhau t¤i iºm câ tåa ë 1 1 1 : : . s−a s−b s−c â l iºm Gergonne Ge cõa ∆ABC , trong [6] nâ mang nh¢n X7 . Ti¸p iºm cõa c¡c ÷íng trán b ng ti¸p vîi c¡c c¤nh tam gi¡c: X 0 = (0 : s − b : s − c), 0 Y = (s − a : 0 : s − c), 0 Z = (s − a : s − b : 0). â l v¸t tr¶n méi c¤nh cõa iºm câ tåa ë (s − a : s − b : s − c), câ t¶n gåi l iºm Nagel Na cõa ∆ABC . Hai iºm Ge v Na l v½ dö v· hai iºm ¯ng hñp (li¶n hñp ¯ng cü). Hai iºm P, Q (khæng nh§t thi¸t ð tr¶n c¤nh tam gi¡c) ÷ñc gåi l hai iºm ¯ng hñp n¸u c¡c v¸t t÷ìng ùng cõa chóng èi xùng nhau qua trung iºm c¤nh t÷ìng ùng. Nh÷ vªy, BAP = AQ C, CBP = BQ A, ACP = CQ B . Ta s³ kþ hi»u iºm ¯ng hñp ∗ cõa P l P . Ta câ ∗ 1 1 1 P (x : y : z) ⇔ P : : . x y z (c) Cæng thùc Conway Kþ hi»u σ = 2SABC (hai l¦n di»n t½ch tam gi¡c ABC ), vîi θ ∈ R, °t σθ = σ. cot θ. Khi â b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 a2 + b 2 − c 2 σA = , σB = , σC = 2 2 2 Ch¯ng h¤n: abc cos A abc b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 σA = 2SABC · cot A = 2 · · = 2· · = . 4R sin A 4R sin A.2bc 2 Vîi θ, ϕ tòy þ º cho ti»n khi tr¼nh b y ta °t σθϕ = σθ .σϕ . T½nh ch§t 1.2.1. Ta câ hai t½nh ch§t cõa σθ • σB + σC = a2 , σC + σA = b2 , σA + σB = c2 .
13 • σAB + σBC + σCA = σ 2 . Chùng minh. ¯ng thùc ¦u hiºn nhi¶n. º câ ¯ng thùc thù hai, ta nhªn x²t: v¼A + B + C = 1800 n¶n cot(A + B + C) l ∞. M¨u sè cõa nâ b¬ng cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A − 1 = 0. Tø â, σAB + σBC + σCA = σ 2 · (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = σ 2 . V½ dö 1.2.4. Tåa ë trüc t¥m H v t¥m ngo¤i ti¸p O theo σθ 1 1 1 - Trüc t¥m H câ tåa ë : : hay (σBC : σCA : σAB ). Ta câ σA σB σC ngay têng c¡c tåa ë cõa H b¬ng σ 2 . - T¥m ngo¤i ti¸p câ tåa ë a2 σA : b2 σB : c2 σC = (σA (σB + σC ) : σB (σC + σA ) : σC (σB + σA )) . Vîi c¡ch biºu di¹n n y, têng c¡c tåa ë cõa O b¬ng 2σ 2 . Chó þ. - Tåa ë iºm t¥m Euler biºu di¹n theo σA , σB , σC l 2 2 2 O9 = σ + σBC : σ + σCA : σ + σAB . - Tåa ë iºm èi xùng cõa trüc t¥m qua t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, tùc HL 2 l iºm L chia o¤n th¯ng HO theo t sè = : LO −1 1 1 1 L = (σCA + σAB − σBC : . . . : . . .) = + − : ... : ... . σB σC σA â l iºm câ t¶n de Longchamps cõa ∆ABC , trong [6] kþ hi»u l X20 . T½nh ch§t 1.2.2 (Cæng thùc Conway) . Vîi måi iºm P cõa m°t ph¯ng ABC kþ hi»u CBP \ = ϕ th¼ ta câ: \ = θ, BCP P −a2 : σC + σϕ : σB + σθ π π C¡c gâc θ, ϕ n¬m trong kho£ng − , v gâc θ d÷ìng hay ¥m tòy theo 2 2 c¡c gâc CBP \ v CBA\ kh¡c h÷îng hay còng h÷îng. Chùng minh trong [7]. V½ dö 1.2.5. X²t h¼nh vuængπ BCX1X2 düng π ra ngo i tam gi¡c ABC , h¼nh 1.6. Ta câ c¡c gâc CBX \ 1 = n¶n X1 = −a2 : σC : σB + σ . \1 = , BCX 4 2 T÷ìng tü, X2 = −a2 : σC + σ : σB .
14 H¼nh 1.6: V½ dö v· cæng thùc Conway (d) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng ÷íng th¯ng nèi 2 iºm (x1 : y1 : z1 ), (x2 : y2 : z2 ) l