Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày việc xác hóa khái niệm bằng việc trình bày khái niệm bất biến tích phân, lấy ví dụ minh họa. Sau đó, trình bày phương pháp chính, là phương pháp chung nhất để giải số phương trình vi phân với ràng buộc đa tạp. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2019
Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta phân hoạch . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Phương pháp Nystr¨om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Bảo toàn của tích phân và phương pháp giải 16 2.1 Khái niệm bất biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Bất biến bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Tích phân phương trình vi phân trên đa tạp Stiefel . . . . . . . . . . . 26 2.4.1 Sơ lược về đa tạp Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Cung trắc địa trên đạ tạp Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i 2.4.3 Di chuyển song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4 Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.5 Phương pháp kiểu Runge-Kutta bậc hai . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.6 Phương pháp giải số trên mặt cầu đơn vị . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Phương trình vi phân trên nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.1 Sơ lược về nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2 Phương trình vi phân trên nhóm ma trận Lie . . . . . . . . . . 38 2.5.3 Phương pháp Crouch-Grossmann . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
ii Bảng ký hiệu ⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ C ∞ (M) tập tất cả các hàm trơn trên M Hx = ∇x H gradiant theo biến số x PM hình chiếu trên M sym(A) phần đối xứng của ma trận vuông A skew(A) phần phản đối xứng của ma trận vuông A ΠTY (Z) hình chiếu từ Rn×k lên các không gian C k (U, Rm ) tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k C ∞ (U, Rm ) tập tất cả các ánh xạ trơn C ω (U, Rm ) tập tất cả các ánh xạ giải tích từ U vào Rm
1 Mở đầu Với phương trình vi phân (PTVP) ma trận thông thường, nghiệm của chúng là các hàm ma trận khả vi một biến và thỏa mãn phương trình. Tuy nhiên, khi PTVP đó là một mô hình toán học mô tả những hiện tượng trong cơ học, hóa học, thiên văn học thì những ràng buộc đối với ma trận đó thường xuất hiện. Về mặt toán học, chúng đơn giản chỉ là các biểu thức đại số. Nhưng chúng biểu thị các quy luật bất biến, chẳng hạn bất biến năng lượng, bất biến về khối lượng, bất biến về thể tích. Trong các ngành khoa học tương ứng, nó vốn dĩ là các định luật bảo toàn nổi tiếng. Trong rất nhiều trường hợp, các ràng buộc đó đối với nghiệm đã tạo lên những đa tạp trong không gian pha. Chẳng hạn, Định lý 1.2.7 trong Chương 1 đã chỉ ra, một đa tạp con nhúng của Rn có thể được mô tả bởi một biểu thức dạng g(x) = c, trong đó g : Rn → Rm . Do đó, ta gọi chung những phương trình loại này là PTVP với ràng buộc đa tạp. Phương pháp giải số các PTVP với ràng buộc đa tạp, ngoài việc đảm bảo các yêu cầu về tính chính xác và tính ổn định thông thường của một phương pháp số còn phải đảm bảo rằng nghiệm xấp xỉ luôn nằm trên đa tạp đó. Cụ thể hơn giả sử x0 là điều kiện ban đầu của phương trình, tức là g(x0 ) = c thì với mỗi nghiệm xk tại các bước, xk nói chung ta đều phải có g(xk ) = c. Lẽ đương nhiên, các phương pháp được trình bày ở Chương 1 không đảm bảo việc này. Ta cần phải có những điều chỉnh, thay đổi thích hợp trong quá trình giải số. Những điều chỉnh này đôi khi tương đối đơn giản nhưng trong nhiều hoàn cảnh khác lại đòi hỏi những kiến thức sâu sắc về các đa tạp liên quan. Với luận văn “Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp ”, mục
2 tiêu của chúng tôi là trình bày một số cách tiếp cận giải số cho phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp. Để đạt được điều đó, chúng tôi bố cục luận văn như sau. Chương 1 được giành để trình bày kiến thức chuẩn bị. Trước tiên, chúng tôi tóm lược một số phương pháp giải số phương trình vi phân thường phổ biến như phương pháp BDF, Nystr¨om, Runge-Kutta. Tiếp đó, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về đa tạp Riemann. Do việc trình bày bài bản tương đối dài, chúng tôi chỉ tóm lược mang tính diễn giải. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trước tiên, chúng tôi chính xác hóa khái niệm bằng việc trình bày khái niệm bất biến tích phân, lấy ví dụ minh họa. Sau đó, chúng tôi trình bày phương pháp chính, là phương pháp chung nhất để giải số phương trình vi phân với ràng buộc đa tạp. Thêm vào đó, chúng tôi cũng trình bày phương pháp giải số cho hai loại ràng buộc cụ thể trên đa tạp Stiefel và nhóm Lie. Chúng tôi cũng cố gắng đưa ra một số ví dụ số để minh họa cho các vấn đề được trình bày. Cuối cùng, luận văn kết thúc bởi phần kết luận và tài liệu tham khảo. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11C; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ
3 và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019 Tác giả luận văn Đặng Mạnh Hùng
4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày hai mảng kiến thức riêng biệt vốn được sử dụng trong phần chính của luận văn. Mục đầu tiên của chương được dành để nhắc lại một vài phương pháp giải số phương trình vi phân quen thuộc. Tài liệu chính cho mục này là Chương II của quyển sách [5]. Mục thứ hai của chương là một số kiến thức liên quan đến đa tạp. Để cho tiện, chúng tôi tham khảo hai tài liệu chính [1] và [2]. 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân. Trong mục này, chúng tôi xét phương trình vi phân thường cấp một phụ thuộc vào thời gian y˙ = f (t, y), y (t0 ) = y0 . (1.1) Ở đây, ta hiểu y = y(t) ∈ Rn là một véctơ cỡ n. Hàm f phụ thuộc vào n + 1 biến f (t, y1 , ..., yn ) là một hàm véctơ n thành phần f = (f1 , ..., fn ). Ta giả sử rằng hệ (1.1) thỏa mãn các điều kiện để nó có nghiệm duy nhất. Các lập luận cũng đúng nếu như y và f là các ma trận có cấp bất kỳ tương thích với nhau.
5 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta Ps Định nghĩa 1.1.1. Cho bi , aij (i, j = 1, . . . , s) là những số thực và cho ci = j=1 aij . Một phương pháp Runge-Kutta s-bước được tính bằng cách lấy s ! X ki = f t0 + ci h, y0 + h aij kj , i = 1, . . . , s j=1 s (1.2) X y1 = y0 + h bi ki . i=1 Các hệ số của phương pháp Runge-Kutta s-bước thường được viết dưới dạng bảng Butcher như sau: c1 a11 . . . a1s .. .. . . . (1.3) cs as1 . . . ass b1 ... bs Định nghĩa 1.1.2. Phương pháp Runge-Kutta (hay một phương pháp 1-bước tổng quát) có p bậc, nếu với mọi bài toán đủ trơn (1.1) sai số địa phương y1 − y (t0 + h) thỏa mãn y1 − y (t0 + h) = O hp+1 khi h → 0. Để kiểm tra bậc của phương pháp Runge-Kutta chúng ta phải khai triển chuỗi Taylor của y (t0 + h) và y1 quanh điểm h = 0. Điều này dẫn đến điều kiện đại số cho hệ số có các bậc 1, 2, 3 tương ứng như sau: X bi = 1 cho bậc 1; i X thêm vào đó bi ci = 1/2 cho bậc 2; i X (1.4) thêm vào đó bi c2i = 1/3 i X và bi aij cj = 1/6 cho bậc 3. i,j Người ta có thể tìm các điều kiện để cho phương pháp có độ chính xác cao hơn. Song, nó chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết. Trong thực tế, phương pháp bậc không quá 4 là tương đối tốt để giải quyết các bài toán nảy sinh.
6 Có thể thấy phương pháp Runge-Kutta có độ khái quát hóa tương đối cao. Chẳng hạn, phương pháp Euler hiện và phương pháp Euler ẩn là một trường hợp riêng của phương pháp Runge-Kutta tương ứng với bảng sau 0 1 1 , . (1.5) 1 1 Như vậy, đây là các phương pháp Runge-Kutta một bước. Trong khi đó, phương pháp hình thang ẩn và phương pháp điểm giữa có thể được mô tả như là một phương pháp Runge-Kutta bậc hai với các bảng Butcher thứ nhất và thứ hai ở dưới đây. Có bậc 1 suy ra hình thang và trung điểm quy tắc cũng như cả hai phương pháp của Runge 0 0 0 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1 1/2 1/2 . 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 có bậc 2. Thực tế tính toán cho thấy, phương pháp Kutta bậc 4 dưới đây là thành công nhất: 0 0 1/2 1/2 1/3 1/3 1/2 0 1/2 2/3 -1/3 1 . (1.6) 1 0 0 1 1 1 -1 1 1/6 2/6 2/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta phân hoạch Trong mục này chúng tôi xét phương trình vi phân dạng phân hoạch y˙ = f (y, z), z˙ = g(y, z), (1.7) trong đó y và z có thể là véctơ với kích thước khác nhau. Mục đích là lấy hai phương pháp Runge-Kutta khác nhau, để xử lý biến y với phương pháp thứ nhất (aij , bi ), và biến z với phương pháp thứ hai b aij , bi . b
7 Định nghĩa 1.1.3. Cho bi , aij và bbi , b aij là hệ số của hai phương pháp Runge-Kutta. Phương pháp Runge-Kutta phân hoạch tìm nghiệm của (1.7) được tính bằng cách lấy s s ! X X ki = f y0 + h aij kj , z0 + h aij `j , b j=1 j=1 s s ! X X `i = g y0 + h aij kj , z0 + h aij `j b , (1.8) j=1 j=1 s X Xs y1 = y0 + h bi ki , z1 = z0 + h bbi `i . i=1 i=1 Lý thuyết của phương pháp Runge-Kutta có thể được mở rộng một cách trực tiếp cho phương pháp phân hoạch. Khi (1.8) là phương pháp 1 bước (y1 , z1 ) = Φh (y0 , z0 ), Định nghĩa 1.1.2 về bậc có thể được áp dụng trực tiếp. Xét bài toán y˙ = f (y), z˙ = g(z), chúng ta nhìn thầy rằng bậc của (1.8) không thể vượt hơn min(p, pb), khi p và pb là bậc của hai phương pháp. Điều kiện cho bậc hai. Khai triển nghiệm chính xác của (1.7) và giải bằng số (1.8) thành chuỗi Taylor chúng ta thấy rằng phương pháp là bậc 2 nếu điều kiện ghép X X bib aij = 1/2, bbi aij = 1/2, (1.9) ij ij được thoả mãn bên cạnh các điều kiện cho phương pháp Runge-Kutta bậc hai thông thường. Chúng tôi cũng lưu ý rằng (1.9) là tự động được thoả mãn bằng phương pháp phân hoạch do, ci với mọi y, ci = b (1.10) trong đó, ci = aij và b aij . P P j ci = jb 1.1.3 Phương pháp Nystr¨om Phương trình vi phân cấp hai y¨ = g(t, y, y), ˙ (1.11)
8 tạo thành lớp các bài toán quan trọng. Rất nhiều các bài toán thực tế được mô hình hóa bởi phương trình vi phân cấp hai (1.11) như bài toán Kepler, hệ thống sử dụng năng lượng mặt trời ngoài, bài toán trong động lực học phân tử. Lí do chính là nhiều bài toán cơ học sử dụng Định luật Newton II vốn liên quan đến đạo hàm cấp hai. Đưa vào biến số mới z = y˙ cho đạo hàm thứ nhất, bài toán (1.11) trở nên tương đương với hệ phân hoạch y˙ = z, z˙ = g(t, y, z). (1.12) Một phân hoạch phương pháp Runge-Kutta (1.8) áp dụng cho cho hệ có dạng s X ki = z0 + h aij `j , b j=1 s s ! X X `i = g t0 + ci h, y0 + h aij kj , z0 + h aij `j b , (1.13) j=1 j=1 s X s X y1 = y0 + h bi ki , z1 = z0 + h bbi `i . i=1 i=1 Nếu chúng ta chèn công thức tính ki vào các phương trình còn lại, ta thu được điều kiện và định nghĩa sau đây, chúng tôi đạt được Định nghĩa 1.1.4 với s X s X aij = akj , bi = aikb bk b aki . (1.14) k=1 k=1 Định nghĩa 1.1.4. Cho ci , bi , aij và bbi , b aij là các hệ số thực. Một phương pháp Nystr¨om cho nghiệm của (1.11) được tính bằng cách lấy s s ! X X `i = g t0 + ci h, y0 + ci hy˙ 0 + h2 aij `j , y˙ 0 + h aij `j b , j=1 j=1 s s (1.15) X X y1 = y0 + hy˙ 0 + h2 bi `i , y˙ 1 = y˙ 0 + h bbi `i . i=1 i=1 Trong trường hợp đặc biệt quan trọng y¨ = g(t, y), trong đó trường véctơ không phụ thuộc vào vận tốc, các hệ số aij không cần phải xác định. Phương pháp Nystr¨om là bậc p, nếu y1 − y (t0 + h) = O hp+1 và y˙1 − y˙ (t0 + h) = O hp+1 .
9 1.2 Khái niệm đa tạp Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày những khái niệm, định lý, mệnh đề liên quan đến đa tạp một cách khoa học và cơ bản nhất. Những nội dụng này nhằm bổ trợ cho các vấn đề ở Chương 2, và được lấy từ tài liệu [2]. 1.2.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được. Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô m− chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Rm , nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, tồn tại một lân cận U của x, có một tập con mở V ⊂ Rm và một phép đồng phôi ϕ : U → V . Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương hay gọi tắt là bản đồ trong M. Ta viết Mm để thể hiện đa tạp M có m chiều. Với U là một tập mở bất kỳ của Rn , ta nhắc lại các kí hiệu C k (U, Rm ), C ∞ (U, Rm ), và C ω (U, Rm ) lần lượt là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k , tập tất cả các ánh xạ trơn và tập tất cả các ánh xạ giải tích từ U vào Rm . Định nghĩa 1.2.2. Xét đa tạp tô pô Mm . Họ A = {(Ui , ϕi ) : i ∈ I} các bản đồ trên M được gọi là một atlas lớp C k (k ≥ 1) hay C k − atlas nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) họ {Ui } là một phủ mở của M; (ii) với hai bản đồ (Ui , ϕi ) và (Uj , ϕj ) mà Ui ∩ Uj 6= ∅ thì ánh xạ chuyển tiếp ϕj ◦ ϕ−1 i xác định trên ϕi (Ui ∩ Uj ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ ϕi (Ui ∩ Uj ) lên ϕj (Ui ∩ Uj ).
10 Một bản đồ (U, ϕ) được gọi là tương thích với C k − atlas A nếu hợp A ∪ {(U, ϕ)} là một C k − atlas. ˆ được gọi là atlas cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích với Atlas A ˆ cũng được gọi là một C k − cấu trúc trên Mm . nó. Khi đó A ˆ ) được gọi là một C k − đa tạp hay đa tạp khả vi lớp C k . Cặp (M, A Nhận xét 1.2.3. Một C k − atlas A trên một đa tạp tô pô M xác định duy nhất một C k − cấu trúc trên M. Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp. Mệnh đề 1.2.4. Cho (M1 , A ˆ 1 ) và (M2 , A ˆ 2 ) là hai đa tạp khả vi lớp C k . Cho M = M1 × M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô. Khi đó, tồn tại một atlas A trên ˆ ) là một đa tạp khả vi lớp C k có số chiều M sao cho (M, A dim M = dim M1 + dim M2 . ˆ ) được gọi là đa tạp tích Descartes của hai đa tạp (M1 , Aˆ1 ) và Đa tạp (M, A (M2 , Aˆ2 ). 1.2.2 Đa tạp con Định nghĩa 1.2.5. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , A ˆ N ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Một tập con M của N được gọi là một đa tạp con của N nếu với mỗi
11 ˆ N sao cho x ∈ Ux và ϕx : Ux ⊂ N → điểm x ∈ M, tồn tại một bản đồ (Ux , ϕx ) ∈ A Rm × Rn−m thỏa mãn ϕx (Ux ∩ M ) = ϕx (Ux ) ∩ (Rm × {0}), số n − m được gọi là đối chiều của M trong N . Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con. Mệnh đề 1.2.6. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , A ˆ N ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Cho M là một đa tạp con của N và được trang bị tô pô con. Ký hiệu π : Rm × Rn−m → Rm là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đó AM := {(Ux ∩ M, (π ◦ ϕx ) |Ux ∩M ) : x ∈ M} ˆ M ) là một đa tạp khả vi m chiều lớp C k . là một atlas lớp C k trên M. Vì thế (M, A ˆ M trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúc cảm Cấu trúc khả vi A ˆN. sinh từ A Ta nhắc lại rằng một ma trận A cỡ m × n được gọi là hạng đủ nếu rankA = min{m, n}, một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian hữu hạn chiều đều có thể coi tương đương như một ma trận. Định lý sau đây cho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con. Định lí 1.2.7 (Ánh xạ ẩn). Cho m ≤ n là các số nguyên dương và f : U → Rm là một ánh xạ lớp C k từ một tập mở U ⊂ Rn . Nếu x ∈ U, f (x) = y và Jacobian của nó df |x : Rn → Rm là hạng đủ thì f −1 ({y}) là một đa tạp con khả vi lớp C k của Rn có số chiều n − m.
12 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm này trong không gian Rn quen thuộc. Định nghĩa 1.2.8. Cho x là một điểm trong Rm và ký hiệu Tx Rm là tập các toán tử vi phân tuyến tính tại x triệt tiêu hằng số. Tức là Tx Rm gồm các ánh xạ α : ε(x) → R thỏa mãn (i) α(λf + µg) = λα(f ) + µα(g), (ii) α(f g) = α(f ) · g(x) + f (x)α(g), với mọi α, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Dễ dàng nhận thấy tập Tx Rm có cấu trúc của một không gian véctơ thực với hai phép toán (α + µ)(f ) := α(f ) + β(f ), (λα)(f ) := λα(f ). Định lí 1.2.9. Cho x ∈ Rm . Khi đó, ánh xạ φ : Rm → Tx Rm v 7→ ∂v là một đẳng cấu giữa các không gian véctơ. Bây giờ ta xét các khái niệm đó đối với đa tạp. Định nghĩa 1.2.10. Cho M là một đa tạp khả vi, x ∈ M và ε(x) là tập các hàm thực định nghĩa trên một lân cận mở của x. Một véctơ tiếp xúc ξx tại x là một ánh xạ ξx : ε(x) → R thỏa mãn (i) ξx (λf + µg) = λξx (f ) + µξx (g),
13 (ii) ξx (f g) = ξx (f )g(x) + f (x)ξx (g), với mọi λ, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Tập các vectơ tiếp xúc của M tại x được gọi là không gian tiếp xúc tại x và ký hiệu Tx M. Phép cộng và phép nhân với vô hướng trong Tx M được định nghĩa như sau (ξx + ζx )(f ) = ξx (f ) + ζx (f ), (λξx )(f ) = λξx (f ), với mọi ξx , ζx ∈ Tx M, f ∈ ε(x) và λ ∈ R. 1.3 Đa tạp Riemann 1.3.1 Khái niệm Cho M là một đa tạp trơn, tập các hàm trơn C ∞ (M) trên M lập thành một vành giao hoán. Tập các hàm trơn C ∞ (T M) trên M lập thành một môđun trên C ∞ (M). Đặt C0∞ (T M) = C ∞ (M) và với số nguyên dương r, đặt Cr∞ (T M) = C ∞ (T M) ⊗ ... ⊗ C ∞ (T M), trong đó ⊗ là ký hiệu tích tenxơ của các không gian vectơ. Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một đa tạp khả vi. Một mêtric Riemann g trên M là một ánh xạ song tuyến tính : C2∞ (T M) → C0∞ (T M) sao cho với mỗi x ∈ M, hạn chế gx của g trên Tx M ⊗ Tx M với gx (ξx , ζx ) = g(ξ, ζ)x = hξx , ζx ix . là một tích vô hướng trên không gian tiếp xúc Tx M. Cặp (M, g) được gọi là một đa tạp Riemann.
14 Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một đa tạp con của đa tạp Riemann (M, g). Khi đó mọi không gian tiếp xúc Tx M đều có thể coi như là một không gian con của Tx M. Mêtric Riemann trong M có thể được định nghĩa như sau gx (ξ, ζ) := g x (ξ, ζ), ξ, ζ, ∈ Tx M, trong đó ξ và ζ ở vế phải được xem như là các phần tử của Tx M. Được trang bị mêtric như trên, M trở thành một đa tạp Riemann, gọi là đa tạp Riemann con của M. Phần bù trực giao của Tx M trong Tx M được gọi là không gian pháp tuyến của M tại x: (Tx M)⊥ = {ξ ∈ Tx M : gx (ξ, ζ) = 0, ∀ ζ ∈ Tx M}. Mọi phần tử ξ ∈ Tx M đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một phần tử của Tx M và một phần tử của (Tx M)⊥ : ξ = Px ξ + Px⊥ ξ, trong đó Px là phép chiếu trực giao lên Tx M và Px⊥ là phép chiếu trực giao lên (Tx M)⊥ . Mêtric Riemann cho phép ta lượng hóa, đo đạc trên các không gian tiếp xúc. Hơn thế nữa, nó giúp xây dựng cấu trúc không gian mêtric từ cấu trúc hình học trên đa tạp Riemann như khái niệm khoảng cách trong mục sau đây. 1.3.2 Khoảng cách Định nghĩa 1.3.3. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann và γ : I → M là một cung lớp C 1 trong M. Khi đó, độ dài của γ được định nghĩa là Z p L(γ) = g(γ(t), ˙ γ(t))dt. ˙ (1.16) I Mệnh đề 1.3.4. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann liên thông đường. Với mỗi điểm x, y ∈ M, ký hiệu CM là tập tất cả các cung γ : [0, 1] → M sao cho γ(0) = x, γ(1) = y
15 và định nghĩa hàm d : M × M → R+ (x, y) 7→ inf{L(γ) : γ ∈ CM }. Khi đó, (M, d) lập thành một không gian mêtric. Hơn nữa, tô pô sinh bởi d trùng với tô pô ban đầu của M. Ta có định lý quan trọng sau đây về sự tồn tại của mêtric Riemann. Định lí 1.3.5. Cho (Mm , A ˆ ) là một đa tạp khả vi. Khi đó, tồn tại một mêtric Riemann trên M.