Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển là các đối tượng nghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đa thế vị phức. Đó là các lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới có nhiều ứng dụng nên được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak,P. Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson,... và đạt được nhiều kết quả sâu sắc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ TUYẾT HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ HÀM GREEN THỰC TRÊN CÁC MIỀN KHẢ LỒI PHỨC KIỂU HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 8 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS. DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2018
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Tuyết i
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Dương Quang Hải, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 4 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm Green thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn . . . . . . . . . . 10 Chương 2 Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên các miền giả lồi chặt trong Cn 13 2.1 Một số đánh giá cận trên đối với hàm Green thực cổ điển . 13 2.2 Một số đánh giá cận dưới của hàm Green đa phức . . . . . 14 2.3 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên miền giả lồi chặt trong Cn . . . . . . . . . 19 Chương 3 Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu 23 3.1 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền khả lồi địa phương . . . . . . 23 iii
3.2 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iv
Lời nói đầu Các hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển là các đối tượng nghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đa thế vị phức. Đó là các lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới có nhiều ứng dụng nên được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak,P. Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson,... và đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Một số kết quả về hàm Green đa phức với các cực logarit trên đa tạp siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữu hạn đã đặc biệt nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học như P. Lelong, Klimek, Zaharjuta, E. Amar, Dan Coman, Demailly, P.J.Thomas, ... Tuy nhiên, những tính chất về hàm Green đa phức với nhiều cực vẫn còn được biết rất ít hoặc chưa được nghiên cứu đầy đủ. Đặc biệt, trong những năm gần đây mối quan hệ giữa hàm Green đa phức với hàm Green thực cổ điển (là nghiệm cơ bản của bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace) trên các miền bị chặn trong Cn nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học như Magnus Carlehed, Bo-Yong Chen, N. Nikolov, P. J. Thomas... Cụ thể, nghiên cứu thương h(x, y) = gD (x, y)/GD (x, y) của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên miền bị chặn D trong Cn . Vì hàm h(x, y) hội tụ đến 0 khi x, y hội tụ đến cùng một điểm trong D nên hàm h có thể mở rộng thành một hàm liên tục không âm trong D × D. Một câu hỏi được đặt ra là khi nào hàm h sẽ bị chặn trong D × D? Năm 1997, M. Carlehed đã chứng minh được hàm h bị chặn bởi hằng số 22n−3 /(n − 1) trên hình cầu đơn vị trong Cn . Hằng số này là đánh giá tốt nhất đối với hàm h trên hình cầu đơn vị. Tiếp đó, M. Carlehed chứng minh tính bị chặn của thương hai hàm Green trên các miền giả 1
lồi chặt. Năm 2002, Bo-Yong Chen tổng quát hóa kết quả trên của M. Carlehed trên các miền lồi kiểu hữu hạn. Nằm trong tính thời sự này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Hàm Green đa phức và hàm Green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn” nhằm mục đích nghiên cứu các ước lượng cận dưới các hàm Green này. Đồng thời, nghiên cứu tính bị chặn của hàm thương gD /GD của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu D trong Cn . Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu mới nhất gần đây năm 2018 của N. Nikolov, P. J. Thomas về so sánh hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển được trình bày trong tài liệu tham khảo [9]. Bố cục của luận văn gồm ba chương nội dung chính, trong đó có phần lời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết đa thế vị phức như hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực và hàm Green đa phức,. . . Trình bày một số hàm giả khoảng cách và một số định nghĩa về tính chất hình học của các miền trong Cn như miền C- khả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn. Đây là kiến thức nền tảng phục vụ cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Chương 2: Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên các miền giả lồi chặt Cn . Trong chương này, chúng tôi trình bày một kết quả về đánh giá cận dưới của hàm Green đa phức trên các miền lồi chặt và giả lồi chặt, bị chặn trong Cn và nghiên cứu tính bị chặn của thương của hai hàm Green đa phức gD /GD trên các miền này. Chương 3: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả của N. Nikolov, P. J. Thomas về so sánh các hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu trong Cn . Cụ thể, trong chương này chúng tôi nghiên cứu và đánh giá các cận dưới của hàm Green đa phức trên một số miền C-khả lồi địa phương với biên kiểu hữu hạn và tổng quát hơn, nghiên cứu nó trên các miền C-khả 2
lồi địa phương kiểu hữu hạn. Cuối cùng, chúng tôi cũng nghiên cứu tính bị chặn của thương của hai hàm Green đa phức gD /GD trên một số miền giả lồi yếu trong Cn . 3
Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này, luận văn giới thiệu một số khái niệm cơ bản phục vụ cho các nghiên cứu ở chương sau. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Trước hết, chúng ta có một số khái niệm của giải tích Định nghĩa 1.1.1. (Miền Lipschitz) Một miền bị chặn D, compact tương đối trong Rn được gọi là miền Lipschitz (hay miền với biên Lipschitz) nếu về mặt địa phương, biên ∂D là đồ thị của một hàm Lipschitz. Một hàm ψ : Rn−1 → R được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu tồn tại một hằng số M sao cho |ψ(y 0 ) − ψ(x0 )| ≤ M |y 0 − x0 | với mọi y 0 , x0 ∈ Rn−1 Như vậy, một miền bị chặn D được gọi là Lipschitz nếu gần mỗi điểm biên p ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận U của p sao cho D ∩ U = (x0 , xn ) ∈ U |xn > ψ(x0 ) , với hàm Lipschitz ψ nào đó. Định nghĩa 1.1.2. Cho U là một tập mở trong Cn và u : U → R khả vi lớp C 2 (U ). Ký hiệu ∆ là toán tử Laplace, tức là n X ∂ 2u ∆u = . i=1 ∂x2i 4
Một hàm h : U → R khả vi lớp C 2 (U ) được gọi là hàm điều hòa trên U nếu ∆h = 0 trên U . Chẳng hạn, hàm h := Ref , với f là một hàm chỉnh hình trên miền D ⊂ C là một hàm điều hòa trên D. Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X . Định nghĩa 1.1.4. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trên bất kỳ một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < % ta có 2π 1 Z u(ω) ≤ u(ω + reit )dt. 2π 0 Định nghĩa 1.1.5. Cho Ω là một tập con mở của Cn và u : Ω → [−∞, +∞) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên bất kì thành phần liên thông nào của Ω. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ 7→ u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc trùng −∞ trên mỗi thành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω}. Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω). (Ở đây kí hiệu P SH(Ω) là lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω). Ký hiệu P SH_ (Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω. Định nghĩa 1.1.6. Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho với c < 0 Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} b Ω. Chẳng hạn, mọi miền lồi chặt (hay giả lồi chặt, với biên lớp C 2 ) đều là miền siêu lồi. 5
1.2 Hàm Green thực Cho N là một số nguyên dương. Nghiệm cơ bản đối với toán tử Laplace trong RN được cho bởi log |x| nếu N = 2, p(x) = −|x|2−N nếu N ≥ 3. Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với biên Lipschitz và cho điểm cố định y ∈ Ω. Khi đó, tồn tại hàm hy (x) liên tục trên Ω là nghiệm của bài toán Dirichlet sau ∆u(x) = 0 trong Ω, u(x) = −p(x − y) trên ∂Ω. Định nghĩa 1.2.1. (Hàm Green thực) Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với biên Lipschitz. Hàm GΩ (x, y) = p(x − y) + hy (x), với mọi x, y ∈ Ω, được gọi là hàm Green thực (cổ điển) đối với toán tử Laplace, với cực tại điểm y . Hàm Green thực GΩ là hàm đa điều hòa âm trong miền Ω\{y} và hội tụ đến 0 trên biên ∂Ω. Hơn nữa, GΩ là hàm đối xứng, tức là GΩ (x, y) = GΩ (y, x), với mọi (x, y) ∈ Ω × Ω. Ký hệu U_ (Ω, y) là tập các hàm điều hòa dưới u trên miền Ω ⊂ RN , với N ≥ 3 thỏa mãn u(ζ) ≤ p(ζ − y) + O(1) khi ζ → y. Khi đó, theo phương pháp tính toán của Perron thì hàm Green thực cổ điển có thể cho bởi GΩ (x, y) = sup{u(x); u ∈ U_ (Ω, y), u ≤ 0}. Trong đề tài của luận văn, các hàm Green luôn được định nghĩa là một hàm âm trên miền đang xét. Cho D ⊂ Cn ∼= R2n , n ≥ 2, nếu là hàm Green đang xét trên miền D là hàm điều hòa hay điều hòa dưới thì D được xét như miền con của R2n và 6
hàm đa điều hòa dưới hoặc hàm Green đa phức thì D được xét như miền con của Cn . Vậy, hàm Green thực cổ điển trên miền D ⊂ Cn , n ≥ 3 với cực tại điểm ω ∈ D có thể được định nghĩa như sau u(x); u ∈ SH_ (D), u = | · −w|−m+2 + O(1) , GD (z, ω) = sup trong đó SH_ (D) ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên D. 1.3 Hàm Green đa phức Cho D là miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2. Ký hiệu V (D, y) là tập các hàm đa điều hòa dưới trên D thỏa mãn u(ζ) ≤ log |ζ − y| + O(1) khi ζ → y. Định nghĩa 1.3.1. Cho Ω là một miền trong Cn và a ∈ Ω. Nếu hàm u là một hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ta nói rằng hàm u có cực logarit tại điểm a nếu hàm z 7→ u(z) − log |z − a| bị chặn trên trong một lân cận của điểm a. Nếu Φ : Ω1 → Ω2 là một ánh xạ chỉnh hình và u là một hàm chỉnh hình trên Ω2 với cực logarit tại điểm Φ(a) thì u ◦ Φ là hàm chỉnh hình trên Ω1 với cực logarit tại điểm a. Khi đó, năm 1985 Klimek [7] đã đưa ra định nghĩa về hàm Green đa phức như sau Định nghĩa 1.3.2. Cho D là miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2. Hàm Green đa phức trên miền D, với cực tại điểm y ∈ D được cho bởi gD (x, y) = sup{v(x); v ∈ V (D, y), v ≤ 0}. Chúng ta thường ký hiệu gD (z, ω) hàm Green đa phức trên miền D ⊂ Cn , n ≥ 2, với cực tại điểm ω ∈ D: gD (z, w) = sup u(z) : u ∈ P SH_ (D), u = log| · −w| + O(1) , 7
trong đó P SH− (D) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên D. Trong trường hợp n = 1 thì gD chính là hàm Green thực cổ điển đối với toán tử Laplace trên R2 . Trong đề tài luận văn, đôi khi ta ký hiệu g mà bỏ đi ký hiệu D hàm Green đa phức khi miền D ta đang xét đã định nghĩa rõ ràng. Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu d = ∂ + ∂ và dc = i(∂ − ∂). Định nghĩa 1.3.3. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử 2 n ∂ u ddc u = dd c . . ∧ ddc u} = 4n n!det | u ∧ .{z ∂z ∂ z ¯ dV, n j k 1≤j,k≤n với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức. Định nghĩa 1.3.4. (Hàm đa điều hòa dưới cực đại) Cho Ω ⊂ Cn là một tập con mở. Hàm đa điều hòa dưới u : Ω → R trên Ω được gọi là cực đại nếu với mọi tập con compact mở G trong Ω và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên Ω thỏa mãn v là hàm đa điều hòa dưới trên G và v ≤ u trên ∂G, kéo theo v ≤ u trên ∂G. Trong Klimek [7, Hệ quả 3.1.9] đã chứng minh được rằng: Nếu u là một hàm đa điều hòa dưới lớp C 2 trên một tập con mở Ω ⊂ Cn thì u là cực đại khi và chỉ khi (ddc u)n = 0 trên Ω. Khi đó, hàm Green đa phức gD có một số tính chất sau đây: Hàm x 7→ gD (x, y) là một hàm đa điều hòa dưới âm, cực đại trên miền n D\{y}. Tức là, ddc gD = 0 trên miền D\{y}. Hàm Green đa phức gD tiến tới 0 trên biên ∂D của D khi và chỉ khi D là miền siêu lồi. Gần cực điểm y , hàm Green đa phức xấp xỉ hàm log |x−y|. Hàm Green đa phức gD là đối xứng, tức là gD (x, y) = gD (y, x) nếu D là miền lồi chặt. Trong trường hợp tổng quát, E. Berdford - J-P. Demailly đã chứng minh hàm Green đa phức là không đối xứng. Hơn nữa, dễ thấy hàm Green đa phức gD là một đa điều hoà dưới hàm âm trên D nên gd thỏa mãn tính chất sau đây 8
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử D là miền siêu lồi, bị chặn trong Cn , cho S = {a1 , a2 , ..., aN } là một tập hữu hạn các điểm trong D. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau N X g(z, aj ) ≤ g(z, a1 , a2 , ..., aN ) ≤ min {g(z, aj )}. (1.1) j=1,N j=1 Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức, hàm vế bên trái của bất đẳng thức trên là một trong những hàm đa điều hoà dưới âm trong các hàm lấy supremun trong định nghĩa của gD . Mặt khác, hàm Green đa phức gD cũng là một hàm trong họ các hàm Green định nghĩa của vế phải. Do đó, chúng ta có bất đẳng thức ở trên. Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa đĩa đơn vị Ví dụ 1.3.6. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với cực tại ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi
z1 − a
g{(a,0)} (z) := max log