Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ động lực p−adic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng đối với hàm phân hình đó là nghiên cứu về hệ động lực của các ánh xạ lặp thực hiện bởi các hàm phân hình, tức là nghiên cứu tính chất của ánh xạ lặp được thực hiện bởi một hàm phân hình. Những vấn đề nghiên cứu chính trong lý thuyết hệ động lực phức là nghiên cứu quỹ đạo của ánh xạ, tính chất bất biến của một tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động của ánh xạ, tính chất chuẩn tắc của một họ ánh xạ phân hình và lý thuyết Julia-Fatou.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ động lực p−adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P - ADIC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực chính xác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà i
Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường và các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Hà Trần Phương, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Mở đầu về hệ động lực p−adic 3 1.1. Tập hút và tập đẩy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Tính chất bất biến lùi và tiến của ánh xạ . . . . . . 3 1.1.2. Tập hút, tập đẩy và tính chất . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Điểm bất động của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Quan hệ Riemann - Hurwitz . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Điểm bất động của hàm nguyên . . . . . . . . . . . 16 2 Họ hàm chuẩn tắc và lý thuyết Fatou - Julia 20 2.1. Họ chuẩn tắc và định lý Montel . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Họ chuẩn tắc và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. Định lý Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Lý thuyết Fatou - Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2. Tính chất tập Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 iii
Mở đầu Một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng đối với hàm phân hình đó là nghiên cứu về hệ động lực của các ánh xạ lặp thực hiện bởi các hàm phân hình, tức là nghiên cứu tính chất của ánh xạ lặp được thực hiện bởi một hàm phân hình. Những vấn đề nghiên cứu chính trong lý thuyết hệ động lực phức là nghiên cứu quỹ đạo của ánh xạ, tính chất bất biến của một tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động của ánh xạ, tính chất chuẩn tắc của một họ ánh xạ phân hình và lý thuyết Julia-Fatou. Cuối thế kỷ 19, các kết quả nghiên cứu về hệ động lực phức tập trung vào tính chất địa phương các ánh xạ chỉnh hình lặp trong lân cận của điểm bất động. Năm 1906, P. Fatou đã cho biết dáng điệu toàn cục của ánh xạ này thông qua một số kết quả nghiên cứu của mình. Về sau, vấn đề này thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới như G. Julia, S. Lattes, J. F Ritt, J. Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin. . . . Ngày nay động lực phức là một lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với các lĩnh vực khác và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực của các ánh xạ lặp thực hiện bởi các hàm phân hình phức, thời gian gần đây các nhà toán học nghiên cứu tính chất tương tự cho ánh xạ thực hiện bởi một hàm phân hình trên trường không Acsimet. Những nghiên cứu này được công bố bởi P. C. Hu, C. C.Yang, A. F. Beardon, W. K. Hayman, I. N. Baker, E. Hille, A. Escassut và được Hu, P.C. & Yang, C.C. tập hợp lại cuốn sách "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]). Với mong muốn tìm hiểu các kiến thức ban đầu về lý thuyết hệ động lực p−adic chúng 1
tôi chọn đề tài "Hệ động lực p−adic". Mục đích chính của luận văn giới thiệu một số tính chất về của quỹ đạo, tính chất bất biến, và điểm bất động của ánh xạ thực hiện bởi một hàm phân hình trên trường Cp . Ngoài ra, luận văn cũng giới thiệu một số kết quả nghiên cứu tính chất chuẩn tắc của một họ ánh xạ phân hình và lý thuyết Julia-Fatou được các tác giả trên thế giới công bố trong thời gian gần đây. Luận văn chia làm hai chương, trong Chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho các hàm phân hình p−adic và giới thiệu về một số kiến thức mở đầu về hệ động lực p−adic như quỹ đạo của ánh xạ, tính chất bất biến của ánh xạ, điểm bất động của ánh xạ. Chương 2 chúng tôi trình bày các nghiên cứu về họ hàm chuẩn tắc và lý thuyết Fatou - Julia. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà 2
Chương 1 Mở đầu về hệ động lực p−adic 1.1. Tập hút và tập đẩy 1.1.1. Tính chất bất biến lùi và tiến của ánh xạ Trước hết ta sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản. Cho M là một tập hợp hợp khác rỗng, f : M −→ M là một ánh xạ. Một tập con E của M là: (a) Bất biến tiến nếu f (E) = E; (b) Bất biến lùi nếu f −1 (E) = E; (c) Hoàn toàn bất biến nếu f −1 (E) = E = f (E). Nếu f là đơn ánh thì bất biến tiến sẽ kéo theo bất biến lùi và hoàn toàn bất biến (do khi đó f toàn ánh). Một cách tổng quát, ta có các liên hệ sau: Bổ đề 1.1 ([6]). 1. Nếu E là bất biến lùi thì f (E) = E ∩ f (M ) ⊂ E; 2. Nếu f −1 (E) ⊂ E, f (E) ⊂ E thì E là bất biến lùi. Chứng minh. (1) Hiển nhiên (2) Do f (E) ⊂ E nên với mọi x ∈ E : f (x) ∈ E. Suy ra x ∈ f −1 (E) suy ra E ⊂ f −1 (E) suy ra E = f −1 (E). Cho M, N là hai không gian topo, kí hiệu C(M, N ) là tập các ánh xạ liên tục từ M vào N . Lấy f ∈ C(M, N ) ta kí hiệu các lặp của f bởi f 0 = id, f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 (n > 0)). 3
Ta ký hiệu quỹ đạo tiến của x ∈ M bởi [ + O (x) = {f n (x)}. n >0 Các phần tử trong O+ (x) được gọi là phần tử kế tiếp của x. Ta kí hiệu quỹ đạo lùi của x bởi [ O− (x) = {f −n (x)}. n >0 Các phần tử của O− (x) được gọi là phần tử trước của x. Ta kí hiệu quỹ đạo toàn phần của x bởi [ O(x) = O (x) O− (x). + Tổng quát, với E ⊂ M , ta định nghĩa quỹ đạo tiến, lùi, toàn phần của E một cách tương ứng bởi f (E), O− (E) = S −n O+ (E) = f (E), O(E) = O+ (E) O− (E). S n S n≥0 n≥0 Hiển nhiên, ta có [ [ O+ (E) = O+ (x), O− (E) = O− (x). x∈E x∈E Với mỗi x, y ∈ M , ta xác định quan hệ ∼ trên M bởi x ∼ y khi và chỉ khi tồn tại m, n ∈ N sao cho f m (y) = f n (x), nghĩa là x và y có cùng chung một phần tử kế tiếp. Ta thấy: “ ∼ ” đối xứng vì x ∼ y khi và chỉ khi tồn tại m, n ∈ N∗ f m (x) = f n (y). Suy ra f n (x) = f m (y) suy ra y ∼ x. “ ∼ ” phản xạ vì x ∼ x với mọi n : f n (x) = f n (x). “ ∼ ” bắc cầu vì x ∼ y, y ∼ z khi và chỉ khi tồn tại m, n, k, l ∈ N∗ : f m (x) = f n (y), f k (y) = f l (z), (f m (x))k = (f n (y))k suy ra f mk (x) = (f k (y))n , suy ra f mk (x) = (f l (z))n = f nl (z). Bởi vậy ∼ là một quan hệ tương đương trên M. Ta kí hiệu lớp tương đương chứa x là [x], và gọi là quỹ đạo tổng quát của x. Vì rằng ∼ là quan hệ tương đương nên hai quỹ đạo tổng quát bất kỳ hoặc đồng nhất hoặc rời nhau. Dễ dàng chứng minh được ( ) [ [ [ [x] = O+ (x) O− (f n (x)) = O(f n (x)). n >0 n >0 4
Định lý 1.2 ([6]). Các quỹ đạo tổng quát là các tập con nhỏ nhất có tính chất bất biến lùi. Hệ quả 1.3 ([7]). Một tập con E của M là bất biến lùi nếu và chỉ nếu nó là hợp của các lớp tương đương [x]. Trong trường hợp này, phần bù M \ E của nó cũng phải là hợp của các lớp tương đương và do đó cũng là bất biến lùi. Hệ quả 1.4 ([7]). Giả sử f : M → M là ánh xạ mở liên tục và giả sử rằng E là bất biến lùi. Thì khi đó phần trong E ◦ , biên ∂E , bao đóng E của E cũng là bất biến lùi. Với mỗi E ⊂ M , ta xác định [ [E] = [x]. x∈E Khi đó [E] là bất biến lùi (vì [x] là bất biến lùi). Hiển nhiên, nếu E là bất biến lùi thì [E] = O(E) = E . Tập [E] là tập có tính chất bất biến lùi nhỏ nhất chứa E. Một điểm bất động của ánh xạ f : M → M là một điểm x ∈ M sao cho f (x) = x. Kí hiệu tập các điểm bất động của f bởi Fix(f ). Một k - vòng (vòng bậc k ) là một k - bộ gồm k phần tử x0 , . . . , xk−1 của M đôi một khác nhau sao cho f (xi ) = xi+1 (0 6 i 6 k − 1; f (xk−1 ) = x0 . Đối với một họ k -vòng {x0 , . . . , xk−1 }, hiển nhiên là xi thỏa mãn f k (xi ) = xi , nghĩa là {x0 , . . . , xk−1 } ⊂ Fix(f k ). Mỗi xi như vậy cũng được gọi là điểm bất động cấp k của f. Một 1-vòng của f chính là một điểm bất động của f. Đặt: ∞ [ Per(f ) = Fix(f k ). k=1 Các điểm cuả Per(f ) được gọi là các điểm tuần hoàn của f. Hiển nhiên là x ∈ Per(f ) khi và chỉ khi f k (x) = x với k ∈ Z+ nào đó. Giá trị k bé nhất sao cho f k (x) = x được gọi là chu kỳ của x. Nếu k là chu kỳ của x thì k > 1, và {x, f (x), . . . , f k−1 (x)} là một k -vòng của f. Bởi vậy Per(f ) là hợp các vòng của f. Với mỗi x ∈ M , ta xác định tập w - giới hạn L+ (x) của x bởi: \[ L+ (x) = f n (x). k >0 n>k 5
Với y ∈ L+ (x), tồn tại dãy nj → +∞ sao cho f nj → y khi j → +∞. Với một tập con A của M, ta xác định vũng của điểm hút của A bởi Att(A) như sau: Att(A) = {x ∈ M : L+ (x) ⊂ A}. 1.1.2. Tập hút, tập đẩy và tính chất Định nghĩa 1.5 ([7]). Ta nói rằng A là ổn định một cách tiệm cận (gần như là ổn định) nếu tồn tại một lân cận U của A thỏa mãn U ⊂ Att(A). Dễ dàng chứng minh được rằng nếu A ổn định tiệm cận thì Att(A) là mở. Thật vậy, lấy a ∈ Att(A), khi đó a ∈ M sao cho L+ (a) ⊂ A ⊂ U. Do a ∈ L+ (a) suy ra U là lân cận của A thỏa mãn U ⊂ Att(A) suy ra Att(A) mở. Một điểm bất động x0 của f được gọi là điểm hút của f nếu tồn tại lân cận U của x0 sao cho lim f n (x) = x0 , với mọi x ∈ U x→+∞ nghĩa là, một điểm bất động x0 của f là điểm hút khi và chỉ khi {x0 } là ổn định tiệm cận. Định nghĩa 1.6 ([6]). Một tập A được gọi là tập đẩy nếu 1) Mọi lân cận V của A, V \ [A] khác rỗng; 2) Tồn tại lân cận U của A sao cho với mọi x ∈ U \ [A] đều tồn tại n0 > 0 thỏa mãn f n (x) ∈ / U, với mọi n > n0 . Đặc biệt, một điểm bất động đẩy của f được gọi là điểm đẩy cuả f. Định lý 1.7 ([6]). Nếu một điểm của một vòng k -vòng (k > 1) của một ánh xạ liên tục f từ một không gian topo M vào chính nó là điểm hút (điểm đẩy) của f k , thì mọi điểm của vòng là điểm hút (điểm đẩy) của f k . Do đó vòng là ổn định tiệm cận (đẩy). Định lý 1.8 ([6]). Nếu một k - vòng (k > 1) của một ánh xạ liên tục f trên một không gian topo M là tập đẩy thì mọi điểm trên vòng đó là điểm đẩy đối với f k . Định nghĩa 1.9 ([7]). Một k - vòng (k > 1) của một ánh xạ liên tục f trên không gian topo M được gọi là điểm hút (điểm đẩy) đối với f nếu một điểm trên vòng đó là hút (đẩy) đối với f k . Định lý 1.7, 1.8 chỉ ra rằng một k -vòng (k > 1) của f là tập đẩy khi và chỉ khi nó là một điểm đẩy, nghĩa là một điểm bất kỳ của vòng là một điểm 6
đẩy đối với f k . Cũng như vậy, nếu một vòng là tập hút, thì nó ổn định tiệm cận. SKí hiệu Cp là trường các số p−adic, ta kí hiệu K là Cp hoặc C, K = K {∞}. Ta biết, một hàm nguyên f trên K có thể được đồng nhất với một ánh xạ chỉnh hình f : K → K, một hàm hữu tỷ R trên K có thể được đồng nhất với một ánh xạ chỉnh hình f : K → K, một hàm phân hình f trên K có thể được đồng nhất với ánh xạ chỉnh hình f : K → K. Bây giờ ta cho f : M → M là một ánh xạ khả vi, trong đó M là một đa tạp trên K và xét k -vòng f : x0 → x1 → x2 → · · · → xk−1 → xk = x0 . Nếu M là K, thì đạo hàm λ = (f k )0 (xi ) = f 0 (f k−1 (xi ))f 0 (f k−2 (xi )) · · · f 0 (f k−k (xi )) = f 0 (xk )f 0 (xk−1 ) · · · f 0 (x0 ) (do f k (xi ) = xi ) định nghĩa được, gọi là hệ số hay giá trị riêng của vòng. Theo định nghĩa, một vòng là vòng hút, vòng đẩy, hoặc không là vòng (hay vòng trung lập) nếu hệ số của nó thỏa mãn |λ| < 1, hoặc |λ| > 1, hoặc |λ| = 1. Vòng được gọi là siêu hút nếu λ = 0. Định lý 1.10 ([7]). Lấy một tập mở D ⊂ Cp . Giả sử rằng f : D → D là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó một điểm bất động z0 của f là điểm hút nếu và chỉ nếu z0 là vòng hút. Chứng minh. Nhắc lại, z0 là điểm hút nếu tồn tại lận cận U của z0 sao cho: lim |f n (z)| = z0 , với mọi z ∈ U. n→+∞ Không mất tính tổng quát, ta giả sử z0 = 0. Đặt λ = f 0 (0) (z0 là điểm bất động nếu k = 1, tức f (z0 ) = z0 ). Trước hết ta giả sử rằng z0 là vòng hút, tức |λ| < 1. Viết: X∞ f (z) = λz + aj z j . j=2 Lấy r ∈ R+ sao cho Cp (0, r)) ⊂ D và s = max |aj | rj−1 < 1 j >2 và chọn hằng số β sao cho max {|λ| , s} < β < 1. 7
Chú ý rằng |f (z)| 6 max {|λ| . |z| , |aj | . |z|j } = max {|λ| . |z| , |aj | . |z|j−1 . |z|}. Nhưng z ∈ Cp (0, r) kéo theo |aj | . |z|j−1 6 β. Suy ra |f (z)| 6 β |z| < r. Khi đó, nếu |z| < r
2
f (z)
= |f (f (z))| 6 β |f (z)| < r. Suy ra
2
f (z)