Luận văn Thạc sĩ Toán học: K - Lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> TRẦN THỊ BẢO TRÂM<br /> <br /> K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ<br /> CONG HẰNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> TRẦN THỊ BẢO TRÂM<br /> <br /> K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ<br /> CONG HẰNG<br /> Chuyên ngành: Hình học và tôpô<br /> Mã số: 60 46 10<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÁI SƠN<br /> <br /> Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> MỤC LỤC ..................................................................................................................... i<br /> LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1<br /> LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 2<br /> 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................................2<br /> 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................................2<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................................2<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................................2<br /> 5. Cấu trúc của luận văn ...........................................................................................................2<br /> <br /> DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ..................................................................................... 3<br /> CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG................................... 5<br /> 1.1 Độ cong tiết diện của đa tạp Rieman...............................................................................5<br /> 1.2<br /> <br /> Không gian có độ cong hằng..........................................................................................7<br /> <br /> 1.3 Một vài ví dụ về đa tạp Riemann có độ cong hằng .........................................................9<br /> <br /> CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT .................................................... 14<br /> 2.1 Phức Stiefel và đa tạp Grassman ...................................................................................14<br /> 2.2 Phạm trù Bund  ...........................................................................................................15<br /> 2.3 Việc xây dựng trên các phân thớ vectơ .........................................................................18<br /> 2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund  ( B ) ................................................19<br /> 2.5 Nửa vành Vect ( B ) .....................................................................................................23<br /> 2.6 Nhóm thứ nhất của K – lý thuyết tôpô, K ( X ) ............................................................26<br /> 2.6.1 Định lý phân loại ....................................................................................................26<br /> 2.6.2 Hàm tử K ( X ) .......................................................................................................26<br /> ~<br /> <br /> 2.6.3 Hàm tử K ( X ) ........................................................................................................27<br /> 2.6.4 Mô tả K ( X ) ..........................................................................................................29<br /> <br /> CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG<br /> HẰNG ......................................................................................................................... 33<br /> <br /> 3.1 Tôpô tổng quát và việc xây dựng các phân thớ vectơ ...................................................33<br /> 3.2 Phương pháp sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K – nhóm .............................36<br /> 3.2.1. Tích ngoài cho K ( X ) ...........................................................................................36<br /> 3.2.2 Ứng dụng tính K ( S 2 ) ; K ( CP1 ) ; K ( S 2 ) ; K ( CP1 ) ....................................................38<br /> ~<br /> <br /> ~<br /> <br /> 3.3 Phương pháp sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott ..................39<br /> 3.3.1 Các dãy khớp của K – nhóm ..................................................................................39<br /> 3.3.2 Tích ngoài rút gọn ..................................................................................................42<br /> 3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott ...........................................................................................42<br /> 3.3.4 Tính K – nhóm của một số không gian ..................................................................43<br /> 3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều .............................................................................45<br /> 3.4.1 Đối đồng điều .........................................................................................................45<br /> 3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều ...............................................................47<br /> 3.5 Một số phương pháp khác .............................................................................................48<br /> 3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương ...............................................48<br /> 3.5.2 Lũy linh của K ( X ) ................................................................................................48<br /> 3.5.3 Sử dụng nhóm K ( X , Y ) ........................................................................................49<br /> <br /> KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 50<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 51<br /> <br /> Trần Thị Bảo Trâm<br /> <br /> K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu<br /> sắc tới TS. Nguyễn Thái Sơn, người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành<br /> luận văn nà.<br /> Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy cô giảng viên trong<br /> khoa Toán – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dạy bảo tôi tận<br /> tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.<br /> Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã<br /> luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn<br /> tốt nghiệp.<br /> Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 10 năm 2011<br /> Học viên<br /> <br /> Trần Thị Bảo Trâm<br /> <br />