Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khung kết hợp đối ngẫu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong nghiên cứu các không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện để trở thành cơ sở khá chặt chẽ, không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Đề tài sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khung kết hợp đối ngẫu

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o NÆNG THÀ MY KHUNG KT HÑP ÈI NGU LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o NÆNG THÀ MY KHUNG KT HÑP ÈI NGU Chuy¶n ng nh: Gi£i T½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN QUÝNH NGA THI NGUYN - 2019
Líi cam oan Tæi xin cam oan luªn v«n "Khung k¸t hñp èi ng¨u" l cæng tr¼nh nghi¶n cùu khoa håc ëc lªp cõa ri¶ng tæi d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS. Nguy¹n Quýnh Nga . C¡c nëi dung nghi¶n cùu, k¸t qu£ trong luªn v«n n y l trung thüc v ch÷a tøng cæng bè d÷îi b§t ký h¼nh thùc n o tr÷îc ¥y. Ngo i ra, trong luªn v«n tæi cán sû döng mët sè k¸t qu£, nhªn x²t cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c ·u câ tr½ch d¨n v chó th½ch nguçn gèc. N¸u ph¡t hi»n b§t ký sü gian lªn n o tæi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· nëi dung luªn v«n cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 03 n«m 2019 T¡c gi£ Næng Thà M¥y X¡c nhªn X¡c nhªn cõa khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n TS. Nguy¹n Quýnh Nga i
Líi c£m ìn º ho n th nh · t i luªn v«n v k¸t thóc khâa håc, vîi t¼nh c£m ch¥n th nh, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi câ mæi tr÷íng håc tªp tèt trong suèt thíi gian tæi håc tªp, nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. Tæi xin gûi líi c£m ìn tîi TS. Nguy¹n Quýnh Nga ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v trüc ti¸p h÷îng d¨n tæi ho n th nh luªn v«n tèt nghi»p n y. çng thíi, tæi xin b y tä láng c£m ìn tîi th¦y cæ trong Khoa To¡n, b¤n b± ¢ gióp ï, t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n thi»n luªn v«n tèt nghi»p n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 03 n«m 2019 T¡c gi£ Næng Thà M¥y ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Líi mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n khæng gian Hilbert . . . . . 3 1.2 Khung v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Khung èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Khung k¸t hñp èi ng¨u 13 2.1 Khung k¸t hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Khung k¸t hñp èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Khung k¸t hñp èi ng¨u thu ÷ñc tø c¡c nghàch £o tr¡i cõa to¡n tû ph¥n t½ch . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Khung k¸t hñp èi ng¨u thu ÷ñc tø c¡c khung èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 K¸t luªn 27 T i li»u tham kh£o 28 iii
Líi mð ¦u Trong nghi¶n cùu c¡c khæng gian vectì, mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång nh§t l kh¡i ni»m cì sð, nhí â méi vectì trong khæng gian câ thº vi¸t nh÷ tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû trong cì sð. Tuy nhi¶n i·u ki»n º trð th nh cì sð kh¡ ch°t ch³, khæng cho ph²p sü phö thuëc tuy¸n t½nh giúa c¡c ph¦n tû trong cì sð. i·u n y l m cho khâ t¼m ho°c thªm tr½ khæng t¼m ÷ñc c¡c cì sð thäa m¢n mët sè i·u ki»n bê sung. ¥y l lþ do º chóng ta i t¼m mët cæng cö kh¡c linh ho¤t hìn v khung ch½nh l mët cæng cö nh÷ vªy. Khung cho ph²p chóng ta biºu di¹n méi ph¦n tû trong khæng gian nh÷ mët tê hñp tuy¸n t½nh (væ h¤n) cõa c¡c ph¦n tû trong khung nh÷ng khæng ái häi t½nh ëc lªp tuy¸n t½nh giúa c¡c ph¦n tû khung. Khung ÷ñc giîi thi»u v o n«m 1952 bði R. J. Duffin v A. C. Schaeffer trong khi nghi¶n cùu chuéi Fourier khæng i·u háa. V o n«m 1980 R. Young ¢ vi¸t cuèn s¡ch câ nhúng k¸t qu£ cì b£n v· khung, l¤i trong ngú c£nh cõa chuéi Fourier khæng i·u háa. Tuy nhi¶n ph£i ¸n n«m 1986, sau b i b¡o cõa I. Daubechies, A. Grossmanm v Y. Meyer th¼ lþ thuy¸t khung mîi ÷ñc c¡c nh khoa håc quan t¥m rëng r¢i. Khung câ nhi·u ùng döng trong xû lþ t½n hi»u, lþ thuy¸t mªt m¢, lþ thuy¸t l÷ñng tû, n²n dú li»u,. . . Khi c¦n xû lþ mët khèi l÷ñng lîn c¡c dú li»u, ta th÷íng c¦n chia nhä h» khung ra th nh nhúng h» con nhä hìn v tê hñp l¤i c¡c dú li»u mët c¡ch àa ph÷ìng. V¼ th¸ P. Casazza v G. Kutyniok [2] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m khung cõa c¡c khæng gian con (Frame of subspaces). Mët t¶n gåi kh¡c cõa khung cõa c¡c khæng gian con l khung k¸t hñp (Fusion frame). Khung k¸t 1
hñp câ thº xem nh÷ l têng qu¡t hâa cõa khung. Khung k¸t hñp l mët cæng cö to¡n håc º xû lþ nhúng b i to¡n xû lþ t½n hi»u ph¥n t¡n v têng hñp dú li»u. Khung k¸t hñp cho ph²p ph¥n t½ch t½n hi»u b¬ng c¡ch sû döng c¡c ph²p chi¸u tr¶n mët hå c¡c khæng gian con chçng l¶n nhau. Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u sc hìn v· khung k¸t hñp, °c bi»t l khung k¸t hñp èi ng¨u, do â tæi chån · t i khung k¸t hñp èi ng¨u l m · t i luªn v«n cao håc. 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi s³ nhc l¤i mët v i k¸t qu£ cì b£n s³ dòng trong ch÷ìng sau. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n c¡c t i li»u tham kh£o [4], [7]. 1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n khæng gian Hilbert To¡n tû tuy¸n t½nh tø khæng gian Hilbert H v o khæng gian Hilbert K l li¶n töc khi v ch¿ khi nâ bà ch°n, ngh¾a l , tçn t¤i h¬ng sè C>0 sao cho kT xk ≤ Ckxk, ∀x ∈ H. (1.1) K½ hi»u B(H, K) l tªp hñp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tø H v o K. Khi H=K th¼ B(H, K) ÷ñc k½ hi»u ìn gi£n l B(H). Chu©n cõa T ∈ B(H, K) ÷ñc ành ngh¾a l h¬ng sè C nhä nh§t thäa m¢n (1.1). Nâi mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, kT k = sup{kT xk : x ∈ H, kxk ≤ 1} = sup{kT xk : x ∈ H, kxk = 1}. M»nh · 1.1.1. Gi£ sû H, K, L l c¡c khæng gian Hilbert. N¸u T ∈ 3
B(H, K) th¼ tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû T ∗ ∈ B(K, H) sao cho (T ∗ x, y) = (x, T y), x ∈ K, y ∈ H. Hìn núa, (i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ . (ii) (RS)∗ = S ∗ T ∗ . (iii) (T ∗ )∗ = T . (iv) I ∗ = I , trong â I ∈ B(H) l to¡n tû çng nh§t. (v) N¸u T kh£ nghàch, th¼ T ∗ công kh£ nghàch v (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , trong â S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) v a, b ∈ C. M»nh · 1.1.2. Gi£ sû T ∈ B(H, K) v S ∈ B(K, L). Khi â (i) kT xk ≤ kT kkxk, x ∈ H. (ii) kST k ≤ kSkkT k. (iii) kT k = kT ∗ k. (iv) kT ∗ T k = kT k2 . Cho T ∈ B(H). T ÷ñc gåi l to¡n tû tü li¶n hñp n¸u T∗ = T, T ÷ñc gåi l d÷ìng (k½ hi»u T ≥ 0) n¸u (T x, x) ≥ 0 vîi måi x ∈ H. T, K ∈ B(H), T ≥ K n¸u T − K ≥ 0. Chó þ r¬ng vîi méi T ∈ B(H) th¼ (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0 vîi måi x ∈ H. Do â, T ∗T l d÷ìng. M»nh · 1.1.3. Cho T : H → H l to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v gi£ sû hT x, xi = 0 vîi måi x ∈ H. Khi â (i) N¸u H l khæng gian Hilbert phùc th¼ T = 0. (ii) N¸u H l khæng gian Hilbert thüc v T l tü li¶n hñp th¼ T = 0 4
B¥y gií ta chuyºn sang mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n °c bi»t, â l ph²p chi¸u trüc giao tr¶n mët khæng gian con âng cõa khæng gian Hilbert H. Cho M l khæng gian con âng cõa H. Méi ph¦n tû x ∈ H ·u câ thº biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng x=y+z vîi y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Ph÷ìng tr¼nh πM (y + z) = y x¡c ành mët to¡n tû tuy¸n t½nh πM : H → M . Hìn núa kπM (y+z)k2 = kyk2 ≤ kyk2 +kzk2 = ky+zk2 . Tø â kπM (y+z)k ≤ ky+zk vîi måi y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Do â πM bà ch°n v kπM k ≤ 1. Do πM (y) = y vîi måi y∈M n¶n 2 kπM k = 1 trø tr÷íng hñp M = {0} v P = 0. Chó þ r¬ng πM = πM v ∗ π M = πM . 1.2 Khung v c¡c t½nh ch§t Nëi dung cõa möc n y ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n t i li»u tham kh£o [4]. Tø ¥y trð v· sau chóng tæi kþ hi»u H l khæng gian Hilbert kh£ ly v I l mët tªp ch¿ sè húu h¤n hay ¸m ÷ñc. ành ngh¾a 1.2.1. Mët d¢y {fi }i∈I cõa c¡c ph¦n tû trong H l mët khung cõa H n¸u tçn t¤i h¬ng sè 0
ành ngh¾a 1.2.2. Mët khung ÷ñc gåi l ch°t n¸u ta câ thº chån α=β l c¡c cªn cõa khung. Khung ÷ñc gåi l khung Parseval n¸u α = β = 1. Khi ta nâi v· cªn cõa khung ch°t, ta muèn nâi gi¡ trà ch½nh x¡c α còng lóc l cªn tr¶n v cªn d÷îi cõa khung. Chó þ r¬ng i·u ki»n n y hìi kh¡c vîi thuªt ngú cõa khung têng qu¡t ð â,v½ dö mët cªn khung tr¶n ch¿ l mët sè n o â m i·u ki»n Bessel ÷ñc thäa m¢n. Trong tr÷íng hñp khæng gian H húu h¤n chi·u th¼ d¢y {fi }m i=1 l mët khung khi v ch¿ khi span{fi }m i=1 = H. Thªt vªy, gi£ sû {fi }m i=1 l mët khung cõa khæng gian húu h¤n chi·u H. N¸u span{fi }m i=1 6= H th¼ tçn t¤i g kh¡c khæng thuëc H sao cho hg, fi i = 0, ∀i = 1, 2, .., m. Theo ành ngh¾a cõa khung th¼ tçn t¤i c¡c h¬ng sè α, β > 0 húu h¤n º (1.2) thäa m¢n. Tø b§t ¯ng thùc v¸ tr¡i cõa (1.2) cho f =g v hg, fi i = 0, ∀i = 1, 2, .., m ta câ αkgk2 ≤ 0. Do â g = 0, suy ra m¨u thu¨n. B¥y gií gi£ sû span{fi }m i=1 = H. Ta câ thº gi£ thi¸t khæng ph£i to n bë c¡c fi ·u b¬ng 0. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy- Schwarz, m X m X Xm 2 2 2 | hf, fi i | ≤ kf k kfi k = ( kfi k2 )kf k2 i=1 i=1 i=1 m kfi k2 . P Do â ta câ thº chån α= i=1 m | hf, fi i |2 . P X²t ¡nh x¤ φ:H→R x¡c ành bði φ(f ) = i=1 Ta th§y ngay φ li¶n töc. Do h¼nh c¦u ìn và trong H l compact n¶n ta câ thº t¼m g ∈ H vîi kgk = 1 sao cho m ( m ) X X α := |hg, fi i|2 = inf | hf, fi i |2 : f ∈ H, kf k = 1 . i=1 i=1 Rã r ng α > 0. Vîi méi f kh¡c khæng trong H ta câ m m
2 X 2 X
f
.kf k2 ≥ αkf k2
|hf, fi i| =
kf k , fi
i=1 i=1 6
V¼ vªy {fi }m i=1 l mët khung cho H. Trong tr÷íng hñp H l væ h¤n chi·u th¼ ta ch¿ câ mët chi·u. Cö thº n¸u {fi }∞ i=1 l mët khung cõa H th¼ span{fi }∞ i=1 = H. V½ dö 1.2.3. Gi£ sû {ek }∞ k=1 l mët cì sð trüc chu©n cõa H. Khi â (i) {ek }∞ k=1 l khung Parseval. i·u n y câ ÷ñc tø ¯ng thùc Parseval. (ii) B¬ng c¡ch l°p méi ph¦n tû trong d¢y {ek }∞ k=1 hai l¦n ta thu ÷ñc {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} th¼ {fk }∞ k=1 l khung ch°t vîi cªn khung α = 2. N¸u ch¿ e1 ÷ñc l°p l¤i ta thu ÷ñc {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} th¼ {fk }∞ k=1 l mët khung vîi cªn α = 1, β = 2. {fk }∞ (iii) Gi£ sû √1 √1 √1 √1 √1 ∞ k=1 := {e1 , 2 e2 , 2 e2 , 3 e3 , 3 e3 , 3 e3 , ...}, ngh¾a l {fk }k=1 1 l mët d¢y m méi vectì √ ek ÷ñc l°p l¤i k l¦n. Khi â vîi méi f ∈ H câ k ∞ ∞