Luận văn Thạc sĩ Toán học: Liên thông Finsler

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Liên thông Finsler tập trung tìm hiểu về phân thớ Finsler, các dạng Tenxơ Finsler, liên thông thẳng đứng, liên thông trong phân thớ Finsler, liên thông phi tuyến và V-liên thông, liên thông Finsler, phép chuyển dời song song, các tham số liên thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Liên thông Finsler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Duệ LIÊN THÔNG FINSLER Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Khu Quốc Anh, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội đã từng bước hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi làm quen với “Liên thông Finsler” để từng bước tiến tới nắm vững lý thuyết về “Liên thông Finsler” và tự giải quyết bài toán của mình. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong tổ hình học, Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc đạt hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Tổ chức Hành Chánh, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn UBND Tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu và tập thể tổ toán Trường THPT Hoàng Văn Thụ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
MỤC LỤC Trang phụ bìa .................................................................................................... 1 Lời cảm ơn ........................................................................................................ 2 Mục lục.............................................................................................................. 3 MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 9 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................... 11 1.1. Không gian Tenxơ............................................................................ 11 1.1.1. Không gian vectơ thực n-chiều ................................................. 11 1.1.2. Không gian tenxơ kiểu (r,s) Vsr ................................................. 12 1.1.3. Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M .......................... 12 1.1.4. Trường vectơ song song S(u) .................................................... 13 1.1.5. Mệnh đề ..................................................................................... 14 1.2. Nhóm tuyến tính tổng quát G  GL(n, ) ........................................ 14 1.2.1. Phép tự đẳng cấu trong Lgg ........................................................ 14 1.2.2. Biểu diễn liên hợp của g ............................................................ 15 1.2.3. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc ..................................... 15 1.2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M ............................................ 16 1.3. Tác động của G lên Vsr ..................................................................... 17 1.3.1. Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều.................. 17 1.3.2. Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu ........................ 17
1.3.3. Tác động của G lên Vsr .............................................................. 18 1.3.4. Trường vectơ cơ bản V(A) trên Vsr ........................................... 18 1.3.5. Tác động  của L(G) lên Vsr .................................................... 19 1.3.6. Tính chất .................................................................................... 19 1.3.7. Ví dụ .......................................................................................... 19 1.4. Phân thớ các mục tiêu L(M)............................................................. 20 1.4.1. Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M) ................................... 20 1.4.2. Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L .......................... 20 1.4.3. Không gian con thẳng đứng Lvz ................................................. 21 1.4.4. Trường vectơ cơ bản Z(A) trên L ............................................. 21 1.5. Phân thớ Tenxơ tiếp xúc................................................................... 22 1.5.1. Phân thớ tenxơ tiếp xúc ............................................................. 22 1.5.2. Biểu thức tọa độ trên Tsr ............................................................ 23 1.5.3. Không gian con thẳng đứng trên Tsr .......................................... 23 1.5.4. Ánh xạ thừa nhận được. Ánh xạ liên kết ................................... 24 1.5.5. Nhận xét..................................................................................... 24 1.6. Trường Tenxơ................................................................................... 25 1.6.1. Trường tenxơ trên đa đạp khả vi M........................................... 25 1.6.2. Dạng cơ bản  trên L ................................................................ 27 1.6.3. Tính chất .................................................................................... 27 1.7. Liên thông tuyến tính ....................................................................... 28
1.7.1. Liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi M........................... 28 1.7.2. Dạng liên thông  của  .......................................................... 29 1.7.3.Tính chất của  .......................................................................... 29 1.7.4. Đường cong nằm ngang............................................................. 29 1.7.5. Trường vectơ nằm ngang B(v) trên L........................................ 30 1.7.6. Tính chất của B(v) .................................................................... 30 1.7.7. Vi phân thuận biến. Đạo hàm thuận biến .................................. 31 1.7.8. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc ..................................... 31 1.7.9. Liên thông liên kết với  .......................................................... 32 1.7.10. Tính chất của liên thông liên kết ............................................. 32 Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER ....................................................... 34 2.1. Phân thớ Finsler................................................................................ 34 2.1.1. Phân thớ Finsler F(M) ............................................................... 34 2.1.2. Không gian con thẳng đứng Fuv của Fu ..................................... 35 2.1.3. Trường vectơ cơ bản Z(A) trên F .............................................. 35 2.1.4. Mệnh đề 1 .................................................................................. 36 2.1.5. Nhận xét..................................................................................... 37 2.1.6. Không gian con tựa thẳng đứng Fuq ........................................... 37 2.1.7. Định nghĩa hàm  ..................................................................... 38 2.1.8. Mệnh đề 2 .................................................................................. 38 2.2. Các dạng Tenxơ Finsler.................................................................... 40
2.2.1. Trường tenxơ Finsler ................................................................. 40 2.2.2. Biểu thức tọa độ trên F .............................................................. 41 2.2.3. Định nghĩa ................................................................................. 42 2.2.4. Tính chất .................................................................................... 42 2.3. Liên thông thẳng đứng ..................................................................... 42 2.3.1. Không gian con thẳng đứng cảm sinh Fui .................................. 42 2.3.2. Trường vectơ cơ bản cảm sinh Y(v) trên F ............................... 43 2.3.3. Mệnh đề 1 .................................................................................. 43 2.3.4. Mệnh đề 2 .................................................................................. 44 2.3.5. Phân thớ Finsler con của F(M) .................................................. 45 2.3.6. Liên thông thẳng đứng  v trong F ............................................ 46 2.3.7. Liên thông dẹt thẳng đứng......................................................... 47 2.3.8. Trường vectơ v-cơ bản Bv (v) của  v ....................................... 47 2.3.9. Trường tenxơ Cartan C.............................................................. 48 2.4. Liên thông trong phân thớ Finsler.................................................... 49 2.4.1. Liên thông  trong phân thớ Finsler......................................... 49 2.4.2. Liên thông thẳng đứng liên kết  v ............................................ 50 2.4.3. Liên thông tầm thường t  trong F............................................ 50 2.4.4. Định lý ....................................................................................... 52 2.5. Liên thông phi tuyến và V-liên thông .............................................. 52 2.5.1. Liên thông phi tuyến N.............................................................. 52
2.5.2. Dạng v-cơ bản  v ...................................................................... 53 2.5.3. V-liên thông  V ........................................................................ 53 2.5.4. Dạng V-liên thông của  V ........................................................ 54 2.5.5. Trường vectơ V-cơ bản B(v) (v1 ) trên L.................................... 55 2.5.6. Liên thông phi tuyến N* ........................................................... 56 2.5.7. Liên thông phi tuyến liên kết với  V ........................................ 57 2.6. Liên thông Finsler ............................................................................ 57 2.6.1. Liên thông Finsler...................................................................... 57 2.6.2. Phần v-nằm ngang và h-nằm ngang của  ............................... 58   2.6.3. Cặp Finsler  h ,  v trong F(M) .............................................. 59 2.6.4. Định lý 1 .................................................................................... 59 2.6.5. Trường vectơ h-cơ bản Bh (v) ................................................... 61 2.6.6. Mệnh đề ..................................................................................... 62 2.6.7. Trường tenxơ lệch D của liên thông Finsler F  ....................... 63 2.6.8. V-liên thông liên kết  V của F  .............................................. 63 2.6.9. Định nghĩa bộ ba Finsler ........................................................... 64 2.6.10. Định lý 2 .................................................................................. 65 2.6.11. Dạng liên thông  của  ........................................................ 67 2.6.12. Liên thông Finsler tầm thường t F ........................................ 68 2.6.13. Định lý 4 .................................................................................. 68
2.7. Phép chuyển dời song song .............................................................. 70 2.7.1. Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) trên đa tạp khả vi .................. 70 2.7.2. Định nghĩa 1 .............................................................................. 72 2.7.3. Mệnh đề 1 .................................................................................. 73 2.7.4. Định nghĩa 2 .............................................................................. 73 2.7.5. Định nghĩa 3 .............................................................................. 74 2.7.6. Định nghĩa 4 .............................................................................. 75 2.8. Các tham số liên thông ..................................................................... 75 KẾT LUẬN .................................................................................................... 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 82
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học vi phân của các mặt trong không gian Ơclit ba chiều đã được nghiên cứu từ nửa cuối thế kỷ XIX với những công trình nghiên cứu của Gauss, Christoffel. Phép tính tenxơ đã được nghiên cứu vào những năm 1900 qua các công trình của Ricci và Levi-Civita. Để nghiên cứu sự biến thiên của các trường vectơ, các trường tenxơ trên mặt nói riêng và trên đa tạp nói chung người ta cần dựa vào phép tịnh tiến song song. Trong không gian afin phép tịnh tiến song song được định nghĩa một cách trực quan và dễ dàng. Tuy nhiên, trên các mặt nói riêng và trên các đa tạp khả vi nói chung việc định nghĩa phép chuyển dời song song không hề đơn giản. Để giải quyết vấn đề này thì lý thuyết liên thông ra đời. Người đầu tiên trình bày khái niệm chuyển dời song song đối với các mặt là Levi-Civita (năm 1917). Đến năm 1918 qua những công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Đức Paul Finsler (1894- 1970) đã cho ra đời “Hình học Finsler” theo quan điểm của toán học cổ điển và đến năm 1934 E.Cartan là người đầu tiên nghiên cứu hình học Finsler theo quan điểm của toán học hiện đại. Hình học Finsler được xem như là sự mở rộng của hình học Riemann. Ngay từ khi ra đời, hình học Finsler đã được nhiều nhà toán học quan tâm như: E. Cartan, V. Barthel, H. Rund, S.S Chern, M.Matsumoto,…và trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân hiện đại và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Trong những năm gần đây, metric Finsler đã được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi chẳng những trong hình học vi phân mà còn cả trong giải tích phức hiện đại, tôpô vi phân, lý thuyết số,... Chọn đề tài về liên thông Finsler, một lĩnh vực của hình học Finsler chúng tôi muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân đã được học ở đại học.
2. Mục đích Luận văn này nghiên cứu và chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và mệnh đề chủ yếu về Liên thông Finsler. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Trong luận văn này, tôi nghiên cứu 3 định nghĩa tương đương về liên thông Finsler, một số định lý và mệnh đề chủ yếu nhất. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về Liên thông Finsler. Thông qua đó, nó giúp ta tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân đã được học ở đại học. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có 2 chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian tenxơ, nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) , phân thớ các mục tiêu L(M), phân thớ tenxơ tiếp xúc, trường tenxơ, liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. Chương 2: Liên thông Finsler Trình bày liên thông Finsler và đi đến kết luận: có 3 định nghĩa tương đương về liên thông Finsler: + F   (, N )  + F    h , v   + F   V , N , v 
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. KHÔNG GIAN TENXƠ 1.1.1. Không gian vectơ thực n-chiều. Biểu thức tọa độ của vectơ Gọi V là không gian vectơ thực n-chiều và e a a 1,2,,n là một cơ sở n của V, khi đó với mọi v V ta có v  v ae a ,v a  . Ứng với cơ sở e a  a 1 của V ta thu được ánh xạ V  n   ,v  v a , do đó V được xem như là một   đa tạp khả vi n-chiều và tập v a được gọi là tọa độ của v đối với cơ sở e a  . * Ta ký hiệu V 1o hay V là không gian vectơ đối ngẫu của V. Giá trị của v * V *  tại v V được biểu thị dưới dạng v ,v *   và được gọi là tích trong của v và v * . Không gian V ban đầu cũng được xem là không gian đối ngẫu của V * sao cho với v V ta có ánh xạ tuyến tính V *  , v *  v ,v * .   Tập hợp n phần tử e a V * , a  1,2,, n là một cơ sở của V * , ký hiệu là 0, i  j e  a  với e a được xác định bởi phương trình e a ,e b   ab    1, i  j ,   a,b  1,2,..., n . Khi đó, e a được gọi là cơ sở đối ngẫu với e a  . Theo cơ sở e  , a bất kỳ vectơ v * V * được biểu thị duy nhất dưới dạng n v  v ae a , v a  * . Do đó v a  được gọi là tọa độ của v * đối với cơ sở a 1 e  . a
1.1.2. Không gian tenxơ kiểu (r,s) V sr . Biểu thức tọa độ của các Tenxơ Cho r, s là các số nguyên dương hoặc bằng 0 (r, s không đồng thời bằng không), một tenxơ kiểu (r,s) w là một ánh xạ đa tuyến tính * V *   V * V w :V   V   . Khi đó, không gian tenxơ V sr là tập r s hợp tất cả các tenxơ kiểu (r,s). Cho cơ sở e a  của V và cơ sở đối ngẫu e a của V * , ta có n r  s   phần tử e ab1 bs r a V s , a s ,b s  1,2, , n được xác định bởi phương trình:   1 r   cr e ab1 bs c1 cr c1 b1 bs a e , ,e ,e d1 , ,e d s   a  ar  d  d . 1 r 1 1 s Khi đó, tập e ab1 bs a   là cơ sở của V sr và được gọi là cơ sở được suy ra 1 r từ e a  . Ta có, V sr là không gian vectơ thực n r  s - chiều và với bất kỳ w V sr được biểu thị duy nhất dạng w  w ba1 ar b1bs a1ar b e a a , w b b  . Do 1 s 1 r 1 s a,b đó, V sr là đa tạp khả vi n r  s -chiều và tập w ba1 ar b  1 s  được gọi là tọa độ của w đối với cơ sở e ab1 bs a . 1 r  1.1.3. Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M Gọi t  là nhóm các phép biến đổi một tham số trên đa tạp khả vi M. Khi đó, một trường vectơ tiếp xúc X trên M được sinh ra từ t  bởi phương trình: d X x (f )   f .t (x )  d t (f .t (x )), x  M dt t 0
trong đó, f là một hàm trên M. Ngược lại, nhóm các phép biến đổi một tham số t  được sinh ra một cách địa phương bởi trường vectơ tiếp xúc X sao cho phương trình trên thỏa mãn. 1.1.4. Trường vectơ song song S(u) Bây giờ, ta xét không gian vectơ thực m-chiều U. Với phép lấy tổng  : U U  U , u1,u2   u1  u2 thì U được xem là nhóm Lie các phép biến đổi của U và với bất kỳ điểm cố định u U , ánh xạ  u :U  U , u1  u1  u cho ta nhóm các phép biến đổi một tham số  tu  của U. Khi đó, trường vectơ tiếp xúc S(u) được cảm sinh từ  tu  gọi là trường vectơ song song ứng với u U . Ta có: S u  f  d t  f . tu  với f là một hàm trên U. Ngoài ra, trường vectơ song song S(u) còn được biểu thị dưới dạng: S (u )   u    u  , u  u    trong đó, u  ,   1,2,, m là tọa độ tự nhiên của u đối với cơ sở e   của không gian vectơ U. Từ khái niệm trường vectơ song song ta có một phép đẳng cấu tuyến tính: S u :U  U u , u1  S (u1 )u trong đó S (u1 )u là giá trị của trường S (u1 ) tại u.
Một cách tổng quát, cho P, Q, M là các đa tạp khả vi và  : P  Q  M , ( p ,q )  pq là một ánh xạ khả vi. Khi đó, với bất kỳ điểm cố định p  P ta thu được ánh xạ cố định bên trái p  của  như sau: p : Q  M , q  pq Và với bất kỳ điểm cố định q Q , ta cũng thu được ánh xạ cố định bên phải q của  như sau: q : P  M , p  pq 1.1.5. Mệnh đề Cho ánh xạ khả vi  : M U , khi đó vi phân   : M x  U u , u   (x ) là một ánh xạ tuyến tính. Mặt khác, nếu xem  là một hàm trên M lấy giá trị trong U thì từ vi phân ngoài d  : M x  U và phép đẳng cấu tuyến tính S u :U  U u ta có    S u .d  1.2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Ta ký hiệu nhóm tuyến tính tổng quát thực GL (n , )  G . Phần tử g G là một cấu trúc khả vi thực không suy biến n 2 -chiều và tập g ba gọi   là tọa độ của g G . 1.2.1. Phép tự đẳng cấu trong Lg Cho phép nhân  : G  G  G ,  g 1 , g 2   g 1g 2 Nghĩa là, nếu tọa độ     thì tọa độ của g .g của g 1, g 2 lần lượt là g 1ab , g 2ab 1 2   là g1ac g 2cb . Ánh xạ cố định trái g  , g G của  gọi là phép tịnh tiến trái và  g là phép tịnh tiến
phải. Bằng cách kết hợp cả hai phép tịnh tiến, ta có một phép tự đẳng cấu trong Lg  g  .  . . g 1 g 1 g 1.2.2. Biểu diễn liên hợp của g Gọi L(G) là đại số Lie của G. Mỗi phần tử A  L (G ) là một trường vectơ bất biến trái trên G, nghĩa là g  A  A với g G . Giá trị của A tại điểm g G được xác định bởi A g = g  Ae với e là phần tử đơn vị của G, do đó ta có đẳng cấu LL : L (G )  Ge , A  Ae , ở đây Ge là không gian vectơ tiếp xúc với G tại e. Hơn nữa, vi phân Lg của phép tự đẳng cấu trong Lg cho ta biễu diễn liên hợp của g như sau: ad ( g )  LL1.Lg .LL : L (G)  L(G)      Gọi gab là tọa độ tự nhiên của g trên G, khi đó ta có  a  là cơ sở  g   b e      của Ge và Lba là cơ sở tự nhiên của L(G) với Lba  LL1  a  . Theo cơ sở  g   b e này, một phần tử A  L (G ) được xem như là một ma trận thực n  n A ba , ở   đây A   A ba Lba . Khi đó, A g  a,b   g caAbc g a , a,b ,c   g  g ba b 1.2.3. Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc Bây giờ ta sẽ định nghĩa tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi. Cho X, Y, Z là các trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi M, khi đó với f, g là các hàm trên M ta có:
*  X ,Y x  f   X x Y (f ) Y x  X (f ) tại x  M *  X ,[Y , Z ]  Y ,[Z , X ]   Z ,[X ,Y ]  0 (đồng nhất thức Jacobi) *  fX , gY   fg  X ,Y    fX ( g ) Y   gY (f )  X * Nếu t  là nhóm các phép biến đổi 1 tham số được sinh ra bởi X thì khi đó tích Lie [X,Y] được biểu thị dưới dạng: [X ,Y ]  d t (  tY ) * Trong trường hợp M là một nhóm Lie, nếu ta xét các trường vectơ tiếp xúc A, B của đại số Lie L(M) thì tích Lie [A,B] cũng là một phần tử của L(M) được xác định bởi: [A , B ]  d t  ad (at (e ))B  ở đây at  là nhóm các phép biến đổi một tham số được sinh ra bởi A. * Đặc biệt, trong nhóm Lie L(G) của nhóm tuyến tính tổng quát G, tích Lie [A,B] biểu thị đơn giản dưới dạng: [A , B ]  A B  BA ở đây AB & BA là tích của các ma trận A và B. 1.2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M Ta sẽ nhắc lại các dạng vi phân trên đa tạp khả vi M. Cho X, Y, Z là các vectơ tiếp xúc trên M, khi đó ta có : * 2d  (X ,Y )  X ( (Y )) Y ( (X ))   ([X ,Y ]) (  là vi phân 1-dạng) * 3d  (X ,Y , Z )  X ( (Y , Z )) Y ( (Z , X ))  Z ( (X ,Y ))  ([X ,Y ], Z )   ([Y , Z ], X )   ([Z , X ],Y )
(  là vi phân 2-dạng) 1.3. TÁC ĐỘNG CỦA G LÊN V sr 1.3.1. Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều V Gọi e a  là cơ sở cố định của không gian vectơ V, theo cơ sở này nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) thực hiện phép toán  trên V như sau:  : G V V , ( g ,v )  gv     Nghĩa là, nếu g ba là tọa độ tự nhiên của g G và v a là tọa độ tự nhiên của v đối với cơ sở e a  thì tọa độ tự nhiên của gv là  g v  . Do đó G a b b là nhóm Lie các phép biến đổi của V. * 1.3.2. Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu V   Gọi e a là cơ sở đối ngẫu của e a  , khi đó phép toán của G trên V *  * : G V * V * ,  g ,v   gv * *    được xác định bởi v , gv *  g 1v ,v * với v V . Nếu v a  là tọa độ tự nhiên của v * đối với cơ sở e  thì tọa độ a  b  tự nhiên của gv * là v b g 1a , trong đó g  g ba     là ma trận và g 1b a   nghịch đảo của g ba . Sau này, để cho ngắn gọn ta sẽ sử dụng ký hiệu  thay cho  * .
1.3.3. Tác động của G lên không gian tenxơ V sr  Gọi e ab1 bs a 1 r  là cơ sở tự nhiên của V s r , khi đó phép toán  sr của G trên V sr được xác định bởi:  sr : G V sr V sr , ( g ,w )  gw    và khi đó: ( gw ) v 1* ,,v r* ,v 1,,v s  w g 1v 1* ,, g 1v r* , g 1v 1,, g 1v s với  v s V , v *s V * .  Nếu w ba1 ar b 1 s  là tọa độ tự nhiên của w ứng với cơ sở e b1bs a1ar  khi đó, tọa độ tự nhiên của gw được cho bởi:   d1 ds g ca1  g car w dc1c r 1 1 a d g b1  g bs , g  g b 1 r 1 s Để cho ngắn gọn ta cũng sử dụng ký hiệu  thay cho  sr . 1.3.4. Trường vectơ cơ bản V(A) trên V sr Một vectơ tiếp xúc tại điểm w V sr được xác định bởi: V (A )w  w .LL (A ), A  L (G ) ở đây LL : L (G )  Ge và w : G V sr , w V sr là ánh xạ cố định phải của  . Trường vectơ tiếp xúc V(A) trên V sr mà giá trị của nó tại w được xác định bởi: V (A )w  w .LL (A ) gọi là trường vectơ cơ bản trên V sr ứng với A  L (G ) .
1.3.5. Tác động  của đại số Lie L(G) trên V sr Tác động  của đại số Lie L(G) trên V sr được xác định như sau:  (A ,w )  A w , Sw (A w ) V (A )w   với Sw :V sr  V sr w là phép tự đẳng cấu tuyến tính. Hơn nữa ta có: g  .Sw  S gw . g  1.3.6. Tính chất * Nếu A  L (G ) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số at  thì V(A) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số  a (e ) với g  t là ánh xạ cố định trái của  . * Trường vectơ tiếp xúc S(w) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số  tw  . * A w  d t  at (e )w  với at  là nhóm các phép biến đổi một tham số được sinh ra bởi A. * V (A ),S (w )  S (A w ) 1.3.7. Ví dụ Xét trường vectơ cơ bản V(A) trên không gian tenxơ V 21 , ký hiệu w  là tọa độ của w V a bc 1 2   , với A  A ba thì V(A) được biểu thị dưới dạng: V (A )w   a ,b ,c ,d A w a d d bc a  w dc A bd  w bd a A cd  w a . bc Hơn nữa, ta có:
Aw   a,b ,c ,d A w a d d bc a  w dc A bd  w bd a    A cd e abc , A  A ba ,w   w bca e abc a ,b ,c 1.4. PHÂN THỚ CÁC MỤC TIÊU L(M) 1.4.1. Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M) Cho M là một đa tạp khả vi n-chiều, M x là không gian vectơ tiếp xúc với M tại x. Một cơ sở z   z a  , a  1,2,, n của M x được gọi là mục tiêu tuyến tính trên M với x là điểm gốc của z. Tập hợp L của tất cả các mục tiêu tuyến tính trên M có cấu trúc của phân thớ chính L (M )   L , M , L ,G  được gọi là phân thớ các mục tiêu trên M, trong đó không gian toàn phần L là đa   tạp khả vi n 2  n -chiều, phép chiếu  L : L  M , z  x là ánh xạ khả vi với x là điểm gốc của z và G  GL (n , ) là nhóm cấu trúc. 1.4.2. Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L   Gọi U là miền xác định của tọa độ x i trên M và mục tiêu tuyến tính      z  (z a ) với điểm gốc x  x i được biểu thị bởi z a   z ai  i  . Do đó, i  x x  ta có x i , z ai  là tọa độ của điểm z trên L mà miền xác định của nó là  L1(U ) . Đây được gọi là tọa độ được cảm sinh từ x i .   Xét phép toán  : L  G  L ,  z , g   zg , nghĩa là nếu z  (z a ) và     g  g ba thì zg  z a g ba . Khi đó, ánh xạ cố định phải  g của  gọi là phép tịnh tiến phải của L và ánh xạ cố định trái z  của  gọi là ánh xạ cơ bản. Nếu