Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

151
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không trình bày về ma trận trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không; ứng dụng trong lí thuyết module. Mời các bạn tham khảo luận văn để hiểu rõ hơn về những nội dung này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011
LỜI CẢM ƠN B 0 Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua. Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011 Lê Thị Thu Huyền
MỤC LỤC B 1 LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... 3 0T T 0 MỤC LỤC ................................................................................................................................ 4 0T T 0 MỞ ĐẦU .................................................................................................................................. 7 0T T 0 CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị ............................................................................................ 8 0T 0T 1.1.Các kiến thức cơ bản về vành .................................................................................................................. 8 0T 0T 1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: ............................................................................................................... 8 T 0 0T 1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: ............................................................................................................. 8 T 0 0T 1.1.3.Ideal sinh bởi tập X .......................................................................................................................... 8 T 0 0T 1.2.Ước của 0 và miền nguyên ...................................................................................................................... 8 0T 0T 1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: ...................................................................................... 8 T 0 T 0 1.2.2.Miền nguyên: ................................................................................................................................... 8 T 0 0T Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: ............................. 9 0T T 0 1.3.Linh tử hóa: ............................................................................................................................................. 9 0T T 0 1.4.Module: ................................................................................................................................................... 9 0T T 0 1.4.1.Module: ........................................................................................................................................... 9 T 0 0T 1.4.2.Module con ...................................................................................................................................... 9 T 0 0T 1.4.3.Ví dụ :............................................................................................................................................ 10 T 0 T 0 1.5.Module tự do ......................................................................................................................................... 10 0T 0T 1.5.1.Định nghĩa: .................................................................................................................................... 10 T 0 0T 1.5.2.Ví dụ:............................................................................................................................................. 10 T 0 T 0 1.5.3.Một vài định lí: .............................................................................................................................. 10 T 0 0T CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA 0T KHÔNG ...................................................................................................................................12 T 0 2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN ................................................................................................................ 12 0T 0T 2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: ................................................................................................................ 12 T 0 0T
2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : ...................................................................................................... 12 T 0 0T 2.1.3. Các phép toán trên ma trận ............................................................................................................ 13 T 0 0T 2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận: ................................................................... 14 T 0 T 0 2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận .......................................................................................... 14 T 0 T 0 2.1.6.Ma trận bậc thang .......................................................................................................................... 15 T 0 0T 2.2. ĐỊNH THỨC ....................................................................................................................................... 16 0T 0T 2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: .......................................................................................................................... 16 T 0 0T 2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: ............................................................................................... 17 T 0 T 0 2.2.3. Ma trận con và định thức con: ....................................................................................................... 17 T 0 0T 2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:............................................................................................... 18 T 0 T 0 2.2.5. Ma trận khả nghịch ....................................................................................................................... 19 T 0 0T 2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN .............................................................................................. 21 0T T 0 Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): ............................................................................................................ 21 T 0 0T Định nghĩa 2.3.2: .................................................................................................................................... 22 T 0 0T Hệ quả 2.3.2: .......................................................................................................................................... 23 T 0 0T Định nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2): ........................................................................................................... 24 T 0 0T Tính chất 2.3.3:....................................................................................................................................... 24 T 0 0T 2.4. Hệ phương trình tuyến tính ................................................................................................................... 29 0T 0T Định lí 2.4.1: .......................................................................................................................................... 29 T 0 0T Hệ quả 2.4.1: .......................................................................................................................................... 31 T 0 0T Định lí 2.4.2: .......................................................................................................................................... 32 T 0 0T Định lí 2.4.3: .......................................................................................................................................... 33 T 0 0T Ví dụ 2.4.3:............................................................................................................................................. 33 T 0 T 0 Định lí 2.4.4: .......................................................................................................................................... 34 T 0 0T Hệ quả 2.4.4: .......................................................................................................................................... 36 T 0 0T CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE .............................................37 0T T 0 3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO..................................................... 37 0T T 0
Định nghĩa 3.1.1: .................................................................................................................................... 37 T 0 0T Định lí 3.1.1: .......................................................................................................................................... 37 T 0 0T Định lí 3.1.2: .......................................................................................................................................... 37 T 0 0T Ví dụ 3.1.2:............................................................................................................................................. 38 T 0 T 0 Bổ đề 3.1.2: ............................................................................................................................................ 38 T 0 T 0 Định lý 3.1.3........................................................................................................................................... 39 T 0 0T Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 39 T 0 0T Hệ quả 3.1.3: .......................................................................................................................................... 41 T 0 0T 3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO .......................................................................................................... 41 0T 0T Định lí 3.2.1: .......................................................................................................................................... 41 T 0 0T Định nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do).............................................................................................. 42 T 0 T 0 Định lí 3.2.2............................................................................................................................................ 43 T 0 T 0 Ví dụ 3.3.2:............................................................................................................................................. 45 T 0 T 0 KẾT LUẬN .............................................................................................................................46 0T T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................47 0T 0T
MỞ ĐẦU B 2 Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào trong lí thuyết môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Bố cục luận văn được chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị 3B 1.1.Các kiến thức cơ bản về vành 9B 1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: B 0 2  Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức ∀a , b ∈ R , ta có ab = ba .  Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là ∀a , b ∈ R , ta có a.1 = 1.a = a . 1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: B 1 2 Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân bên trái và bên phải. Tức là: a.r ∈ A, r.a ∈ A với ∀r ∈ R , ∀a ∈ A . 1.1.3.Ideal sinh bởi tập X B 2 Cho X là tập con bất kì của vành R. Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X. Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R. 1.2.Ước của 0 và miền nguyên 10B 1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: B 3 2 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử a ≠ 0 của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần tử b ≠ 0 của R sao cho ab = 0 . Khi đó ta nói R là vành có ước của 0. Ví dụ:  a 0   Vành M 2 =  , a , b ∈ R  là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0,  0 b    7 0  0 0  7 0  0 0   0 0  vì trong M 2 có ma trận khác 0 là  ,   và    =   .  0 0   0 7   0 0  0 7   0 0  1.2.2.Miền nguyên: B 4 2 Một vành giao hoán có đơn vị 1 (1 ≠ 0 ) và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên.
Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: 4B ∀a , b, c ∈ R , a ≠ 0 : ac = bc ⇒ a (b − c ) = 0 ⇒ b − c = 0 ⇒ b = c . 1.3.Linh tử hóa: 1B Cho M là R module.  Với m ∈ M, Ann R (m ) = {x ∈ R xm = 0} gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.  Ann R (M ) = {x ∈ R xm = 0, ∀m ∈ M} gọi là linh tử hóa của M. Nhận xét: o Ann R (m ), Ann R (M ) là các ideal của R. o Ann R (M ) = ∩ {Ann R (m ), ∀m ∈ M} . o Với m ∈ M \ {0} , H = ∪ Ann R (m ) là tập tất cả ước của 0 của M. o Nếu A ⊂ B thì Ann R (B) ⊂ Ann R (A ) với A, B là R- module 1.4.Module: 12B 1.4.1.Module: B 5 2 Gỉa sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ R×M → M (a , x ) a ax thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1) a (x + y ) = ax + ay 2) (a + b )x = ax + bx 3) (ab )x = a (bx ) 4) 1x = x với a , b ∈ R , x , y ∈ M 1.4.2.Module con B 6 2 Cho R-module M và tập con khác rỗng N ⊂ M, N được gọi là module con của M nếu ∀x , y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N. Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.
1.4.3.Ví dụ : B 7 2 1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z. 2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là module 0. 3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại. 4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng) 5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì AM = {a 1 x 1 + ... + a n x n a i ∈ A, x i ∈ M, n ∈ N} là R-module con của M. 1.5.Module tự do 13B 1.5.1.Định nghĩa: B 8 2 Giả sử M là một R-module  Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu diễn duy nhất. Tức là: Nếu với r1 , r2 , ...., rn ∈ R và s1 , s 2 , ...., s n ∈ S thỏa 0 = r1s1 + r2 s 2 + .... + rn s n thì r1 = r2 = .... = rn = 0 .  Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0. 1.5.2.Ví dụ: B 9 2 { Trên tập R n = (x 1 , x 2 , ..., x n ) x i ∈ R , i = 1, n } với hai phép toán sau: (x1 , x 2 , ..., x n ) + (y1 , y 2 , ..., y n )= (x 1 + y1 , x 2 + y 2 , ..., x n + y n ) r (x 1 , x 2 , ..., x n ) = (rx 1 , rx 2 ,..., rx n ) trong đó r, x i , y i thuộc R. Khi đó R n là R-module tự do có cơ sở e1 = (1, 0, ..., 0 ), e 2 = (0,1, 0, ....0 ), e n = (0, 0, ...,1) . 1.5.3.Một vài định lí: B 0 3 Định lí 1: Nếu họ (M i )i∈I là các R module tự do thì M = ⊕ M i cũng là R module tự do. i∈I
Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R.
CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC 5B CỦA KHÔNG 2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 14B Xét R là vành giao hoán có đơn vị 2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: B 1 3 Cho m, n là hai số nguyên dương. Ma trận A cấp m × n trên R là một hệ gồm m × n hệ tử a ij thuộc R với i = 1, n , j = 1, m và được R R sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dòng và n cột .  a 11 a 12 ... a 1n    a a 22 ... a 2 n  A =  21 ... ... ... ...    a ... a mn   m1 a m2 Trong đó a ij là một phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j hay ở vị trí (i, j) của ma trận A. R R Tập hợp tất cả ma trận cấp m × n trên R kí hiệu M (m × n , R ) . 2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : B 2 3 1) Ma trận không : Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận không nếu tất cả các phần tử của A đều bằng 0. Kí hiệu: (0 )m×n . 2) Ma trận vuông : Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận vuông nếu m = n Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R kí hiệu là M(n,R). 3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R. Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên (dưới) nếu a ij =0 với mọi i > j (i < j) . R R 4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu a ij R R =0 với mọi i ≠ j .
5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là In . R R  Tính chất: Cho A ∈M(n,R), B ∈ M (m × n , R ) , In là ma trận đơn vị cấp n trên R. R R Ta có A.I n = I n .A = A, B.I n = B . ( ) ( ) 6) Hai ma trận bằng nhau :Cho A = a ij , B = b ij là hai ma trận cấp m × n trên R. Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng nhau. Kí hiệu A = B hay B = A . 2.1.3. Các phép toán trên ma trận B 3 1) Phép cộng hai ma trận : Cho hai ma trận A = (a ij ) và B = (b ij ) có cùng cấp m × n trên R. Định nghĩa: Tổng của hai ma trận A và B là ma trận C = (c ij ) cấp m × n với c ij = a ij + b ij . Kí hiệu: C = A + B Tính chất:  (A + B) + C = A + (B + C)  A+B = B+A  A + (0 )m×n = (0 )m×n + A  A − A = (0 )m×n 2) Phép nhân hệ tử với ma trận : Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n và hệ tử k, l trên R . Định nghĩa: Tích của k và A là ma trận B = (b ij ) cấp m × n với b ij = k.a ij . Tính chất:  k (A + B) = kA + kB  (k + l)A = kA + lA  (kl)A = k (lA )  1.A = A
3) Phép nhân hai ma trận : Cho hai ma trận A = (a ij ) cấp m × n và B = (b ij ) cấp n × p trên R. Tích của ma trận A và B là ma trận C = (c ij ) cấp m × p với c ij = a i1 .b1k + a i 2 .b 2 k + ... + a in .b nk Kí hiệu: C = A.B . 4) Phép chuyển vị : Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n trên R. Định nghĩa: Ma trận chuyển vị của A là ma trận B = (a ji ) cấp m × n . Kí hiệu: B = A t Tính chất: Cho A, B cấp m × n , C cấp n × p trên R và hệ tử k trên R.  (A + B)t = A t + B t  (A ) = A t t  (AC)t = C t .A t  (kA )t = k.A t 2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận: B 4 3  Tính chất phân phối: Cho các ma trận A, B cấp m × n , C cấp n × p , D cấp p × m trên R. Ta có: (A + B)C = AC + BC, D(A + B) = DA + DB  Tính chất kết hợp: Cho ma trận A cấp m × n , B cấp n × p , C cấp p × q trên R. Ta có: (AB)C = A(BC) 2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận B 5 3 ( ) Cho ma trận A = (a ij ) cấp m × n trên R. Gọi d i i = 1, m là dòng thứ i của ma trận A. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A : ( ) 1) Đổi chỗ hai dòng i, l i = 1, m, i ≠ l của ma trận A.
 ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ...       a i1 a i2 ... ... a in  a a l2 ... ... a ln  d i ↔ d k  l1  ... ... ... ... ... .  ... ... ... ... ...       a l1 a l2 ... ... a ln   a i1 a i2 ... ... a in   ...  ... ... ... ...   ...  ... ... ... ...  2) Nhân vào dòng thứ i ( i = 1, m ) của A với một hệ tử k khác không của R  ... ... ... ...   ... ... ... ...       a i1 a i2 ... a in d i → kd i  ka i1 ka i 2 ... ka in  .  ... ... ... ...   ... ... ... ...       ... ... ... ...   ... ... ... ...  3) Cộng vào dòng thứ i của A với tích của hệ tử k trên R với dòng thứ 1 ( i, j = 1, m, i ≠ j ) .  ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ...       a i1 a i2 ... ... a in   a l1 a l2 ... ... a ln   ...  d i → d i + kd l   ... ... ... ... . ... ... ... ... ...      a l1 a l2 ... ... a ln   a i1 + ka l1 a i 2 + ka l 2 ... ... a in + ka ln   ... ... ...   ...   ... ...  ... ... ... ...  Tương tự trong các phép biến đổi sơ cấp trên, nếu ta thay “dòng “ bằng “cột “ thì ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và các phép biến đổi sơ cấp trên cột gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong muốn. Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp là ma trận bậc thang. 2.1.6.Ma trận bậc thang B 6 3 1) Định nghĩa 2.1.6: Cho A = (a ij ) là ma trận cấp m × n trên R. A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r r = 1, min{m, n} và một ( ) dãy các chỉ số cột 1 ≤ j1 < j2 < ... < jr ≤ n , sao cho các phần tử của A thỏa mãn : a) a ij = 0 nếu r < i ≤ m hoặc ( 1 ≤ i ≤ r và 1 ≤ i ≤ ji )
b) a 1 j , a 2 j , ...., a rj ≠ 0 . 1 2 r Tương tự ta cũng có ma trận bậc thang theo cột. Ma trận bậc thang theo dòng và ma trận bậc thang theo cột gọi chung là ma trận bậc thang. 2) Định lí 2.1.6: Cho A là ma trận khác không cấp m × n ( m, n ≥ 2 ) trên miền nguyên R. Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta luôn đưa được A về dạng ma trận bậc thang dòng. 3) Hệ quả 2.1.6: Mọi ma trận vuông khác không cấp n ( n ≥ 2 ) trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). 2.2. ĐỊNH THỨC 15B Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế Cho tập hợp S = {1,2,..., n} (n>0). Mỗi song ánh σ : S → S được gọi là phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu S n . R R  Với n = 1 : S1 có một phần tử nên ta có ánh xạ sign : S1 → R đồng nhất biến 1S → 1 . R R σ(i) − σ( j)  Với n = 2 : ∀σ ∈ S n ta xét ánh xạ sign : S n → R biến σ → ∏ với i, j = 1, n i≠ j i− j  Với n ≥ 1 , ta có sign ∈ {1,−1}. Nếu sign = 1 thì σ được gọi là phép thế chẵn, sign = −1 thì σ được gọi là phép thế lẻ. 2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: B 7 3 Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R. Định thức của ma trận A trên R được cho bởi công thức ∑ signσ.a   a   ...a nσ(n ) σ∈Sn 1σ1 2σ 2  và kí hiệu là detA hay A a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Ta có A = ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn
2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: B 8 3 Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên vành giao hoán có đơn vị. 1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và At là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó P P det A = det A t . 2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không thì thì detA=0. 3) Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu. 4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0 5) Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k thuộc R ( k ≠ 0 ) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là ... ... ... ... ka i1 ka i 2 ... ka in = k. det A ... ... ... ... ... ... ... ... Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có det (k.A ) = k n det (A ) Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội k ∈ R của một dòng khác thì det A=0. 6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội k ∈ R của một dòng khác thì định thức của nó không đổi. Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R và giả sử dòng thứ i ( i = 1, n ) của A có tính chất a ij = b ij + c ij , j = 1, n , b ij , c ij ∈ R . Khi đó, ta có: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... b i1 + c i1 bi2 + ci2 ... b in + c in b i1 bi2 ... b in c i1 ci2 ... c in det A = = + ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.2.3. Ma trận con và định thức con: B 9 3 Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n ( n ≥ 1 ) trên R, ta đặt D = det A và k k = 1, n là số nguyên ( ) dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng i 1 , i 2 ,…..i k (1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ n ) và k cột cột j 1 , R R R R R R R R j 2 ,….,j k (1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n ) nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột R R R R
đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vuông cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông  ai j ai j ... a i j   1 1 1 2 1 k  ai j ai j ... a i j  con cấp k của A và được kí hiệu là M i i Ta có M i i = 2 1 2 2 2 n 1 2 ..i k j1 j2 ... jk 1 2 ..i k j1 j2 ... jk ... ... ... ...    a  ij k 1 ai k j2 ... a i j  k k Định thức của ma trận con M i i 1 2 ....i k được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là Di i 1 2 ....i k Khi xóa đi k dòng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp (n − k ) của A và kí hiệu N ( i i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk ) . Định thức của ma trận con N ( i i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk ) kí hiệu là D ( i i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk ) . Phần bù đại số của định thức con D i i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk được kí hiệu là A i i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk và cho bởi công thức = (− 1) (i1 + i 2 +..+ i k + j1 + j2 +...+ jk ) Ai i 1 2 ..i k j1 j2 ... jk .D ( i i 1 2 ...i k j1 j2 ... jk ) . 2.2.4. Một số định lý khai triển định thức: B 0 4 Định lý 2.2.4.1: Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R, A ij là bù đại số của a ij , i, j = 1, n . Khi đó ta có: n 1) det A = ∑ a ij A ij (Công thức khai triển định thức tho cột thứ j) i =1 n 2) det A = ∑ a ij A ij (Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i ) j=1 Hệ quả 2.2.4.1: Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R. Nếu tồn tại hai chỉ số i, j = 1, n sao cho a ik ≠ 0 với k = j và a ik = 0 với k ≠ j thì det A = a ik .A ik . Hệ quả 2.2.4.2: Cho A = (a ij ) là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R. Khi đó det A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A. Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace)
Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n (n ≥ 2 ) trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay k cột) (2 ≤ k ≤ n ) i1 , i 2 , ,..., i k (hay j1 , j2 , ..., jk ) . Khi đó ta có det A = ∑ D k A k , trong đó D k chạy R R khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, Ak là phần bù đại số của D k . R R R R Từ định lí trên ta có hệ quả sau : Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R, ta có: det (A ) khi k = i (∀ i, j = 1, n ) n 1) ∑a A kj = δ ik det (A ) =  khi k ≠ i ij j=1 0 det (A ) khi k = j (∀ j, k = 1, n ) n 2) ∑a A ik = δ jk det (A ) =  khi k ≠ j ij i =1 0 Định lý 2.2.4.3: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó det (AB) = det A. det B . 2.2.5. Ma trận khả nghịch B 1 4 Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n trên R sao cho AB = BA = I n . Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là B = A −1 . Ma trận B (nếu có) là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại ma trận C cấp n trên R sao cho AC = CA = I n ,ta có B = BI n = B(AC) = (BA )C = I n C = C . Tập hợp tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên R, được kí hiệu là GL(n,R). Tính chất của ma trận khả nghịch: 1) Ma trận đơn vị In là ma trận khả nghịch R R 2) Nếu A,B là hai ma trận vuông cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và (AB) = B −1 A −1 . −1 3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì A −1 , A t cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và (A ) −1 −1 = A, (A t ) = (A −1 ) . −1 t
Định lý 2.2.5: Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R. Gọi B = (b ij ) sao cho b ij = (− 1) det (A ji ) với A ji là ma trận nhận được khi xóa đi dòng j cột i của ma trận A. Khi đó ta i+ j có 1) AB = BA = det (A ).I n . 2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch Chứng minh 1) Đặt AB = (c ik ) ∈ M (n , R ) . Khi đó: (c ik ) = a i1b1k + a i 2 b 2 k + ... + a in b nk = a i1 (− 1) det (A k1 ) + a i 2 (− 1) det (A k 2 ) + ... + a in (− 1) det (A kn ) k +1 k+2 k+n Nếu i = k thì ta có: (c ik ) = a i1 (− 1)k +1 det (A k1 ) + a i 2 (− 1)k +2 det (A k 2 ) + ... + a in (− 1)k +n det (A kn ) = a i1 (− 1) det (A i1 ) + a i 2 (− 1) det (A i 2 ) + ... + a in (− 1) det (A in ) = det A i +1 i+2 i+n Nếu i ≠ k thì ta thay dòng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận A' . Trong ma trận A' nếu ta bỏ đi dòng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa là A' kj = A kj .Thay vào biểu thức của (c ik ) ta được (c ik ) = a i1 (− 1)k +1 det (A'k1 ) + a i 2 (− 1)k +2 det (A'k 2 ) + ... + a in (− 1)k +n det (A'kn ) = det A' = 0 Từ đó, ta có: det (A ) khi i = k (c ik ) =  ∀i, k = 1, n 0 khi i ≠ k Suy ra AB = det (A ).I n Vậy AB = BA = det (A ).I n . Chứng minh 2) Gỉa sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận B ∈ M (n , R ) sao cho AB = BA = det (A ).I n . Ta có det (AB) = det (A ). det (B) = det (B). det (A ) = 1. Suy ra det A khả nghịch Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có: (( )) ( AB = BA = det (A ).I n ⇒ A det (A ) B = det (A ) B A = I n −1 −1 ) Vậy ma trận A khả nghịch.